2.6 直角三角形-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拓展与培优 42 2.6 直角三角形 例1 已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,BD 平分 ∠ABC,DE⊥BD,垂足为点D,DE 交BC 于点E. 求证:CD= 1 2BE. 点拨:由于BE 是Rt△BDE 的斜边,要求证的 线段有倍分关系,于是联想到“直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半”,故取BE 的中点F,连结 DF,只需证明CD=DF 即可. 例2 如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,点E,F 分别是AB,CD 的中点,且有EF= 1 2 (CD-AB), 则∠C+∠D= . 点拨:因AB,CD 不在同一直线上,可考虑通过 作平行线构成平行四边形进行转化,使它们在同一 个三角形中,再结合EF= 1 2 (CD-AB),可运用直 角三角形斜边中线定理的逆定理解题. 一、夯实基础 1.在直角三角形中,斜边及其中线之和等于 12cm,那么斜边长是 cm. 2.直角三角形中,其中一个锐角是另一个锐角 的2倍,则较小的一个锐角的度数是 . 3.如图,在Rt△ABC 中,AB=12,AC=5,BC =13,若点P 是BC 的中点,则线段AP 的长等于 ;若点P 在直线BC 上运动,设点B,C 关 于直线AP 的对称点分别为B',C',则线段B'C'的 长等于 . 4.要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙 三家农户去种植,如果∠C=90°,∠A=30°,要使这 三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着 分一分,并画出图来. 二、拓展提升 5.如图,点 D 是 △ABC 的边BC 上的中点, BF,CE 是△ABC 的高,连结FE,点H 是FE 的中 点,试说明DH⊥EF. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 43 6.如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,CD⊥AB 于点D,BE 平分∠ABC,且BE⊥AC 于点E,与 CD 相交于点F,H 是BC 边的中点,连结 DH 与 BE 相交于点G. (1)BF=AC 吗? 请说明你的理由; (2)试说明CE= 1 2BF. 7.如图,在△ABC 中,∠C=2∠B,点D 是BC 上的一点,且 AD⊥AB,点 E 是BD 的中点,连 结AE. (1)请说明∠AEC=∠C; (2)BD=2AC 吗? 若成立请给出说明过程; 8.已知∠AOB=90°,在∠AOB 的平分线OM 上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C 重合, 它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延 长线)相交于点D、E. (1)当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时 (如图1),易证:OD+OE= 2OC; (2)当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直 时,在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成 立? 若成立,请给予证明;若不成立,线段OD、OE、 OC 之间又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想, 不需证明. 图1 图2 图3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5.(1)原命题为真命题;逆命题:如果一 个三角形一边上的中线等于这条边的一半, 那么这个三角形是直角三角形;逆命题是真 命题. (2)原命题是假命题;逆命题:如果两个 三角形全等,那么这两个三角形的一条边和 这条边上的中线对应相等;逆命题是真命题. 6.如图,在△BAC 和△BAD 中, AB=AB AC=AD ∠B=∠B ì î í ï ï ïï , 但△BAC 和△BAD 不全等, ∴是假命题. 微探究 最短路径问题 【典型例题】 例1 ∠AOB=30°. 