第2章 微探究 运用角平分线构造等腰三角形-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

12.(1)①③,①④,②③,②④ (2)本题答案不唯一,如选①③. 证明:在△BOE 和△COD 中, ∵∠EBO=∠DCO, ∠BOE =∠COD,BE=CD, ∴△BOE≌△COD. ∴BO=CO,∴∠OBC =∠OCB. ∴∠EBO +∠OBC =∠DCO +∠OCB, 即∠ABC =∠ACB,∴AB=AC. 13.△CEF 是等腰直角三角形. 证明:连结AF,由题意知△ABD 是等腰 直角三角形, ∵DF=BF, ∴AF=DF=BF,AF⊥BD. ∴∠EDF=∠CAF=105°. 在△ACF 和△DEF 中, ∵AC=DE, ∠EDF=∠CAF,AF=DF, ∴△ACF≌△DEF. ∴CF=EF,∠CFA=∠EFD. ∵AF⊥BD, ∴∠DFE+∠EFA =90°, ∴∠EFA+∠CFA=90°, ∴△CEF 是等腰直角三角形. 微探究 运用角平分线 构造等腰三角形 【典型例题】 例1 猜想:AD+CE=DE.理由略. 例2 略 例3 ∠A=90°,理由略. 变式练习 解:(1)证明:∵∠ACB=90°,CG 平分∠ACB,AC=BC. ∴∠BCG=∠CAB=45°, 又∵∠ACF=∠CBG,AC=BC, ∴△ACF≌△CBG(ASA), ∴AF=CG,CF=BG. (2)连结AG. ∵AC=BC,CG 平分∠ACB, ∴CG⊥AB. ∵AD⊥AB,∴AD∥CG. ∴∠DAC=∠ACG,∠D=∠CGD. ∵AC =BC,∠ACG = ∠BCG,CG =CG, ∴△ACG≌△BCG, ∴AG=BG. ∵∠DAG=∠DAC+∠CAG=∠ACG + ∠CBG = ∠BCG + ∠CBG = ∠DGC =∠D, ∴DG=AG,∴DG=BG. ∵E 为AC 中点,∴AE=EC, 又∵∠AED=∠CEG, ∴△AED≌△CEG, ∴DE=EG,∴DG=2DE, ∴BG=DG=2DE, 由(1)得CF=BG, ∴CF=2DE. 【巩固练习】 1.C 2.D 3.40°或70° 4.【探究发现】 证明: 过点E 作ED∥AC 交AB 于点D, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·01· 则△BDE 是等边三角形, ∵∠AEC 是△ABE 是外角, ∴∠AEC=∠ABC+∠EAD, ∵∠AEC=∠AEF+∠FEC, ∠ABC=∠AEF=60°, ∴∠EAD=∠FEC, ∵CF 平分等边△ABC 外角∠ACG, ∴∠ACF=∠FCG=60°. ∵∠ADE+∠BDE=180°,∠ECF+ ∠FCG=180°,∠FCG=∠BDE=60°. ∴∠ADE=∠ECF=120°, ∵BA=BC,BD=BE, ∴BA-BD=BC-BE. 即AD=EC. 在△ADE 与△ECF 中, ∵ ∠ADE=∠ECF=120° AD=EC ∠EAD=∠FEC ì î í ï ï ïï , ∴△ADE≌△ECF(ASA), ∴AE=EF. 【数学思考】 ①若“点E 是线段BC 上的任意一点”, 如图1. 图1 过点E 作ED∥AC 交AB 于点D, 则△BDE 是等边三角形, ∵∠AEC 是△ABE 的外角, ∴∠AEC=∠ABC+∠EAD, ∵∠AEC=∠AEF+∠FEC, ∠ABC=∠AEF=60°. ∴∠EAD=∠FEC, ∵CF 平分等边△ABC 外角∠ACG, ∴∠ACF=∠FCG=60°. ∵∠ADE+∠BDE=180°, ∠ECF+∠FCG=180°, ∠FCG=∠BDE=60°. ∴∠ADE=∠ECF=120°, ∵BA=BC,BD=BE, ∴BA-BD=BC-BE. 即:AD=EC. 在△ADE 与△ECF 中, ∵ ∠ADE=∠ECF=120° AD=EC ∠EAD=∠FEC ì î í ï ï ïï , ∴△ADE≌△ECF(ASA) ∴AE=EF. ②“点E 是线段BC 延长线上的任意一 点”,如图2. 图2 过点E 作ED∥AC 交BA 延长线于点D, 则△BDE 是等边三角形. ∵∠EAD 是△ABE 的外角, ∴∠EAD=∠ABC+∠AEC. ∵∠FEC=∠AEF+∠AEC, ∠ABC=∠AEF=60°, ∴∠EAD=∠FEC. ∵CF 平分等边△ABC 外角∠ACG, ∴∠FCE=60°, ∵△BDE 是等边三角形, ∴∠EDA=60°, ∴∠EDA=∠FCE=60°, ∵BD=BE,BA=BC, ∴BD-BA=BE-BC. 即AD=EC. 在△ADE 与△ECF 中, ∵ ∠EDA=∠FCE=60° AD=EC ∠EAD=∠FEC ì î í ï ï ïï , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·11· ∴△ADE≌△ECF(ASA), ∴AE=EF. ③“点E 是线段BC 反向延长线上的任 意一点”如图3,过点E 作ED∥AC 交AB 延长线于点D,则△BDE 是等边三角形. 