第2章 对称图形——圆（知识清单）数学苏科版九年级上册

第2章 对称图形——圆 1.点和圆的位置关系 点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，；（圆的半径为r,点到圆心的距离为d） 2.垂径定理及推论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 3.外心与内心 外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等. 锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半. 内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2.. 三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则. 直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则. 4.圆周角定理及推论 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 5.直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为d，圆的半径为r） 相交：直线与圆有两个公共点，； 相切：直线与圆有一个公共点，； 相离：直线与圆无公共点，. 6.切线性质定理和判定定理 切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定方法：（1）直线与交点个数；（2）直线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定理. 7.弧长公式与扇形面积公式 正变形的圆心角为度. 弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为. 如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为. 如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为. 易错点1 90度的圆周角所对的弦是直径 1.易错点总结:忽略前提条件：需明确该圆周角必须在同一个圆中，若在等圆或同心圆中，需保证弦对应的圆半径一致，否则结论不成立。混淆“所对”关系：误将“90度圆周角所对的弦”等同于“弦所对的圆周角为90度”，忽略一条弦可对两个圆周角（互补），仅直径所对圆周角必为90度。 2.注意事项: 应用定理时先确认图形是否满足“同圆或等圆”条件，避免跨圆错误。推理时紧扣“圆周角与弦的对应唯一性”，明确直径是90度圆周角的唯一对应弦。 例题1．在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 ．    【答案】2 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．首先证明点P在以为直径的上，连接与交于点P，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上，连接交于点D，此时最小， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴． 故答案为：2．    易错点2 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1.易错点总结:公式记忆混淆：误将面积S=½(a+b+c)r记为S=(a+b+c)r，忽略系数½，导致计算错误。直角边斜边混淆：用两条直角边之和代替周长，忽略斜边，尤其在仅知直角边时易漏算。 2.注意事项:牢记公式推导：由面积等于三个内三角形面积和，推导得r=2S/C（C为周长），避免死记硬背。明确边长构成：直角三角形周长含两条直角边和斜边，计算时需先确认斜边长度，再代入公式。 例题2．如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F． (1)求的半径． (2)若Q是的外心，连接，求的长度． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理求得，利用三角形面积公式，即可求解； （2）证明四边形为正方形，边长为1，再利用切线长定理结合勾股定理即可． 【详解】（1）解：如图，连接，设的半径为r． ∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F， ∴，，． 在中，，，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴的半径为1； （2）解：∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F， ∴，，．，，． ∴四边形为正方形， ∵， ∴四边形为正方形，   ∴， ∴． ∵Q是的外心， ∴， ∴． 在中，，即， 解得（负值舍去）． 易错点3 求某点的弧形运动路径长度 1.易错点总结:半径判断错误：误将运动点到旋转中心的距离算错，如混淆线段长度与半径，或忽略旋转过程中半径的变化。圆心角单位混淆：计算时未将角度单位统一，直接用角度代入弧度公式，或弧度与角度换算错误，导致弧长偏差。 2.注意事项:确定旋转中心和半径：明确运动点绕哪一点旋转，准确测量该点到中心的距离作为半径。统一圆心角单位：弧长公式中圆心角需用弧度，若已知角度，先按π/180换算，再代入公式l=θr计算。 例题3．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是 cm（结果用含的式子表示）．    【答案】 【分析】由于旋转到，故C的运动路径长是的圆弧长度，根据弧长公式求解即可． 【详解】以A为圆心作圆弧，如图所示．    在直角中，，则， 则． ∴． 由旋转性质可知，，又， ∴是等边三角形． ∴． 由旋转性质知，． 故弧的长度为：； 故答案为： 【点睛】本题考查了含角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C点的运动轨迹． 易错点4 求其他不规则图形的面积 1.易错点总结: 扇形与三角形混淆：计算弓形面积时，误将扇形面积直接当作弓形面积，忽略减去三角形面积；或混淆圆心角与圆周角对应的图形。重叠区域漏算/多算：多个圆相交时，求阴影面积易漏减重叠部分，或对“不规则”边界判断不清，重复计算公共区域。 2.注意事项: 分解为规则图形：将不规则图形拆分为扇形、三角形、圆等，明确各部分关系（和或差），标注圆心、半径和角度。验证边界与角度：确认图形是否由同圆或等圆构成，核对圆心角大小，必要时通过几何性质（如切线、直径）辅助计算。 例题4．如图，正五边形的边长为1，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）    【答案】 【分析】连接，，由，得，求出，根据公式求出，即可得到阴影面积． 【详解】如图，连接，， 由题意，得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：．    【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正多边形的性质，正确理解图形面积的计算方法连接辅助线是解题的关键． 一、单选题 1．如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，，当钟摆从摆动到时，若摆动角度，则端点A移动的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键． 根据弧长计算公式，计算即可． 【详解】解：端点A移动的路径长， 故选：C． 2．如图，P是外一点，射线交于A，B两点，与相切于点C，，若，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，如图，与交于点E，连接、，先由已知推出，，则，，，进而得是等边三角形，则，，进而得，扇形的面积扇形的面积，再根据阴影部分的面积梯形的面积扇形的面积扇形的面积求解即可． 