变式练习1 略 变式练习2 60° 例2 作 MM'⊥AP,且 M'M =河宽,作 NN'⊥AK,且 NN'=河宽,连结 M'N'与河 岸相交于 D,F 两点,作 DC⊥AP,EF⊥ AK,CD,EF 即为所求造的桥使得M 到N 路程最短. 变式练习3 略 【巩固练习】 1.作C 点关于OA 的对称点C1,作D 点 关于OB 的对称点D1,连结C1D1,分别交 OA,OB 于P,Q,那么小明沿C→P→Q→D 的路线行走,所走的总路程最短. 2.(1)取线段AB 的中点G,过中点G 画 AB 的垂线,交EF 于P,则P 到A,B 的距离 相等. (2)画出点A 关于河岸EF 的对称点 A',连结A'B 交EF 于P,则P 到A,B 的距 离和最短. 3.(1)作点D 关于AB 的对称点E,连结 CE 交AB 于点P,此时PC+PD 的值最小. (2)PC+PD 的最小值为8. 4.作图方法如下:如图,作线段BB'∥l, 使BB'=s,且点B'在点B 的左侧.取点A 关 于直线l的对称点A',连结 A'B',交直线l 于点C,在直线l上点C 右侧截取CD=s,则 CD 即为所求作的绿化带的位置. 2.6 直角三角形 【典型例题】 例1 证明:取BE 的中点F,连结DF. 在Rt△BDE 中,∵点F 为BE 中点, ∴DF=BF= 1 2BE , ∴∠CBD=∠BDF, ∴ ∠CFD = ∠CBD + ∠BDF = 2∠CBD. ∵BD 平分∠ABC, ∴∠ABC=2∠CBD, ∴∠CFD=∠ABC. 又AB=AC, ∴∠ABC=∠C,即∠CFD=∠C, ∴CD=DF,∴CD= 1 2BE. 例2 解:过点E 分别作AD,BC 的平行线 EG,EH,分别交CD 于点G,H, 则可得▱AEGD,▱BEHC, ∴AE=DG,BE=CH. ∵点E,F 分别为中点, ∴AE=BE,DF=CF. ∴DF-DG=CF-CH, 即GF=HF. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·41· 又∵EF= 1 2 (CD-AB)= 1 2GH , ∴△EGH 为直角三角形(此处运用了直 角三角形斜边中线定理的逆定理,该逆定理 的证明过程请同学们自己完成). ∴ ∠C + ∠D = ∠EHG + ∠EGH =90°. 【巩固练习】 1.8 2.30° 3.6.5 13 4.如图,BE 是角平分线,ED⊥AB. 5.解:∵BF,CE 是△ABC 的高线, ∴∠BFC=∠BEC=90°. 又∵点D 是 △ABC 边BC 上的中点, ∴DE= 1 2BC ,DF= 1 2BC , 即DE=DF. ∵点 H 是FE 的中点, ∴DH⊥EF. 6.解:(1)∵∠ABC=45°,CD⊥AB, ∴△BCD 是等腰直角三角形. ∴BD=CD. 在Rt△DFB 和Rt△DAC 中, ∠DBF=90°-∠BFD, ∠DCA=90°-∠EFC, 又∵∠BFD=∠EFC, ∴∠DBF=∠DCA. ∵∠BDF=∠CDA=90°,BD=CD, ∴Rt△DFB≌Rt△DAC. ∴BF=AC. (2)在Rt△BEA 和Rt△BEC 中, ∵BE 平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE. ∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°, ∴Rt△BEA≌Rt△BEC. ∴CE=AE= 1 2AC. 由(1)得BF=AC, ∴CE= 1 2AC= 1 2BF. 7.解:(1)∵AD⊥AB, ∴∠BAD=90°. ∵点E 是BD 的中点, ∴AE=BE= 1 2BD. ∴∠B=∠BAE. ∵∠AEC=∠B+∠BAE, ∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B. ∵∠C=2∠B, ∴∠AEC=∠C. (2)由(1)得AE=AC, 又∵AE= 1 2BD , ∴ 1 2BD=AC , ∴BD=2AC. 8.提示:(1)OD=CE,问题的实质是 2OE2=OC2,OE= 2 2OC. (2)通过作辅助 线,将问题转化为第(1)问就可解决. 2.7 探索勾股定理(1) 【典型例题】 例1 16 变式练习1 4 例2 ①B ②没有考虑到a2-b2=0的情 况 ③△ABC是直角三角形或等腰三角形 变式练习2 直角三角形 例3 (1)55cm (2)2 34cm 变式练习3 B 【巩固练习】 1.A 2.D 3.C 4.2 13,2 10或32 5.25 6.20cm 7.42或x≥8 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·51·