第2章 专题拓展 等腰三角形操作探究类问题-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拓展与培优 60 专题拓展 等腰三角形操作探究类问题 1.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°, BD,CE 分别为∠ABC,∠ACB 的角平分线,则图 中等腰三角形共有 ( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 2.如图,∠AOB=120°,OP 平分∠AOB,且 OP=2,若点 M、N 分别在OA,OB 上,且△PMN 为等边三角形,则满足上述条件的△PMN 有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上 3.用若干根火柴(不折断)紧接着摆成一个等 腰三角形,底边用了12根,则一腰至少要用 根火柴. 4.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周 长分为2∶1两部分,已知底边长为4,则腰长为 . 5.如图,△ABC 是等边三角形中,B,C,D,E 在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 度. 例1 课本的作业题中有这样一道题:把一张顶角 为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片, 使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗? 请画 示意图说明剪法. 我们有多种剪法,图1是其中的一种方法: 定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等 腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三 分线. (1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角 为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三 角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成3对 全等三角形,则视为同一种) (2)如图3,在△ABC 中,∠B=30°,AD 和DE 是△ABC 的三分线,点D 在BC 边上,点E 在AC 边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x°,试画出 示意图,并求出x 所有可能的值. 点拨:(1)本题考查了三角形内角、外角间的关 系及等腰三角形知识; (2)从三分线的定义出发,分类讨论,对图形剪 拼可得结果. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 61 变式练习1 在△ABC 中,若AB=AC,过其中一 个顶点的一条直线,将△ABC 分成两个等腰三角 形,求△ABC 顶角的度数. 例2 某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下: 设∠BAC=θ(0°<θ<90°).现把小棒依次摆放 在两射线之间,并使小棒两端分别落在射线 AB, AC 上. 活动一: 如图甲所示,从点 A1 开始,依次向右摆放小 棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直,A1A2 为第1 根小棒. 图甲 数学思考: (1)小棒能无限摆下去吗? 答: .(填 “能”或“不能”) (2)设AA1=A1A2=A2A3,请求出θ的度数. 活动二: 如图乙所示,从点A1 开始,用等长的小棒依次 向右摆 放,其 中 A1A2 为 第1根 小 棒,且 A1A2 =AA1. 图乙 数学思考: (3)若已经摆放了3根小棒,θ1= ,θ2 = ,θ3= ;(用含θ的式子表示) (4)若只能 摆放4根小棒,求θ的范围. 点拨:(1)因为角的两边为两条射线,没有长 度,所以可以无限摆放下去; (2)根据三角形外角的性质,等腰三角形的性 质可 以 推 出 θ1= ∠A2A1A3=2θ,以 此 可 推 出 θ2,θ3. 变式练习2 如图的钢架中,焊上等长的13根钢条 来加固钢架.若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14 =P14A,则∠A 的度数是 . 1.如图,在第1个△A1BC 中,∠B=30°,A1B =CB;在边A1B 上任取一点D,延长CA1 到A2, 使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D 上任取一点E,延长A1A2 到A3,使A2A3=A2E, 得到第3个△A2A3E,……,按此做法继续下去,则 第n 个三角形中以An 为顶点的内角度数是( ) A.12 æ è ç ö ø ÷ n ·75° B.12 æ è ç ö ø ÷ n-1 ·65° C.12 æ è ç ö ø ÷ n-1 ·75° D.12 æ è ç ö ø ÷ n ·85° 2.已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6,在 △ABC 所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成 两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样 的直线最多可画 ( ) A.6条 B.7条 C.8条 D.9条 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 62 3.如图,在△ABC 中,∠A=x,∠B=y,∠C =z,请探究△ABC 中各内角的度数有怎么样关系 才能分割成两个等腰三角形,并探究如何分割. 4.数学课上,李老师出示了如下框中的题目. 在等边三角形 ABC 中,点E 在 AB 上,点D 在CB 的延长线上, 且ED=EC,如图.试确定线段 AE 与DB 的大小关系,并说明 理由. 小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答: (1)特殊情况,探索结论 当点E 为AB 的中点时,如图1,确定线段AE 与DB 大小关系.请你直接写出结论: AE DB(填“>”“<”或“=”); (2)特例启发,解答题目 解:题目中,AE 与DB 的大小关系是:AE DB(填“>”“<”或“=”).理由如下: 如图2,过点E 作EF∥BC,交AC 于点F,(请 你完成以下解答过程) 图1 图2 (3)拓展结论,设计新题 在等边三角形ABC 中,点E 在直线AB 上,点 D 在直线BC 上,且ED=EC.若△ABC 的边长为 1,AE=2,求CD 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 AB,通过等腰三角形的性质及全等三角形 可证. 例2 提示:作EM⊥AC 于点M,作EN⊥ BC 于点N. 变式练习2 提示:延长CB 到F,使 AC= CF,连结EF. 【巩固练习】 1.C 2.D 3.50° 4.12° 5.10 6.∠AED=45°,恒定不变 专题拓展 等腰三角形操作 探究类问题 【夯实基础】 1.D 2.D 3.7 4.16 5.15 【典型例题】 例1 (1)如图: (2)如图①,当AD=AE 时,∵2x+x= 30°+30°,∴x=20°;如图②,当AD=DE 时, ∵30°+30°+2x+x=180°,∴x=40°. ① ② 变式练习1 90°或36°或108°或 180° 7 . 例2 (1)能 (2)∵AA1=A1A2,∴∠A= ∠AA2A1,∵A1A2⊥A2A3,A1A2=A2A3, ∴∠A2A1A3=45°,∠A=22.5°. (3)θ1=2θ,θ2=3θ,θ3=4θ (4)由题意得 4θ<90° 5θ≥90°{ ,∴18°≤θ<22.5°. 变式练习2 12° 【巩固练习】 1.C 2.B 3.①三角形中有一个角是 另一个角的三倍,分割三倍的那个角;②三角 形中有一个角是直角,分割直角;③三角形中 有一个角是另一个角的两倍,且第三个角要 大于45°,分割第三个角. 4.(1)= (2)= ∵△ABC 为等边三角形, ∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°. ∵△AEF 为等边三角形, ∴∠EFC=∠EBD=120°,EF=AE, ∵ED=EC, ∴∠EDB=∠ECB,∠ECB=∠FEC. ∴∠EDB=∠FEC. 在△BDE 和△FEC 中, ∠EBD=∠EFC ∠EDB=∠FEC ∠ED=EC ì î í ï ï ïï ∴△BDE≌△FEC(AAS) ∴BD=EF, ∴AE=BD. (3)当E 在BA 的延长线上时,如图1, 过点E 作EF⊥CD 于F. ∵在Rt△BEF 中, ∠EBF=60°,BE=1+2=3, ∴BF=1.5, ∴CF=1.5-1=0.5, ∴CD=0.5×2=1. 同理,当 E 在AB 的延长线上时,如图 2,可求得CD=3. 故CD 的长为1或3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·91· 图1 图2 专题拓展 特殊的三角形 【夯实基础】 1.C 2.C 3.80°或50°或20° 4.75° 5.130° 【典型例题】 例1 解:(1)∵AD⊥AB,E 是BD 的中点, ∴AE=BE,∴∠B=∠BAE, ∴∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B. 又∵∠C=2∠B,∴∠AEC=∠C. (2)∵∠AEC=∠C,∴AE=AC. 又∵BD=2AE,∴BD=2AC. (3)∵BE=DE=AE, ∴BD=6.5×2=13. 又∵AD⊥AB,AD=5, ∴AB= 132-52=12. ∴△ABE 的周长为:6.5+6.5+12=25. 变式练习1 ∵AD 平分∠C,∠C=90°,DE ⊥AB, ∴∠CAD=∠BAD,∠C=∠AED, 又∵AD=AD, 在△CAD 和△EAD 中,∠C=∠DEA, ∠CAD=∠DEA,AD=AD. ∴△CAD≌△EAD, ∴AC=AE,CD=DE. ∵AC=BC,∴BC=AE. ∴△DEB 的周长=DB+DE+EB= DB+CD+EB=CB+BE=6cm. 例2 (1)AF=BD;证 明△BCD≌△ACF (SAS),进而可得BD=AF (2)AF=BD 仍 然成立 (3)Ⅰ.AF+BF'=AB;证明△BCD≌ △ACF(SAS),则BD=AF;同理△BCF'≌ △ACD(SAS),则BF'=AD,∴AF+BF'= BD+AD=AB Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结 论是AF=AB+BF';证明△BCF'≌△ACD (SAS),∴BF'=AD;又由(2)知,AF=BD; ∴AF=AB+BF'. 变式练习2 10 【巩固练习】 1.A 2.4 3.6 4.2n 5.1 6.(1)略 (2)结论 AD+AB=AC 成 立,提示:在AN 上截取AE=AC,连结CE, 证明△ADC≌△EBC. 7.(1)α+β=180°,提示:证△ABD≌ △ACE. (2)α=β,证明过程略. (3)画图 略,α=β. 周末拓展 特殊三角形章拓展 1.D 2.B 3.A 4.A 5.B 6.D 7.D 8.B 9.63°或27° 10. 10 10 3 11.2 2 12.45° 13.100°或115°或130°(任选一个) 14.-25 15.50° 16.20 17.(1)证明:∵AB=DC, ∠A=∠D, ∠AEB=∠DEC, ∴△ABE≌△DCE. (2)∵△ABE≌DCE,∴BE=CE. ∴∠EBC=∠ECB. ∵∠AEB=50°, ∠AEB=∠EBC+ ∠ECB, ∴∠EBC=25°. 18.解:(1)∵三 角 形 ABC 为 等 边 三 角形, ∴∠A=∠B=∠ACB=60°, ∵DE∥AB, ∴∠EDF=∠B=60°, ∠DEC=∠A=60°, ∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°, ∴∠F=180°-∠DEF-∠EDF=30°. (2)∵∠DEC=60°,∠DEF=90°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·02·