第2章 对称图形——圆（复习讲义）数学苏科版九年级上册

第2章 对称图形——圆（复习讲义） 1. 了解圆的相关概念、定理的意义，体会圆的知识间的整体联系。 2. 能用点与圆、直线与圆的位置关系等知识分析问题。 3. 理解并利用垂径定理、圆心角与弦（弧、弦心距）的关系、圆周角定理及推论、切线相关定理解决问题。 4. 会运用弧长公式与扇形面积公式进行计算。 1.点和圆的位置关系 点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，；（圆的半径为r,点到圆心的距离为d） 2.圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 3.垂径定理及推论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 4.圆的确定 经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 5.外心与内心 外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等. 锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半. 内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2.. 三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则. 直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则. 6.圆周角定理及推论 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 7.直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为d，圆的半径为r） 相交：直线与圆有两个公共点，； 相切：直线与圆有一个公共点，； 相离：直线与圆无公共点，. 8.切线性质定理和判定定理 切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定方法：（1）直线与交点个数；（2）直线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定理. 9.切线长定理、弦切角定理 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线这两条切线的夹角. 弦切角定理： 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. 10.弧长公式与扇形面积公式 正变形的圆心角为度. 弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为. 如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为. 如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为. 题型一 判断点与圆的位置关系 【例1】已知的半径为，若，那么点与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．都有可能 【变式1-1】已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定 【变式1-2】矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（    ）    A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内 C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 【例2】如图，矩形中，，，以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ．    【变式2-1】已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为 ． 【变式2-2】如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是 . 【变式2-3】如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则的取值范围是 ．    题型三 利用垂径定理求值 【例3】如图，为的直径，为的弦，，垂足为，，， ． 【变式3-1】如图，是的直径，弦，垂足为点E，，则 ． 【变式3-2】将半径为5的如图折叠，折痕长为6，C为折叠后的中点，则长为 ． 题型四 利用圆周角定理求角度 【例4】如图，是上的三个点，，则度数是 ．    【变式4-1】如图，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则 ． 【变式4-2】如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ． 题型五 半圆(直径)所对的圆周角是直角 【例5】如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则 ．    【变式5-1】如图，是的直径，是的弦，如果．    (1)求的度数． (2)若，求的长． 【变式5-2】如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．    (1)求证：点D为弧的中点； (2)若，，求的直径． 题型六 90度的圆周角所对的弦是直径 【例6】如图，在矩形中，，动点P在矩形的内部，连接、，若，则的最小值是 ． 【变式6-1】如图，在中，，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为 ．        【变式6-2】在矩形中，，，点F是边上的一个动点，连接，过点B作于点G，交射线于点E，连接，则的最小值是 ． 题型七 已知圆内接四边形求角度 【例7】如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．    【变式7-1】如图，已知四边形内接于，，则的度数是 ．    【变式7-2】如图，在直径为的中，点，在圆上，，若，则的度数为 ． 题型八 判断直线和圆的位置关系 【例8】已知中，，若以2为半径作，则斜边与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【变式8-1】如图，在中，，，以为圆心作一个半径为的圆，下列结论中正确的是（    ）    A．点在内 B．点在上 C．直线与相切 D．直线与相离 【变式8-2】在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作，下列判断正确的是（    ） A．与轴相交 B．与轴相切 C．点在外 D．点在内 题型九 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【例9】直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ． 【变式9-1】已知直线l与半径长为R的相离，且点O到直线l的距离为5，那么R的取值范围是 ． 【变式9-2】如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是 ． 题型十 证明某直线是圆的切线 【例10】如图，已知是的直径，直线与相切于点B，过点A作交于点D，连接．    (1)求证：是的切线． (2)若，直径，求线段的长． 【变式10-1】如图，的半径为2，点A是的直径延长线上的一点，C为上的一点，，． (1)求证：直线是的切线； (2)求的面积． 【变式10-2】如图，四边形内接于圆，是圆的直径，，的延长线交于点，延长交于点，． (1)求证：是圆的切线； (2)点在上，且，连接，，，求的长． 题型十一 切线的性质定理 【例11】如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为 ．    【变式11-1】如图，是的直径，点是外的一点，且是的切线，交于点，若，则 ．      【变式11-2】如图，是的直径，与相切于点的延长线交于点，则的度数是 ．    题型十二 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积 【例12】已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积是 ． 