第十一讲：线段、射线、直线（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版七年级数学上册 第十一讲：线段、射线、直线 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：线段、射线、直线 线段、射线、直线的概念 线段: 绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段;线段有两个端点。 射线: 将线段向一 个 方向无限延长 就形成了射线;射线有一个端点。 直线: 将线段向两个方向无限延长就形成了直线;直线没有端点。 知识点02：直线的基本事实 1.画直线画直线的常用工具是直尺，经过一点可以画出无数条直线 2.经过两点有且只有一条直线 3.当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. 4.两点之间的所有连线中，线段最短。 5.我们把两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离。 知识点03：比较两条线段的长短 (1) 观察法： 当两条线段的长短相差很大时， 一般直接观察比较两条线段的长短 . (2) 度量法(数的比较)： 利用刻度尺分别量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 . (3)叠合法(图形的比较) 也称为重合法，具体内容如下表： 知识点04：线段的中点 1. 线段的中点的定义:把一条线段分成两条相等线段的点，叫作线段的中点 . AM=BM= AB 2. 等分线段:把 一 条 线 段 分 成 三 条 相 等 的 线 段的点叫 作线段的三等分点 . AM=MN=NB= AB 考点1：线段、射线、直线的数量问题 【典型例题】 图中以为端点的线段有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的数量，根据线段的定义解答即可． 【详解】解：除C点外，还有3个点可以作为端点． 故以C为端点的线段共有3条． 故选：C． 【变式训练1】 如图，以点O为端点的射线有（    ）条． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了射线的识别，解题关键是理解射线的定义：直线上一点和它一旁的部分，准确进行判断． 【详解】解：图中以点O为端点的射线有，共4条， 故选：C． 【变式训练2】 如图，在直线上有三个点，图中线段条数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段，根据线段的定义即可求解，掌握线段的定义是解题的关键． 【详解】解：图中线段有：线段、线段、线段，共三条， 故选：． 考点2：直线的交点问题 【典型例题】 在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（    ） A．0或1或2或3 B．0或2或3 C．0或2 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线相交的问题，熟练掌握相交是解题的关键．根据领直线平行和相交的定义作出图形即可得到答案． 【详解】解：若三条直线均平行，故交点个数为； 若三条直线交于一点，此时交点个数为； 若两条直线平行，第三条直线与这两条直线相交，此时交点个数为； 若三条直线两两相交，此时交点个数为． 故选A． 【变式训练1】 平面内五条直线两两相交，最多有x个交点，最少有y个交点，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查直线的交点问题，掌握直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，最少有1个交点，是解题的关键．由题意可得5条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出x，y的值，从而得出答案． 【详解】解：在同一平面内，条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点， 则， ∴， 故选：C． 【变式训练2】 同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线的交点，数字变化规律问题，先根据交点个数随着直线条数的变化得出规律，进而得出答案． 【详解】根据题意可知在同一平面内， 2条直线相交最多有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 10条直线相交最多有个交点． 故选：C． 考点3：线段的和与差 【典型例题】 如图，线段，为线段的中点，下列式子不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差运算，线段中点的含义；由为线段的中点，得，再由，即可得，从而判定A；由图形易判定C； 由，结合可判定D；现有条件无法判断B正确． 【详解】解：因为为线段的中点， 所以， 因为， 所以， 即，故A正确； 由图可知，，故C正确； 因为，， 所以，故D正确； 现有条件无法判断，故B不正确． 故选：B． 【变式训练1】 如图，点C在线段上，点M是的中点，，在线段上取一点N，使得，则线段的长是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，与线段中点有关的计算，正确理解题意理清线段之间的关系是解题的关键．先根据线段的和差关系求出，由线段中点的定义即可求出求出，再根据线段之间的关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点M是的中点， ∴； ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练2】 如图，点C，O在线段上，，O是的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据题意可求出，，据此根据线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 考点4：线段之间的数量关系 【典型例题】 如图下列说法中不能判定C是线段中点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的中点，掌握知识点是解题的关键． 根据线段的中点，结合图形逐一分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴C是线段中点． 故A正确，不符合题意； B．∵， ∴C是线段中点． 故B正确，不符合题意； C．由，无法判定C是线段中点， 故C错误，符合题意； D．∵， ∴C是线段中点． 故D正确，不符合题意； 故选C． 【变式训练1】 如图，用圆规比较两条线段的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查比较线段的长短．根据题意即可得出答案． 【详解】解：如图即可得出． 故选：C． 【变式训练2】 已知点为线段的中点，为的中点，某小组探究得出下列结论，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段的和差倍分关系，涉及中点定义，由中点定义得到、，再根据各个选项中线段的和差倍分关系逐个验证即可得到答案，数形结合，找准线段之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示： 点为线段的中点， ， ， ， 故该选项正确，不符合题意； B、如图所示： 点为线段的中点， ， 为的中点， ， ， 故该选项错误，符合题意； C、如图所示： 点为线段的中点， ， ， ， 故该选项正确，不符合题意； D、如图所示： 点为线段的中点， ， 为的中点， ， ，即， 故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 一、单选题 1．要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线的公理，熟知两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是两点确定一条直线， 故选：A． 2．如图，，，E，F分别是，的中点，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．8.5 【答案】B 【分析】根据已知条件可以求出，的长度，再根据中点的定义，可以求出，的值，再由即可求解． 本题考查的是线段和差定义，中点的性质，利用线段和差表示线段是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 故选：B． 3．如图，从A地到B地有甲、乙、丙、丁4条路线，能判断丙路线最短的依据是（   ） A．过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段的长度就是A、B两点之间的距离 【答案】C 【分析】本题考查了线段的性质，根据两点之间，线段最短判断即可；熟知两点之间，线段最短是关键． 【详解】解：从A地到B地有甲、乙、丙、丁4条路线，能判断丙路线最短的依据是两点之间，线段最短， 故选：C． 4．已知线段，在线段的延长线上取一点C，使，点M是线段的中点，若则线段的长为（    ） A．5 B．10 C．15 D．30 【答案】B 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及和差关系是正确解答的关键．根据线段的和差关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴． 故选：B． 5．已知线段，点C在线段上，，点M是线段的中点，则线段的长（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了两点之间的距离，能求出和的长度是解题的关键． 求出，根据中点可以求出． 【解答】解：∵，， ∴， ∵点M为线段中点， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，已知点是线段的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段倍分关系，根据线段中点定义，数形结合即可得到，逐项判断即可确定答案，数形结合，准确表示出线段倍分关系是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 点是线段的中点， ， A、，说法正确，不符合题意； B、，说法正确，不符合题意； C、，说法正确，不符合题意； D、，原说法错误，符合题意； 故选：D． 7．如图，点C在线段上，点D是的中点，如果，，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．根据线段中点的定义求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：点是的中点， ， ． 故选：B 8．下面是某教材中“用尺规作一条线段等于已知线段”的部分过程图，则下列与长短比较正确的是（    ）    A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较线段的长度，由比较两条线段长短的方法：重合比较法，即可判断． 【详解】解：如图用圆规比较两条线段的长短，， 故选：C． 9．平面内两两相交的4条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则等于（　　） A．6 B．11 C．7 D．17 【答案】C 【分析】4条直线两两相交，有3种位置关系，画出图形，求出m、n的值，再代入进行解答． 【详解】解：若4条直线两两相交，其位置关系有3种，如图所示： 则交点有1个，或4个，或6个． 故， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式求值，直线相交的交点个数，解题的关键是掌握直线相交的交点个数，不重不漏． 10．如图，点C为线段的中点，点D在线段上，如果，，那么线段的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据线段中点的定义得到，则． 【详解】解：∵点C为线段的中点，， ∴， 又∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，熟知线段中点的定义是解题的关键． 二、填空题 11．已知A，B，C三点在同一条直线上，且，．若点D是线段的中点，则线段 cm． 【答案】11或5 【分析】根据题意，分两种情况画出图形．①点C在点B的右侧时；②点C在点B的左侧时．根据线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离进行计算即可得出答案． 本题考查了线段的和差，两点间的距离，线段的中点定义，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，点C在点B的右侧时， ∵，， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴； ②如图所示，点C在点B的左侧时， ∵，， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴， 综上所述，线段的长为5或11． 12．如图，已知点是线段内一点，，点是线段的中点，若线段，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，正确确定线段之间的数量关系是解题的关键． 根据题意得到，，求出，即可得到答案． 【详解】解：点是线段的中点，， ， ， ， ， 故答案为：． 13．用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，如图，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行作答即可． 【详解】解：依题意，能解释这一现象的数学道理是：两点之间，线段最短； 故答案为：两点之间，线段最短． 14．把一根木条钉牢在墙上，至少需要2颗钉子，这是因为 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键．根据两点确定一条直线解答即可． 【详解】解：把一根木条钉牢在墙上，至少需要2颗钉子，这是因为经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 15．如图，C，D为线段上两点，cm，cm，D为线段的中点，则线段= cm．    【答案】4 【分析】本题主要考查了线段的和、差及中点的定义，准确理解线段之间的数量关系是解题的关键．根据题意，可得cm，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵D为线段的中点，cm， ∴cm， ∵cm， ∴cm， 故答案为：4． 16．如图，已知C为线段的中点，D在线段上．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查的是线段的和与差，掌握各线段之间的关系是解决此题的关键．根据题意即可求出的长，然后根据中点的定义即可求出，从而求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵C为线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 17．如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查线段的中点性质，线段等分点的计算，线段的和差计算，正确理解图形中线段之间的数量关系是解题的关键． 先根据M是线段的中点，求出，再根据求出的长度，即可得到答案． 【详解】解：M是线段的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 18．如图，线段，延长线段到，使，再反向延长到，使，是的中点，是的中点．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，理解题意，弄清题中各条线段之间的和差关系是解题的关键． 依据已知条件及题中各条线段之间的和差关系即可得出答案． 【详解】解：是的中点，是的中点， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至，使； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义按要求作图． （1）根据直线没有端点、向两个方向无限延伸，射线有一个端点，向一个方向无限延伸，线段有两个端点，不延伸，画出直线，射线，线段； （2）线段上任取一点（不同于，），连接，再根据画出符合要求的图形即可． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：作图如下， 20．如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)求的长（用含a的式子来表示）； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，熟练运用相关的性质认真计算是解题的关键． （1）根据线段中点的意义得到，，再由线段和差得到，即，即可求解； （2）由（1）可知，而，则，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵点D是的中点 ∴， ∵点E是的中点， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： 由（1）可知， 而， ∴， ∴． 21．如图，是线段上一点，是的中点，是的中点 (1)若，，求的长度． (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的和差，有关线段中点的计算； （1）由线段中点的定义得，，由线段的和差得，即可求解； （2）由线段中点的定义得，，由线段的和差得，即可求解； 理解线段中点的定义，能用线段和差表示出线段是解题的关键． 【详解】（1）解：是的中点， 是的中点， ， , ； （2）解：是的中点， 是的中点， ， ， ． 22．如图，E为线段的中点，且 (1)若，求线段的长． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)12 (2)18 【分析】本题考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离的定义是解题的关键． （1）根据线段的和差求出，再根据中点定义求解即可； （2）结合图形及线段中点的定义，求出，，进而求出，，，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 为线段的中点， ； （2）解：为线段的中点， ， ，， ，， ， ， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版七年级数学上册 第十一讲：线段、射线、直线 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：线段、射线、直线 线段、射线、直线的概念 线段: 绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段;线段有两个端点。 射线: 将线段向一 个 方向无限延长 就形成了射线;射线有一个端点。 直线: 将线段向两个方向无限延长就形成了直线;直线没有端点。 知识点02：直线的基本事实 1.画直线画直线的常用工具是直尺，经过一点可以画出无数条直线 2.经过两点有且只有一条直线 3.当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. 4.两点之间的所有连线中，线段最短。 5.我们把两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离。 知识点03：比较两条线段的长短 (1) 观察法： 当两条线段的长短相差很大时， 一般直接观察比较两条线段的长短 . (2) 度量法(数的比较)： 利用刻度尺分别量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 . (3)叠合法(图形的比较) 也称为重合法，具体内容如下表： 知识点04：线段的中点 1. 线段的中点的定义:把一条线段分成两条相等线段的点，叫作线段的中点 . AM=BM= AB 2. 等分线段:把 一 条 线 段 分 成 三 条 相 等 的 线 段的点叫 作线段的三等分点 . AM=MN=NB= AB 考点1：线段、射线、直线的数量问题 【典型例题】 图中以为端点的线段有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式训练1】 如图，以点O为端点的射线有（    ）条． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练2】 如图，在直线上有三个点，图中线段条数为（   ） A． B． C． D． 考点2：直线的交点问题 【典型例题】 在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（    ） A．0或1或2或3 B．0或2或3 C．0或2 D．0 【变式训练1】 平面内五条直线两两相交，最多有x个交点，最少有y个交点，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式训练2】 同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 考点3：线段的和与差 【典型例题】 如图，线段，为线段的中点，下列式子不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，点C在线段上，点M是的中点，，在线段上取一点N，使得，则线段的长是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式训练2】 如图，点C，O在线段上，，O是的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 考点4：线段之间的数量关系 【典型例题】 如图下列说法中不能判定C是线段中点的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，用圆规比较两条线段的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【变式训练2】 已知点为线段的中点，为的中点，某小组探究得出下列结论，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 2．如图，，，E，F分别是，的中点，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．8.5 3．如图，从A地到B地有甲、乙、丙、丁4条路线，能判断丙路线最短的依据是（   ） A．过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段的长度就是A、B两点之间的距离 4．已知线段，在线段的延长线上取一点C，使，点M是线段的中点，若则线段的长为（    ） A．5 B．10 C．15 D．30 5．已知线段，点C在线段上，，点M是线段的中点，则线段的长（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知点是线段的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，点C在线段上，点D是的中点，如果，，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 8．下面是某教材中“用尺规作一条线段等于已知线段”的部分过程图，则下列与长短比较正确的是（    ）    A． B． C． D．无法比较 9．平面内两两相交的4条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则等于（　　） A．6 B．11 C．7 D．17 10．如图，点C为线段的中点，点D在线段上，如果，，那么线段的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．已知A，B，C三点在同一条直线上，且，．若点D是线段的中点，则线段 cm． 12．如图，已知点是线段内一点，，点是线段的中点，若线段，则线段的长是 ． 13．用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，如图，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是 ． 14．把一根木条钉牢在墙上，至少需要2颗钉子，这是因为 ． 15．如图，C，D为线段上两点，cm，cm，D为线段的中点，则线段= cm．    16．如图，已知C为线段的中点，D在线段上．若，，则 ． 17．如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是 ． 18．如图，线段，延长线段到，使，再反向延长到，使，是的中点，是的中点．则的长为 ． 三、解答题 19．如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至，使； 20．如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)求的长（用含a的式子来表示）； (2)若，求的长． 21．如图，是线段上一点，是的中点，是的中点 (1)若，，求的长度． (2)若，求的长度． 22．如图，E为线段的中点，且 (1)若，求线段的长． (2)若，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$