第2章 专题拓展 与角平分线和垂直平分线相关的问题-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拓展与培优 58 专题拓展 与角平分线和垂直平分线相关的问题 1.如图,△ABC 中,AD 平分∠BAC,DE⊥ AB,DF⊥AC,E,F 为垂足,则下列四个结论,其中 正确的个数是 ( ) ①∠DEF=∠DFE ②AE=AF ③AD 垂 直平分EF ④EF 垂直平分AD A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,在△ABC 中,∠ABC=50°,∠ACB= 60°,点E 在BC 的延长线上,∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点D,连结AD,下 列结论中不正确的是 ( ) A.∠BAC=70° B.∠DOC=90° C.∠BDC=35° D.∠DAC=55° 3.如图,在△ABC 中,AB=AC,AB 边上的垂 直平分线DE 交AC 于点E,D 为垂足,若∠ABE∶ ∠EBC=2∶1,则∠A= . 4.如图,在△ABC 中,AP=DP,DE=DF,DE ⊥AB 于E,DF⊥AC 于F,则下列结论:①AD 平分 ∠BAC;②△BED≌△FPD;③DP∥AB;④DF 是 PC 的垂直平分线.其中正确的是 . 例1 如图,已知点D 是△ABC 中∠BAC 的平分 线和边BC 的垂直平分线的交点,DG⊥AB 于点G, DH⊥AC 交AC 的延长线于点H,求证:BG=CH. 点拨:(1)本题是角平分线的性质、垂直平分线 的性质的综合应用; (2)连结BD,CD,利用“HL”证明Rt△BGD≌ Rt△CHD. 变式练习1 如图,△ABC 中,AD⊥BC 于D,∠B =2∠C,求证:AB+BD=CD. 例2 在直角△ABC 中,AC>BC,∠ACB=90°, 点D 是AB 边的中点,过点D 作DE⊥AB 于点D, 交∠ACB 的角平分线于点E,连结AE,BE.证明: AE=BE,且AE⊥BE. 点拨:(1)本题主要考查了角平分线的性质,垂 直平分线的性质,三角形全等的判定方法. (2)过点E 作BC,AC 的垂线,构造两个三角形 全等. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 59 变式练习2 对于例2,你还有其他证明方法吗? 请 写出你的证明方法. 1.如图,锐角三角形ABC 中,直线l为BC 的 垂直平分线,BM 为∠ABC 的角平分线,l 与BM 相交于P 点.若∠A=60°,∠ACP=24°,则∠ABP 的度数为 ( ) A.24° B.30° C.32° D.36° 2.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,以 A 为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC 于点 M 和N,再分别以 M,N 为圆心,大于 1 2MN 的长 为半径画弧,两弧交于点P,连结AP 并延长交BC 于点D,则下列说法中正确的个数是 ( ) ①AD 是∠BAC 的平分线;②∠ADC=60°; ③点D 在AB 的垂直平分线上;④S△DAC∶S△ABC= 1∶3. A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图,AE 是∠BAC 的角平线,AE 的中垂 线PF 交BC 的延长线于点F,若∠CAF=50°,则 ∠B= . 4.如图,AA',BB'分别是∠EAB,∠DBC 的平 分线.若AA'=BB'=AB,则∠BAC= . 5.如图,等腰△ABC 中,AB=AC,AD 平分 ∠BAC,点E 是线段BC 延长线上一点,连结AE, 点C 在AE 的垂直平分线上,若DE=10cm,则AB +BD= cm. 6.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC, 点D 是AC 上一点,过C 作CE⊥BD 于点E.若点 D 是AC 上一动点,∠AED 如何变化. 图1 图2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∴BE=CF,CE=AF, ∴EF=CF-CE=BE-AF. 8.能实现. 理由:∵AB=AC, ∠AEB=∠ADC=90°, ∠BAE=∠CAD, ∴△ABE≌△ACD. ∴AD=AE. ∵AO=AO, ∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL), ∴∠DAO=∠EAO. 专题拓展 勾股定理的实际应用 【夯实基础】 1.B 2.A 3.15 4.13 5.540 【典型例题】 例1 能装进行李箱,理由略 变式练习1 11≤a≤12 例2 15厘米 变式练习2 6 13厘米 变式练习3 A 例3 7200元 变式练习4 OM=15米 MN=2米 【巩固练习】 1.A 2.B 3.B 4.15 5.30 6.30cm 或10 41cm 7.180m2 8.8m 9.10km 10.7米 420元 11.(1)能,办法略 (2) 垂直 微探究 角平分线的性质 【典型例题】 例1 提示:证△CDF≌△EDB(SAS). 变式练习1 提示:过点D 作DG⊥BC,垂足 为G,作 DH⊥AB,垂足为 H,证△DGC≌ △DHA(HL). 变式练习2 提示:过点D 作DF⊥AB,垂足 为F,作DG⊥BC,垂足为G,过点E 作EH ⊥AB,垂足为 H,先证△AEH≌△CDG,再 证△EHK≌△DFK. 例2 提示:过点P 分别作PD⊥BC,PE⊥ AC,PF⊥AB,先说明 PE=PF,进而说明 AP 平分∠BAC. 变式练习3 50° 变式练习4 45° 【巩固练习】 1.D 2.A 3.B 4.B 5.2 6.2 7.(1)4cm (2)略 8.(1)AB=AC+CD,提示:在AB 上截 取AE=AC. (2)CD=AB+AC,提示:在AE 上截取 AG=AC. 9.(1)∠1=90°- 1 2 ∠EDC=90°- 1 2 (180°-∠1-∠2)= 1 2∠1+ 1 2∠2 ,化简 可得∠1=∠2. (2)提示:延长DB 至F,使得BF=BD, 连结 AF.证△ADB≌△AFB,再证△AED ≌△ACF. 10.(1)120° (2)成立,证明略 (3)EF =DF,提示:在 AC 上截取AG=AE,连结 FG,先 证 △AEF ≌ △AGF,再 证 △FGC ≌△FDC. 专题拓展 与角平分线和垂直平 分线相关的问题 【夯实基础】 1.C 2.B 3.45° 4.①③ 【典型例题】 例1 证明:连结BD,CD, ∵点D 是∠BAC 的平分线上的一点, DG⊥AB,DH⊥AC, ∴DG=DH. ∵点D 是BC 的垂直平分线上的一点, ∴DB=DC. ∴Rt△BGD≌Rt△CHD, ∴BG=CH. 变式练习1 提示:延长DB 至E,使得BE= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·81· AB,通过等腰三角形的性质及全等三角形 可证. 例2 提示:作EM⊥AC 于点M,作EN⊥ BC 于点N. 变式练习2 提示:延长CB 到F,使 AC= CF,连结EF. 【巩固练习】 1.C 2.D 3.50° 4.12° 5.10 6.∠AED=45°,恒定不变 专题拓展 等腰三角形操作 探究类问题 【夯实基础】 1.D 2.D 3.7 4.16 5.15 【典型例题】 例1 (1)如图: (2)如图①,当AD=AE 时,∵2x+x= 30°+30°,∴x=20°;如图②,当AD=DE 时, ∵30°+30°+2x+x=180°,∴x=40°. ① ② 变式练习1 90°或36°或108°或 180° 7 . 例2 (1)能 (2)∵AA1=A1A2,∴∠A= ∠AA2A1,∵A1A2⊥A2A3,A1A2=A2A3, ∴∠A2A1A3=45°,∠A=22.5°. (3)θ1=2θ,θ2=3θ,θ3=4θ (4)由题意得 4θ<90° 5θ≥90°{ ,∴18°≤θ<22.5°. 变式练习2 12° 【巩固练习】 1.C 2.B 3.①三角形中有一个角是 另一个角的三倍,分割三倍的那个角;②三角 形中有一个角是直角,分割直角;③三角形中 有一个角是另一个角的两倍,且第三个角要 大于45°,分割第三个角. 4.(1)= (2)= ∵△ABC 为等边三角形, ∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°. ∵△AEF 为等边三角形, ∴∠EFC=∠EBD=120°,EF=AE, ∵ED=EC, ∴∠EDB=∠ECB,∠ECB=∠FEC. ∴∠EDB=∠FEC. 在△BDE 和△FEC 中, ∠EBD=∠EFC ∠EDB=∠FEC ∠ED=EC ì î í ï ï ïï ∴△BDE≌△FEC(AAS) ∴BD=EF, ∴AE=BD. (3)当E 在BA 的延长线上时,如图1, 过点E 作EF⊥CD 于F. ∵在Rt△BEF 中, ∠EBF=60°,BE=1+2=3, ∴BF=1.5, ∴CF=1.5-1=0.5, ∴CD=0.5×2=1. 同理,当 E 在AB 的延长线上时,如图 2,可求得CD=3. 故CD 的长为1或3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·91·