【变式12-1】一个扇形的弧长是，圆心角是144°，则此扇形的面积是 ． 【变式12-2】如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ． 基础巩固通关测 一、单选题 1．已知的半径为．若点到圆心的距离为，则点（   ） A．在内 B．在上 C．在外 D．与的位置关系无法确定 2．如图，是的直径，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图， 的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且， ，则的周长为（   ）. A．7 B．1 C．10 D．14 二、填空题 6．已知圆内接四边形中，，则 ． 7．如图、是的半径，A是上一点，若，，则 度 8．如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接，若，，则长为 ． 9．如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为 （结果保留）． 10．如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 三、解答题 11．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，则中间柱的高度为多少m？ 12．如图，两个圆是以点O为圆心的同心圆，大圆的弦与小圆相切于C，长为，小圆半径为，求大圆的半径． 13．如图，六边形是的内接正六边形，连接，． (1)填空：的度数为_____． (2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 14．如图，点D为上一点，点C在直径的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，，则图中阴影部分的面积； 15．如图，内接于，为直径，交于点，过点作的切线交的延长线于点，过点作，垂足为，交于点． (1)写出图中一个与相等的角：___________； (2)求证：； (3)若，求的半径长． 16．如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，为的直径，，弦，则劣弧的长为（   ） A． B．π C．2π D．4π 2．如图，是四边形的外接圆，过点作，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，点是边上一点，经过点且恰好与边相切于点，与边交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，的半径为5，弦的长为8，将劣弧沿直线折叠后的图形如图，则点O到弧所在圆的切线长为（   ） A．3 B． C．4 D． 5．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，是的直径，点是延长线上一点，是的切线，若，则 ． 7．如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    8．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为 ．（结果保留） 9．如图，在中，，分别切，，于点D，E，F．若，则 ． 10．如图，已知正方形的边长为4，点F是正方形内一点，连接、，且，点E是边上一动点，连接、，①若点E是的中点，则 ；②求长度的最小值为 ． 三、解答题 11．如图，四边形内接于，为直径，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3，求的长．（结果保留） 12．如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点． (1)若，求的度数； (2)若，的半径为2，求线段的长度． 13．如图，是的直径，点在上，弦平分，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线． (2)当时，指出四边形的形状和特征，并说明理由． 14．如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形中，宽为，高为，点是，的交点，以点为圆心，为半径作，地面与矩形门洞对角线的夹角约为，阴影部分为门洞改造后扩大的部分． (1)求的半径； (2)求改造后圆弧形门洞的高度（即弧的中点到地面的距离）； (3)直接写出阴影部分的面积．（结果保留） 15．如图，在中，以为直径的交于点，连接． (1)如图1，若，，求证：为的切线； (2)如图2，若为的切线，，，求阴影部分的面积． 16．已知：和分别是⊙上的两条劣弧，且⊙的半径为5，，，和都可以在⊙上运动，且和没有公共点，连接，，，且，交于点． (1)如图1，若经过圆心． ①求的长； ②求的度数； (2)如图2，在和运动的过程中，的度数是否发生变化？请说明理由； (3)如图3，连接，在和运动的过程中，四边形的面积也发生变化，记四边形的面积为，请直接写出的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 对称图形——圆（复习讲义） 1. 了解圆的相关概念、定理的意义，体会圆的知识间的整体联系。 2. 能用点与圆、直线与圆的位置关系等知识分析问题。 3. 理解并利用垂径定理、圆心角与弦（弧、弦心距）的关系、圆周角定理及推论、切线相关定理解决问题。 4. 会运用弧长公式与扇形面积公式进行计算。 1.点和圆的位置关系 点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，；（圆的半径为r,点到圆心的距离为d） 2.圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 3.垂径定理及推论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 4.圆的确定 经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 5.外心与内心 外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等. 锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半. 内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2.. 三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则. 直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则. 6.圆周角定理及推论 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 7.直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为d，圆的半径为r） 相交：直线与圆有两个公共点，； 相切：直线与圆有一个公共点，； 相离：直线与圆无公共点，. 8.切线性质定理和判定定理 切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定方法：（1）直线与交点个数；（2）直线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定理. 9.切线长定理、弦切角定理 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线这两条切线的夹角. 弦切角定理： 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. 10.弧长公式与扇形面积公式 正变形的圆心角为度. 弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为. 如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为. 如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为. 题型一 判断点与圆的位置关系 【例1】已知的半径为，若，那么点与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．