2.7 探索勾股定理(2)-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

8.(1)a2+b2<c2 (2)略 9.(1)6 (2) 75 16 10.(1)△ABC 的面积为 7 2. (2)① ②8 (3)31 2.7 探索勾股定理(2) 【典型例题】 例1 90° 变式练习1 90° 例2 略 变式练习2 160 3 例3 6.5 变式练习3 135° 【巩固练习】 1.D 2.D 3.D 4.D 5.45° 6.3 7. 48 5 8.13800m 2 9.(1)n2-1 2n n2+1 (2)是直角三 角形,因为(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2 10.2 11.150° 12.(1)6 12 (2)6秒或 12 5 秒 13.(1)证明:∵∠DBE= 1 2∠ABC , ∴∠ABD+∠CBE=∠DBE= 1 2∠ABC , ∵△ABE'由△CBE 旋转而成, ∴BE=BE',∠ABE'=∠CBE, ∴∠DBE'=∠DBE, 在△DBE 与△DBE'中, BE=BE' ∠DBE=∠DBE' BD=BD ì î í ï ï ïï , ∴△DBE≌△DBE'. ∴DE=DE'. (2)证明:如图所示,把△CBE 逆时针旋 转90°,连结DE', ∵BA=BC,∠ABC=90°, ∴∠BAC=∠BCE=45°, ∴图形旋转后点C 与点A 重合,CE 与 AE 重合, ∴AE'=EC, ∴∠E'AB=∠BCE=45°, ∴∠DAE'=90°, 在Rt△ADE'中, DE'2=AE'2+AD2. ∵AE'=EC, ∴DE'2=EC2+AD2. 同(1)可得DE=DE'. ∴DE'2=AD2+EC2. ∴DE2=AD2+EC2. 2.8 直角三角形全等的判定 【典型例题】 例1 解:通过观察与分析,可以判断 HG =HB. 理由如下: 连结AH, ∵四边形ABCD,AEFG 都是正方形, ∴∠B=∠G=90°. 由题意知AG=AB, 而AH=AH, ∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL). ∴HG=HB. 例2 解:①当点M 运动到AC 的中点时, 即AM=8时,如图①, 由AM=8=CB,MN=BA, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·61· 数学 八年级上册 47 2.7 探索勾股定理(2) 例1 已知一个三角形的三条边的长分别为 3,5, 8,那么这个三角形的最大内角度数为 . 点拨:(1)本题考查勾股定理的逆定理; (2)利用a2+b2=c2 证明三角形为直角三角形 即可. 变式练习1 △ABC 的三边长分别为m2-1,2m, m2+1,则最大角为 . 例2 如图,在正方形ABCD 中,F 为DC 的中点, E 为 BC 上 一 点,且 EC= 1 4BC ,求 证:∠EFA =90°. 点拨:(1)本题考查勾股定理及逆定理; (2)求一个角是直角常用的方法是利用勾股定 理的逆定理,说明这个角所在三角形为直角三角形. 本题说明△AEF 是直角三角形即可. 变式练习2 如图,等腰△ABC 中,底边BC=20, D 为AB 上一点,CD=16,BD=12,求△ABC 的 周长. 例3 如图,在△ABC 中,AB=5,BC=12,AC= 13,点D 是AC 的中点,则BD= . 点拨:(1)本题考查勾股定理的逆定理; (2)由题中所给数据可知△ABC 是直角三角 形,BD 是△ABC 的中线. 变式练习3 如图,在四边形ABCD 中,AB=BC =2,CD=3,AD=1,且∠ABC=90°,试求∠A 的 度数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 48 一、夯实基础 1.在下列说法中是错误的是 ( ) A.在△ABC 中,若∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶ 3,则△ABC 为直角三角形 B.在△ABC 中,∠C=∠A-∠B,则△ABC 为直角三角形 C.在△ABC 中,若a= 3 5c ,b= 4 5c ,则△ABC 为直角三角形 D.在△ABC 中,若a∶b∶c=2∶2∶4,则 △ABC 为直角三角形 2.已知a,b,c为△ABC 的三边长,且满足(a2 -b2)(a2+b2-c2)=0,则它的形状为 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 3.如图,正方形组成的网格中标出 AB,CD, DE,AE 四条线段,其中能构成一个直角三角形三 边的线段是 ( ) A.AB,CD,AE B.AE,ED,CD C.AE,ED,AB D.AB,CD,ED 4.给出下列几组数:①6,7,8;②8,15,6;③n2 -1,2n,n2+1;④ 2+1,2-1,6.其中能组成直 角三角形的三条边长是 ( ) A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 5.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C 是 小正方形的顶点,则∠ABC 的度数为 . 6.如图是单位长度为1的网格图,A,B,C,D 是4个网格线的交点,以其中两点为端点的线段中, 任意取3条,能够组成 个直角三角形. 7.若一个三角形的边长分别是12,16和20,则 这个三角形最长边上的高是 . 8.农民承包了一块四边形水稻田ABCD,他量 得边长AB=90m,BC=120m,CD=130m,DA =140m,且边AB,BC 正好位于互相垂直的马路 的拐角处,请你计算一下这块水稻田的面积. 二、拓展提升 9.邱老师在一次“探究性学习”课中,设计了如 下数表: n 2 3 4 5 a 22-132-142-152-1 b 4 6 8 10 c 22+132+142+152+1 (1)请你分别观察a,b,c 与n 之间的关系,并 用含自然数n(n>1)的代数式表示: a= ,b= ,c= ; (2)猜想:以a,b,c 为边长的三角形是否为直 角三角形? 并说明你的猜想. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 49 10.如图,在△ABC 中,E 点为AC 的中点,其 中BD=1,DC=3,BC= 10,AD= 7,求 DE 的长. 11.如图,△ABC 和△AEF 为等边三角形,点 E 在△ABC 内部,且 E 到点A,B,C 的距离分别 为3,4,5,求∠AEB 的度数. 12.如图,在边长为12cm的等边三角形ABC 中,点 P 从点A 开始沿AB 边向点B 以每秒钟 1cm 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以每秒钟2cm的速度移动.若P,Q 分别从A,B 同 时出发,其中任意一点到达目的地后,两点同时停 止运动,求: (1)经过6秒后,BP= cm,BQ= cm; (2)经过几秒后,△BPQ 是直角三角形? 13.(1)如图1,在△ABC 中,BA=BC,D,E 是AC 边上的两点,且满足∠DBE= 1 2∠ABC (0° <∠CBE<∠ 1 2ABC ).以点 B 为旋 转 中 心,将 △BEC 按逆时针旋转∠ABC,得到△BE'A(点C 与点A 重合,点E 到点E'处)连结DE',求证:DE' =DE. (2)如图2,在△ABC 中,BA=BC,∠ABC=90°, D,E 是AC 边上的两点,且满足∠DBE= 1 2∠ABC (0°<∠CBE<45°). 求证:DE2=AD2+EC2. 图1 图2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