图3 ∵∠ABC 是△ABE 的外角, ∴∠ABC=∠AEB+∠EAD=60°. ∵∠AEF=∠AEB+∠FEC=60°. ∴∠EAD=∠FEC. ∵CF 所 在 直 线 平 分 等 边 △ABC 外 角∠ACG, ∴∠ECF=∠GCH=60°. ∵△BDE 是等边三角形, ∴∠ADE=60°. ∴∠EDA=∠FCE=60°. ∵BA=BC,BD=BE, ∴BA+BD=BC+BE. 即:AD=EC. 在△ADE 与△ECF 中, ∵ ∠ADE=∠ECF=60° AD=EC ∠EAD=∠FEC ì î í ï ï ïï , ∴△ADE≌△ECF(ASA). ∴AE=EF. 5.解:(1)证明:∵AF 平分∠BAC, ∴∠CAD=∠DAB= 1 2∠BAC. ∵D 与A 关于E 对称, ∴E 为AD 中点. ∵BC⊥AD, ∴BC 为AD 的中垂线, ∴AC=CD. 在Rt△ACE 和Rt△ABE 中,(注:证全 等也可得到AC=CD) ∵∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE =90°,∠CAD=∠DAB. ∴∠ACE=∠ABE, ∴AC=AB.(注:证全等也可得到AC= AB) ∴AB=CD. (2)∵∠BAC=2∠MPC, 又∵∠BAC=2∠CAD, ∴∠MPC=∠CAD. ∵AC=CD,∴∠CAD=∠CDA. ∴∠MPC=∠CDA. ∴∠MPF=∠CDM. ∵AC=AB,AE⊥BC, ∴CE=BE.(注:证全等也可得到CE= BE) ∴AM 为BC 的中垂线, ∴CM=BM.(注:证全等也可得到CM =BM) ∵EM⊥BC, ∴EM 平分∠CMB.(等腰三角形三线合 一) ∴∠CME=∠BME.(注:证全等也可得 到∠CME=∠BME ) ∵∠BME=∠PMF, ∴∠PMF=∠CME, ∴∠MCD=∠F. 6.解:(1)证 明:由 旋 转 知 △BOC ≌△ADC, 所以 OC=DC,所以△COD 是等腰三 角形, 又∠OCD=60°, ∴△COD 是等边三角形.(有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形) (2)解:当α=150°,即∠BOC=150°时, △AOD 是直角三角形. ∵△BOC≌△ADC, ∴∠ADC=∠BOC=150°. 又∵△COD 是等边三角形, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·21· ∴∠ODC=60°.∴∠ADO=90°. 即△AOD 是直角三角形. (3)解:① 要 使 AO=AD,需 ∠AOD =∠ADO. ∵∠AOD=190°-α,∠ADO=α-60°, ∴190°-α=α-60°. ∴α=125°. ②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO. ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC=∠BAC=60°, ∴∠ABC+∠BAC=120°. ∵∠AOB=110°, ∴∠BAO+∠ABO=70°, ∴∠CAO+∠CBO=120°-70°=50°. ∵∠CBO=∠DAC, ∴∠DAC+∠CAO=50°, 即∠OAD=50°. ∵∠ADO=α-60°, ∴α-60°=50°. ∴α=110°. ③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD. ∠AOD = 1 2× [180°-(α-60)°] =120°- 1 2α. ∴190°-α=120°- α 2.∴α=140°. 综上所述:当α 的度数为125°,或110°, 或140°时,△AOD 是等腰三角形. 2.5 逆命题和逆定理 【典型例题】 例 解:(1)原命题为假命题. 反 例:如 图,AD ∥BC,则 S△ABC = S△DBC,但它们不一定全等;逆命题是:全等三 角形的面积相等,为真命题; (2)原命题为真命题.逆命题是:平行四 边形的对角线互相平分,为真命题. 点评:要写出一个命题的逆命题,首先应 找出原命题的条件和结论,然后将它们互换 位置 得 到 逆 命 题.也 可 以 先 改 写 成“如 果 ……,那么……”形式,再写出它的逆命题. 变式练习 解:(1)假命题. 反例:a=2,b=-3,有a>b,但a2<b2; (2)逆命题:若a2>b2,则a>b. 此命题为假命题. 反例:a=-2,b=-1,有a2>b2,但a <b. 【巩固练习】 1.(1)两直线平行 内错角相等 内错 角相等 两直线平行 (2)a>0,b>0 ab>0 如果ab>0,则 a>0,b>0 2.(1)如果a2=b2,那么a=b; (2)相等的两个角是同一个角的余角; (3)如果a=b,那么|a|=|b|; (4)有两个角相等的三角形是等腰三 角形. 3.(1)当c=0时,ac=bc; (2)如图,∠1=∠2=90°,但∠1与∠2 不是对顶角; (3)如图,∠1与∠2是同旁内角,但∠1 与∠2不互补. 4.