都有可能 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：， 点在内． 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 【变式1-1】已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点A在圆上， 故选：B． 【点睛】题考查了点与圆的位置关系，能熟记点与圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知和一点A，点A到圆心O的距离为d， 的半径为r,①当时，点A在上，②当时，点A在内，③当时，点A在外，反之亦然． 【变式1-2】矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（    ）    A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内 C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内 【答案】C 【分析】由，得到，，再根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，则，然后根据点与圆的位置关系进行判断． 【详解】解：如图，     四边形为矩形， ， ，， ，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 点在圆内，点在圆外． 故选：． 【点睛】本题考查了点与圆的位置：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内． 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 【例2】如图，矩形中，，，以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ．    【答案】 【分析】首先利用勾股定理得出的长，利用以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，得出r的取值范围即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵矩形矩形中，，， ∴， ∵以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外， ∴半径r的取值范围是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用图形得出r的取值范围是解题关键． 【变式2-1】已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为 ． 【答案】12 【分析】根据题意知的直径为最小距离与最大距离的和，再利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是内一点， ∴的直径为最小距离与最大距离的和， ∵最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴的直径为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系． 【变式2-2】如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是 . 【答案】 【分析】因为A、B两点中只有一个点在⊙C内，所以半径比大．点A在圆上或者圆外，所以半径小于或等于． 【详解】解：因为A、B两点中只有一个点在⊙C内， 只有点B在圆内，点A可以在圆上或圆外． 因为点B在圆内，所以cm． 当点A在圆上时，cm． 当点A在圆外时，cm． 因此：． 故答案是：． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点A和点B与圆的位置，确定⊙C的半径． 【变式2-3】如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则的取值范围是 ．    【答案】/ 【分析】如图，连接，根据点与圆心的距离与半径大小的关系进行判断，当时，点在圆外，当时，点在圆内，由图可知当时，矩形的另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，由勾股定理得的值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，    四边形 是矩形， ， 又， 在中，， 由图可知 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握点到圆心的距离与半径大小关系及勾股定理是解题关键． 题型三 利用垂径定理求值 【例3】如图，为的直径，为的弦，，垂足为，，， ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，由垂径定理可得，由勾股定理可得，最后根据即可得出答案，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 为的直径，为的弦，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-1】如图，是的直径，弦，垂足为点E，，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．根据得，进而根据垂径定理得出，连接，设，则，根据勾股定理得方程解答． 【详解】解：连接，设，则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 解得， 即的长为10． 故答案为：10． 【变式3-2】将半径为5的如图折叠，折痕长为6，C为折叠后的中点，则长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系和勾股定理．延长交于D点，交于E点，连接，如图根据圆心角、弧、弦的关系由得到，则可判断垂直平分，则，再利用勾股定理计算出，所以，然后利用C点和D点关于对称得到，最后计算即可． 【详解】解：延长交于D点，交于E点，连接，如图， ∵C为折叠后的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∵沿折叠得到，垂直， ∴C点和D点关于对称， ∴， ∴． 故答案为：3． 题型四 利用圆周角定理求角度 【例4】如图，是上的三个点，，则度数是 ．    【答案】 【分析】由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键． 【变式4-1】如图，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则 ． 【答案】20 【分析】连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，再由结合等腰三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：连接，如图， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质，是解题的关键． 【变式4-2】如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ． 【答案】1 【分析】连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得是解题的关键． 题型五 半圆(直径)所对的圆周角是直角 【例5】如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则 ．    【答案】/61度 【分析】如图，连接，证明，求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接．    ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型． 【变式5-1】如图，是的直径，是的弦，如果．    (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，，然后利用互余可计算出的度数； （2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， ； （2）∵， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 【变式5-2】如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．    (1)求证：点D为弧的中点； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再由平行线的性质可得，从而可得，再根据垂径定理即可得出结论； （2）根据垂径定理可得，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵是直径 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D为的中点； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为20． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 题型六 90度的圆周角所对的弦是直径 【例6】如图，在矩形中，，动点P在矩形的内部，连接、，若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由，可知在以为直径的上运动，如图，当三点共线时，最小，勾股定理求的长，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴在以为直径的上运动，如图， ∴当三点共线时，最小， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，勾股定理．解题的关键在于确定的运动轨迹． 【变式6-1】如图，在中，，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为 ．        【答案】/ 【分析】根据，得到，进而得到点在以为直径的圆上，设的中点为，连接，交于点，连接，则：，当且仅当三点共线时，取得最小值，即点与点重合时，取得最小值，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 设的中点为，连接，交于点，连接，则：，        ∴当且仅当三点共线时，取得最小值，此时点与点重合， ∵，，， ∴， ∴的最小值为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，求一点到圆上的距离的最小值．解题的关键是确定点在以为直径的圆上． 【变式6-2】在矩形中，，，点F是边上的一个动点，连接，过点B作于点G，交射线于点E，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可得点G的运动轨迹为以AB为直径，H为圆心的圆弧．当C、G、H三点共线时，CG取最小值，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点G的运动轨迹为以AB为直径，H为圆心的圆弧．当C、G、H三点共线时，CG取最小值，如图， ∴CG最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理，根据题意得出点G的运动轨迹是解本题的关键． 题型七 已知圆内接四边形求角度 【例7】如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．    【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键． 【变式7-1】如图，已知四边形内接于，，则的度数是 ．    【答案】 【分析】根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出，的度数． 【详解】解∶， 又四边形内接于圆， 在四边形中，， ， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，求出圆周角的度数是解题的关键． 【变式7-2】如图，在直径为的中，点，在圆上，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后根据圆内接四边形对角互补求出，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而求出的度数． 【详解】解：，， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 是的直径， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 题型八 判断直线和圆的位置关系 【例8】已知中，，若以2为半径作，则斜边与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 过点C作于D，先利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，最后根据与半径的大小关系判断斜边与的位置关系即可． 【详解】解：过点C作于D， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴以2为半径作与斜边相离． 故选：B． 【变式8-1】如图，在中，，，以为圆心作一个半径为的圆，下列结论中正确的是（    ）    A．点在内 B．点在上 C．直线与相切 D．直线与相离 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，勾股定理；过点作于，如图，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断． 【详解】解：过点作于，如图，    ， ， 在中，， ， 点在外，所以选项不符合题意； ， 点在外，所以选项不符合题意； ，半径， 直线与相切，所以选项符合题意，D选项符不合题意． 故选：C． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作，下列判断正确的是（    ） A．与轴相交 B．与轴相切 C．点在外 D．点在内 【答案】C 【分析】此题主要考查了直线与圆和点与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点，根据点的坐标得到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系即可求出答案，熟练掌握运用直线与圆和点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵圆心， ∴到轴的距离是，到轴的距离是， ∵的半径为， ∴与轴相离，与轴相交，故选项错误； 由， 则点在外，故选项正确； 设， ∴， 则点在上，故选项错误； 故选：． 题型九 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【例9】直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】解：∵直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d， ∴d的取值范围是； 故答案为：. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，设的半径等于r，圆心O到直线l的距离为d，则当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交；反之也成立. 【变式9-1】已知直线l与半径长为R的相离，且点O到直线l的距离为5，那么R的取值范围是 ． 【答案】 【分析】若直线和圆相离，则应满足即可． 【详解】解：直线和圆相离，且点到直线的距离为5， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系与数量之间的等价关系．直线和圆相离，则应满足是解题的关键． 【变式9-2】如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过M作于H，根据直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：过M作于H，如图所示： ∵，， ∴， ∵，与线段有交点， ∴r的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离． 题型十 证明某直线是圆的切线 【例10】如图，已知是的直径，直线与相切于点B，过点A作交于点D，连接．    (1)求证：是的切线． (2)若，直径，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据平行线的性质可得，通过证明，得出，即可求证； （2）易得，根据，得出，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵是圆O的切线且为半径， ∴． ∴． ∴． 