第2章 周末拓展 特殊三角形章拓展-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拓展与培优 66 周末拓展 特殊三角形章拓展 一、选择题 1.下列标志中,可以看作是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 2.如图①是边长为1的六个小正方形组成的 图形,它可以围成②的正方体,则图①中小正方形 顶点A、B 在围成的正方体上的距离是 ( ) 图① 图② A.0 B.1 C.2 D.3 3.如图,已知圆柱底面的周长为4dm,圆柱高 为2dm,在圆柱的侧面上,过点A 和点C 嵌有一圈 金属丝,则这圈金属丝的周长最小为 ( ) A.42dm B.22dm C.25dm D.45dm 4.如图,在△ABC 中,∠A=50°,∠ABC= 70°,BD 平分∠ABC,则∠BDC 的度数是 ( ) A.85° B.80° C.75° D.70° 5.在等腰△ABC 中,AB=AC,其周长为20 cm,则AB 边的取值范围是 ( ) A.1cm<AB<4cm B.5cm<AB<10cm C.4cm<AB<8cm D.4cm<AB<10cm 6.已知命题A:“任何偶数都是8的整数倍”. 在下列选项中,可以作为“命题A 是假命题”的反例 的是 ( ) A.16 B.15 C.24 D.42 7.在等腰△ABC 中,∠ACB=90°,且AC=1. 过点C 作直线l∥AB,P 为直线l上一点,且AP= AB.则点P 到BC 所在直线的距离是 ( ) A.1 B.1或 -1+ 3 2 C.1或 1+ 3 2 D. -1+ 3 2 或1+ 3 2 8.如图,已知直线a∥b,且a 与b 之间的距离 为4,点A 到直线a 的距离为2,点B 到直线b的距 离为3,AB=2 30.试在直线a 上找一点M,在直 线b上找一点N,满足MN⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短,则此时AM+NB= ( ) A.6 B.8 C.10 D.12 二、填空题 9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36°,则该等腰三角形的底角的度数为 . 10.如图,折叠矩形纸片ABCD,使点B 落在边 AD 上,折痕EF 的两端分别在AB、BC 上(含端 点),且AB=6cm,BC=10cm.则折痕EF 的最大 值是 cm. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 67 11.如图,在等腰 Rt△OAA1 中,∠OAA1= 90°,OA=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2, 以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3,…,则OA3的 长度为 . 12.如图,在Rt△ABC 中,D,E 为斜边AB 上 的两个点,且BD=BC,AE=AC,则∠DCE= . 13.如图,a∥b,∠ABC=50°,若△ABC 是等 腰三角形,则∠α= .(填一个即可) 14.如图,在数轴上,A1、P 两点表示的数分别 是1、2,A1、A2关于点O 对称,A2、A3关于点P 对 称,A3、A4 关 于 点 O 对 称,A4、A5 关 于 点 P 对 称……依此规律,则点A14表示的数是 . 15.如图,等腰△ABC 中,AB=AC,∠DBC= 15°,AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D,则∠A 的度数是 . 16.若实数x、y 满足|x-4|+ y-8=0,则 以x、y 的值为边长的等腰三角形的周长为 . 三、解答题 17.(浙 江 嘉 兴 中 考 题)如 图,在 △ABC 与 △DCB 中,AC 与BD 交于点E,且∠A=∠D,AB =DC. (1)求证:△ABE≌△DCE. (2)当∠AEB=50°,求∠EBC 的度数. 18.如图,在等边三角形ABC 中,点D,E 分别 在边BC,AC 上,且DE∥AB,过点E 作EF⊥DE, 交BC 的延长线于点F. (1)求∠F 的度数; (2)若CD=2,求DF 的长. 19.(1)如图①,已知:在△ABC 中,∠BAC= 90°,AB=AC,直线m 经过点A,BD⊥直线m,CE ⊥直线 m,垂足分别为点 D、E.证明:DE=BD +CE. ① 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 68 (2)如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC 中, AB=AC,D,A,E 三点都在直线 m 上,并且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α 为任意锐角 或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立? 如成 立,请你给出证明;若不成立,请说明理由. ② (3)【拓展与应用】 如图③,D,E 是D,A,E 三点所在直线m 上的 两动点(D、A、E 三点互不重合),点F 为∠BAC 平 分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角 形,连结BD,CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试 判断△DEF 的形状. ③ 20.(1)探究发现:如图1,△ABC 为等边三角 形,点D 为AB 边上的一点,∠DCE=30°,∠DCF =60°,且CF=CD. ①求∠EAF 的度数; ②DE 与EF 相等吗? 请说明理由. 图1 (2)类比探究:如图2,△ABC 为等腰直角三角 形,∠ACB=90°,点D 为AB 边上的一点,∠DCE =45°,CF=CD,CF⊥CD,请直接写出下列结果: ①∠EAF 的度数; ②线段AE,ED,DB 之间的数量关系. 图2 21.如图,△ABC 中,AB=AC.∠A=36°,称满 足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下 操作:(画图不要求使用圆规,以下问题中所指的等 腰三角形个数均不包括△ABC) (1)在图1中画1条线段,使图中有2个等腰三 角形,并直接写出这2个等腰三角形的顶角的度数 分别是 度和 度; 图1 (2)在图2中画2条线段,使图中有4个等腰三 角形; 图2 备用图 (3)继续以上操作发现:在△ABC 中画n 条线 段,则图中有 个等腰三角形,其中有 个黄金 等腰三角形. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 69 22.如图,已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角 三角形,∠BAD=∠BCE=90°,点 M 为DE 的中 点.过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N. (1)当A,B,C 三点在同一直线上时(如图1), 求证:M 为AN 的中点; 图1 (2)将图1中△BCE 绕点B 旋转,当A,B,E 三点在同一直线上时(如图2),求证:△CAN 为等 腰直角三角形; 图2 (3)将图1中△BCE 绕点旋转到图3的位置 时,(2)中的结论是否仍然成立? 若成立,试证明 之;若不成立,请说明理由. 图3 23.【问题提出】 学习了 三 角 形 全 等 的 判 定 方 法(即“SAS” “ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方 法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边 和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC 和△DEF 中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后 对∠B 进行分类,可以分为“∠B 是直角、钝角、锐 角”三种情况进行探究. 【深入探究】 第 一 种 情 况:当 ∠B 为 直 角 时,△ABC ≌△DEF. (1)如图①,在△ABC 和△DEF 中,AC=DF, BC=EF,∠B=∠E=90°,根据 ,可以知 道Rt△ABC≌Rt△DEF. 图① 第 二 种 情 况:当 ∠B 为 钝 角 时,△ABC ≌△DEF. (2)如图②,在△ABC 和△DEF 中,AC=DF, BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E 都是钝角,求证: △ABC≌△DEF. 图② 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 70 第 三 种 情 况:当 ∠B 为 锐 角 时,△ABC 和 △DEF 不一定全等. (3)如图③,在△ABC 和△DEF 中,AC=DF, BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E 都是锐角,请你 用尺规在图中作出△DEF,△DEF 和△ABC 不全 等.(不写作法,保留作图痕迹). 图③ (4)∠B 还 要 满 足 什 么 条 件,就 可 以 使 得 △ABC≌△DEF,请直接填写结论: 在△ABC 和△DEF 中,AC=DF,BC=EF, ∠B=∠E,且∠B,∠E 都是锐角,若 ,则 △ABC≌△DEF. 24.如图,△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC, AD⊥BC,垂足是D,AE 平分∠BAD,交BC 于点 E.在△ABC 外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC. (1)求证:BE=CF; (2)在 AB 上取一点 M,使 BM =2DE,连结 MC,交AD 于点N,连结ME.求证: ①ME⊥BC; ②DE=DN. 25.小宇同学在布置班级文化园地时,想从一 块长为20cm,宽为8cm的长方形纸片上剪下一个 腰长为10cm的等腰三角形,并使其中一个顶点在 长方形的一边上,另两个顶点落在对边上,请你帮 他计算出所剪下的等腰三角形的底边长. (备用图) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 图1 图2 专题拓展 特殊的三角形 【夯实基础】 1.C 2.C 3.80°或50°或20° 4.75° 5.130° 【典型例题】 例1 解:(1)∵AD⊥AB,E 是BD 的中点, ∴AE=BE,∴∠B=∠BAE, ∴∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B. 又∵∠C=2∠B,∴∠AEC=∠C. (2)∵∠AEC=∠C,∴AE=AC. 又∵BD=2AE,∴BD=2AC. (3)∵BE=DE=AE, ∴BD=6.5×2=13. 又∵AD⊥AB,AD=5, ∴AB= 132-52=12. ∴△ABE 的周长为:6.5+6.5+12=25. 变式练习1 ∵AD 平分∠C,∠C=90°,DE ⊥AB, ∴∠CAD=∠BAD,∠C=∠AED, 又∵AD=AD, 在△CAD 和△EAD 中,∠C=∠DEA, ∠CAD=∠DEA,AD=AD. ∴△CAD≌△EAD, ∴AC=AE,CD=DE. ∵AC=BC,∴BC=AE. ∴△DEB 的周长=DB+DE+EB= DB+CD+EB=CB+BE=6cm. 例2 (1)AF=BD;证 明△BCD≌△ACF (SAS),进而可得BD=AF (2)AF=BD 仍 然成立 (3)Ⅰ.AF+BF'=AB;证明△BCD≌ △ACF(SAS),则BD=AF;同理△BCF'≌ △ACD(SAS),则BF'=AD,∴AF+BF'= BD+AD=AB Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结 论是AF=AB+BF';证明△BCF'≌△ACD (SAS),∴BF'=AD;又由(2)知,AF=BD; ∴AF=AB+BF'. 变式练习2 10 【巩固练习】 1.A 2.4 3.6 4.2n 5.1 6.(1)略 (2)结论 AD+AB=AC 成 立,提示:在AN 上截取AE=AC,连结CE, 证明△ADC≌△EBC. 7.(1)α+β=180°,提示:证△ABD≌ △ACE. (2)α=β,证明过程略. (3)画图 略,α=β. 周末拓展 特殊三角形章拓展 1.D 2.B 3.A 4.A 5.B 6.D 7.D 8.B 9.63°或27° 10. 10 10 3 11.2 2 12.45° 13.100°或115°或130°(任选一个) 14.-25 15.50° 16.20 17.(1)证明:∵AB=DC, ∠A=∠D, ∠AEB=∠DEC, ∴△ABE≌△DCE. (2)∵△ABE≌DCE,∴BE=CE. ∴∠EBC=∠ECB. ∵∠AEB=50°, ∠AEB=∠EBC+ ∠ECB, ∴∠EBC=25°. 18.解:(1)∵三 角 形 ABC 为 等 边 三 角形, ∴∠A=∠B=∠ACB=60°, ∵DE∥AB, ∴∠EDF=∠B=60°, ∠DEC=∠A=60°, ∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°, ∴∠F=180°-∠DEF-∠EDF=30°. (2)∵∠DEC=60°,∠DEF=90°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·02· ∴∠CEF=30°=∠F,∴CE=CF, 又∵∠EDF=∠CED=∠ACB=60°, ∴△CDE 为等边三角形,∴CD=CE, ∴DF=DC+CF=DC+CE=2CD, ∵CD=2,∴DF=4. 19.证明:(1)∵BD⊥直线 m,CE⊥直 线m, ∴∠BDA=∠CEA=90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠CAE=90°. ∵∠BAD+∠ABD=90°, ∴∠CAE=∠ABD. 又AB=AC, ∴△ADB≌△CEA. ∴AE=BD,AD=CE. ∴DE=AE+AD=BD+CE; (2)∵∠BDA =∠BAC=α, ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE= 180°-α. ∴∠DBA=∠CAE, ∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC, ∴△ADB≌△CEA. ∴AE=BD,AD=CE. ∴DE=AE+AD=BD+CE. (3)由(2)知,△ADB≌△CEA, BD=AE,∠DBA =∠CAE. ∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形, ∴∠ABF=∠CAF=60°. ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF. ∴∠DBF=∠FAE, ∵BF=AF. ∴△DBF≌△EAF, ∴DF=EF,∠BFD=∠AFE. ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA +∠BFD=60°. ∴△DEF 为等边三角形. 20.解:(1)①∠EAF=120° ②DE=EF,理由如下: ∵∠DCF=60°,∠DCE=30°,∴∠FCE =30°. ∴∠DCE=∠FCE. 在 △DCE 和 △FCE 中,CD =CF, ∠DCE=∠FCE,CE=CE, ∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF. (2)①∠EAF=90° ②AE2+DB2=DE2.提示:证出∠DCE =∠FCE,由SAS 证明△DCE≌△FCE,得 出DE=EF;在Rt△AEF 中,由勾股定理得 出AE2+AF2=EF2. 21.解:(1)在图中画线段如下图所示(图 中BD)这两个等腰三角形的顶角的度数分别 是36°和108°. (2)在图中画两条线段如下图所示,四个 等 腰 三 角 形 分 别 是:△ABD,△BCD, △BEC,△CED. (3)2n n 22.解:(1)∵点M 为DE 的中点, ∴DM=ME. ∵AD∥EN, ∴∠ADM=∠MEN, 又∵∠DMA=∠EMN, ∴△DMA≌△EMN, ∴AM=MN, 即M 为AN 的中点. (2)由(1)中△DMA≌△EMN 可知DA =EN, 又∵DA=AB, ∴AB=NE, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·12· ∵∠ABC=∠NEC=135°,BC=CE, ∴△ABC≌△NEC, ∴AC=CN,∠ACB=∠NCE, ∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°, ∴∠BCN+∠ACB=90°, ∴∠ACN=90°, ∴△CAN 为等腰直角三角形. (3)由(2)可知AB=NE,BC=CE. 又∵∠ABC=360°-45°-45°-∠DBE =270°-∠DBE=270°-(180°-∠BDE- ∠BED)=90°+∠BDE+∠BED=90°+ ∠ADM-45°+∠BED=45°+∠MEN + ∠BED=∠CEN, ∴△ABC≌△NEC, 再同(2)可 证 △CAN 为 等 腰 直 角 三 角形, ∴(2)中的结论仍然成立. 23.解:(1)HL (2)证明:如图,过点C 作CG⊥AB 交 AB 的延长线于G,过点 F 作FH ⊥DE 交 DE 的延长线于H, ∵∠B=∠E,且∠B、∠E 都是钝角, ∴180°-∠B=180°-∠E, 即∠CBG=∠FEH, 在△CBG 和△FEH 中, ∠CBG=∠FEH ∠G=∠H=90° BC=EF ì î í ï ï ïï , ∴△CBG≌△FEH(AAS), ∴CG=FH, 在Rt△ACG 和Rt△DFH 中, AC=DF CG=FH{ , ∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL), ∴∠A=∠D, 在△ABC 和△DEF 中, ∠A=∠D ∠B=∠E AC=DF ì î í ï ï ïï , ∴△ABC≌△DEF(AAS). (3)解:如图,△DEF 和△ABC 不全等. (4)∠B≥∠A 24.证明:如图,(1)∵∠BAC=90°,AF ⊥AE, ∴∠1+∠EAC=90°, ∠2+∠EAC=90°, ∴∠1=∠2. 又∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB=45°. ∵FC⊥BC, ∴∠FCA =90°- ∠ACB =90°-45° =45°, ∴∠B=∠FCA. ∴△ABE≌△ACF(ASA). ∴BE=CF. (2)①过E 作EG⊥AB 于点G. ∵∠B=45°, ∴△GBE 是等腰直角三角形, ∴BG=EG,∠3=45°. ∵AD⊥BC,AE 平分∠BAD, ∴EG=ED,∴BG=ED. ∵BM=2ED,∴BM=2BG, 即G 是BM 的中点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·22· ∴GE 是BM 的垂直平分线, ∴EB=EM,∴∠4=∠3=45°. ∴∠MEB=∠4+∠3=45°+45°=90°, 即ME⊥BC. ②∵AD⊥BC,∴ME∥AD, ∴∠5=∠6. ∵∠1=∠5,∴∠1=∠6,∴AM=EM. ∵MC=MC, ∴Rt△AMC≌Rt△EMC(HL). ∴∠7=∠8. ∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ACB=45°, ∠BAD=∠CAD=45°, ∴∠5=∠7=22.5°,AD=CD. ∵∠ADE=∠CDN=90°, ∴△ADE≌△CDN(ASA). ∴DE=DN. 25.① 如上图,AB=AC=10cm,AD=6cm, CD=4cm, ∴BC=45cm. ② 如上图,AB=AC=10cm,BD=DC= 6cm, ∴BC=12cm. ③ 如上图,AD=6cm,AB=AC=10cm, ∴BC=85cm. 期中测试卷 1.D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.D 7.B 8.A 9.71° 10.42 11.AB=DE;∠A= ∠D;∠ACB=∠DFE;AC∥DF(答案不唯 一) 12.25或 5 2 或 65 2 13.8 14.BC= DC(或∠BAC=∠DAC) 15.2×31007 16.(1)证明:在四边形ABCD 中, ∵∠A=∠BCD=90°, ∴∠B+∠ADC=180°. 又∵∠ADC+∠EDC=180°, ∴∠ABC=∠EDC. (2)证明:连结AC. ∵ BC=DC ∠ABC=∠EDC AB=DE ì î í ï ï ïï , ∴△ABC≌△EDC. 17.解:(1)点D 的位置如图所示(D 为 AB 中垂线与BC 的交点). (2)∵在Rt△ABC 中,∠B=37°, ∴∠CAB=53°. 又∵AD=BD, ∴∠BAD=∠B=37°. ∴∠CAD=53°-37°=16°. 18.解:(1)答 案 不 唯 一,以 下 答 案 供 参考: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·32·