专题02 对称图形-圆（考点归纳+知识梳理+真题训练）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

专题02 对称图形-圆 【考点1】圆的有关概念 【考点2】点与圆的位置关系 【考点3】垂径定理有关计算 【考点4】垂径定理的应用 【考点5】圆心角、弧、弦的关系 【考点6】确定圆的条件 【考点7】三角形的外接圆与外心 【考点8】利用圆周角定理求角度 【考点9】圆内接四边形的性质 【考点10】直线与圆的位置关系 【考点11】利用切线的性质求线段/角度 【考点12】切线的判定与性质 【考点13】切线长定理 【考点14】三角形的内切圆与内心 【考点15】正多边形和圆的综合应用 【考点16】弧长的有关运算 【考点17】圆锥的有关运算 知识点1 ：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2 ：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点3 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点4 垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 知识点5 ：确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 知识点6：三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 知识点7 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点8 圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点9 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 知识点10 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点11 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 知识点12切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点13 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 知识点14 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行， 知识点15 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点16 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 知识点17：扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点18：扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点1】圆的有关概念 1．（24-25九年级上·广东阳江·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是一个圆中最长的弦 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，为的弦，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江西·模拟预测）已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东云浮·期末）如果点P在圆O内，，那么圆O的直径可能为（   ） A．5 B．7 C．10 D．13 5．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，是的弦，连接．若，则 度． 【考点2】点与圆的位置关系 1．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知的半径是一元二次方程的一个根，点到圆心的距离，则点与的位置关系是（   ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 2．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西延安·期末）点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【考点3】垂径定理有关计算 1．（2025·安徽·三模）如图，是的直径，弦于点，如果，半径为3，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 4．（2025·浙江绍兴·一模）如图，是的直径，弦于点E，若，连结，则的长为 ． 5.（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【考点4】垂径定理的应用 1．（2025·陕西汉中·二模）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积，如图，排污管道的横截面是直径为的，测得淤泥（阴影部分）横截面的最大宽度为，则淤泥的最大深度为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广西玉林·三模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（    ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 3．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．    (1)作于点，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【考点5】圆心角、弧、弦的关系 1．（2024·广东茂名·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（   ） A．3 B．6 C．6 D．6 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若． (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)在（2）的基础上求的值． 【考点6】确定圆的条件 1．（2025·陕西西安·二模）如图，有一圆弧形拱桥，请用尺规作图确定圆弧所在圆的半径．    2．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)圆心的坐标为______； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由． 3．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，．求（1）中所作圆的半径． 【考点7】三角形的外接圆与外心 1．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）直角三角形两条直角边分别为6和8，则直角三角形外接圆的半径为（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 2．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）（1）尺规作图，作出的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）； （2）若，则外接圆的面积为 ．（结果保留） 【考点8】利用圆周角定理求角度 1．（2025·吉林延边·模拟预测）如图，是的直径，、是上两点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在中，点是的中点，点在上，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点，若，求的长． 【考点9】圆内接四边形的性质 1．（2025·江苏徐州·三模）如图，四边形内接与，E是延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（重庆育才中学教育集团初2025年九年级第三次自主作业数学试卷）如图，点A，B，C均在圆O上，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏盐城·二模）如图，四边形内接于，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在中，，E为上的任意一点，A、B、C、D是上的四个点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东河源·模拟预测）如图，，，为的弦，连接，，，若，则下面结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点10】直线与圆的位置关系 1．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）同一平面内，已知的半径，点到直线的距离，则与直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，以为圆心，1为半径的圆与坐标轴的位置关系(    ) A．与x轴相切 B．与x轴相离 C．与y轴相切 D．与y轴相交 4．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（   ） A．点B在内 B．直线与相离 C．点C在上 D．直线与相切 【考点11】利用切线的性质求线段/角度 1．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，以为直径的半圆交于点，已知与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃张掖·模拟预测）如图所示，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为(　　　) A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，分别与相切于三点．且，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【考点12】切线的判定与性质 1．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，，C为边的中点，经过点C，与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，O在上．以O为圆心，为半径的圆与相切于点F，交于点D，交于点G，过D作，垂足为E． (1)与有什么位置关系，请写出你的结论并证明； (2)若的半径长为6，，求的长． 3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 4．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，是的直径，是的切线，，在圆上取一点C，使得，延长、，交点为D． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【考点13】切线长定理 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，的半径为1，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（   ） A． B． C．6 D．3 2．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏宿迁·三模）如图，为的内切圆，，，，点，分别为，上的点，且为的切线，则的周长为 ． 4．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在四边形中，，，分别与扇形切于点，．若，，则的长为 ． 【考点14】三角形的内切圆与内心 1．（2025年安徽省阜阳市部分中考模拟考试九年级数学试卷（6月））如图，为的弦，，交于点C，点D为上一点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，直角三角形的内切圆分别与相切于点，根据图中标示的长度，则的长度为 ． 【考点15】正多边形和圆的综合应用 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在正多边形中，若，则该多边形的边数为 ． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为 ． 3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为 ． 4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）边心距为2的正六边形面积是 ． 5．（2025·湖北襄阳·三模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是其中一个正六边形，将其放在平面直角坐标系中，点，，均为正六边形的顶点且在坐标轴上．若正六边形的边长是2，则点的坐标为 ． 【考点16】弧长的有关运算 1．（2025·安徽合肥·二模）若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（2025·贵州安顺·三模）2017年6月，安顺市获得了“国家卫生城市”这一称号．如图1，这是一块“创建国家卫生城市”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示．若，AB的长为45cm，AD的长为15cm，则扇面（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在菱形中，点为边的中点，以点为圆心、长为半径画圆弧交边于点．若，，则劣弧的长为 ． 4．（2025·四川南充·三模）如图，正五边形和正六边形有公共边．以点为圆心，为半径画圆．则扇形的面积为 ． 5．（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度． 【考点17】圆锥的有关运算 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·三模）一个圆锥的侧面积是，它的底面半径是3，则它的母线长等于 ． 3．（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ． 4．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积等于 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 对称图形-圆 【考点1】圆的有关概念 【考点2】点与圆的位置关系 【考点3】垂径定理有关计算 【考点4】垂径定理的应用 【考点5】圆心角、弧、弦的关系 【考点6】确定圆的条件 【考点7】三角形的外接圆与外心 【考点8】利用圆周角定理求角度 【考点9】圆内接四边形的性质 【考点10】直线与圆的位置关系 【考点11】利用切线的性质求线段/角度 【考点12】切线的判定与性质 【考点13】切线长定理 【考点14】三角形的内切圆与内心 【考点15】正多边形和圆的综合应用 【考点16】弧长的有关运算 【考点17】圆锥的有关运算 知识点1 ：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2 ：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点3 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点4 垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 知识点5 ：确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 知识点6：三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 知识点7 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点8 圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点9 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 知识点10 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点11 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 知识点12切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点13 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 知识点14 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行， 知识点15 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点16 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 知识点17：扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点18：扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点1】圆的有关概念 1．（24-25九年级上·广东阳江·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是一个圆中最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查了等弧、等弦的概念，优弧、劣弧大小的比较，弦与直径的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等弧的定义，弦的定义即可解答． 【详解】解：A、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，故A选项错误； B、两弧若不在同圆或等圆中，则结论不一定成立，故B选项错误； C、在等圆中，存在长度相等的弦，例如等圆中的直径都相等，故C选项错误； D、直径是一个圆中最长的弦，正确，故D选项正确； 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，为的弦，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题重点考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质，并且利用三角形的内角和定理求解角的度数，难度不大．根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， 故选：A． 3．（2025·江西·模拟预测）已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆中弦长的定义，解题的关键是理解弦的定义．根据弦的定义：圆上任意两点之间的距离为弦长，最大的弦为直径，即可求解． 【详解】解： 的半径为， 的直径为， 是的弦， ， 弦的长不可能为， 故选：A． 4．（24-25九年级上·广东云浮·期末）如果点P在圆O内，，那么圆O的直径可能为（   ） A．5 B．7 C．10 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点在圆内即可判断求解，掌握点和圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵点在内，且， ∴的半径大于，直径大于， ∴的直径可能为， 故选：D． 5．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，是的弦，连接．若，则 度． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆的基本性质和等边三角形性质，由已知可知是等边三角形，由此可知． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为． 【考点2】点与圆的位置关系 1．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知的半径是一元二次方程的一个根，点到圆心的距离，则点与的位置关系是（   ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，点和圆的位置关系（判断点与圆的位置关系）等知识点，熟练掌握根据点到圆心的距离与圆的半径判断点和圆的位置关系是解题的关键：点在圆外；点在圆上；点在圆内． 先求出方程的根，确定圆的半径，再根据点到圆心的距离与圆的半径判断点和圆的位置关系即可． 【详解】解：， 解得：或（不符合题意，故舍去）， 的半径， 点到圆心的距离， 点在内， 故选：． 2．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案． 【详解】解：圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是， 圆的直径是， 圆的半径是． 故选：B． 3．（24-25九年级上·陕西延安·期末）点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立．据此解答即可． 【详解】解：∵点到圆心的距离为7，点P在圆O内， ∴，即． 故选：C． 【考点3】垂径定理有关计算 1．（2025·安徽·三模）如图，是的直径，弦于点，如果，半径为3，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题应用垂径定理，连接，由得，在中，设半径为R，应用勾股定理得：，继而求得的长． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴, 根据勾股定理： 解得， 故选：B． 2．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故选：C． 3．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 4．（2025·浙江绍兴·一模）如图，是的直径，弦于点E，若，连结，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．先利用垂径定理得出的长，设的半径为r，则，在中，利用勾股定理求出r的值，据此得出结论． 【详解】解： 是的直径，弦于点E，， ， 设的半径为r，则， 在中，，即， 解得， 故答案为：5 5.（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 【考点4】垂径定理的应用 1．（2025·陕西汉中·二模）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积，如图，排污管道的横截面是直径为的，测得淤泥（阴影部分）横截面的最大宽度为，则淤泥的最大深度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 连接，可得，，，在中，通过勾股定理求得，然后即可求解； 【详解】 解：连接，如图：， 由题可得：，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A； 2．（2025·广西玉林·三模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（    ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】解：设寸， ，AB是直径， 寸， ， ， ， 寸． 故选：D． 3．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．    (1)作于点，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1)的长为 (2)水面截线减少了 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理． （1）连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案； （2）过作，连接，由题意得，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出与相减即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中，， 的长为；    （2）如图，过作，连接， 由题意得：， 在Rt中，， ， ， 水面截线减少了．    【考点5】圆心角、弧、弦的关系 1．（2024·广东茂名·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴． 故选：C 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（   ） A．3 B．6 C．6 D．6 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质． 连接，，，，由，得到，从而是等边三角形，进而即可解答． 【详解】解：连接，，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴直径． 故选：B 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若． (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)在（2）的基础上求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，由垂径定理得到，再利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理得到，进而得到即可求解； （2）由（1）易得，利用含角直角三角形的性质得到的长度，进而求解； （3）由（2）可得到的长度，，利用含角直角三角形的性质得到，再结合，利用勾股定理求出，的长度，进而求出的值． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ，． 又， ， 即， ， ， ． （2）解：， ． ， ． 又， ， ， ． （3）解：由（2）得 ，, . ，， ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，含角直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【考点6】确定圆的条件 1．（2025·陕西西安·二模）如图，有一圆弧形拱桥，请用尺规作图确定圆弧所在圆的半径．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，垂直平分线的性质，圆心的确定方法，掌握圆心的确定方法是解题的关键． 根据圆心到圆上的各点的距离相等，垂直平分线的性质，尺规作垂线即可求解． 【详解】解：如图所示，    连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，得到两个交点，连接两交点得到线段的垂直平分线，交圆弧于点，交于点， 同理，连接，作线段的垂直平分线交于点，连接， ∴即为所求． 2．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)圆心的坐标为______； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点在内，理由见解析 【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识． （1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标； （2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解； （3）利用勾股定理求出，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系． 【详解】（1）解：圆心D如图所示； 圆心D坐标为， 故答案为：． （2）解：由勾股定理得，的半径为． （3）解：点在内．理由如下： ， 而， 点在内． 3．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，．求（1）中所作圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)此残片所在圆的半径为10． 【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键． （1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心； （2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径． 【详解】（1）解：如图，点O为所求的圆心． （2）解：连接，    设半径为x，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为10． 【考点7】三角形的外接圆与外心 1．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）直角三角形两条直角边分别为6和8，则直角三角形外接圆的半径为（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理，先由勾股定理求出斜边长，即可得出答案． 【详解】解：∵直角三角形两条直角边分别为6和8， ∴斜边为， ∴直角三角形外接圆的半径为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【详解】解：连接，，，由图可知， ， ∴， ∴点在，，三边的垂直平分线上， ∴点是外心， 故选：C． 3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）（1）尺规作图，作出的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）； （2）若，则外接圆的面积为 ．（结果保留） 【答案】（1）图见解析（2） 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作圆，三角形的外接圆，圆周角定理： （1）根据三角形的外接圆的圆心为三边中垂线的交点，作的中垂线，交点即为圆心，再以为半径画圆即可； （2）连接，圆周角定理得到，进而得到为等边三角形，得到，再利用圆的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求； （2）连接，则：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的面积为：． 故答案为： 【考点8】利用圆周角定理求角度 1．（2025·吉林延边·模拟预测）如图，是的直径，、是上两点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，连接，求解，，进一步可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故选：A 2．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，先根据圆周角定理可得，再根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵， ， ， ， 故选：C． 3．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在中，点是的中点，点在上，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，先证明，再结合点是的中点，进一步可得答案. 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 故选：B 4．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了直径对的圆周角是直角，弧、弦、圆周角间的关系，勾股定理等知识；连接，由直径对的圆周角是直角，得；由角平分线的定义及弧、弦、圆周角间的关系，得，从而在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， 的平分线交于点， ， ， ， 在中，，， ， ． 【考点9】圆内接四边形的性质 1．（2025·江苏徐州·三模）如图，四边形内接与，E是延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，先根据圆周角定理求得，再根据圆内接四边形的性质即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接与， ∴，又， ∴， 故选：A． 2．（重庆育才中学教育集团初2025年九年级第三次自主作业数学试卷）如图，点A，B，C均在圆O上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，则可由圆内接四边形对角互补求出的度数． 【详解】解；如图所示，在优弧上取一点D，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2025·江苏盐城·二模）如图，四边形内接于，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质，求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ∴． 故选：C． 4．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在中，，E为上的任意一点，A、B、C、D是上的四个点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形，掌握圆内角四边形对角互补是解题的关键； 根据平行线的性质求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2025·广东河源·模拟预测）如图，，，为的弦，连接，，，若，则下面结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由角的和差可判定A选项；如图：在圆上取一点D，连接，则，由圆的内接四边形的性质可得，进而求得即可判断B选项；由同弧所对的圆周角相等可得，再结合可判断C选项；由等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得，再结合即可判断D选项． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即A选项正确，不符合题意； 如图：在圆上取一点D，连接，则， ∴， ∴，即B选项正确，不符合题意； ∵ ∴， ∵，即， ∴，即C选项正确，不符合题； ∵，， ∴ ∴， ∴，即D选项错误，符合题意． 故选：B 【考点10】直线与圆的位置关系 1．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】D 【分析】本题考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题的关键．比较圆心O到直线上的距离与的半径大小关系，即可得出结论． 【详解】解：直线上有一点到圆心O的距离为， 圆心O到直线上的距离， 的半径， ， 当时，直线与相切； 当时，直线与相交； 直线与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）同一平面内，已知的半径，点到直线的距离，则与直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，直线与圆相离即可求解，掌握直线和圆的位置与和之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为， ∴， ∴与的位置关系是相离， 故选：A． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，以为圆心，1为半径的圆与坐标轴的位置关系(    ) A．与x轴相切 B．与x轴相离 C．与y轴相切 D．与y轴相交 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握点到直线的距离与半径的大小关系是判断直线与圆位置关系的关键．根据，可判断直线与圆的位置关系． 【详解】解：点到轴的距离为， ， 点为圆心，为半径的圆与轴相切， 故选：A． 4．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（   ） A．点B在内 B．直线与相离 C．点C在上 D．直线与相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，过A点作于H，如图，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离． 【详解】解：过A点作于H，如图， ， ， 在中， ， ， ∴B点在外，所以A选项不符合题意； ， ∴C点在外，所以C选项不符合题意； ， ∴直线与相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意． 故选：D． 【考点11】利用切线的性质求线段/角度 1．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，以为直径的半圆交于点，已知与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由圆周角定理可得出，再由圆的切线定理可得出，最后由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2025·甘肃张掖·模拟预测）如图所示，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为(　　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质是解题的关键，先利用切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】连接、， ∵、分别与相切于、两点， ，， ， ， ， ． 故选：B． 3．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，分别与相切于三点．且，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线性质定理、角平分线的判定定理、平行线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线性质定理是解题关键．连接，先根据圆的切线性质定理可得，且，再根据角平分线的判定定理可得平分，平分，然后证出，利用勾股定理可得的长，最后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵分别与相切于三点， ∴，且， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 【考点12】切线的判定与性质 1．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，，C为边的中点，经过点C，与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）在中，，，得到，由C为边的中点，求得，根据切线的性质得到结论； （2）连接OD，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定和性质得到结论． 【详解】（1）证明：在中，，， ， 为边的中点， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：连接， 与相切于点D，与相切， ， 在与中， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，O在上．以O为圆心，为半径的圆与相切于点F，交于点D，交于点G，过D作，垂足为E． (1)与有什么位置关系，请写出你的结论并证明； (2)若的半径长为6，，求的长． 【答案】(1)与相切，证明见解析 (2)2 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，再证出，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，先根据圆的切线的性质可得，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，再证出四边形是正方形，从而可得，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：与相切，证明如下： 如图，连接， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵为的半径， ∴与相切． （2）解：如图，连接， ∵的半径长为6， ∴， ∵与相切， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由知，由可证，根据得，即可得证； （2）设，在中由勾股定理求得，即，再根据三角形的面积公式得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点在上， ∴， ∴是的切线； （2）解：设， ∵是的切线， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得：， 即， ∴， ∵的面积为． 【点睛】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定：连接半径，证明半径与直线垂直． 4．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，是的直径，是的切线，，在圆上取一点C，使得，延长、，交点为D． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2． 【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明与相切； （2）先求得，得到，求得，再利用含30度角的直角三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴与相切； （2）解：延长到点，使，连接，，设的半径为， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴的半径为2． 【考点13】切线长定理 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，的半径为1，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】B 【分析】由切线的性质可得出，由切线长定理可得出，从而可判断为等边三角形，又易证，即可求出，从而可求出，进而可求出，最后由三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵，是的两条切线，切点分别为A，B， ∴，． ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键． 2．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查切线长定理、三角形的周角等知识，推导出是解题的关键．由切线长定理得，，，而的周长是，可推导出，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵射线，切于点A，B， ∴， ∵直线切于点C，交于点D，交于点E， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2025·江苏宿迁·三模）如图，为的内切圆，，，，点，分别为，上的点，且为的切线，则的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是切线长定理，根据切线长定理，得，结合线段的和差关系得，再结合的周长转化为，由此得解．切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． 【详解】解：依题意，设、、、与的切点分别为W、、、，连接，如图所示： ∵为的内切圆，为的切线， ∴， ∵， ∴，， 则， ∵，， ∴， 则的周长， 故答案为：15． 4．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在四边形中，，，分别与扇形切于点，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点，则，，分别与扇形切于点，，，，得，，，，求得，再证明四边形是矩形，则，，由勾股定得理，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点，则， ∵，分别与扇形切于点，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， 解得：， 故答案为：． 【考点14】三角形的内切圆与内心 1．（2025年安徽省阜阳市部分中考模拟考试九年级数学试卷（6月））如图，为的弦，，交于点C，点D为上一点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，弧长公式，由圆周角定理得，由垂径定理得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，直角三角形的内切圆分别与相切于点，根据图中标示的长度，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，勾股定理，设，由切线长定理得，，，即得，，进而由勾股定理可得，解方程即可求解，掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∵直角三角形的内切圆分别与相切于点， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长度为， 故答案为：． 【考点15】正多边形和圆的综合应用 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在正多边形中，若，则该多边形的边数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键． 根据正多边形的性质，中心角的计算方法以及圆周角定理列方程求解即可 【详解】解：如图， 设这个正边形的外接圆为，连接，，则， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 这个正多边形是正十边形， 故答案为：10． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正方形的性质、正多边形和圆、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，正确地画出图形并且添加相应的辅助线是解题的关键． 根据正方形的周长为12，易得，如图∶作正方形的外接圆，圆心为点O，连接，作于点E，则，所以即可解答． 【详解】解：如图，正方形的周长为12， ∴，且， ∴， 如图∶作正方形的外接圆，圆心为点O，连接，作于点E， ∵，， ∴ ∴正方形ABCD的边心距为． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作，垂足为点，根据正六边形的性质得，再结合，证明出是正三角形，又，所以，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是正三角形， ， ， 在中，，， ，即内切圆半径为， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）边心距为2的正六边形面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据题意，求出正六边形的边长，根据正六边形的面积为6个全等的等边三角形的面积之和，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，作，由题意可知：，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形面积为：； 故答案为：． 5．（2025·湖北襄阳·三模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是其中一个正六边形，将其放在平面直角坐标系中，点，，均为正六边形的顶点且在坐标轴上．若正六边形的边长是2，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，点的坐标．作轴于点，求得，，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，，据此求解即可． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵正六边形， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【考点16】弧长的有关运算 1．（2025·安徽合肥·二模）若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为，分别是圆心角，半径，据此列式代数进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设扇形的半径为， ∵扇形的弧长为，， 则 ∴ 解得， 故选：B 2．（2025·贵州安顺·三模）2017年6月，安顺市获得了“国家卫生城市”这一称号．如图1，这是一块“创建国家卫生城市”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示．若，AB的长为45cm，AD的长为15cm，则扇面（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式．根据扇形的面积公式，利用减去即可得扇面的面积． 【详解】解：，， ，， ． 故选：C． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在菱形中，点为边的中点，以点为圆心、长为半径画圆弧交边于点．若，，则劣弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，弧长公式，先根据菱形得到，是等边三角形，即可得到，过点作于点，，进而得到点和点重合，进而求出，利用弧长公式计算解题． 【详解】解：连接， ∵是菱形， ∴，，， ∴，都是等边三角形， 又∵点为边的中点， ∴， 过点作于点， 则， ∴点和点重合， ∴， 即， ∴劣弧的长为 故答案为：． 4．（2025·四川南充·三模）如图，正五边形和正六边形有公共边．以点为圆心，为半径画圆．则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，根据正多边形内角和公式求出的度数，利用扇形面积公式计算即可，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】解：由正五边形和正六边形可得：，， ∴， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 5．（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度． 【答案】120 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角；根据扇形弧长计算公式即可求解． 【详解】解：设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n度， 由勾股定理得圆锥底面圆的半径为：， 由题意得：， 解得：； 故答案为：120． 【考点17】圆锥的有关运算 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． 2．（2025·江苏宿迁·三模）一个圆锥的侧面积是，它的底面半径是3，则它的母线长等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆锥的相关知识，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键； 根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长建立方程求解即可． 【详解】解：设母线长为R，底面半径是3， ∴， 解得． 故答案为4． 3．（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为，由勾股定理得，由弧长公式得，即可求解；理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键．根据底面半径和高利用勾股定理得，然后根据圆锥的侧面积计算公式可直接进行求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴圆锥的侧面积为 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$