又∵是半径， ∴为圆O的切线． （2）解：∵AB是直径，且， ∴ 据（1）知，， 又， ∴， ∴在中：， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质，勾股定理等知识点，解题的关键通过正确作辅助线，构造全等三角形，熟练掌握相关知识点并灵活运用． 【变式10-1】如图，的半径为2，点A是的直径延长线上的一点，C为上的一点，，． (1)求证：直线是的切线； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据，得到，进而得到，然后求出，即可证明； （2）首先得到是等边三角形，然后作于点H，利用等腰三角形三线合一性质得到，进而利用勾股定理求出，得到，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵OC是半径 ∴直线是的切线； （2）由（1）得是等边三角形， 作于点H，则 ∴ 在中，， ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了圆和三角形综合题，圆切线的判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式10-2】如图，四边形内接于圆，是圆的直径，，的延长线交于点，延长交于点，． (1)求证：是圆的切线； (2)点在上，且，连接，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】（1）根据四边形内接于圆和得出，再根据得出即可证明； （2）连接，，，记与相交于点，根据用垂径定理得出，再根据，运用三角形中位线得出即可解答； 【详解】（1）证明：∵四边形内接于圆 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，即 又∵是圆的直径 ∴是圆的切线 （2）如图，连接，，，记与相交于点    ∵， ∴ ∴，又 ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 【点睛】该题主要考查了圆切线证明，圆心角定理，垂径定理，三角形中位线等知识点，解题的关键是熟练掌握圆部分的这些知识点． 题型十一 切线的性质定理 【例11】如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得到，再根据所对的直角边是斜边的一半计算即可； 【详解】如图，连接，    ∵是的切线， ∴，即， 又，的半径为3， ∴， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键． 【变式11-1】如图，是的直径，点是外的一点，且是的切线，交于点，若，则 ．      【答案】30 【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：是的切线， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【变式11-2】如图，是的直径，与相切于点的延长线交于点，则的度数是 ．    【答案】/26度 【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：是的直径，与相切于点A， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键． 题型十二 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积 【例12】已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积是 ． 【答案】 【详解】根据扇形的面积公式即可求解． 【分析】解：扇形的面积． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 【变式12-1】一个扇形的弧长是，圆心角是144°，则此扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】设该扇形的半径为，然后根据弧长公式计算半径，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：设该扇形的半径为，由题意得： ，解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查弧长计算公式及扇形面积计算公式，熟练掌握弧长计算公式和扇形面积计算公式是解题的关键． 【变式12-2】如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的外角和为， 每一个外角的度数为， 正五边形的每个内角为， 正五边形的边长为4， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大． 基础巩固通关测 一、单选题 1．已知的半径为．若点到圆心的距离为，则点（   ） A．在内 B．在上 C．在外 D．与的位置关系无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小进行判断，即可作答． 【详解】解：∵的半径为．若点到圆心的距离为，且， ∴点在内， 故选：A 2．如图，是的直径，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，先根据圆周角定理得，再根据邻补角的定义可得结论．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【详解】解：∵在中，圆周角和圆心角都对着，， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴； 故选B． 4．小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式求解即可． 【详解】解：的长为：， 故选：B． 5．如图， 的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且， ，则的周长为（   ）. A．7 B．1 C．10 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键． 【详解】解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ，，， ， 的周长为： 故选：D． 二、填空题 6．已知圆内接四边形中，，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解∶∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， 故答案为∶． 7．如图、是的半径，A是上一点，若，，则 度 【答案】100 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，利用等腰三角形的性质易得，则，然后根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：连接，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：100． 8．如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接，若，，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆周角定理得到，勾股定理求出的长，进而求出，的长，垂径定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：由题意，为圆O的直径， ∴， ∴， ∴， ∵圆O的半径垂直弦于点C， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2 9．如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式和扇形的面积计算，注意：已知扇形的圆心角是，半径为r，那么扇形的面积是． 求出OC的长度，根据弧长公式求出的长度即可；根据扇形的面积公式求出折扇扇面的面积即可． 【详解】解：，， ， 折扇张开的角度为， 折扇扇面的面积为． 故答案为：． 10．如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，．