专题04 直角三角形与勾股定理以及逆命题、逆定理（19高频&2易错&10重难&3模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材浙教版

专题04直角三角形与勾股定理以及逆命题、逆定理 目录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(4类) 公式清单(3类) 辨析清单(7类) 题型类 高频题型清单(19类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(10类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01逆命题和逆定理 1.命题：由 和 两部分组成。 2.逆命题：把原命题的条件和结论互换，得到的新命题叫做原命题的 。 3.逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题叫做原定理的逆定理。 注意：原命题为真，逆命题不一定为真；不是所有定理都有逆定理。 知识点02直角三角形 1.定义：有一个角是直角(90°)的三角形叫做 三角形。直角所对的边叫 ，夹直角的两条边叫 。符号：Rt△。 2.性质 ①直角三角形的两个锐角 ； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ； 推论：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3.直角三角形判定 ①有一个角是 的三角形是直角三角形； ②有两个角 的三角形是直角三角形。 4.等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形，两个锐角都是45°,是轴对称图形。 知识点03探索勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两条直角边的 等于斜边的 。 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边a，b，斜边c，则a²+b²=c²。 2.勾股数：满足a2+b2=c2的三个 ，称为勾股数。常见:(3,4,5)，(5,12,13)，(6,8,10)。 3.应用：已知直角三角形两边，求第三边；求面积；解决实际生活问题。 知识点04直角三角形全等的判定 1.通用判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS(适用于所有三角形)。 2.HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 注意：HL只用于直角三角形。 考点01逆命题和逆定理 考点内容：命题的组成；逆命题、逆定理概念；原命题与逆命题真假关系。 常见考法： ①找出命题的条件与结论； ②写出一个命题的逆命题； ③判断命题、逆命题的真假； ④判断定理是否存在逆定理。 考点02直角三角形 考点内容：直角三角形定义；两锐角互余；斜边中线定理；30°角直角边性质；直角三角形判定。 常见考法： ①利用直角三角形两锐角互余求角度； ②斜边中线定理求线段长度； ③利用30°角性质计算边长； ④判定三角形是否为直角三角形； ⑤等腰直角三角形边角计算。 考点03探索勾股定理 考点内容：勾股定理；勾股定理简单应用；勾股数。 常见考法： ①已知直角三角形两边，求第三边； ②利用勾股定理求三角形面积； ③识别勾股数； ④利用勾股定理解决实际应用题。 考点04直角三角形全等的判定 考点内容：一般三角形全等判定；HL定理(斜边直角边)。 常见考法： ①选择合适方法证明直角三角形全等； ②利用HL定理证明两个Rt△全等； ③补充条件，使两个直角三角形全等； ④结合全等性质求线段、角度。 一、直角三角形 1.两锐角互余 ，，则 2.斜边中线定理 ，斜边为，斜边上中线为 3.30°角直角边推论 中，，∠A对边为a，斜边 二、勾股定理 ，,直角边a、b,斜边c 变形公式： 勾股数：满足的正整数，如 三、面积公式 1.一般三角形： 2.等腰直角三角形(直角边长a) 辨析01逆命题、逆定理概念误区 逆命题：把原命题条件和结论互换；逆定理：逆命题必须是真命题，才叫原定理的逆定理。 易错点：原命题是真命题，就认为逆命题一定是真命题；所有定理都有逆定理(假)。 辨析02直角三角形斜边中线性质的适用范围 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；只针对直角三角形。 易错点：普通三角形直接套用斜边中线公式；分不清斜边，把直角边当成斜边计算。 辨析03勾股定理适用条件误区 勾股定理a²+b²=c²,只适用于直角三角形，c一定是斜边(直角对的边)。 易错表述：任意三角形都用勾股定理；分不清斜边，随便把边长代入公式；已知两边直接求第三边，不分类讨论哪边是斜边。 辨析0430°直角三角形性质理解错误 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 易错点：误以为30°角邻边的直角边等于斜边一半；普通三角形直接套用这个结论。 辨析05HL判定定理适用范围 HL:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；仅用于直角三角形。易错点：普通三角形证明全等使用HL;用两条直角边相等当作HL条件。 辨析06等边三角形判定条件混淆 判定：①三边相等；②三角相等；③有一个角60°的等腰三角形。 易错点：有一个角是60°的三角形就是等边三角形，漏掉“等腰”这个前提。 辨析07将军饮马模型易错点 原理：利用轴对称转化线段，两点之间线段最短。 易错点：找错对称点；直接连接两点，不做对称点；忽略动点所在的直线。 【题型一】写出命题的逆命题 【例1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）请写出命题“若，则”的逆命题：__________． 【变式1-1】（25-26七年级下·上海普陀·期中）命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________． 【变式1-2】（25-26七年级下·上海·期中）“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是：___________________________，该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． 【变式1-3】（2026·江苏盐城·三模）已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 【题型二】判断逆命题的真假 【例2】（26-27八年级上·湖北武汉·期中）下列命题中，其逆命题是真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．全等三角形对应边相等 C．若，则 D．若，则 【变式2-1】（26-27八年级上·福建厦门·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（） A．若，则 B．垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C．全等三角形的对应角相等 D．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 【变式2-2】（26-27八年级上·山东聊城·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．等边三角形是锐角三角形 C．相等的角是对顶角 D．等边三角形的面积相等 【变式2-3】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）下列命题的逆命题为真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．等边三角形的三个内角相等 C．四边形是多边形 D．全等三角形的面积相等 【题型三】根据线段垂直平分线的性质与判定求长度 【例3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 【变式3-1】（25-26八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 【变式3-2】（25-26七年级下·重庆綦江·期中）如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 【变式3-3】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【变式3-4】（25-26八年级上·广西钦州·期中）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则长为______． 【题型四】根据线段垂直平分线的性质与判定求角度 【例4】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，为内一点，连接，，，已知，，，则________． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，利用无刻度直尺与圆规作出直线，交，于点，，平分，得出________． 【变式4-3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，D为等边内一点，连接、、，，点P为右侧一点，连接、，，，则的度数为__________． 【题型五】直角三角形两锐角互余求角度 【例5】（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，是的高，是的角平分线．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（26-27八年级上·吉林·期中）如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（    ） A． B． C． D．与的大小有关 【变式5-3】（25-26七年级下·重庆荣昌·期中）如图，长方形中，点是边上一点，连接，过点作交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【题型六】斜边上的中线等于斜边的一半求线段长度 【例6】（26-27九年级上·陕西宝鸡·期中）如图所示，已知，点为边的中点，，则（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（26-27九年级上·天津河西·期中）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，平分，与交于点M，于点D，于点E，与交于点F，若，则为（     ） A．2.5 B．2 C．3 D．3.5 【变式6-4】（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长是（     ） A．11 B．15 C．12 D．14 【变式6-5】（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）如图，，，平分，交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，则的长是（     ） A．1 B．2 C． D． 【题型七】勾股定理解直角三角形（直接法） 【例7】（26-27八年级上·福建三明·期中）已知一个直角三角形两边长为2和3，则第三边长为（     ） A． B． C．或 D．5 【变式7-1】（26-27八年级上·山东青岛·期中）如图，数轴上点表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】在中，，，，则的长为（     ） A． B．2 C． D． 【变式7-3】（（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，为边延长线上一点，．若，则的长为（     ） A．4.8 B．9.6 C．10 D．19.2 【题型八】勾股数（树）问题 【例8】选材新风向数学文化  清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．该法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．有下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．根据上述规律，第⑥组勾股数为（     ） A．10，18，24 B．16，56，70 C．13，84，85 D．12，38，63 【变式8-1】（26-27八年级上·全国·期中）下列各组数中是勾股数的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】（26-27八年级上·山西太原·期中）下列各组数是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式8-3】（26-27九年级上·湖北武汉·期中）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【变式8-4】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）下列命题：①若a、b、c为一组勾股数，则4a，4b，4c仍为勾股数；②若直角三角形的两边长是3和4，则另一边必是5；③若一个三角形的三边分别是12，25，21，则此三角形是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c（），那么：1：1．其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【题型九】以直角三角形三边为边长的图形面积 【例9】（26-27八年级上·山东济南·期中）如图，两个较大正方形的面积分别为，，中间所夹三角形为直角三角形，则字母所代表的正方形的面积为（     ）． A． B． C． D． 【变式9-1】（26-27七年级上·陕西西安·期中）与都是直角三角形，其中与是直角，如下图所示．图中所画出的六个半圆形的圆心都用点标出．若阴影部分的面积分别为S、、、，（     ） A．1 B． C．10 D． 【变式9-2】（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则(     ) A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【变式9-4】（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【题型十】判断三边是否能构成直角三角形 【例10】（26-27八年级上·广东佛山·期中）由下列条件不能判定为直角三角形的是（     ） A． B． C． D．，， 【变式10-1】（26-27八年级上·陕西西安·期中）已知a，b，c为的三边长，下列条件中能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（26-27八年级上·广东梅州·期中）三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式10-3】（26-27八年级上·山东枣庄·期中）已知为的三边长，若满足，则是（     ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【变式10-4】（26-27八年级上·四川成都·期中）中，，，的对边分别为，，，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【题型十一】勾股定理与网格问题 【例11】（26-27八年级上·全国·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，则的边长不是有理数的边有（     ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【变式11-1】如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（     ） A．3 B． C．4 D． 【变式11-2】（25-26八年级下·四川巴中·期中）如图，点、、在边长为的小正方形方格的格点上，则是（     ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式11-3】（25-26八年级下·山东日照·期中）如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（     ） A． B． C． D． 【变式11-4】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，顶点，，在边长为1的正方形网格格点上，若于点，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【题型十二】利用勾股定理的逆定理求解 【例12】（26-27八年级上·浙江金华·期中）如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 【变式12-1】（25-26八年级下·云南昭通·期中）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 【变式12-2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图所示的一块菜地，，，，，，这块菜地的面积为________． 【变式12-3】（25-26八年级下·陕西延安·期中）如图，在中，，，．点分别为边上一点，将沿折叠，使点落在边的中点处，则___________． 【变式12-4】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．. 【题型十三】勾股定理的实际应用-梯子滑落问题 【例13】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图所示，一根长米的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角与木棍端的距离为米，设木棍的中点为，若木棍端沿墙下滑，则端沿地面向右滑行． (1)求的长； (2)木棍在滑动过程中，线段的长度发生改变了吗？若改变，请说明理由；若不变，求的长； (3)如果木棍的底端向外滑出米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少米？ 【变式13-1】（25-26八年级下·江西南昌·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【变式13-2】（25-26八年级下·山东德州·期中）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【变式13-3】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，这是建筑工人搭建的临时施工支架，竖直立柱垂直地面于点A，斜梁为斜边．初始时立柱顶端B离地面的距离，斜梁的长度比水平距离多．