【详解】解：如图，与交于点E，连接、， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴扇形的面积扇形的面积， 阴影部分的面积梯形的面积扇形的面积扇形的面积 梯形的面积 ， 故选：D． 3．如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，先证明A，B，C，D四点共圆，得到为直径，取的中点即圆心O，得到当弦时，取到最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，． ∴A，B，C，D四点共圆，为直径，取的中点即圆心O， 当弦时，取到最小值， ∵，直径． ∴半径， ∴． 在中，． ∴． 故选B． 4．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，最短，再进一步求解即可． 【详解】解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在上运动， 由题意知：当B、P、O三点共线时，最短，而， ， ∵， ， ∴的长度最小值为． 故选：B 二、填空题 5．如图，在中，，，，，．将沿着直线作顺时针方向的滚动．到的位置叫做“滚动了一周”，那么这个三角形在滚动了3周之后，点经过的路程长为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形的弧长，先求出到的位置叫做“滚动了一周”点经过的路程长，再乘以即可得解． 【详解】解：如图，滚动了一周”，点所经过的路程为，的长度和， 由旋转可知，， 滚动了一周，点所经过的路程为， 在滚动了周之后，点经过的路程长为 ， 故答案为： ． 6．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的旋转、不规则图形的面积计算、勾股定理等知识点，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键． 由勾股定理可得，根据旋转的性质得到，，进而得到，再结合扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ， 将绕点B逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ， 。 故答案为：． 7．如图，E为正方形内一点，，垂足为E，连接，F，G分别是的中点，若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据三角形中位线定理得到，又有、、三点共圆，圆心为的中点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，利用正方形性质和勾股定理得到，进而推出，即可求． 【详解】解：∵，分别是，的中点， 连接， ， ， 、、三点共圆，圆心为的中点， 当、、三点共线时，的值最小，即的值最小， 连接，交于点， ∵四边形为正方形，， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，勾股定理，圆周角定理，三角形中位线定理，解题的关键在于找到最小值情况． 8．如图，在等腰三角形中，，，D为平面内一点，连接，，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 7 【分析】根据题意，得，，得点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为2，连接，并延长交于点E，F，利用的等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为3， 如图所示，连接，并延长交于点E，F， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴当点D与点E重合时，有最小值1，当点D与点F重合时，有最大值7， 故答案为：1，7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 三、解答题 9．如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处． (1)_______°； (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？ 【答案】(1)120 (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为和 【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式． （1）根据计算即可求解； （2）利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得， ∵点A、B、在同一直线上， ∴， 故答案为：120； （2）解：由（1）知旋转角为， ∴旋转过程中点A所经过的路程为， 旋转过程中点C所经过的路程为． 10．如图，以的边上一点O为圆心的圆经过两点，且与边交于点E，，连接交于点F，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径是4，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．由，可得．由，可得．由，可得，所以．结合，，，可得．则，即是的切线． （2）连接，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，，进而根据阴影部分面积等于，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， 在中， ， ∴， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，扇形面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 11．如图，在中，是直径，是圆上一点，连接，过点作交于点，延长交于点是延长线上一点，连接，已知，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由直径所对的圆周角为直角得到，从而由求出，进而结合等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质得到相关角度，进而求得，结合切线的判定即可得证； （2）结合等腰三角形性质、等边三角形性质、勾股定理求出相关线段长度，数形结合得到阴影部分的面积，由三角形面积公式及扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：是直径， ， 在中，，则， ， ， ，则， ， 是等边三角形，则， ， ， ， ， 即， 是半径， 是的切线； （2）解：， ， 是等边三角形， ， 在中，则由勾股定理可得， ，， 如图所示，阴影部分的面积． 【点睛】本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、扇形面积公式等知识．熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键． 12．如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点C，并与两腰分别交于D、E两点，连接． (1)求证：四边形是菱形 (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，菱形的判定和性质，求阴影部分的面积： （1）连接，切线的性质结合三线合一，推出和都是等边三角形，进而推出，即可得证； （2）连接交于点F，根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵和底边相切于点C，    ∴ ∵，    ∴， ∵，   ∴和都是等边三角形， ∴，   ∴； ∴四边形是菱形． （2）连接交于点F， ∵四边形是菱形   ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积 ； ∴图中阴影部分的面积为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 对称图形——圆 1.