如图,∠1的两边与∠2的两边互相平 行,但∠1与∠2不相等. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·31· 数学 八年级上册 37 微探究 运用角平分线构造等腰三角形 例1 如图,在△ABC 中,∠BAC,∠BCA 的平分 线相交于点O,过点O 作DE∥AC,分别交AB,BC 于点D,E.试猜想线段AD,CE,DE 的数量关系, 并说明你的猜想理由. 点拨:理由如下:由于OA,OC 分别是∠BAC, ∠BCA 的平分线,且 DE∥AC,所以可得△ADO 和△CEO 均 是 等 腰 三 角 形,则 DO=DA,EC= EO,故AD+CE=DE. 例2 如 图,在 等 腰 直 角△ABC 中,AB=AC, ∠BAC=90°,BF 平分∠ABC,CD⊥BD 交BF 的 延长线于点D.试说明BF=2CD. 点拨:由BF 平分∠ABC,CD⊥BD,并结合图 形特征,可延长BA,CD 交于点E,于是△BCE 是 等腰三角形,所以有ED=CD,余下来的问题只需 证明BF=CE,而事实上,由∠BAC=90°,CD⊥ BD,∠AFB=∠DFC,得∠ABF=∠DCF,而 AB =AC,所以△ABF≌△ACE,则BF=CE,故 BF =2CD. 例3 如图,在△ABC 中,∠ACB=2∠B,BC= 2AC.∠A 等于90°吗? 请说明理由. 点拨:由于条件中有两个倍半关系,而结论与 角有关,因此首先考虑对∠ACB=2∠B 进行处理, 即作CD 平分∠ACB 交AB 于点D,过点D 作DE ⊥BC 于 点 E,则 由 ∠ACB =2∠B 知 ∠B = ∠BCD,即△DBC 是等腰三角形,而 DE⊥BC,所 以BC=2CE,又BC=2AC,所以AC=EC,所以易 证得△ACD≌△ECD,所以∠A=∠DEC=90°. 变式练习 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC= BC,E 为AC 边的中点,过点A 作AD⊥AB 交BE 的延长线于点D.CG 平分∠ACB 交BD 于点G,F 为AB 边上一点,连结 CF,且∠ACF=∠CBG. 求证: (1)AF=CG; (2)CF=2DE. 一、夯实基础 1.如图是人字型屋架的设计图,由 AB、AC、 BC、AD 四根钢条焊接而成,其中A、B、C、D 均为 焊接点,且AB=AC,D 为BC 的中点,现在焊接所 需的四根钢条已截好,且已标出BC 的中点D.如果 焊接工身边只有可检验直角的角尺,那么为了准确 快速地焊接,他首先应取两根钢条及焊接的点是 ( ) A.AC 和BC,焊接点B B.AB 和AC,焊接点A C.AD 和BC,焊接点D D.AB 和AD,焊接点A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 38 2.在△ABC 中,∠B=∠C=36°,D,E 在BC 边上,且AD 和AE 把∠BAC 三等分,则图中等腰 三角形的个数 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.已知三角形的一个内角是40°,则当此三角 形的另外两个角中有一个角等于 时,这个 三角形是等腰三角形. 二、拓展提升 4.【探究发现】如图,△ABC 是等边三角形, ∠AEF=60°,EF 交等边三角形外角平分线CF 所 在的直线于点F.当点E 是BC 的中点时,有AE= EF 成立,试证明. 【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE,EF 的 关系时,运用从特殊到一般的数学思想,通过验证 得出如下结论: 当点E 是直线BC 上(B、C 除外)任意一点时 (其他条件不变),结论AE=EF 仍然成立. 假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点E 是线段BC 上的任意一点”,“点E 是线段BC 延长 线上的任意一点”,“点E 是线段BC 反向延长线上 的任意一点”,三种情况中,任选一种情况,在备用 图中画出图形,并证明AE=EF. 备用图图1 备用图图2 5.已知:如图,AF 平分∠BAC,BC⊥AF,垂 足为E,点D 与点A 关于点E 对称,PB 分别与线 段CF,AF 相交于P,M. (1)求证:AB=CD; (2)若∠BAC=2∠MPC,请 你 判 断∠F 与 ∠MCD 的数量关系,并说明理由. 6.如图,点O 是等边△ABC 内一点,∠AOB= 110°,∠BOC=α.将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋 转60°得△ADC,连结OD. (1)求证:△COD 是等边三角形; (2)当α=150°时,试判断△AOD 的形状,并说 明理由; (3)探究:当α 为多少度时,△AOD 是等腰三 角形? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