立柱位置不动，斜梁长度保持不变，现将立柱顶端竖直向下降低至点D． (1)求初始状态下的水平距离的长． (2)当立柱顶端竖直向下降低至点D时，求斜梁落点C在水平方向向外移动的距离．（结果保留根号） 【题型十四】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题 【例14】（25-26八年级下·云南德宏·期中）数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直．小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离的长为80米，的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米（米）．求风筝离地面的垂直高度的长为多少米． 【变式14-1】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 【变式14-2】（25-26八年级下·广东惠州·期中）某小区改造，在市民休闲广场新建一秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． (1)图中________； (2)求绳索的长度． 【变式14-3】（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图1，用激光测距仪测量某建筑物的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示；最后仪器会自动显示出楼的高度． (1)求仪器显示的楼的高度． (2)如图2，若将激光测距仪沿方向移动后到达点，将激光射向楼顶端的点，则仪器显示点，的距离是多少？ 【题型十五】勾股定理的实际应用-大树折断问题 【例15】（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）如图，山坡上的一棵树甲被大风从点处拦腰折断，如图所示，甲树的顶端恰好落在坡底另一棵树乙的根部处，其中米，甲树的根部到坡底的距离米，甲、乙两棵树之间的水平距离米，已知，点、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求甲树原来的高度（即）． 【变式15-1】（26-27八年级上·全国·期中）折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 【变式15-2】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 【变式15-3】（25-26八年级下·湖北鄂州·期中）一场大风后，山坡上的一棵树在A点处被拦腰折断．如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部C处，甲、乙两棵树均沿竖直方向生长，已知，，甲、乙棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【题型十六】勾股定理的实际应用-水杯中筷子问题 【例16】（26-27八年级上·全国·期中）装修工人携带了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知电梯的长、宽、高分别是1.5m，1.5m，2.2m，那么一根3.1m长的木条能否放入电梯内？ 【变式16-1】（26-27八年级上·全国·期中）今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问：水深、葭长各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺（如图）．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 【变式16-2】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【题型十七】勾股定理的实际应用-航海问题 【例17】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【变式17-1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 【变式17-2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，一艘轮船从海港沿正东方向向海港行驶，点处有一座灯塔，轮船行驶了后到达点处（即），此时轮船正好位于灯塔的正南方，继续向东行驶了到达海港处（即），已知灯塔到海港的距离为，求灯塔到海港的距离． 【变式17-3】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 【题型十八】勾股定理的实际应用-判断汽车是否超速问题 【例18】（25-26八年级下·四川凉山·期中）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【变式18-1】（25-26八年级下·重庆南川·期中）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【变式18-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【变式18-3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【题型十九】勾股定理的实际应用-判断是否受台风影响问题 【例19】（26-27八年级上·福建漳州·期中）如图，两条公路、交于点O，在公路旁有一学校A，与O点的距离为，点A（学校）到公路的距离为，一大货车从O点出发，行驶在公路上，货车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响?为什么? (2)若货车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟? 【变式19-1】（26-27八年级上·陕西宝鸡·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风移动的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式19-2】（26-27八年级上·广东梅州·期中）拖拉机在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一辆拖拉机沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A、B的距离分别为和，，拖拉机周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受拖拉机的噪声影响吗？为什么？ (3)若拖拉机的行驶速度为每分钟，则拖拉机的噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 【变式19-3】（26-27八年级上·宁夏银川·期中）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知、之间相距，、之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【题型一】直角三角形锐角互余，忽略直角前提，漏看多解情况 【例1】（26-27八年级上·河南商丘·期中）在中，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（     ） A．或或 B．或 C．或 D．或 易错警示 互余只在直角三角形成立；没有图形时，直角顶点位置不确定，需要分类讨论，不要默认固定顶点为直角。 【变式1-1】（26-27八年级上·浙江金华·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】（26-27八年级上·江苏无锡·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为________． 【变式1-3】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）在中，是边上的高线，垂足为，，且，则的度数为__________． 【题型二】勾股定理计算分不清斜边与直角边，公式套用颠倒 【例2】（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，中，是边上的中线，平分交于点于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 易错警示 a2+b2=c2，c一定是斜边(最长边)；已知两边求第三边，未确定斜边时要分类讨论，不能直接带入公式。 【变式2-1】（26-27八年级上·山西太原·期中）如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27九年级上·河北保定·期中）如图，在Rt中，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，则的长为（） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-3】（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 【变式2-4】（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型一】线段垂直平分线的性质与判定解答题综合 【例1】（26-27八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点O，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线． (1)连接，，求证：； (2)求证：垂直平分． 【变式1-1】（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，边的垂直平分线分别交于点的延长线交于点． (1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)连接，若，求的度数． 【变式1-2】（26-27八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，，点D是的中点，于交于F，交的延长线于E． (1)_________（无需证明，直接写结果） (2)求证：垂直且平分． 【变式1-3】（2026·四川乐山·二模）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为．是由沿方向平移得到的，已知过点，连接交于点． (1)求的大小； (2)求证：． 【题型二】直角三角形两锐角互余求线段长度 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）中，，，的平分线交于D，，则_______． 【变式2-1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则的长为______________． 【变式2-2】（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在中，，，，垂足为D．若，则的长为________． 【变式2-3】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 【题型三】锐角互余的三角形是直角三角形解答题综合 【例3】（25-26七年级下·湖南长沙·期中）已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 【变式3-1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，交于点，且． (1)判断与的位置关系，说明理由； (2)若平分，且分别交，于点，．求证：． 【变式3-2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的度数． 【变式3-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 【题型四】勾股定理与折叠问题 【例4】（26-27八年级上·山东青岛·期中）如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是．若，，则的长为___________． 【变式4-1】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为________． 【变式4-2】（26-27八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，D是上一点，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在边上．已知，，则的长为______． 【变式4-3】（26-27八年级上·安徽池州·期中）如图，正方形的面积为144，H是边上的一个动点，将正方形沿过点H的直线折叠（点G在边上）． （1）若，则__________． （2）若点D的对应点E恰好落在边上的三等分点处，则线段的长是__________． 【变式4-4】（26-27七年级上·山东烟台·期中）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为_____． 【题型五】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【例5】（26-27八年级上·山西晋中·期中）在中，斜边，则________． 【变式5-1】（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）在中，，，则_______． 【变式5-2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【变式5-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【变式5-4】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【题型六】以弦图为背景的计算题 【例6】（2022·陕西商洛·模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若，小正方形的面积为1，则大正方形的面积为__________． 【变式6-1】（25-26八年级下·重庆永川·期中）如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 【变式6-2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是______． 【变式6-3】（2026·辽宁抚顺·二模）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则______． 【题型七】勾股定理与无理数 【例7】（26-27八年级上·山东菏泽·期中）小斗把长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和5，，连接，以点B为圆心，长为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为______． 【变式7-1】（26-27八年级上·安徽宿州·期中）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为__________． 【变式7-2】（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 【变式7-3】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图所示的数轴，点表示的数是________． 【题型八】利用“HL”证明直角三角形 【例8】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点D是边的中点，且，点E是外一点，连接，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求证：． 【变式8-1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，于D，于E，交于点O，且． (1)求证：； (2)连接，求证：平分； (3)若，求的度数． 【变式8-2】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，与相交于点，此时点恰好在的角平分线上． (1)求证：； (2)求平移的距离． 【变式8-3】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式8-4】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，点为的中点，平分，． (1)求证：平分． (2)猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【题型九】利用勾股定理证明线段的平方关系（解答题压轴） 【例9】（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，四边形中，，分别以线段，，，边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，连接，利用勾股定理可以得到：．根据材料提示完成下列问题： (1)如图2，是中边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，请写出，，，的等量关系___________； (2)如图3，在中，，，点是上一点，且，若，求证：是直角三角形； (3)如图4，在中，分别以线段，，为边向外作正方形，正方形的面积分别，，试求出的面积． 【变式9-1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． (1)如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． (2)如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 【变式9-2】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式9-3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 【题型十】线段垂直平分线中最值问题 【例10】（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，且，，是的中点，是上的一个动点，与的和最小为_____． 【变式10-1】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 【变式10-2】（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，在四边形中，，，，连接，的面积为，点E是边边上一动点，点P在线段上，连接，则的最小值是________． 