第2章 专题拓展 特殊的三角形-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

图1 图2 专题拓展 特殊的三角形 【夯实基础】 1.C 2.C 3.80°或50°或20° 4.75° 5.130° 【典型例题】 例1 解:(1)∵AD⊥AB,E 是BD 的中点, ∴AE=BE,∴∠B=∠BAE, ∴∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B. 又∵∠C=2∠B,∴∠AEC=∠C. (2)∵∠AEC=∠C,∴AE=AC. 又∵BD=2AE,∴BD=2AC. (3)∵BE=DE=AE, ∴BD=6.5×2=13. 又∵AD⊥AB,AD=5, ∴AB= 132-52=12. ∴△ABE 的周长为:6.5+6.5+12=25. 变式练习1 ∵AD 平分∠C,∠C=90°,DE ⊥AB, ∴∠CAD=∠BAD,∠C=∠AED, 又∵AD=AD, 在△CAD 和△EAD 中,∠C=∠DEA, ∠CAD=∠DEA,AD=AD. ∴△CAD≌△EAD, ∴AC=AE,CD=DE. ∵AC=BC,∴BC=AE. ∴△DEB 的周长=DB+DE+EB= DB+CD+EB=CB+BE=6cm. 例2 (1)AF=BD;证 明△BCD≌△ACF (SAS),进而可得BD=AF (2)AF=BD 仍 然成立 (3)Ⅰ.AF+BF'=AB;证明△BCD≌ △ACF(SAS),则BD=AF;同理△BCF'≌ △ACD(SAS),则BF'=AD,∴AF+BF'= BD+AD=AB Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结 论是AF=AB+BF';证明△BCF'≌△ACD (SAS),∴BF'=AD;又由(2)知,AF=BD; ∴AF=AB+BF'. 变式练习2 10 【巩固练习】 1.A 2.4 3.6 4.2n 5.1 6.(1)略 (2)结论 AD+AB=AC 成 立,提示:在AN 上截取AE=AC,连结CE, 证明△ADC≌△EBC. 7.(1)α+β=180°,提示:证△ABD≌ △ACE. (2)α=β,证明过程略. (3)画图 略,α=β. 周末拓展 特殊三角形章拓展 1.D 2.B 3.A 4.A 5.B 6.D 7.D 8.B 9.63°或27° 10. 10 10 3 11.2 2 12.45° 13.100°或115°或130°(任选一个) 14.-25 15.50° 16.20 17.(1)证明:∵AB=DC, ∠A=∠D, ∠AEB=∠DEC, ∴△ABE≌△DCE. (2)∵△ABE≌DCE,∴BE=CE. ∴∠EBC=∠ECB. ∵∠AEB=50°, ∠AEB=∠EBC+ ∠ECB, ∴∠EBC=25°. 18.解:(1)∵三 角 形 ABC 为 等 边 三 角形, ∴∠A=∠B=∠ACB=60°, ∵DE∥AB, ∴∠EDF=∠B=60°, ∠DEC=∠A=60°, ∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°, ∴∠F=180°-∠DEF-∠EDF=30°. (2)∵∠DEC=60°,∠DEF=90°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·02· 数学 八年级上册 63 专题拓展 特殊的三角形 1.若 等 腰 三 角 形 的 周 长 为 26cm,一 边 为 11cm,则腰长为 ( ) A.11cm B.7.5cm C.11cm或7.5cm D.以上都不对 2.如图,已知∠AOB=60°,点P 在边OA 上, OP=12,点 M,N 在边OB 上,PM=PN,若 MN =4,则OM 的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.在△ABC 中,与∠A 相邻的外角是100°,要 使△ABC 是等腰三角形,则∠B= . 4.如图,∠A=15°,AB=BC=CD=DE= EF,则∠GEF= . 5.三个等边三角形的位置如图所示,若∠3= 50°,则∠1+∠2= . 例1 如图,在△ABC 中,∠C=2∠B,D 是BC 上 的一点,且AD⊥AB,E 是BD 的中点,连结AE. (1)求证:∠AEC=∠C. (2)求证:BD=2AC. (3)如果AE=6.5,AD=5,那么△ABE 的周 长是多少? 点拨:(1)因 为∠C=2∠B,所 以 只 需 说 明 ∠AEC=2∠B 即可,而∠AEC=∠B+∠BAE,所 以只需说明∠B=∠BAE 即可. (2)因为BD=2AE,所以只需说明 AC=AE 即可. (3)先利用勾股定理求得AB 的值,再根据AE =BE,求得BE 的值. 变式练习 1 如图,△ABC 中,∠C=90°,AC= BC,AD 平分∠CAB 交BC 于点D,DE⊥AB 于点 E,且AB=6cm,求△DEB 的周长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 64 例2 (1)操作发现:如图①,D 是等边△ABC 边 BA 上一动点(点 D 与点B 不重合),连结 DC,以 DC 为边在BC 上方作等边△DCF,连结AF.你能 发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗? 并证明你 发现的结论; (2)类比猜想:如图②,当动点 D 运动至等边 △ABC 边BA 的延长线上时,其他作法与(1)相同, 猜想AF 与BD 在(1)中的结论是否仍然成立? (3)深入探究: Ⅰ.如图③,当动点D 在等边△ABC 边BA 上 运动时(点D 与点B 不重合)连结DC,以DC 为边 在BC 上 方、下 方 分 别 作 等 边 △DCF 和 等 边 △DCF',连结AF,BF',探究AF,BF'与AB 有何 数量关系? 并证明你探究的结论; Ⅱ.如图④,当动点D 在等边△ABC 边BA 的 延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结 论是否成立? 若不成立,是否有新的结论? 并证明 你得出的结论. 点拨:(1)本题考查了全等三角形的判定与性 质、等边三角形的性质.等边三角形的三条边都相 等,三个内角都是60°. (2)根据等边三角形的性质,可以证得△BCD ≌△ACF,可得AF=BD. 变式练习2 如图,△ABC 是边长为5的等边三角 形,△BDC 是等腰三角形,且∠BDC=120°,以 D 为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB 于点F, 交AC 于点E,连结EF,求△AEF 的周长. 1.已知:如图,下列三角形中,AB=AC,则经 过三角形的一个顶点的一条直线能够将这三角形 分成两个小等腰三角形的是 ( ) A.①③④ B.①②③④ C.①②④ D.①③ 2.在平面上用18根相同的火柴首尾相接围成 等腰三角形,一共可以围成 种等腰三角形. 3.如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,∠B= 30°,在直线AB 或AC 上取点D,使得△BCD 是等 腰三角形,则符合条件的D 点有 个. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 65 4.如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,… 在射线 ON 上,点 B1,B2,B3,…在射线 OM 上, △A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三 角形,若 OA2=4,则△AnBnAn+1的边长为 . 5.如图,过边长为2的等边△ABC 的边AB 上 一点P,作PE⊥AC 于E,Q 为BC 延长线上一点, 当PA=CQ 时,连PQ 交AC 边于D,则DE 的长 为 . 6.如 图,已 知 ∠MAN =120°,AC 平 分 ∠MAN.B,D 分别在射线AN,AM 上. (1)在图1中,当∠ABC=∠ADC=90°时,求 证:AD+AB=AC; (2)若把(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°” 改为∠ABC+∠ADC=180°,其他条件不变,如图 (2)所示.则(1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请 给出证明;若不成立,请说明理由. 图1 图2 7.在△ABC 中,AB=AC,D 是直线BC 上一 点,以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE,使AE= AD,∠DAE=∠BAC,连 结 CE.设∠BAC=α, ∠DCE=β. (1)如图1,点D 在线段BC 上移动时,角α与β 之间的数量关系是 ,并证明你的结论; (2)如图2,点 D 在线段BC 的延长线上移动 时,角α与β之间的数量关系是 ,并请 说明理由; (3)当点 D 在线段BC 的反向延长线上移动 时,请在图3中画出完整图形并猜想角α 与β 之间 的数量关系是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