点和圆的位置关系 点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，；（圆的半径为r,点到圆心的距离为d） 2.垂径定理及推论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 3.外心与内心 外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等. 锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半. 内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2.. 三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则. 直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则. 4.圆周角定理及推论 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 5.直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为d，圆的半径为r） 相交：直线与圆有两个公共点，； 相切：直线与圆有一个公共点，； 相离：直线与圆无公共点，. 6.切线性质定理和判定定理 切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定方法：（1）直线与交点个数；（2）直线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定理. 7.弧长公式与扇形面积公式 正变形的圆心角为度. 弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为. 如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为. 如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为. 易错点1 90度的圆周角所对的弦是直径 1.易错点总结:忽略前提条件：需明确该圆周角必须在同一个圆中，若在等圆或同心圆中，需保证弦对应的圆半径一致，否则结论不成立。混淆“所对”关系：误将“90度圆周角所对的弦”等同于“弦所对的圆周角为90度”，忽略一条弦可对两个圆周角（互补），仅直径所对圆周角必为90度。 2.注意事项: 应用定理时先确认图形是否满足“同圆或等圆”条件，避免跨圆错误。推理时紧扣“圆周角与弦的对应唯一性”，明确直径是90度圆周角的唯一对应弦。 例题1．在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 ．    易错点2 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1.易错点总结:公式记忆混淆：误将面积S=½(a+b+c)r记为S=(a+b+c)r，忽略系数½，导致计算错误。直角边斜边混淆：用两条直角边之和代替周长，忽略斜边，尤其在仅知直角边时易漏算。 2.注意事项:牢记公式推导：由面积等于三个内三角形面积和，推导得r=2S/C（C为周长），避免死记硬背。明确边长构成：直角三角形周长含两条直角边和斜边，计算时需先确认斜边长度，再代入公式。 例题2．如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F． (1)求的半径． (2)若Q是的外心，连接，求的长度． 易错点3 求某点的弧形运动路径长度 1.易错点总结:半径判断错误：误将运动点到旋转中心的距离算错，如混淆线段长度与半径，或忽略旋转过程中半径的变化。圆心角单位混淆：计算时未将角度单位统一，直接用角度代入弧度公式，或弧度与角度换算错误，导致弧长偏差。 2.注意事项:确定旋转中心和半径：明确运动点绕哪一点旋转，准确测量该点到中心的距离作为半径。统一圆心角单位：弧长公式中圆心角需用弧度，若已知角度，先按π/180换算，再代入公式l=θr计算。 例题3．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是 cm（结果用含的式子表示）．    易错点4 求其他不规则图形的面积 1.易错点总结: 扇形与三角形混淆：计算弓形面积时，误将扇形面积直接当作弓形面积，忽略减去三角形面积；或混淆圆心角与圆周角对应的图形。重叠区域漏算/多算：多个圆相交时，求阴影面积易漏减重叠部分，或对“不规则”边界判断不清，重复计算公共区域。 2.注意事项: 分解为规则图形：将不规则图形拆分为扇形、三角形、圆等，明确各部分关系（和或差），标注圆心、半径和角度。验证边界与角度：确认图形是否由同圆或等圆构成，核对圆心角大小，必要时通过几何性质（如切线、直径）辅助计算。 例题4．如图，正五边形的边长为1，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）    一、单选题 1．如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，，当钟摆从摆动到时，若摆动角度，则端点A移动的路径长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，P是外一点，射线交于A，B两点，与相切于点C，，若，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C．1 D． 3．如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 4．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 二、填空题 5．如图，在中，，，，，．将沿着直线作顺时针方向的滚动．到的位置叫做“滚动了一周”，那么这个三角形在滚动了3周之后，点经过的路程长为 （结果保留π）． 6．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ． 7．如图，E为正方形内一点，，垂足为E，连接，F，G分别是的中点，若，则的最小值是 ． 8．如图，在等腰三角形中，，，D为平面内一点，连接，，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 三、解答题 9．如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处． (1)_______°； (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？ 10．如图，以的边上一点O为圆心的圆经过两点，且与边交于点E，，连接交于点F，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径是4，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号）． 11．如图，在中，是直径，是圆上一点，连接，过点作交于点，延长交于点是延长线上一点，连接，已知，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 12．如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点C，并与两腰分别交于D、E两点，连接． (1)求证：四边形是菱形 (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$