证明，推出，点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的．利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的． ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题 11．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，则中间柱的高度为多少m？ 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据图得，即，运用勾股定理列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：依题意， 则 ∵ ∴， ∴ 12．如图，两个圆是以点O为圆心的同心圆，大圆的弦与小圆相切于C，长为，小圆半径为，求大圆的半径． 【答案】大圆的半径为 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理和勾股定理．关键是构造直角三角形进行解答．连接，先根据切线的性质得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出便可． 【详解】解：连接，如图， ∵为小圆的切线， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， 则大圆的半径为． 13．如图，六边形是的内接正六边形，连接，． (1)填空：的度数为_____． (2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形与圆、直角三角形性质、勾股定理、弧长公式等知识，掌握这些是解题的关键． （1）根据正n边形中心角为，即可求解； （2）过点O作于点P，求得是等边三角形，利用直角三角形性质结合勾股定理求得半径是4，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，过点O作于点P， ， 是等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负值）， ， ， 的长为， 阴影部分的周长为． 14．如图，点D为上一点，点C在直径的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，，则图中阴影部分的面积； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理的推论，扇形面积公式，切线的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能准确添加辅助线是解决此题的关键． （1）根据圆周角定理的推论和等腰三角形的性质，得出，即即可得出结论； （2）利用切线的性质和圆周角定理得出，，求得的长，再根据阴影部分的面积，代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的直径， ，即， ， ， 又， ，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为1， ， ∵是的切线，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 15．如图，内接于，为直径，交于点，过点作的切线交的延长线于点，过点作，垂足为，交于点． (1)写出图中一个与相等的角：___________； (2)求证：； (3)若，求的半径长． 【答案】(1)或或或（写其中一个即可） (2)见解析 (3)5 【分析】（1）利用圆周角定理，垂径定理，切线的性质确定与相等的角即可； （2）连接，由（1）得：，从而可得结论； （3）连接交于点．证明四边形是矩形，可得，，．设的半径为，可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， 综上：与相等的角为或或或（写其中一个即可） （2）解：连接， 由（1）得：， ； （3）解：连接交于点． 是的直径， ， 是的切线， ∴， ∴， 四边形是矩形， ∴， ， ． 设的半径为， ． 在中，， 即的半径长为5． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，垂径定理的应用，切线的性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 16．如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 【答案】(1)在线段上；； (2)补图见解析，为等腰三角形 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案； （2）补图如下， 连接，证明，，结合，可得，进一步可得结论； （3）如图，过作于，求解，，，，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵是直角， ∴为直径， ∵为圆心， ∴在线段上； ∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：补图如下，为等腰三角形，理由如下： 连接， ∵为的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图，过作于， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，为的直径，，弦，则劣弧的长为（   ） A． B．π C．2π D．4π 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，弧长公式，得到是直角三角形是解答关键． 连接，，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，，再利用弧长公式求解． 【详解】解：连接，，如下图 ， 的半径为4， 即． ，， ， 是直角三角形， 即， 劣弧的长为． 故选：C． 2．如图，是四边形的外接圆，过点作，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由圆内接四边形的性质推出，求出，由平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A ． 3．如图，在中，，，点是边上一点，经过点且恰好与边相切于点，与边交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，解直角三角形求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由圆周角定理得：， ∵是的切线， ∴， 在中，， 则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴的长为：， 故选：B． 4．如图，的半径为5，弦的长为8，将劣弧沿直线折叠后的图形如图，则点O到弧所在圆的切线长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的切线的性质，难度不大，找出翻转过后的弧所在圆的圆心是解题关键．根据题意先画出图形，可知翻转过后的弧所在的圆和全等，且两个圆的圆心相距为6，又已知圆的半径，故根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解解：如图所示： 根据题意：，点为翻转过后的弧所在圆的圆心， 则有， 又∵，是的切线， ∴． 故选：B． 5．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵，且，，， ∴， 解得：， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：D． 二、填空题 6．如图，是的直径，点是延长线上一点，是的切线，若，则 ． 【答案】 【分析】连接，由切线的性质得，而，则，根据圆周角定理得，可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点，， ∴， ∴， ∴， ∵圆心角和圆财角所对的弧为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的两个锐角互余，圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 7．如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，再利用勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，    ∴为圆心， ∴半径， 故答案为： 8．