【变式10-3】（20-21八年级上·四川广元·期中）如图，在中，，，是的两条中线，是上的一个动点，则图中长度与的最小值相等的线段是_______． 【题型一】勾股定理中最短路径问题——立体展开最短路径模型 1.识别立体图形：判断是圆柱、长方体等立体，明确起点、终点位置。 2.侧面展开：将立体图形的侧面展开成平面图形(平面上两点之间线段最短)。 3.找两条直角边：展开后，起点与终点连线为斜边；两条直角边分别是底面周长的一部分与立体的高(或长、宽)。 4.套用勾股定理：a²+b²=c²,代入两条直角边，求出斜边长度，即为最短路径长。 5.多情况对比：长方体展开常有多种展开方式，要算出全部情况，取最小值。 勾股定理中最短路径问题——侧面展开法：把立体侧面展开成平面，两点连线为最短路径，构造直角三角形，利用勾股定理计算。易错警示 易错点：立体展开方式漏情况，直角边找错 【易错警示】 ①长方体有3种不同展开方案，必须全部计算再比较，不能只算一种； ②分清底面展开长度，不要错把整个底面周长直接当作直角边； ③最短路径一定是展开平面上两点的线段，不是立体表面上曲线。 【例1】（26-27八年级上·山东枣庄·期中）如图，有一个圆柱形玻璃杯，它的底面周长为，高为．在杯内壁离杯底的点处有一只蚂蚁，此时与蚂蚁相对的外壁离杯口的点处有一滴蜂蜜．若蚂蚁从点沿玻璃杯侧面爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27八年级上·河南开封·期中）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【变式1-3】（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘，点E在上，．一位滑板爱好者从点A出发滑到点E，则他滑行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（25-26八年级下·河南信阳·期中）如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 【题型二】勾股定理的证明方法（解答题压轴）——面积法证勾股模型 1.观察图形：看清拼图结构(弦图、梯形、拼接正方形等),标记各边a,b,c。 2.两种方式表示总面积：方法一：整体图形直接求总面积；方法二：分割成若干基础图形，求和得到总面积。 3.列等面积等式：整体面积=各分割部分面积之和。 4.化简整理：展开、合并同类项，消去相同项，推导出a²+b²=c²。 5.书写结论：得到直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的证明方法—等面积推导法：用两种不同方法表示同一个图形的面积，列面积等式化简，证明a²+b²=c²。 易错警示 易错点：图形面积计算错误，边长对应关系混淆 【易错警示】 ①注意图形里的直角，不要搞错a,b,c对应的线段； ②分割图形面积不要重复计算或者漏掉部分小块； ③展开代数式时，完全平方展开不要漏写交叉项2ab。 【例2】（26-27八年级上·河南郑州·期中）回顾人类文明历史，勾股定理揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，该定理也被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． (3)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【变式训练2-1】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、．设、交于点，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：___，___； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【变式训练3-1】（26-27八年级上·全国·期中）欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 【变式训练3-2】（25-26七年级下·宁夏银川·期中）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【变式训练3-3】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 【题型三】全等三角形中垂线模型（解答题压轴）——三垂直全等模型（K型模型） 已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE 图示 结论 △ABC≌△CDE，BD=DE+AB △ABC≌△CDE，BD=AB-DE 【例3】（26-27八年级上·福建福州·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 【变式3-1】（26-27八年级上·江苏连云港·期中）【模型提出】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)①如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点，于点E，则线段，与之间满足的数量关系是__________； ②如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，，，则的长为__________． 【模型初探】 (2)如图3，四边形中，，，则的面积为__________． (3)如图4，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰．连接交延长线于点E．判断与的数量关系并证明． 【模型拓展】 (4)如图5，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，则的面积为__________． 【变式3-2】（26-27八年级上·浙江宁波·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【变式3-3】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 【变式3-4】（25-26七年级下·江西九江·期中）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】 (3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 技巧 一句话要点 写出命题的逆命题——条件结论互换法 把原命题的题设与结论交换位置，写出逆命题，保证语句通顺。 判断逆命题的真假——举反例法 找到一个反例即可判定命题为假；全部情况成立，命题才为真。 线段垂直平分线求线段长——等线段转移法 点在线段垂直平分线上，则到线段两端距离相等，等量替换求线段长。 线段垂直平分线求角度——等边推等角法 由垂直平分线得到等线段，利用等边对等角，结合三角形内角和求角度。 线段垂直平分线性质与判定综合——性质判定组合法 判定：到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上；性质：线上点到两端距离相等，结合条件综合解题。 直角三角形两锐角互余求角度——余角代换法 直角三角形两锐角和为90°，已知一个锐角，直接求出另一个锐角。 直角三角形两锐角互余求线段长度——等角对等边法 利用互余关系找到相等角，推出对应边相等，计算线段长度。 斜边上的中线等于斜边的一半求线段长度——中线倍半法 直角三角形斜边上中线是斜边的一半，已知斜边求中线、已知中线求斜边。 锐角互余证直角三角形解答综合——直角判定法 三角形两内角互余，则第三个角为90°，以此判定三角形是直角三角形。 勾股定理解直角三角形（直接法）——勾股直接法 在直角三角形中，两直角边平方和等于斜边平方，分清斜边、直角边后代入求值。 根据勾股定理列方程解直角三角形——方程建模法 设未知边长，依据勾股定理建立方程，解方程得到线段长度。 勾股数问题——勾股数验证法 满足较小两数平方和等于最大数平方的正整数组为勾股数；勾股数整数倍仍是勾股数。 以直角三角形三边为边长的图形面积——面积转化法 直角三角形两直角边上图形面积之和，等于斜边上对应图形的面积。 勾股定理与网格问题——格点构造法 利用网格横纵垂线构造直角三角形，借助勾股定理求格点线段长。 勾股定理与折叠问题——折叠等量法 折叠前后图形全等，标记相等边角，在新直角三角形中利用勾股定理列方程。 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）——平方代换法 构造直角三角形，多次运用勾股定理，做线段平方等量代换，求平方和或差。 以弦图为背景的计算题——弦图边长法 弦图中大正方形边长为斜边，小正方形边长等于两直角边之差，结合勾股计算。 勾股定理与无理数——线段构造法 网格内构造直角三角形，利用勾股算出线段长，画出长度为无理数的线段。 判断三边是否能构成直角三角形——逆定理判定法 选取最长边，验证最长边平方是否等于另两边平方和，成立即为直角三角形。 利用勾股定理的逆定理求解——定最长边法 先确定最长边，通过三边平方关系判定直角，再利用直角性质求解边角。 利用“HL”证明直角三角形全等——斜边直角边法 两个直角三角形斜边与一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04直角三角形与勾股定理以及逆命题、逆定理 目录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(4类) 公式清单(3类) 辨析清单(7类) 题型类 高频题型清单(19类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(10类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01逆命题和逆定理 1.命题：由条件和结论两部分组成。 2.逆命题：把原命题的条件和结论互换，得到的新命题叫做原命题的逆命题。 3.逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题叫做原定理的逆定理。 注意：原命题为真，逆命题不一定为真；不是所有定理都有逆定理。 知识点02直角三角形 1.定义：有一个角是直角(90°)的三角形叫做直角三角形。直角所对的边叫斜边，夹直角的两条边叫直角边。符号：Rt△。 2.性质 ①直角三角形的两个锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 推论：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3.直角三角形判定 ①有一个角是直角的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形。 4.等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形，两个锐角都是45°,是轴对称图形。 知识点03探索勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边a，b，斜边c，则a²+b²=c²。 2.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。常见:(3,4,5)，(5,12,13)，(6,8,10)。 3.应用：已知直角三角形两边，求第三边；求面积；解决实际生活问题。 知识点04直角三角形全等的判定 1.通用判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS(适用于所有三角形)。 2.HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 注意：HL只用于直角三角形。 考点01逆命题和逆定理 考点内容：命题的组成；逆命题、逆定理概念；原命题与逆命题真假关系。 常见考法： ①找出命题的条件与结论； ②写出一个命题的逆命题； ③判断命题、逆命题的真假； ④判断定理是否存在逆定理。 考点02直角三角形 考点内容：直角三角形定义；两锐角互余；斜边中线定理；30°角直角边性质；直角三角形判定。 常见考法： ①利用直角三角形两锐角互余求角度； ②斜边中线定理求线段长度； ③利用30°角性质计算边长； ④判定三角形是否为直角三角形； ⑤等腰直角三角形边角计算。 考点03探索勾股定理 考点内容：勾股定理；勾股定理简单应用；勾股数。 常见考法： ①已知直角三角形两边，求第三边； ②利用勾股定理求三角形面积； ③识别勾股数； ④利用勾股定理解决实际应用题。 考点04直角三角形全等的判定 考点内容：一般三角形全等判定；HL定理(斜边直角边)。 常见考法： ①选择合适方法证明直角三角形全等； ②利用HL定理证明两个Rt△全等； ③补充条件，使两个直角三角形全等； ④结合全等性质求线段、角度。 一、直角三角形 1.两锐角互余 ，，则 2.斜边中线定理 ，斜边为，斜边上中线为 3.30°角直角边推论 中，，∠A对边为a，斜边 二、勾股定理 ，,直角边a、b,斜边c 变形公式： 勾股数：满足的正整数，如 三、面积公式 1.一般三角形： 2.等腰直角三角形(直角边长a) 辨析01逆命题、逆定理概念误区 逆命题：把原命题条件和结论互换；逆定理：逆命题必须是真命题，才叫原定理的逆定理。 易错点：原命题是真命题，就认为逆命题一定是真命题；所有定理都有逆定理(假)。 辨析02直角三角形斜边中线性质的适用范围 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；只针对直角三角形。 易错点：普通三角形直接套用斜边中线公式；分不清斜边，把直角边当成斜边计算。 辨析03勾股定理适用条件误区 勾股定理a²+b²=c²,只适用于直角三角形，c一定是斜边(直角对的边)。 易错表述：任意三角形都用勾股定理；分不清斜边，随便把边长代入公式；已知两边直接求第三边，不分类讨论哪边是斜边。 辨析0430°直角三角形性质理解错误 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 易错点：误以为30°角邻边的直角边等于斜边一半；普通三角形直接套用这个结论。 辨析05HL判定定理适用范围 HL:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；仅用于直角三角形。易错点：普通三角形证明全等使用HL;用两条直角边相等当作HL条件。 辨析06等边三角形判定条件混淆 判定：①三边相等；②三角相等；③有一个角60°的等腰三角形。 易错点：有一个角是60°的三角形就是等边三角形，漏掉“等腰”这个前提。 辨析07将军饮马模型易错点 原理：利用轴对称转化线段，两点之间线段最短。 易错点：找错对称点；直接连接两点，不做对称点；忽略动点所在的直线。 【题型一】写出命题的逆命题 【例1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）请写出命题“若，则”的逆命题：__________． 【答案】 若，则 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：原命题的条件是，结论是， 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则 【变式1-1】（25-26七年级下·上海普陀·期中）命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________． 【答案】一个三角形的三条边相等这个三角形是等边三角形 【分析】明确逆命题的构造方法，交换原命题的题设与结论即可得到所求逆命题． 【详解】将原命题“等边三角形的三条边相等”改写为“如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边相等”，可得原命题的题设为“一个三角形是等边三角形”，结论为“这个三角形的三条边相等”，交换原命题的题设与结论，即可得到该命题的逆命题．因此如果后横线处填一个三角形的三条边相等，那么后横线处填这个三角形是等边三角形． 【变式1-2】（25-26七年级下·上海·期中）“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是：___________________________，该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角假 【分析】根据逆命题定义将原命题的题设和结论互换得到逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”中，题设为“两个角是同一个角的余角”，结论为“这两个角相等”．将题设与结论互换，得到逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 判断真假：两个相等的角，不一定是同一个角的余角，例如：，，是的余角，是另一个的余角，两角相等但不一定是同一个角的余角，因此逆命题不成立，是假命题． 【变式1-3】（2026·江苏盐城·三模）已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】将原命题的条件与结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【题型二】判断逆命题的真假 【例2】（26-27八年级上·湖北武汉·期中）下列命题中，其逆命题是真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．全等三角形对应边相等 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：A选项的逆命题：相等的角是对顶角，是假命题，如两直线平行时同位角相等但不是对顶角，不符合题意； B选项的逆命题：对应边相等的三角形是全等三角形，是真命题，符合题意； C选项的逆命题：若，则，是假命题，如时，但，不符合题意； D选项的逆命题：若，则，是假命题，如时，但，不符合题意． 【变式2-1】（26-27八年级上·福建厦门·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（） A．若，则 B．垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C．全等三角形的对应角相等 D．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】B 【详解】解：A．逆命题为“若，则”．取，，满足，但，故逆命题为假命题． B．逆命题为“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，是真命题． C．逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”．两个大小不同的等边三角形对应角可以相等，但不全等，故逆命题为假命题． D．逆命题为“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”．如和的绝对值相等，但，故逆命题为假命题． 【变式2-2】（26-27八年级上·山东聊城·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．等边三角形是锐角三角形 C．相等的角是对顶角 D．等边三角形的面积相等 【答案】C 【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答． 