精品解析：云南省昆明市西山区昆明师范专科学校附属中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

昆明师专附中2024—2025学年上学期11月月考质量监测 初二数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答，答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. 2a+3b=5ab B. 2（2a﹣b）=4a﹣2b C. D. 4. 如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 5. 下列式子化简后的结果为x6的是(　　) A. x3+x3 B. x3•x3 C. (x3)3 D. x12÷x2 6. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则等于（ ） A. B. 9 C. D. 20 8. 分解因式：（ ） A. B. C. D. 9. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 10. 化简：，其结果为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（ ） A. B. C. D. 12. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 已知，则（ ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 16 14. 已知，，，比较、、的大小（ ） A. B. C. D. 15. 观察下列一组数：，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 计算：__________． 17. 若，则________. 18. 若分式的值为0，则的值为______． 19. 在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为________． 三、解答题（本大题共7小题，共62分） 20. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 21. 先化简，再求值：,其中 22. 先化简，再求值：，选择一个你最喜欢的数代入计算． 23. 已知，． （1）求xy的值； （2）求的值． 24. 某中学的校园中有两块草坪．草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，设两块草坪的面积分别为、． （1）比较甲、乙两块草坪面积的大小； （2）求甲、乙两块草坪的面积的比． 25. 我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题： 请根据上述规律填空：____________； 我们知道，任何一个两位数个数上数字n十位上的数字为都可以表示为，根据上述规律写出：______，并用所学知识说明你的结论的正确性． 26. （1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明师专附中2024—2025学年上学期11月月考质量监测 初二数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答，答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】形如，、均为整式，且中含有字母的式子是分式，根据定义解答． 【详解】解：Ａ、是整式不是分式，故不符合题意； Ｂ、是整式不是分式，故不符合题意； Ｃ、符合分式定义，故符合题意； Ｄ、是整式不是分式，故不符合题意； 故选：Ｃ． 【点睛】此题考查了分式的定义，熟记定义并掌握分式与整式的区别是解题的关键． 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴； 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. 2a+3b=5ab B. 2（2a﹣b）=4a﹣2b C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A．2a和3b不是同类项不能合并，故A错误； B．2（2a﹣b）=4a﹣2b，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误． 故选B． 考点：同底数幂的除法；合并同类项；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方． 4. 如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据分式的分子分母都乘以或除以一个不为的整数，分式的值不变，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 5. 下列式子化简后的结果为x6的是(　　) A. x3+x3 B. x3•x3 C. (x3)3 D. x12÷x2 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则逐项进行计算即可得出答案． 【详解】A、原式=2x3，故A选项错误，不符合题意； B、原式=x6，故B选项正确，符合题意； C、原式=x9，故C选项错误，不符合题意； D、原式=x12﹣2=x10，故D选项错误，不符合题意, 故选B． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． 6. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了公因式的定义，一个多项式各项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式．公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：多项式的公因式为． 故选：D． 7. 已知，，则等于（ ） A. B. 9 C. D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法法则的逆运算对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：当，时， ． 故选：D． 8. 分解因式：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故选：A． 9. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用因式分解的定义判断即可．因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 【详解】解：A．符合因式分解的定义，故A选项符合题意； B．是整式的乘法，不是因式分解，故B选项不符合题意； C．，是整式的乘法，不是因式分解，故C选项不符合题意； D．，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意． 故选：A． 10. 化简：，其结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的约分，涉及完全平方公式、平方差公式进行分解因式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．利用完全平方公式与平方差公式进行分解因式，再约分化简即可． 【详解】解： ， 故选：C． 11. 如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示阴影部分的面积是得出答案的关键．阴影部分是边长为的正方形，其面积可表示为，也可以看作是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，进而得出结论． 【详解】解：阴影部分是边长为的正方形，因此其面积为， 阴影部分也可以看作是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，即， 因此有， 故选：D． 12. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握公式法进行因式分解是解题的关键． 利用公式法进行因式分解对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A中，因式分解不正确，故不符合要求； B中，因式分解不正确，故不符合要求； C中，因式分解正确，故符合要求； D中，因式分解不正确，故不符合要求； 故选：C． 13. 已知，则（ ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算，由得到，从而得到，由此即可得到答案，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 14. 已知，，，比较、、的大小（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算．逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选：A． 15. 观察下列一组数：，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类变化规律，解题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字； 分别观察所给分数的分母和分子及其符号，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意得： 这列数中的第奇数个数是负数，第偶数个数是正数，故这组数的第个数的符号为， 分数的分子为从开始的连续的奇数，故这组数的第个数的分子为， 分数的分母依次扩大倍，且第一个分数的分母是，故这组数的第个数的分母为， 这组数的第个数为， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 计算：__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查同分母分式加减法，原式通分后再化简即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：1． 17. 若，则________. 【答案】-8 【解析】 【分析】将原式展开即可求出m、k的值，代入求值即可; 【详解】∵ ∴ ∴m=4，k=-12 ∴m+k=-8 故答案为-8 【点睛】本题考查的是因式分解的定义，掌握因式分解和整式乘法的关系是关键. 18. 若分式的值为0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式为0的条件，掌握分式为零的条件为分子为0、分母不为0是解题的关键． 分式值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴或，且， ∴. 故答案为：． 19. 在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为________． 【答案】10或11 【解析】 【分析】本题考查了三边关系、等腰三角形的定义，算术平方根、绝对值的非负性，先根据算术平方根、绝对值的非负性得出a，b的值，再结合三边关系，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵a，b为等腰三角形的两边， ∴当腰是3时，则，此时的周长为； ∴当腰是4时，则，此时的周长为； 综上所述，的周长为10或11． 故答案为：10或11． 三、解答题（本大题共7小题，共62分） 20. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，整式的混合运算，分式的混合运算等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先算零指数幂，绝对值，算术平方根，再合并即可； （2）先算单项式的乘法得除法，再合并即可； （3）利用平方差公式计算即可； （4）根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 21. 先化简，再求值：,其中 【答案】 【解析】 【详解】原式利用平方差公式，完全平方式化简，去括号合并同类项得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值. 解:原式=　　 = 当时，原式= ＝= 22. 先化简，再求值：，选择一个你最喜欢的数代入计算． 【答案】，当时值为（答案不唯一） 【解析】 【分析】先化简括号内，再计算括号外的除法运算，然后由分式有意义的条件知，，0，1，然后当a取4时，则即可计算出原式的值． 【详解】解：原式 ， 由分式有意义的条件知，，0，1， ∴当时，则原式（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式化简，代数求值，正确掌握分式有意义的条件是解题的关键． 23. 已知，． （1）求xy的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）把两边平方得到，然后利用完全平方公式和可计算出的值； （2）利用完全平方公式得到，然后利用整体的方法计算． 【详解】(1) , , 又, ， . (2) 【点睛】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式进行变形是解题关键． 24. 某中学的校园中有两块草坪．草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，设两块草坪的面积分别为、． （1）比较甲、乙两块草坪面积的大小； （2）求甲、乙两块草坪的面积的比． 【答案】（1） （2）甲、乙两块草坪的面积的比为 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，完全平方公式，分式的化简，根据图形分别表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案． （1）根据题意分别表示出、，然后作差求解即可； （2）列式根据分式的性质化简即可． 【小问1详解】 ，； ， ， ， ； 【小问2详解】 ． 所以甲、乙两块草坪的面积的比为． 25. 我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题： 请根据上述规律填空：____________； 我们知道，任何一个两位数个数上数字n十位上的数字为都可以表示为，根据上述规律写出：______，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】(1)，1444；(2)． 【解析】 【分析】根据已知算式得出规律，再得出即可； 根据已知算式得出规律，再求出即可． 【详解】， 故答案为，1444； ， 证明：， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． 26. （1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA=90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°． ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD． 又AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立．证明如下： ∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-． ∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF为等边三角形 【解析】 【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE； （2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD； （3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）△DEF为等边三角形．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF． ∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF， ∴△DBF≌△EAF（SAS）． ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°． ∴△DEF为等边三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $