第2章 对称图形-圆单元测试卷-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第2章 对称性-圆单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．若半径为的圆，其圆心到直线的距离是，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 3．如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（　　）       A．1 B．2 C．4 D．8 4．的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．点在上或外 5．一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图所示，四边形内接于，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个圆内接正十二边形，这个多边形的内角和度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 9．徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 10．如图，已知，等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转至，扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 11．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C． D． 12．如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为 ． 14．如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为 ． 15．如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为5cm，则这个扇形的半径是 cm． 16．如图，矩形的边为上的点，是矩形内部一动点，且满足为边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共7个小题，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． (1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； (2)判断与轴的位置关系： ． 18．如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． 19．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3.14，结果保留整数） 20．如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 21．如图，内接于，，为的直径，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若的半径，，求的长． 22．综合与实践 园林美化工程项目改造 背景 圆形在我国传统文化中象征和谐与圆满，被广泛应用于各种建筑中，管理部门计划将某公园园林内的矩形门洞改造成圆弧形门洞，如图1． 素材 绘制设计 根据矩形门洞改造的实物图画出矩形，如图2，作矩形的对角线相交于点，以点为圆心，为半径作圆； 操作测量 经测量，矩形门洞的宽为，高为； 改造估算 经测量，地面与矩形门洞对角线的夹角约为． 任务 （1）求证：四个点在以点为圆心的同一个圆上； （2）求圆弧形门洞的拱高（的中点到弦的距离）； （3）求改造后门洞扩大的面积（结果保留）． 23．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线的长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中弧的长度； (2)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (3)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 对称性-圆单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，根据“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D 2．若半径为的圆，其圆心到直线的距离是，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，先确定圆的半径为，而圆心到直线的距离为，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点． 【详解】解：∵圆的半径为，圆心到直线的距离为， ∴圆心到直线的距离圆的半径， ∴直线与圆相交， 故选：B． 3．如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（　　）       A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，根据垂径定理得出即可得到答案 【详解】解：∵是的直径，弦于点E， ∴， 故选B 4．的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．点在上或外 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 运用勾股定理得到，根据点与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：点的坐标为， ∴， ∵的半径为，圆心的坐标为， ∴点与的位置关系是点在上， 故选：B ． 5．一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．根据题意可知，直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，解可得方程的两个根为6与8；故直角三角形外接圆的直径即斜边边长为10；故半径等于5． 【详解】解：， 解得：，， ∴斜边边长为， 即直角三角形外接圆的直径是10， ∴半径等于5． 故选：C 6．如图所示，四边形内接于，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴； 故选B． 7．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个圆内接正十二边形，这个多边形的内角和度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形的内角和，根据多边形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：这个多边形的内角和度数为， 故选：D 8．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴O到、的距离相等， 所以A、C、D选项正确， 不能证明是等边三角形，不一定成立， 故选：B． 9．徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，根据列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 10．如图，已知，等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转至，扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键．根据勾股定理定理求出，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴所扫过的面积为． 故选：D． 11．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的计算问题，解题的关键是正确的构造直角三角形，然后求出长，然后求出面积即可． 【详解】解：设正六边形的中心是O，一边是，则，，过O作于，    如图，在中，，， ∴，， ∴． 这个正六边形的面积． 故选：C． 12．如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等．作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，此时的值最小，根据题意可得，，求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，如图： 则，，即此时的值最小， ∵，点是的中点， ∴， ∵点关于的对称点是点， ∴， ∴， ∵， 在中，， 即的值最小为． 故选：A． 2、 填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由是的切线，则有，根据等边对等角得，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 由切线长定理可得，，，进而可求得的周长． 【详解】解：如图，设与切于点， ，，分别切⊙于点，，， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 15．如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为5cm，则这个扇形的半径是 cm． 【答案】12 【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可．掌握圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，是解题的关键． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意，得：， 解得：， 故答案为：12． 16．如图，矩形的边为上的点，是矩形内部一动点，且满足为边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路线为以为直径的圆，作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路线为以为直径的圆， 作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，取点的中点，连接， 则， ∴， ∴的最小值为； ∵四边形是矩形，点是的中点，是的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． (1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； (2)判断与轴的位置关系： ． 【答案】(1)见解析， (2)相交 【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法； （1）作、的垂直平分线交于点，则为圆心，的长为半径的圆即为所求； （2）确定圆的半径及圆心到轴的距离即可判断； 【详解】（1）解：连接、，分别作、的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径的圆即为所求，如图所示： 点坐标为： 故答案为：； （2）∵， 即：的半径， 点到轴的距离， ∵， ∴与轴相交， 故答案为：相交． 18．如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于为半径在两侧作圆弧，连接圆弧的交点，与的交点为O，以O为圆心，为半径画圆即可； （2）连接，得，根据三角形外角与内角的关系求出，结合已知可得，运用角所对的直角边等于斜边的一半求出，最后由代入求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）由（1）可知，连接 又 故的半径为：2 【点睛】本题考查了尺规作图，圆的基本性质，与三角形有关的角的计算以及“角所对的直角边等于斜边的一半”；利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键． 19．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3.14，结果保留整数） 【答案】(1)喷泉的半径为5米 (2)大约需要安装25盏景观灯 【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键： （1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可； （2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴平分弦，， ∴， ∴， ∴， ∴米； 答：喷泉的半径为5米； （2）解：由题意，得：米， （盏）； 答：大约需要安装25盏景观灯． 20．如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角，三角形内角和定理等知识，属于基础题． （1）连接，则，由等腰三角形的性质即可证得结论成立； （2）由等腰三角形的性质及，可求得等腰三角形的两个底角的度数，再直径对的圆周角是直角，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 21．如图，内接于，，为的直径，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若的半径，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】连接，连接并延长交于点，连接，可证四边形是矩形，根据矩形的性质可知，从而可证结论成立； 由可知四边形是矩形，可知，，设，根据勾股定理可得：，，所以可得：，解方程即可求出的长度． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接，连接并延长交于点，连接， ，， 是线段的垂直平分线， ， 为的直径， ， ， ， 四边形是矩形， ， 是的切线； （2）解：由可知四边形是矩形， ，， 设， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、矩形的判定与性质、切线的判定，解决本题的关键是作辅助线构造矩形，利用矩形的性质找线段之间的关系． 22．综合与实践 园林美化工程项目改造 背景 圆形在我国传统文化中象征和谐与圆满，被广泛应用于各种建筑中，管理部门计划将某公园园林内的矩形门洞改造成圆弧形门洞，如图1． 素材 绘制设计 根据矩形门洞改造的实物图画出矩形，如图2，作矩形的对角线相交于点，以点为圆心，为半径作圆； 操作测量 经测量，矩形门洞的宽为，高为； 改造估算 经测量，地面与矩形门洞对角线的夹角约为． 任务 （1）求证：四个点在以点为圆心的同一个圆上； （2）求圆弧形门洞的拱高（的中点到弦的距离）； （3）求改造后门洞扩大的面积（结果保留）． 【答案】（1）证明见解析  （2）   （3） 【分析】（1）根据矩形的性质可得，结合圆的半径的知识即可求解； （2）经过圆心作弦的垂线，为垂足，交于点，根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高，在中，由勾股定理得，，根据为中点，是的中点，得到，，由即可求解； （3）根据可得，则优弧的圆心角为，圆的半径，，由门洞扩大的面积为：优弧的扇形面积，代入计算即可． 【详解】（1）证明：如图所示， 四边形是矩形， ，，， ， 四个点在以点为圆心的同一个圆上． （2）解：如图2， 经过圆心作弦的垂线，为垂足，交于点， 根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高， ， ， 在中，由勾股定理得，， 为中点，是的中点， ， ， ， 答：圆弧形门洞的拱高为． （3）解：如图所示， 在中，，， ， ， ∴优弧的圆心角为，圆的半径，， ∴门洞扩大的面积为：优弧的扇形面积， 改造后的门洞扩大面积 ， 答：改造后扩大的门洞面积为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算，掌握矩形的性质，圆的基础知识，扇形面积的计算是解题的关键． 23．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线的长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中弧的长度； (2)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (3)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查圆锥的几何性质． （1）求出底面周长即为这个圆锥的侧面展开图中弧的长度 （2）侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （3）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为AC的距离． 【详解】（1）解：弧的长度=底面圆的周长； （2）解：设的度数为n． ， 解得， 所以，的度数为； （3）解：连接，过B作于D， ∴，， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即这根绳子的最短长度是 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$