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ． 故答案为：． 9．如图，在中，，分别切，，于点D，E，F．若，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了切线的性质、四边形内角和、三角形内角和，解题关键是明确相关性质，准确进行计算．根据切线性质求出，根据四边形内角和定理先求出，在求出即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵分别切，，于点D，E，F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，已知正方形的边长为4，点F是正方形内一点，连接、，且，点E是边上一动点，连接、，①若点E是的中点，则 ；②求长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】①由正方形的性质得出，，再根据已知条件得出，根据勾股定理得出． ②由正方形的性质进一步得出，点F在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B，连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，然后利用勾股定理求出，进而可求出． 【详解】解：①由正方形的性质可知，， ∵点E是的中点， ∴ ∴； ②∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形， 则点的对应点是B， 连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，直径所对的圆周角等于90度，勾股定理，轴对称的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 三、解答题 11．如图，四边形内接于，为直径，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3，求的长．（结果保留） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由是的直径，得到，进而推出，即可得证结论； （2）连接．求出，根据圆周角定理得到，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ． ，， ． ， ， ， 是的切线； （2）解：连接． ， ， ， 的长为． 12．如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点． (1)若，求的度数； (2)若，的半径为2，求线段的长度． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查切线性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的边长关系，解题关键是根据切线添加辅助线，多利用圆内角的关系求解． （1）连接OA，利用切线的性质，以及圆中角之间的关系解答即可； （2）根据（1）中角的关系，以及，可先求出，再利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接OA， 是的切线，是的半径， ， ， ，， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．如图，是的直径，点在上，弦平分，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线． (2)当时，指出四边形的形状和特征，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，且含内角．理由见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，切线的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由圆周角定理得，再结合角平分线的定义得，整理得，即可作答． （2）先证明，得出，证明是等边三角形．是等边三角形．故．即可得四边形是菱形． 【详解】（1）证明：连接， 是直径， ． ． 平分 ． ． ． 是的切线． （2）解：四边形是菱形，且含内角． 理由：， ． ． 是等边三角形． ． ． 是等边三角形． ． ． 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，切线的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 14．如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形中，宽为，高为，点是，的交点，以点为圆心，为半径作，地面与矩形门洞对角线的夹角约为，阴影部分为门洞改造后扩大的部分． (1)求的半径； (2)求改造后圆弧形门洞的高度（即弧的中点到地面的距离）； (3)直接写出阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2)圆弧形门洞的拱高为 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，勾股定理求得矩形鄂的对角线长即可． （2）设弧的中点为，作于，利用垂径定理，三角形中位线定理，结合所求解答即可． （3）根据阴影部分的面积，依据面积计算公式解答即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ． ． 的半径为． （2）解：如图，设弧的中点为，作于， 由对称性可知，过圆心， 则， ， ． 圆弧形门洞的拱高为． （3）解：．理由如下： 的面积， ． ， ， ． ． 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，圆的性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 15．如图，在中，以为直径的交于点，连接． (1)如图1，若，，求证：为的切线； (2)如图2，若为的切线，，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． （1）由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理即可求出，结合时半径即可证明； （2）过点作于点，求出，由圆周角定理求出，易证为等边三角形，求出，利用即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． 是的直径， 为的切线； （2）解：如图，过点作于点． 为的切线， ， ， ． ， 为等边三角形， ， ． 16．已知：和分别是⊙上的两条劣弧，且⊙的半径为5，，，和都可以在⊙上运动，且和没有公共点，连接，，，且，交于点． (1)如图1，若经过圆心． ①求的长； ②求的度数； (2)如图2，在和运动的过程中，的度数是否发生变化？请说明理由； (3)如图3，连接，在和运动的过程中，四边形的面积也发生变化，记四边形的面积为，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①8；② (2)不变，见解析 (3) 【分析】（1）①根据勾股定理可得答案； ②根据“弧，弦，圆心角的关系”得，然后根据得出答案； （2）连接，并延长交于点F，连接，根据勾股定理求出， 可得，进而得，，然后根据可得答案； （3）作，根据垂径定理得，再根据勾股定理得，然后根据可得部分取值范围，接下来根据当点H，O，G三点共线时最大，结合面积公式得出答案． 【详解】（1）解：①根据题意可知， ∵是的直径，且， ∴， 根据勾股定理，得； ②∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：不变，理由如下： 如图所示，连接，并延长交于点F，连接， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点O作，交于点G，H， ∴． 根据勾股定理，得， ∴， ∴， 即． 当点H，O，G三点共线时最大， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了“弧，弦，圆心角的关系”，圆周角定理的推论，勾股定理，垂径定理，准确作出辅助线是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$