第2章 专题拓展 勾股定理的实际应用-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拓展与培优 52 专题拓展 勾股定理的实际应用 1.有长度为9cm,12cm,15cm,36cm,39cm 的五根木棒,能搭成(首尾顺次相连)直角三角形的 个数为 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.小刚准备测量一段河水的深度,他把一根竹 竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5 m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好 相齐,则河水的深度为 ( ) A.2m B.2.5m C.2.25m D.3m 3.小华和小红都从同一点O 出发,小华向北走 了9米到A 点,小红向东走了12米到了B 点,则 AB= 米. 4.若一块直角三角板,两直角边分别为12cm 和5cm,不移动三角板,能画出的线段最长是 cm. 5.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到小 刚头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离小刚 5000米,则飞机每小时飞行 千米. 例1 小明要外出旅游,他带的行李箱长40cm,宽 30cm,高60cm,一把70cm长的雨伞能否装进这 个行李箱? 点拨:(1)本题考查几何体直观图、勾股定理; (2)求出长方体的对角线,再与70cm比较. 变式练习1 如图,将一根长24cm的筷子,置于底 面直径为5cm,高为12cm的圆柱形茶杯中,设筷 子露在杯子外面的长为acm(茶杯装满水),则a 的 取值范围是 . 例2 李老师设计了这样一道探究题:如图,有一个 圆柱,它高为12厘米,底面半径为3厘米,在圆柱下 底面的A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A 点 相对的B 点处的食物,则沿圆柱侧面爬行的最短路 程是多少? (π的取值为3). 点拨:(1)本 题 考 查 几 何 体 表 面 展 开、勾 股 定 理、两点之间,线段最短(基本事实); (2)由A 到B,有无数条路线,如果将圆柱侧面 从A 点(蚂蚁爬行路径的起始点)垂直向上剪开,则 剪开的侧面展开图的形状是长方形.最短路线是线 段AB,因为两点之间线段最短.这个最短距离就是 AB 的长. 变式练习2 上述问题中,蚂蚁绕圆柱侧面爬行一 周至点C,则最短路程是多少? 变式练习3 如图,圆柱的轴截面ABCD 是边长为 4的正方形,动点P 从A 点出发,沿着圆柱的侧面 移动到BC 的中点S 的最短路径长为 ( ) A.2 1+π2 B.2 1+4π2 C.4 1+π2 D.2 1+2π2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 53 例3 某中学有一块四边形的空地ABCD,如下图 所示,学校计划在空地上种植草皮,经测量∠A= 90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m, 若每平方米草皮需要200元,问学校需要投入多少 资金买草皮? 点拨:(1)本题考查勾股定理及逆定理; (2)利用勾股定理求得BD 的长,再由勾股定理 逆定理说明△DBC 是直角三角形.通过本题还要 学会当图形不规则时,求面积常用方法是割补法. 变式练习4 在一款名为超级玛丽的游戏中,玛丽 到达一个高为10米的高台A,利用旗杆顶部的绳 索,划过90°到达与高台A 水平距离为17米,高为3 米的矮台B,求旗杆的高度OM 和玛丽在荡绳索过 程中离地面的最低点的高度MN. 一、夯实基础 1.池塘中有一朵荷花,它直立在水中,荷花高 出水面半尺处长着一朵红莲,一阵风吹来把荷花吹 倒在一边,红莲倒在水面位置距荷花生长处水平距 离为2尺,则池塘深 ( ) A.3.75尺 B.3.25尺 C.4.25尺 D.3.5尺 2.如图,梯子AB 靠在墙上,梯子的底端A 到 墙根O 的距离为2m,梯子的顶端B 到地面距离为 7m,现将梯子的底端A 向外移到A',使梯子的底 端A'到墙根O 距离为3m,同时梯子顶端B 下降 至B',那么BB' ( ) A.等于1m B.小于1m C.大于1m D.以上都不对 3.2015年是国际“光”年,某校“光学节”的纪念 品是一个底面为等边三角形的三棱镜(如图).在三 棱镜的侧面上,从顶点A 到顶点A'镶有一圈金属 丝,已知此三棱镜的高为8cm,底面边长为2cm,则 这圈金属丝的长度至少为 ( ) A.8cm B.10cm C.12cm D.15cm 4.在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子 爬下树走到离树20米处的池塘的A 处.另一只爬到 树顶D 后直接跃到A 处,距离以直线计算,如果两只 猴子所经过的距离相等,则这棵树高 米. (第4题) (第5题) 5.如图,一艘轮船以16海里/时的速度离开港 口向东南方向航行,另一艘轮船在同时同地以12海 里/时的速度向西南方向航行,则1.5小时后两船相 距 海里. 6.现有两根木棒,它们的长分别为40cm 和 50cm,若要钉成一个直角三角形木架,则所需的木 棒的长度为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 54 7.某菜农修建一个塑料大棚(如图),若棚宽a =4m,高b=3m,长d=36m,求覆盖在顶上的塑 料薄膜的面积. 8.如图,从电线杆离地6米处向地面拉一条长 10米的缆绳,这条缆绳在地面的固定点距离电线杆 底部有多远? 二、拓展提升 9.如图,铁路上A,B 两点相距25km,C,D 为 两村庄,DA⊥AB 于A,CB⊥AB 于B,已知DA= 15km,CB=10km,现在要在铁路AB 上建一个土 特产品收购站E,使得C,D 两村到E 站的距离相 等,则E 站应建在离A 站多少km? 10.如图,在高为3米,斜坡长为5米的楼梯表 面铺地毯,则地毯的长度至少需要多少米? 若楼梯 宽2米,每平方米地毯需30元,那么这块地毯需要 花多少元? 11.如图,李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 和BC 是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了有 刻度的卷尺. (1)你能替他想办法完成任务吗? (2)李叔叔量得 AD 长30厘米,AB 长40厘 米,BD 长50厘米,则AD 边垂直于AB 边吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∴BE=CF,CE=AF, ∴EF=CF-CE=BE-AF. 8.能实现. 理由:∵AB=AC, ∠AEB=∠ADC=90°, ∠BAE=∠CAD, ∴△ABE≌△ACD. ∴AD=AE. ∵AO=AO, ∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL), ∴∠DAO=∠EAO. 专题拓展 勾股定理的实际应用 【夯实基础】 1.B 2.A 3.15 4.13 5.540 【典型例题】 例1 能装进行李箱,理由略 变式练习1 11≤a≤12 例2 15厘米 变式练习2 6 13厘米 变式练习3 A 例3 7200元 变式练习4 OM=15米 MN=2米 【巩固练习】 1.A 2.B 3.B 4.15 5.30 6.30cm 或10 41cm 7.180m2 8.8m 9.10km 10.7米 420元 11.(1)能,办法略 (2) 垂直 微探究 角平分线的性质 【典型例题】 例1 提示:证△CDF≌△EDB(SAS). 变式练习1 提示:过点D 作DG⊥BC,垂足 为G,作 DH⊥AB,垂足为 H,证△DGC≌ △DHA(HL). 变式练习2 提示:过点D 作DF⊥AB,垂足 为F,作DG⊥BC,垂足为G,过点E 作EH ⊥AB,垂足为 H,先证△AEH≌△CDG,再 证△EHK≌△DFK. 例2 提示:过点P 分别作PD⊥BC,PE⊥ AC,PF⊥AB,先说明 PE=PF,进而说明 AP 平分∠BAC. 变式练习3 50° 变式练习4 45° 【巩固练习】 1.D 2.A 3.B 4.B 5.2 6.2 7.(1)4cm (2)略 8.(1)AB=AC+CD,提示:在AB 上截 取AE=AC. (2)CD=AB+AC,提示:在AE 上截取 AG=AC. 9.(1)∠1=90°- 1 2 ∠EDC=90°- 1 2 (180°-∠1-∠2)= 1 2∠1+ 1 2∠2 ,化简 可得∠1=∠2. (2)提示:延长DB 至F,使得BF=BD, 连结 AF.证△ADB≌△AFB,再证△AED ≌△ACF. 10.(1)120° (2)成立,证明略 (3)EF =DF,提示:在 AC 上截取AG=AE,连结 FG,先 证 △AEF ≌ △AGF,再 证 △FGC ≌△FDC. 专题拓展 与角平分线和垂直平 分线相关的问题 【夯实基础】 1.C 2.B 3.45° 4.①③ 【典型例题】 例1 证明:连结BD,CD, ∵点D 是∠BAC 的平分线上的一点, DG⊥AB,DH⊥AC, ∴DG=DH. ∵点D 是BC 的垂直平分线上的一点, ∴DB=DC. ∴Rt△BGD≌Rt△CHD, ∴BG=CH. 变式练习1 提示:延长DB 至E,使得BE= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·81·