【详解】解：A、其逆命题是“若，则”，错误，故是假命题； B、其逆命题是“锐角三角形是等边三角形”，错误，故是假命题； C、其逆命题是“对顶角相等”，正确，是真命题； D、其逆命题是“面积相等的三角形是等边三角形”，错误，故是假命题． 【变式2-3】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）下列命题的逆命题为真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．等边三角形的三个内角相等 C．四边形是多边形 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】先根据逆命题定义交换原命题的条件和结论得到各选项的逆命题，再判断逆命题的真假，即可选出正确答案． 【详解】解：A、原命题为对顶角相等，逆命题为相等的角是对顶角，∵相等的角不一定是对顶角，∴逆命题为假命题，A错误； B、原命题为等边三角形的三个内角相等，逆命题为三个内角相等的三角形是等边三角形，∵三角形内角和为，三个内角相等则每个内角为，∴三个内角相等的三角形是等边三角形，逆命题为真命题，B正确； C、原命题为四边形是多边形，逆命题为多边形是四边形，∵多边形可以是边数大于4的多边形，∴逆命题为假命题，C错误； D、原命题为全等三角形的面积相等，逆命题为面积相等的三角形是全等三角形，∵面积相等的三角形形状不一定相同，不一定全等，∴逆命题为假命题，D错误． 【题型三】根据线段垂直平分线的性质与判定求长度 【例3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】首先根据、，可证是等边三角形，再证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：∵、， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 【变式3-1】（25-26八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂直于点，且为的中点， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴的周长是． 【变式3-2】（25-26七年级下·重庆綦江·期中）如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 【答案】6 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 连接，易证明垂直平分、垂直平分，则，设、，则，利用的周长求出的值，最后利用求解即可． 【详解】解：连接， 点是中点、， 垂直平分、， ， 点是中点、， 垂直平分、， ， ， 设、，则， 的周长为， ， ， ． 【变式3-3】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【答案】5 【分析】设交点为，根据，易证垂直平分，得到，再根据即可求解． 【详解】解：设交点为， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴． 【变式3-4】（25-26八年级上·广西钦州·期中）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则长为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 首先根据，，可证是等边三角形，连接交于点G，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，从而可得的长． 【详解】解：如图，连接交于点G， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【题型四】根据线段垂直平分线的性质与判定求角度 【例4】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【答案】60 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，故当B、P、E三点共线时，有最小值，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，为内一点，连接，，，已知，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角． 先根据角的和差和三角形内角和定理求出，，以为底作等边三角形，过作的垂直平分线交于，可知在上，根据三角形三线合一求出，证明，得到，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，即可求出的值． 【详解】解：∵，，， ∴，． 如图，以为底作等边三角形，过作的垂直平分线交于． ∵， ∴在的垂直平分线上，即在上． 根据等边三角形三线合一可知， ∵，， ∴， 即，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，利用无刻度直尺与圆规作出直线，交，于点，，平分，得出________． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，由图可知：垂直平分，得，；求出，进而得；根据即可求解； 【详解】解：∵，， ∴； 由图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， 故答案为： 【变式4-3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，D为等边内一点，连接、、，，点P为右侧一点，连接、，，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形性质及垂直平分线的判定与性质，根据等边三角形的性质以及已知条件可得是的垂直平分线，根据三线合一可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵ ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型五】直角三角形两锐角互余求角度 【例5】（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，是的高，是的角平分线．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为是角平分线，已知的度数，所以可根据角平分线定义求出的度数．因为是高，所以，结合已知的度数，根据直角三角形两锐角互余可求出的度数．观察角的和差关系，等于与的差，代入对应度数计算即可． 【详解】解：已知是的角平分线，， 可得： 已知是的高， 因此，即． 在中，两个锐角互余，结合 可得：． 观察图形可知， 代入数值：． 【变式5-1】（26-27八年级上·吉林·期中）如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（    ） A． B． C． D．与的大小有关 【答案】B 【分析】设，，先由直角三角形两锐角互余得到，再由题意及等腰三角形的性质得到和，最后在中，由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设，，则在中，， 由题意可知， 和是等腰三角形， 则，， 在中，由可得． 【变式5-3】（25-26七年级下·重庆荣昌·期中）如图，长方形中，点是边上一点，连接，过点作交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用长方形的性质得出直角，结合垂直定义利用同角的余角相等求出，最后在直角三角形中求解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，． 【题型六】斜边上的中线等于斜边的一半求线段长度 【例6】（26-27九年级上·陕西宝鸡·期中）如图所示，已知，点为边的中点，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，点为的中点， ， ， ． 【变式6-1】（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，在中，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【详解】解：连接． ∵，E是的中点， ∴， 又∵F是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴． 【变式6-2】（26-27九年级上·天津河西·期中）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图方法可得垂直平分，则O点是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，由等边对等角得出，最后由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， ∴， ∴为中线， 又中，， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，平分，与交于点M，于点D，于点E，与交于点F，若，则为（     ） A．2.5 B．2 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】取的中点G，连接，设，，再利用x、y表示、，列方程即可得到x的值． 【详解】解：取的中点G，连接， 设，， 可得， ∵，， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【变式6-4】（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长是（     ） A．11 B．15 C．12 D．14 【答案】A 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得且为中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，结合中点定义求出、的长，进而求得的周长． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∵点为的中点， ∴，， ∴的周长为：． 【变式6-5】（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）如图，，，平分，交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，则的长是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】延长，，两线交于点F，，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可； 【详解】解：延长，，两线交于点F， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是斜边的中线， ∴. 【题型七】勾股定理解直角三角形（直接法） 【例7】（26-27八年级上·福建三明·期中）已知一个直角三角形两边长为2和3，则第三边长为（     ） A． B． C．或 D．5 【答案】C 【分析】未明确直角三角形的斜边，需结合斜边最长的性质分类讨论． 【详解】解：直角三角形中斜边最长，分两种情况计算第三边． 当长为的边为斜边，长为的边为直角边时，第三边长为． 当长为和的边均为直角边时，第三边长为． 故第三边长为或． 【变式7-1】（26-27八年级上·山东青岛·期中）如图，数轴上点表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，从而得到的长，再结合数轴可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵数轴上点表示的数为，且点D在点O的左侧， ∴点表示的数为． 【变式7-2】在中，，，，则的长为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再根据勾股定理得出，即，最后求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 将，代入得：， ∴， ∴，负值舍去． 【变式7-3】（（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，为边延长线上一点，．若，则的长为（     ） A．4.8 B．9.6 C．10 D．19.2 【答案】B 【分析】判定为直角三角形，利用等面积法求解． 【详解】解：， ， ， ， 在中，， ， 且， ， ． 【题型八】勾股数（树）问题 【例8】选材新风向数学文化  清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．该法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．有下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．根据上述规律，第⑥组勾股数为（     ） A．10，18，24 B．16，56，70 C．13，84，85 D．12，38，63 【答案】C 【分析】归纳已知勾股数的数字规律，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵第①至④组勾股数的第一个数依次为3，5，7，9，是从3开始的连续奇数， ∴第组勾股数的第一个数为， ∴第⑥组第一个数为． ∵每组勾股数的后两个数相差1，且第三个数最大， ∴设第⑥组第二个数为，第三个数为， 由勾股定理得， 即， 化简得， 解得， ∴， 即第⑥组勾股数为13，84，85． 【变式8-1】（26-27八年级上·全国·期中）下列各组数中是勾股数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先排除不是正整数的选项，再验证剩余选项中较小两数的平方和是否等于最大数的平方即可． 【详解】解：、不是正整数，不是勾股数; 、，不是勾股数； 、，是勾股数； 、，不是勾股数． 【变式8-2】（26-27八年级上·山西太原·期中）下列各组数是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】先排除非正整数的选项，再验证剩余选项中两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A选项：，符合条件； B、C选项：，，均不符合条件； D选项：、不是正整数，不符合勾股数的要求； 故答案为A． 【变式8-3】（26-27九年级上·湖北武汉·期中）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可． 【详解】解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 【变式8-4】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）下列命题：①若a、b、c为一组勾股数，则4a，4b，4c仍为勾股数；②若直角三角形的两边长是3和4，则另一边必是5；③若一个三角形的三边分别是12，25，21，则此三角形是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c（），那么：1：1．其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股定理和直角三角形的判定，根据相关概念和定理逐一判断每个命题即可得到答案； 【详解】解： ①∵、、为一组勾股数，不妨设，且、、都是正整数， ∴，且、、都是正整数，因此、、仍是勾股数，故①正确； ②直角三角形的两边长为3和4时，若4是斜边，第三边长为，不一定为5，故②错误； ③∵，，∴，因此这个三角形不是直角三角形，故③错误； ④∵等腰直角三角形中，是斜边，∴，即， ∴，故④正确； 综上，正确的命题是①④； 【题型九】以直角三角形三边为边长的图形面积 【例9】（26-27八年级上·山东济南·期中）如图，两个较大正方形的面积分别为，，中间所夹三角形为直角三角形，则字母所代表的正方形的面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中间所夹的三角形为直角三角形，根据勾股定理解答即可， 【详解】解：因为中间所夹的三角形为直角三角形， 两个已知正方形的面积是斜边的平方和长直角边的平方， 所以字母所代表的正方形的面积． 【变式9-1】（26-27七年级上·陕西西安·期中）与都是直角三角形，其中与是直角，如下图所示．图中所画出的六个半圆形的圆心都用点标出．若阴影部分的面积分别为S、、、，（     ） A．1 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，求出S、、、，结合勾股定理，可得到与S，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点O为的中点，即， 由勾股定理得：， ∵， ， ， ， ∴ ∴， ∴． 【变式9-2】（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】解：设分别交、于点、点， ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， ∵在中，，即， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴． 【变式9-3】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 【变式9-4】（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到，根据圆的面积公式，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且，， ， 根据勾股定理，得， 故圆的面积为， 根据题意，得是半圆的面积， 故； 【题型十】判断三边是否能构成直角三角形 【例10】（26-27八年级上·广东佛山·期中）由下列条件不能判定为直角三角形的是（     ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【分析】结合三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，从角的关系和边的关系两个角度逐一判断各选项． 【详解】解：A选项，∵，， ∴，即，可判定为直角三角形，不符合题意． B选项，∵，， ∴最大角，不能判定为直角三角形，符合题意． C选项，∵， ∴，即，可判定为直角三角形，不符合题意． D选项，∵，，， ∴，， ∴，可判定为直角三角形，不符合题意． 【变式10-1】（26-27八年级上·陕西西安·期中）已知a，b，c为的三边长，下列条件中能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据勾股定理的逆定理判断A，B，C，再根据三角形内角和定理解答D． 【详解】解：A、设， 则， ∴， 所以不是直角三角形； B、∵， ∴， 所以不是直角三角形； C、∵， ∴， ∴是直角三角形； D、设， 则， 解得， 则， 所以不是直角三角形． 【变式10-2】（26-27八年级上·广东梅州·期中）三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由非负性求出三角形三边长，再用勾股定理的逆定理判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，， ∵， ∴这个三角形是直角三角形． 【变式10-3】（26-27八年级上·山东枣庄·期中）已知为的三边长，若满足，则是（     ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【变式10-4】（26-27八年级上·四川成都·期中）中，，，的对边分别为，，，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【详解】解：选项A：根据三角形内角和为可知，代入条件，可得，解得，是直角三角形； 选项B：设三边长分别为、、（），此时，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”的基本性质，根本无法构成三角形，更不可能是直角三角形； 选项C：展开等式左边得，整理后为，符合勾股定理逆定理，为直角，是直角三角形； 选项D：计算三边平方：，即，符合勾股定理逆定理，是直角三角形． 【题型十一】勾股定理与网格问题 【例11】（26-27八年级上·全国·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，则的边长不是有理数的边有（     ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】利用勾股定理，根据网格中每条边对应的水平、竖直格数，求出三角形三条边的长度，再依据有理数的定义进行判断． 【详解】解：网格中小正方形边长为1，由勾股定理： ，是整数，属于有理数； ，是无理数，不是有理数； ，是无理数，不是有理数． ∴不是有理数的边有2条． 【变式11-1】如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：平移的距离即为对应点所连线段的长度， ∴平移距离． 【变式11-2】（25-26八年级下·四川巴中·期中）如图，点、、在边长为的小正方形方格的格点上，则是（     ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】用勾股定理分别算出三边平方，先判断两边相等得等腰，再用勾股逆定理判断直角，确定是等腰直角三角形． 【详解】解：根据题意可知，，， 可得，， 故是等腰直角三角形． 【变式11-3】（25-26八年级下·山东日照·期中）如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以设正方形边长为1，标出对应格点，通过勾股定理逆定理判定出为等腰直角三角形，再由平行性质知，即可求出． 【详解】解：如图，标出和，设正方形边长为1， 由点都在格点上和勾股定理可求得， ，且 是等腰直角三角形，， 由平行线性质知， ． 【变式11-4】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，顶点，，在边长为1的正方形网格格点上，若于点，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求得的长，然后运用等面积法求解即可． 【详解】解：由网格图可知，，点到所在直线的距离为3，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：． 【题型十二】利用勾股定理的逆定理求解 【例12】（26-27八年级上·浙江金华·期中）如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理的逆定理，即，判断出是直角三角形，设折叠后点与上的点重合．在中，根据勾股定理即可得到一个关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形． 设折叠后点与上的点重合，如图， 设，则，，，， ， 在中，， 解得， ． 【变式12-1】（25-26八年级下·云南昭通·期中）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理可得，从而利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和求解即可. 【详解】解：连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴. 【变式12-2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图所示的一块菜地，，，，，，这块菜地的面积为________． 【答案】 【分析】连接，由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理判断出，最后再由计算即可得解． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ， 在中，， ， ∴这块菜地的面积为 【变式12-3】（25-26八年级下·陕西延安·期中）如图，在中，，，．点分别为边上一点，将沿折叠，使点落在边的中点处，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股逆定理以及勾股定理，折叠的性质．首先根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，且；由中点的定义求出的长；根据折叠的性质可得；设，则，在中利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形，且． 点是边的中点， ． 由折叠的性质可知，． 设， 则， ． 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． 【变式12-4】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．. 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 在中，， 由勾股定理可得： 在中， 是直角三角形， 故答案为：． 【题型十三】勾股定理的实际应用-梯子滑落问题 【例13】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图所示，一根长米的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角与木棍端的距离为米，设木棍的中点为，若木棍端沿墙下滑，则端沿地面向右滑行． (1)求的长； (2)木棍在滑动过程中，线段的长度发生改变了吗？若改变，请说明理由；若不变，求的长； (3)如果木棍的底端向外滑出米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少米？ 【答案】(1)米 (2)木棍在滑动过程中，线段的长度未发生改变； (3)米 【分析】（1）根据题意，由勾股定理直接代入值计算即可； （2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （3）在新情况下，由勾股定理求出长，与原来米比较即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 由题意可知米，米， 在中，由勾股定理可得（米）； （2）解：连接，如图所示： 在中，为的中点，则（米）； （3）解：如图所示： 当木棍的底端向外滑出米时，米，米， 在中，由勾股定理可得（米）， 刚开始时米， 木棍的顶端沿墙下滑距离为米． 【变式13-1】（25-26八年级下·江西南昌·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 【变式13-2】（25-26八年级下·山东德州·期中）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)处与地面的距离是米 (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【详解】（1）解：在中， 米，米，米， （米），                （米）， 答：处与地面的距离是米；                                （2）解：由题意得米， 米，（米）， （米），        （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【变式13-3】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，这是建筑工人搭建的临时施工支架，竖直立柱垂直地面于点A，斜梁为斜边．初始时立柱顶端B离地面的距离，斜梁的长度比水平距离多．立柱位置不动，斜梁长度保持不变，现将立柱顶端竖直向下降低至点D． (1)求初始状态下的水平距离的长． (2)当立柱顶端竖直向下降低至点D时，求斜梁落点C在水平方向向外移动的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设初始状态下的水平距离为，则斜梁的长为，进而根据勾股定理求解即可； （2）先求出和的长度，进而运用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：设初始状态下的水平距离为，则斜梁的长为． ， 为直角三角形， 解得， 答：初始状态下的水平距离的长为； （2）解：由于斜梁的长度比水平距离多， ∴斜梁的长为， 由题意得，降低后竖直高度为． 在中，， 解得． ∴斜梁底部移动距离为， 答：斜梁落点C向外移动了． 【题型十四】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题 【例14】（25-26八年级下·云南德宏·期中）数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直．小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离的长为80米，的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米（米）．求风筝离地面的垂直高度的长为多少米． 【答案】风筝离地面的垂直高度为米 【分析】在中，由勾股定理求得的长，再利用求解即可． 【详解】解：依题意得，，，， 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 答：风筝离地面的垂直高度为米． 【变式14-1】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 【答案】4m 【分析】先根据勾股定理求出，进而得出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】解：在中，， ， 由题意可得，， 在中，， ． 答：小明移动的距离为4m． 【变式14-2】（25-26八年级下·广东惠州·期中）某小区改造，在市民休闲广场新建一秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． (1)图中________； (2)求绳索的长度． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由，再用求即可； （2）设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ∵ ∴； （2）解：设的长为，则， ∴． 在中， 由勾股定理，得：， 即 解得：． 答：绳索的长为． 【变式14-3】（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图1，用激光测距仪测量某建筑物的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示；最后仪器会自动显示出楼的高度． (1)求仪器显示的楼的高度． (2)如图2，若将激光测距仪沿方向移动后到达点，将激光射向楼顶端的点，则仪器显示点，的距离是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得， 答：仪器显示的楼的高度为； （2）解：， 在中，， 由勾股定理得， 答：仪器显示点，的距离是． 【题型十五】勾股定理的实际应用-大树折断问题 【例15】（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）如图，山坡上的一棵树甲被大风从点处拦腰折断，如图所示，甲树的顶端恰好落在坡底另一棵树乙的根部处，其中米，甲树的根部到坡底的距离米，甲、乙两棵树之间的水平距离米，已知，点、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求甲树原来的高度（即）． 【答案】树原来的高度19米． 【分析】利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 答：树原来的高度19米． 【变式15-1】（26-27八年级上·全国·期中）折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 【答案】4.55尺 【分析】设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：1丈=10尺 设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴． 答：折断后竹子离地面的高度为4.55尺． 【变式15-2】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 【答案】树甲折断前的高度是19米 【分析】根据勾股定理在中先求出长度，则长度可知，再在中利用勾股定理求出长度，则树甲折断前的高度为即可求解． 【详解】解：∵， ∴和是直角三角形， ∴在中，（米）， ∴（米）， ∵在中，（米）， ∴（米）． 答：树甲折断前的高度是19米． 【变式15-3】（25-26八年级下·湖北鄂州·期中）一场大风后，山坡上的一棵树在A点处被拦腰折断．如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部C处，甲、乙两棵树均沿竖直方向生长，已知，，甲、乙棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【答案】树折断前的高度是米 【分析】过点C作，交的延长线于点D，在和中用勾股定理即可得到甲树折断前的高度． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点D， ，， ， ∵， ∴， ∴． 答：树折断前的高度是米． 【题型十六】勾股定理的实际应用-水杯中筷子问题 【例16】（26-27八年级上·全国·期中）装修工人携带了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知电梯的长、宽、高分别是1.5m，1.5m，2.2m，那么一根3.1m长的木条能否放入电梯内？ 【答案】不能 【分析】如详解图，把电梯看作长方体，利用勾股定理求出其最长对角线的长，与木条的长进行比较即可求得结果． 【详解】 解：由题意得：是电梯里最长的对角线， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 木条长的平方， 木条长的平方， 木条长大于， 答：木条不能放入电梯内． 【变式16-1】（26-27八年级上·全国·期中）今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问：水深、葭长各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺（如图）．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 【答案】这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺 【分析】设尺，则尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设尺，则：尺， ∵水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，1丈尺， ∴尺， 在中，， ∴， 解得， ∴尺，尺， 即这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺． 【变式16-2】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 【题型十七】勾股定理的实际应用-航海问题 【例17】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【答案】(1)海里 (2)本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 【分析】（1）根据方位角的定义得出，海里，海里，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点作于，利用“等积法”求出，设海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出海里，进而求出海里，根据时间距离速度，即可求出从到所用时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∴， ∴（海里）， ∴港口到港口的直线距离为海里． （2）解：本次航行符合安全标准，理由略 【变式17-1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 【答案】海里 【分析】由方向角的定义说明是直角三角形，在直角三角形中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，（海里），（海里）， ， 是直角三角形， 由勾股定理得（海里）． 答：岛与岛之间的距离为海里． 【变式17-2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，一艘轮船从海港沿正东方向向海港行驶，点处有一座灯塔，轮船行驶了后到达点处（即），此时轮船正好位于灯塔的正南方，继续向东行驶了到达海港处（即），已知灯塔到海港的距离为，求灯塔到海港的距离． 【答案】 【分析】由题意可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式17-3】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 【答案】34海里/小时 【分析】先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意，得，，， 因为， 所以， 所以， 因为， 故， 故我军巡逻舰队的航行速度为（海里/小时）； 【题型十八】勾股定理的实际应用-判断汽车是否超速问题 【例18】（25-26八年级下·四川凉山·期中）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【答案】(1) (2)未超速，理由如下， 如图，，过点作于点， 在中，， ∴ ∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为， ∴卡车在该路段行驶过程中的速度为， ∴卡车未超速 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据等面积法，即可求解； （2），过点作于点，勾股定理求得，则，进而根据路程除以时间计算速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵、，， ∴是直角三角形，且 设楼到的距离为， ∴ ∴ （2）略 【变式18-1】（25-26八年级下·重庆南川·期中）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 【变式18-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距A点的距离之和为35米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 【变式18-3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【答案】(1)共用时4秒 (2) 解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2）略 【题型十九】勾股定理的实际应用-判断是否受台风影响问题 【例19】（26-27八年级上·福建漳州·期中）如图，两条公路、交于点O，在公路旁有一学校A，与O点的距离为，点A（学校）到公路的距离为，一大货车从O点出发，行驶在公路上，货车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响?为什么? (2)若货车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟? 【答案】(1)货车开过学校受噪音影响，理由如下： ∵， ∴货车开过学校受噪音影响； (2)学校受噪音影响时间是6秒 【分析】（1）根据垂线段最短即可求解； （2）设，则路段是学校受噪音影响的路段，对运用勾股定理求解，即可求解，即可求解受影响的时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设，则路段是学校受噪音影响的路段， ∵， ∴， 又，， ∴， 同理由勾股定理可得，， ∴， ∴影响时间（秒）． 答：学校受噪音影响时间是6秒． 【变式19-1】（26-27八年级上·陕西宝鸡·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风移动的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； (2)台风影响该海港持续的时间有小时 【分析】（1）过点作于点，先证明是直角三角形，利用等面积法求出，即可得出结果； （2）当时，海港正好受台风影响，由等腰三角形的性质并结合勾股定理求出，从而即可得出结果． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； （2）解：如图，当时，海港正好受台风影响， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵台风移动的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有小时． 【变式19-2】（26-27八年级上·广东梅州·期中）拖拉机在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一辆拖拉机沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A、B的距离分别为和，，拖拉机周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受拖拉机的噪声影响吗？为什么？ (3)若拖拉机的行驶速度为每分钟，则拖拉机的噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 【答案】(1) (2)会受噪声影响， 理由如下： 如图，过点作于点． ， ． 拖拉机周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； (3)分钟 【分析】（1）依据勾股定理判定是直角三角形，然后得到度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间． 【详解】（1）解：， ， 是直角三角形，且； （2）略 （3）解：如图，在上取一点，使，连接， ， 当拖拉机在线段上时产生的噪声会影响学校． ， ， 在Rt中，， （分钟）． 答：拖拉机产生的噪声影响该学校持续的时间为分钟． 【变式19-3】（26-27八年级上·宁夏银川·期中）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知、之间相距，、之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)观测点会受到台风的影响，理由如下： 如图，作于点， ， ； ，， ， 由等面积可知，， ， 观测点会受到台风的影响； (2)观测点受台风影响的时间为 【分析】（1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解； （2）以点为圆心以为半径画弧交于点，，，可知台风在段移动时受到影响，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，以点为圆心以为半径画弧交于点，， 则， 台风在段上移动时受到影响， ， ， ， ， 观测点受台风影响的时间有． 【题型一】直角三角形锐角互余，忽略直角前提，漏看多解情况 【例1】（26-27八年级上·河南商丘·期中）在中，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（     ） A．或或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】当为直角三角形时，分两种情况：或，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：情况1：当时，如图所示， ， ． 情况2：当时，如图所示， ， ， 又， ． 综上所述，或． 易错警示 互余只在直角三角形成立；没有图形时，直角顶点位置不确定，需要分类讨论，不要默认固定顶点为直角。 【变式1-1】（26-27八年级上·浙江金华·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分类讨论，画出图形，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和外角的性质即可求解． 【详解】解：当这个三角形是锐角三角形时，如图所示： ∵高与另一腰的夹角为，即， ∴顶角， ∵， ； （2）当这个三角形是钝角三角形时，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为或． 【变式1-2】（26-27八年级上·江苏无锡·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为________． 【答案】 或 【分析】分两种情况讨论，①等腰三角形为锐角三角形；②当等腰三角形为钝角三角形；结合直角三角形性质计算顶角． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图，当等腰三角形为锐角三角形时， 设，于， ∵，， ∴顶角； ②当等腰三角形为钝角三角形时， 设，的延长线于， ∵，， ∴顶角； 综上，这个等腰三角形顶角的度数为或． 【变式1-3】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）在中，是边上的高线，垂足为，，且，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】根据直角三角形的性质，角的和差计算，需要分情况讨论垂足的位置，垂足在线段上和垂足在线段的延长线上，利用直角三角形两锐角互余求出，再结合已知条件求出，最后根据角的和差关系计算的度数． 【详解】解：是边上的高线， ，， 在中，， ， ， ， 分两种情况讨论： ①当垂足在线段上时， ， ②当垂足在线段的延长线上（点在，之间）时， ， 综上可得：的度数为或． 【题型二】勾股定理计算分不清斜边与直角边，公式套用颠倒 【例2】（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，中，是边上的中线，平分交于点于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用勾股定理求出的长，根据角平分线的性质得出，设，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：中，，，是边上的中线， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 易错警示 a2+b2=c2，c一定是斜边(最长边)；已知两边求第三边，未确定斜边时要分类讨论，不能直接带入公式。 【变式2-1】（26-27八年级上·山西太原·期中）如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得，，利用勾股定理，解答即可． 【详解】解：，，， ， 根据折叠的性质，得，，， ，， 根据勾股定理，得， 解得． 【变式2-2】（26-27九年级上·河北保定·期中）如图，在Rt中，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，则的长为（） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得，，求出，设，则，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵垂直平分， ∴，． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴． 设，则，． 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，即． 【变式2-3】（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】连接、，根据垂直平分线的性质，得；根据角平分线的性质，得，,，通过证明，得；设，根据勾股定理，列一元一次方程并求解，得，从而完成求解． 【详解】解：连接、，如下图： ∵是的中点，， ∴， ∵平分，，， ∴，,， 在和中 ， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【变式2-4】（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先设,则分别在和中，利用勾股定理表示出的长，从而可得方程，解方程求解即可得答案． 【详解】解：设, 则, ∵， 在中：, 在中：, ∴， 解得：， ∴， ∴． 【题型一】线段垂直平分线的性质与判定解答题综合 【例1】（26-27八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点O，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线． (1)连接，，求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明：连接，如图， ∵垂直平分，垂直平分 ∴， ∴ (2)证明：∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点F在线段的垂直平分线上， 又∵点O与点F不重合，且两点确定一条直线， ∴垂直平分． 【详解】（1）见答案 （2）见答案 【变式1-1】（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，边的垂直平分线分别交于点的延长线交于点． (1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)解：点在的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； (2) 【分析】（1）连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； （2）先求出，由，分别垂直平分，，可知，均为轴对称图形，从而，，进而可求出的度数． 【详解】（1）略； （2）解：∵，分别垂直平分，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∴． 【变式1-2】（26-27八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，，点D是的中点，于交于F，交的延长线于E． (1)_________（无需证明，直接写结果） (2)求证：垂直且平分． 【答案】(1)45 (2)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：是等腰三角形，且， ∴， 即垂直且平分． 【分析】（1）证明，可得，再证明是等腰直角三角形，即可求解； （2）证明，再结合是等腰三角形，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）略 【变式1-3】（2026·四川乐山·二模）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为．是由沿方向平移得到的，已知过点，连接交于点． (1)求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：是由沿方向平移得到的， ， ， 由（1）可知， ． 为等边三角形， ，， ， ， ． 又， ∴是的垂直平分线， ． 【分析】（1）根据等边三角形的性质及三线合一的性质求出的度数，再根据直角三角形的性质即可求出的度数． （2）根据平移的性质和平行线的性质求出的度数，再利用等边三角形的性质和直角三角形的性质，利用角的和差关系求出的度数，进而推出，根据，利用线段垂直平分的判定即可推出． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 是的中点 ． 又， ， ． （2）略 【题型二】直角三角形两锐角互余求线段长度 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）中，，，的平分线交于D，，则_______． 【答案】 【分析】由角平分线得到，由直角三角形两锐角互余求出，从而，根据“等角对等边”即可求解． 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则的长为______________． 【答案】5 【分析】因为，，，所以可推导和的等量关系，这是判断全等的突破口．根据已知，且两个三角形都有直角，用判定和全等．那么对应边，，再根据代入数值计算即可． 【详解】解：，， ． ， ，， ． 在和中， ， ，． ，， ，， ． 【变式2-2】（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在中，，，，垂足为D．若，则的长为________． 【答案】12 【分析】利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】由直角三角形的性质可得，由垂直的定义及平角的定义可得，再结合等腰三角形的性质可得，即可证明，再利用三角形的周长公式可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的周长为： ． 【题型三】锐角互余的三角形是直角三角形解答题综合 【例3】（25-26七年级下·湖南长沙·期中）已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)； (3)证明：∵是的角平分线， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴． 【分析】根据题意可以求得，从而得到是直角三角形； 由直角三角形的性质可得，又是的角平分线，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解； 根据是的角平分线，则，然后通过，三角形的外角性质即可得出结论成立． 【详解】（1）略； （2）解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ； （3）略． 【变式3-1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，交于点，且． (1)判断与的位置关系，说明理由； (2)若平分，且分别交，于点，．求证：． 【答案】(1)解：． 理由：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据，，结合，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，结合，利用三角形外角的性质得到，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 是直角三角形，理由如下 ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的性质与判定，三角形的外角的性质； （1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可说明是直角三角形； （2）根据，得出，根据得出，再根据三角的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， 设 ∵ ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵AB⊥BC， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)的长为． 【分析】（）由，则，故有，从而可得，根据直角三角形的判定方法即可求证； （）先画出图形，再根据即可求解； 本题考查了直角三角形的性质和判定，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵， ∴， ∴ ∴的长为． 【题型四】勾股定理与折叠问题 【例4】（26-27八年级上·山东青岛·期中）如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是．若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再结合折叠性质得出，，，，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】解：，， ， 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ，，，， ，， ， ，即， ， ∴． 【变式4-1】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据长方形的性质可得：，，，设，根据折叠的性质可得：，利用勾股定理求出的值即为的长度，根据三角形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 由折叠可知， 设， 则， 在中，， ， 解得：， ， 的面积为． 【变式4-2】（26-27八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，D是上一点，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在边上．已知，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】过作于点M，作于点N，由折叠性质可知，，，由角平分线的性质得出，再由勾股定理得，设，点到的距离为，再通过等面积法得出，，由列出方程即可求解． 【详解】解：如图，过作于点M，作于点N， ∴， ∵将沿折叠，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，点到的距离为，则， ∴，， ∴，， 即，， ∴， 解得：， ∴． 【变式4-3】（26-27八年级上·安徽池州·期中）如图，正方形的面积为144，H是边上的一个动点，将正方形沿过点H的直线折叠（点G在边上）． （1）若，则__________． （2）若点D的对应点E恰好落在边上的三等分点处，则线段的长是__________． 【答案】或 【分析】（1）根据题意可得，再由四边形是正方形，可得，即可得； （2）由正方形的面积为144，可得，由E为的三等分点，可得或，再由折叠可知，设，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：（1）由折叠可得，， ∵， ∴， ∵H是边上的一个动点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． （2）∵正方形的面积为144， ∴正方形的边长为12，即， ∵E为的三等分点， ∴或， 由折叠可知， 设，则， 当时， 在中，， ∴， 解得； 当时， 在中，， ∴， 解得； 综上所述，的长为或． 【变式4-4】（26-27七年级上·山东烟台·期中）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为_____． 【答案】 【分析】由折叠性质、平行线性质得到，再由等角对等边及长方形对边相等得到相关边长，设，在中，由勾股定理列方程求解得出，代入三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由折叠性质可得， ∵在长方形中，， ∴， ， ∴， 在长方形中，，， 设，则，， 在中，，，，，则由勾股定理可得， ， 解得，即， 重叠部分的面积为． 【题型五】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【例5】（26-27八年级上·山西晋中·期中）在中，斜边，则________． 【答案】18 【分析】由直角三角形结合勾股定理得到的值，即可得出结果． 【详解】解：∵中，斜边， ∴， ∴． 【变式5-1】（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）在中，，，则_______． 【答案】 【分析】直接利用勾股定理变形即可求解． 【详解】解： ， ， ， ． 【变式5-2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 【变式5-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在中，由勾股定理，得①， 在中，由勾股定理，得②， 得． 在中，由勾股定理，得③， 在中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 【变式5-4】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 【题型六】以弦图为背景的计算题 【例6】（2022·陕西商洛·模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若，小正方形的面积为1，则大正方形的面积为__________． 【答案】13 【分析】由题意可得，求出，结合勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴两式相加可得， ∴， ∴结合勾股定理可得，大正方形的面积为． 【变式6-1】（25-26八年级下·重庆永川·期中）如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】72 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为、（），先根据图1大正方形面积求出直角三角形的斜边长，根据小正方形面积得到两直角边的差值的平方，利用勾股定理得到的值，进而求出的值．分析图2中大正方形的边长与直角三角形两直角边的关系，可知其边长为，所以面积为，展开后代入已得的和的值即可计算． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为、（）， 图1中大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此大正方形面积满足：； 图1中小正方形的边长为，因此小正方形面积满足：， 展开得：， 将代入上式，得， 解得． 图2中大正方形的边长为， 因此大正方形面积为：． 【变式6-2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是______． 【答案】13 【分析】根据正方形面积公式求出阴影部分边长为7，结合图形得出与的数量关系，求出的长，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：阴影部分的面积是49， 中间小正方形的边长为， 由图可知，中间小正方形的边长等于， ， ， ， 在中，，由勾股定理得：， 大正方形的边长是13． 【变式6-3】（2026·辽宁抚顺·二模）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则______． 【答案】 【分析】根据，得出，证明，得出，,勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形、、均为正方形， ∴，，， ∴， ∴，, 在中， ∴． 【题型七】勾股定理与无理数 【例7】（26-27八年级上·山东菏泽·期中）小斗把长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和5，，连接，以点B为圆心，长为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为______． 【答案】/ 【分析】利用勾股定理求出，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：A、B两点在数轴上对应的数分别为和5， ， ， ， 在中，， 由作法可知，， 点E在数轴上所表示的数为． 【变式7-1】（26-27八年级上·安徽宿州·期中）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为__________． 【答案】/ 【分析】首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得M点表示的数． 【详解】解：由题意得：， ∴， 则点M表示的数为． 【变式7-2】（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 【答案】/ 【分析】通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，， ∴， ∴， 同理，，……， 以此类推可得， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，， ∴． 【变式7-3】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图所示的数轴，点表示的数是________． 【答案】 【分析】求出长度，进而可知点表示的数． 【详解】解：如图， 可知， 由作图可知， ∴点表示的数是． 【题型八】利用“HL”证明直角三角形 【例8】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点D是边的中点，且，点E是外一点，连接，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形； (2)证明：∵是等边三角形， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴，即 【分析】（1）由得，根据题意得，结合可得结论； （2）证明，根据证明 【详解】（1）略 （2）略 【变式8-1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，于D，于E，交于点O，且． (1)求证：； (2)连接，求证：平分； (3)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵于D，于E， ∴， ∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵于D，于E， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得证； （3）根据三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴. 【变式8-2】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，与相交于点，此时点恰好在的角平分线上． (1)求证：； (2)求平移的距离． 【答案】(1) 证明：连接 因为平移得到， 所以， 所以四边形是平行四边形 所以 所以 因为是的角平分线 所以 所以 所以 所以； (2) 【分析】（1）因为平移的性质可得，所以可推得；结合是的角平分线，可得，所以，依据等角对等边得到，再结合即可推导结论； （2）作于，得到可证得（），再用勾股定理求得的长，进而设，在中，由勾股定理得解出即可． 【详解】（1）略； （2）解：作于， 则 因为， 所以（） 所以 在中， 所以 所以 设，则， 在中，由勾股定理得 解得： 所以平移的距离为． 【变式8-3】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式8-4】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，点为的中点，平分，． (1)求证：平分． (2)猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：如图，作交于点， 点为的中点， ， 平分，，， ， ， 又，即， 点在的平分线上， 即平分； (2) 解：猜想：， 证明如下， 由（1）可知，， 又， （）， ， 同理可得，，， ， ． 【分析】本题考查线段中点的定义，角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确掌握角平分线的性质和判定是解题的关键． （1）作交于点，根据线段中点的定义和角平分线的性质，易证，再根据角平分线的判定即可求证； （2）利用“”，易证，，从而，，进而根据，可证． 【详解】（1）略 （2）略 【题型九】利用勾股定理证明线段的平方关系（解答题压轴） 【例9】（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，四边形中，，分别以线段，，，边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，连接，利用勾股定理可以得到：．根据材料提示完成下列问题： (1)如图2，是中边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，请写出，，，的等量关系___________； (2)如图3，在中，，，点是上一点，且，若，求证：是直角三角形； (3)如图4，在中，分别以线段，，为边向外作正方形，正方形的面积分别，，试求出的面积． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴设，则， ∵ ∴， ∵，， ∴在和中， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形； (3) 【分析】（1）在两个直角三角形中利用勾股定理分别表示，得出各边平方的关系，将正方形面积转化为边长平方，即可得出四个面积的等量关系； （2）设表示出，利用双直角三角形共高列方程求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形即可； （3）由正方形面积得三边平方与长，作高设元，利用共高列方程求高，最后用面积公式计算的面积即可． 【详解】（1）解：在和中， ，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴； （2）略 （3）解：如图，过点作于点， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴和中， ， 解得， ∴， ∴， ∴． 【变式9-1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． (1)如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． (2)如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 【答案】(1) (2)仍成立；理由见解析 (3) 【分析】（）利用，在中和等腰中分别用勾股定理，推导出结论； （）先通过证明，得到且，再在两个直角三角形中用勾股定理，验证结论仍成立； （）通过构造等腰直角，先利用证明，得到；再结合与的角度关系，判定为直角三角形，用勾股定理求出；最后利用等腰直角中的关系，计算得出的长度． 【详解】（1）解：∵，，即， ∴在中：， ∵在中， ∴在中， ∴； （2）解：仍成立； 理由：∵中，， ∴； ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴， 代入得：， 又中， ∴，原关系仍成立； （3）解：∵ ∴，， 按照前两问构造：过作，且，连接， 同（）可证， 得， ∵，， ，即是直角三角形， 在中：， ∴， 又∵等腰中，代入得，， ∴． 【变式9-2】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又，， ， ，， ， ， ； ， ， ， ； (3)， 如图，延长到使，连接， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． （1）延长至点，使，连接，根据可得，则可得，，再证，则可得，进而可得 ； （3）延长到使，连接，．根据可得，则可得，，进而可得，则可得．再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接，如图所示： ， 在中，，，是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边之间关系得：， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式9-3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 【答案】(1) 证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (3)或或 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得； （3）点、在直线上，，共有三种情况，分别画图，同理（2）可得与其他线段的平方关系，再利用方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，，， ∴，， 设， ①当点、都在边上，如图2， 则，， 由（2）可得：， ∴， 解得：， ②当点在边上，点在左侧时，如图3： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， ②当点在边上，点在右侧时，如图4： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， 综上所述：或或. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 【题型十】线段垂直平分线中最值问题 【例10】（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，且，，是的中点，是上的一个动点，与的和最小为_____． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形性质，垂直平分线判定，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用对称找出与的和为最小值的情况．连接，连接，结合等边三角形性质，得到是边的垂直平分线，进而推出与的和最小，即最小，当、、三点共线时，与的和最小为，结合等边三角形性质，证明，最后利用全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：连接，连接， 是等边三角形，， 是边的垂直平分线， ， ∴， 当、、三点共线时，最小， 与的和最小为， 是的中点， ， ， ，， ， ， ， 即与的和最小为， 故答案为：． 【变式10-1】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，，，先得出的最小值为的长，再得出当时，的长最小，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，的长最小， ∴此时有， ∵， ∴， 解得， 即的最小值为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，将两点线段和的最小值问题进行转化，进而利用两点之间线段最短和垂线段最短确定最小值． 【变式10-2】（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，在四边形中，，，，连接，的面积为，点E是边边上一动点，点P在线段上，连接，则的最小值是________． 【答案】 【分析】连接AC，CP，根据，，可得BD垂直平分AC，从而得到AP=CP，进而得到PC+PE的最小值为CE的长，且当CE⊥AB时，CE最小，再根据△ABD≌△CBD，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接AC，CP， ∵，， ∴BD垂直平分AC， ∴AP=CP， ∴PA+PE=PC+PE≥CE， 即PC+PE的最小值为CE的长，且当CE⊥AB时，CE最小， ∵，，BD=BD， ∴△ABD≌△CBD， ∴， ∴， ∴，即PA+PE的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式10-3】（20-21八年级上·四川广元·期中）如图，在中，，，是的两条中线，是上的一个动点，则图中长度与的最小值相等的线段是_______． 【答案】/EC 【分析】如图，连接，根据，是的中线，可推出，即可得到，由于是上的一个动点同时结合三角形三边关系定理可得，根据两点之间线段最短，当点、、共线时，的值最小，最小值为线段的长度，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，是的中线， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是上的一个动点， ∴， 当点、、共线时，的值最小，最小值为线段的长度， 即与的最小值相等的线段是． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形三边关系定理，两点之间线段最短等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【题型一】勾股定理中最短路径问题——立体展开最短路径模型 1.识别立体图形：判断是圆柱、长方体等立体，明确起点、终点位置。 2.侧面展开：将立体图形的侧面展开成平面图形(平面上两点之间线段最短)。 3.找两条直角边：展开后，起点与终点连线为斜边；两条直角边分别是底面周长的一部分与立体的高(或长、宽)。 4.套用勾股定理：a²+b²=c²,代入两条直角边，求出斜边长度，即为最短路径长。 5.多情况对比：长方体展开常有多种展开方式，要算出全部情况，取最小值。 勾股定理中最短路径问题——侧面展开法：把立体侧面展开成平面，两点连线为最短路径，构造直角三角形，利用勾股定理计算。易错警示 易错点：立体展开方式漏情况，直角边找错 【易错警示】 ①长方体有3种不同展开方案，必须全部计算再比较，不能只算一种； ②分清底面展开长度，不要错把整个底面周长直接当作直角边； ③最短路径一定是展开平面上两点的线段，不是立体表面上曲线。 【例1】（26-27八年级上·山东枣庄·期中）如图，有一个圆柱形玻璃杯，它的底面周长为，高为．在杯内壁离杯底的点处有一只蚂蚁，此时与蚂蚁相对的外壁离杯口的点处有一滴蜂蜜．若蚂蚁从点沿玻璃杯侧面爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆柱侧面展开，作A关于的对称点，连接，则就是最短距离，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：圆柱侧面展开如下图所示，作A关于的对称点，连接，则就是最短距离，过B作于， 由题意可得：，，， 由勾股定理得：， ， 答：蚂蚁爬行的最短路程为． 【变式1-1】（26-27八年级上·河南开封·期中）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将木块的表面展开，利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：将蚂蚁经过的表面展开如下： 由题意可知， ，， 由勾股定理可得， （）． 【变式1-2】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘，点E在上，．一位滑板爱好者从点A出发滑到点E，则他滑行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将半圆面展开成矩形，连接．则是最短距离，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将半圆面展开如图所示，连接． 根据题意，得，． 在中，由勾股定理，得 ， 所以他滑行的最短距离为． 【变式1-4】（25-26八年级下·河南信阳·期中）如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】D 【分析】根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈雕龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为3米，柱身高约8米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的雕龙的长度至少（米）． 【题型二】勾股定理的证明方法（解答题压轴）——面积法证勾股模型 1.观察图形：看清拼图结构(弦图、梯形、拼接正方形等),标记各边a,b,c。 2.两种方式表示总面积：方法一：整体图形直接求总面积；方法二：分割成若干基础图形，求和得到总面积。 3.列等面积等式：整体面积=各分割部分面积之和。 4.化简整理：展开、合并同类项，消去相同项，推导出a²+b²=c²。 5.书写结论：得到直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的证明方法—等面积推导法：用两种不同方法表示同一个图形的面积，列面积等式化简，证明a²+b²=c²。 易错警示 易错点：图形面积计算错误，边长对应关系混淆 【易错警示】 ①注意图形里的直角，不要搞错a,b,c对应的线段； ②分割图形面积不要重复计算或者漏掉部分小块； ③展开代数式时，完全平方展开不要漏写交叉项2ab。 【例2】（26-27八年级上·河南郑州·期中）回顾人类文明历史，勾股定理揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，该定理也被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． (3)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （3）解：如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 【变式训练2-1】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、．设、交于点，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：___，___； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)， (2)，，证明如下： ， ， ． 【分析】（1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质求出，再根据求解即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：方法一∶， 方法二：， 证明略． 【变式训练3-1】（26-27八年级上·全国·期中）欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 【答案】证明：如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、． ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、．先根据证明，则可得，进而可得，同理可得，进而可得，从而可得． 【详解】略 【点睛】本题主要考查利用割补法和面积法证明勾股定理，证明，是解题的关键． 【变式训练3-2】（25-26七年级下·宁夏银川·期中）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【答案】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． (2)48 (3) 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可求解； （2）设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，可得，，，即可求解； （3）延长交于点，证明，可得，可得，在中，，，，可得，再证明，可得，，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 【变式训练3-3】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 即； (2)24 (3)1.2千米 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 【题型三】全等三角形中垂线模型（解答题压轴）——三垂直全等模型（K型模型） 已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE 图示 结论 △ABC≌△CDE，BD=DE+AB △ABC≌△CDE，BD=AB-DE 【例3】（26-27八年级上·福建福州·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 【答案】(1)证明：如图1， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． (2)①证明：如图2， 过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵，， ． ② 【分析】（1）根据，，得，再根据同角的余角相等，即可证明，再根据已知，结合全等三角形判定定理即可证明． （2）①过作于，根据条件，结合“一线三垂直模型”即可证明，进而可证明，再根据全等三角形性质得，由（1）得，即可得，再根据，，即可证明． ②过作于，根据（1）得，，即可得，，根据（2）①得：，即可得，，进而得，，结合条件即可证明，根据全等三角形的性质得，再根据，等量代换得，进一步代换推理得，代入数据求解即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②如图2，     由（1）得：，， ∴，， 由（2）①得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 【变式3-1】（26-27八年级上·江苏连云港·期中）【模型提出】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)①如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点，于点E，则线段，与之间满足的数量关系是__________； ②如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，，，则的长为__________． 【模型初探】 (2)如图3，四边形中，，，则的面积为__________． (3)如图4，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰．连接交延长线于点E．判断与的数量关系并证明． 【模型拓展】 (4)如图5，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，则的面积为__________． 【答案】(1)①；②3 (2)32 (3)，证明如下： 如图所示，过点D作交延长线于H， ∵是等腰直角三角形，且为直角边， ∴， ∴同理可证明， ∴； ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (4)或 【分析】（1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）过点B作交延长线于H，同（1）可证明，则，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）过点D作交延长线于H，同理可证明，得到；再证明，得到，则； （4）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即； ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ； （2）解：如图所示，过点B作交延长线于H， 同（1）可证明， ∴， ∴； （3）略 （4）解：以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，过点A作于E，过点作交延长线于，如图所示： ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，过点A作于E，过点作交延长线于，如图所示： ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 综上，的面积为或． 【变式3-2】（26-27八年级上·浙江宁波·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【答案】(1)， (2) (3)证明：过点D作于点M，过点E作于点N， 由（1）可知，当，，，时， ， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即点G是的中点． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到对应边相等； （2）根据全等三角形的判定得到、，从而得到对应边相等，进而根据三角形面积公式和梯形面积公式得到、、、、，最后根据面积之间的和差关系求出图中实线所围成的图形的面积； （3）过点D作于点M，过点E作于点N，由（1）得到、，根据全等三角形的性质得到，再根据全等三角形的判定得到，最后利用全等三角形的性质得到，从而得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：过点E作于点P，过点B作于点G，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 答：图中实线所围成的图形的面积为； （3）略 【变式3-3】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 【答案】(1)①；②5 (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）①根据题意，利用全等三角形的判定即可证明； ②利用全等三角形的性质即可解答； （2）根据题意及角度等量代换，证明，即可解答； （3）过作交直线于，证明，得到，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ，， ， 则在中，， ， 在和中， ，，， ； ②∵， ∴，， ∴； （2）解：略 （3）解：过作交直线于， 由三角板可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-4】（25-26七年级下·江西九江·期中）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】 (3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 【答案】(1) (2)解：（1）中结论不成立，应为，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． (3)6 (4)所有满足条件的的长为或或 【分析】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）同（1）思路求解即可； （3）根据求出，则．过点A作，交的延长线于点E，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （4）根据得到，，根据的面积求出，根据同角的余角相等得到．若以点、、为顶点的三角形与全等，分点B，F均在点C上方，和点B，F均在点C下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）略 （3）解：∵与均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 过点A作，交的延长线于点E，则， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． （4）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点B，F均在点C上方， ∵， ∴存在或． 若，如图， 则， ∴． 若，如图 则， ∴． ②若点B，F均在点C下方， ∵， ∴存在或． 若，如图， 则， ∴． 若，如图 则， ∴． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 技巧 一句话要点 写出命题的逆命题——条件结论互换法 把原命题的题设与结论交换位置，写出逆命题，保证语句通顺。 判断逆命题的真假——举反例法 找到一个反例即可判定命题为假；全部情况成立，命题才为真。 线段垂直平分线求线段长——等线段转移法 点在线段垂直平分线上，则到线段两端距离相等，等量替换求线段长。 线段垂直平分线求角度——等边推等角法 由垂直平分线得到等线段，利用等边对等角，结合三角形内角和求角度。 线段垂直平分线性质与判定综合——性质判定组合法 判定：到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上；性质：线上点到两端距离相等，结合条件综合解题。 直角三角形两锐角互余求角度——余角代换法 直角三角形两锐角和为90°，已知一个锐角，直接求出另一个锐角。 直角三角形两锐角互余求线段长度——等角对等边法 利用互余关系找到相等角，推出对应边相等，计算线段长度。 斜边上的中线等于斜边的一半求线段长度——中线倍半法 直角三角形斜边上中线是斜边的一半，已知斜边求中线、已知中线求斜边。 锐角互余证直角三角形解答综合——直角判定法 三角形两内角互余，则第三个角为90°，以此判定三角形是直角三角形。 勾股定理解直角三角形（直接法）——勾股直接法 在直角三角形中，两直角边平方和等于斜边平方，分清斜边、直角边后代入求值。 根据勾股定理列方程解直角三角形——方程建模法 设未知边长，依据勾股定理建立方程，解方程得到线段长度。 勾股数问题——勾股数验证法 满足较小两数平方和等于最大数平方的正整数组为勾股数；勾股数整数倍仍是勾股数。 以直角三角形三边为边长的图形面积——面积转化法 直角三角形两直角边上图形面积之和，等于斜边上对应图形的面积。 勾股定理与网格问题——格点构造法 利用网格横纵垂线构造直角三角形，借助勾股定理求格点线段长。 勾股定理与折叠问题——折叠等量法 折叠前后图形全等，标记相等边角，在新直角三角形中利用勾股定理列方程。 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）——平方代换法 构造直角三角形，多次运用勾股定理，做线段平方等量代换，求平方和或差。 以弦图为背景的计算题——弦图边长法 弦图中大正方形边长为斜边，小正方形边长等于两直角边之差，结合勾股计算。 勾股定理与无理数——线段构造法 网格内构造直角三角形，利用勾股算出线段长，画出长度为无理数的线段。 判断三边是否能构成直角三角形——逆定理判定法 选取最长边，验证最长边平方是否等于另两边平方和，成立即为直角三角形。 利用勾股定理的逆定理求解——定最长边法 先确定最长边，通过三边平方关系判定直角，再利用直角性质求解边角。 利用“HL”证明直角三角形全等——斜边直角边法 两个直角三角形斜边与一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $