2.5 逆命题和逆定理&微探究 最短路径问题-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

数学 八年级上册 39 2.5 逆命题和逆定理 例 说出下列命题的逆命题,并判断原命题与逆命 题的真假,若是假命题,请举反例说明. (1)面积相等的两个三角形全等; (2)对角线互相平分的四边形是平行四边形; 点拨:根据命题和逆命题的定义进行判断. 变式练习 已知命题“若a>b,则a2>b2”. (1)此命题是真命题还是假命题? 若是真命 题,请给予证明;若是假命题,请举出一个反例; (2)写出此命题的逆命题,并判断此逆命题的 真假;若是真命题,请给予证明;若是假命题,请举 出一个反例. 一、夯实基础 1.填空: (1)命题“两直线平行,内错角相等”的条件是 ,结论是 ,这个命题 的逆命题的条件是 ,结论是 . (2)命题“如果a>0,b>0,那么ab>0”的条件 是 ,结论是 ,这个命 题的逆命题是 . 2.写出下列命题的逆命题: (1)如果a=b,那么a2=b2; (2)同角的余角相等; (3)如果|a|=|b|,那么a=b; (4)等腰三角形的两个底角相等. 3.用举反例的方法说明下列命题是假命题: (1)如果a<b,则ac<bc; (2)相等的两个角一定是对顶角; (3)如果两个角是同旁内角,那么这两个角 互补. 4.用举反例的方法说明命题“如果一个角的两 边分别与另一个角的两边互相平行,那么这两个角 相等”是假命题. 二、拓展提升 5.说出下列命题的逆命题,并判断原命题和逆 命题的真假. (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. (2)有一条边和这条边上的中线对应相等的两 个三角形全等. 6.用举反例的方法说明命题“有两边和其中一 边的对角对应相等的两个三角形全等”是假命题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 40 微探究 最短路径问题 例1 如图,点 P 是∠AOB 内任意一点,OP= 5cm,点M 和点N 分别是射线OB 和射线OA 上的 动点,△PMN 周长的最小值是5cm,则∠AOB 多 少度? 点拨:(1)本题考查了轴对称的性质、最短路线 问题、等边三角形的判定与性质; (2)分别作点P 关于OA,OB 的对称点C,D, 连结CD,分别交OA,OB 于点M,N. 变式练习1 如图,在∠POQ 的内部有两点A,B, 在∠POQ 两边OP,OQ 上各取两点C,D,使得四边 形ABDC 的周长最小,请在图中确定C,D 的位置. 变式练习2 如图,在四边形ABCD 中,∠ABC= 150°,∠BAD=∠BCD=90°,在AD,CD 上分别找 一点 G,H,使 △BGH 周 长 最 小 时,∠BGH + ∠BHG= . 例2 如图,古城河在AB 处直角转弯,河宽相等, 从M 处到达N 处,须经过两座桥:CD,EF,问如何 恰当造桥使得M 到N 路程最短. 点拨:由于题中含有固定线段“桥”,所以不能 通过轴对称直接转化为线段,可以考虑将点 M,N 按与河垂直的方向平移河宽距离,使问题转化为可 以利用“两点之间,线段最短”解决的问题. 变式练习3 如图A,B 两城镇在河流的异侧,架一 座桥EF 连通两岸,选择一个架桥点使从A 到B 距 离最短,架桥点选在何处,请在图中画出. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 41 一、夯实基础 1.实验中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成 如图所示两直排(图中的AO,BO),AO 桌面上摆满 了橘子,OB 桌面上摆满了糖果,站在C 处的学生小 明先拿橘子再拿糖果,然后到D 处座位上,请你帮 助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短? 2.如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建 一自来水厂向A 村与B 村供水. (1)若要使厂部到A,B 村的距离相等,则应选 择在哪建厂? (2)若要使厂部到A,B 两村的水管最短,应建 在什么地方? 二、拓展提升 3.如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠B=90°, ∠C=60°,CD=2AD,AB=4. (1)在AB 边上求作点P,使PC+PD 最小; (2)求出(1)中PC+PD 的最小值. 4.河岸l同侧的两个居民小区A、B,现欲在河 岸边建一个长度为s米的绿化带CD(宽度不计), 使C 到小区A 的距离与D 到小区B 的距离之和最 小.请在图中画出绿化带的位置,并写出画图过程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∴∠ODC=60°.∴∠ADO=90°. 即△AOD 是直角三角形. (3)解:① 要 使 AO=AD,需 ∠AOD =∠ADO. ∵∠AOD=190°-α,∠ADO=α-60°, ∴190°-α=α-60°. ∴α=125°. ②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO. ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC=∠BAC=60°, ∴∠ABC+∠BAC=120°. ∵∠AOB=110°, ∴∠BAO+∠ABO=70°, ∴∠CAO+∠CBO=120°-70°=50°. ∵∠CBO=∠DAC, ∴∠DAC+∠CAO=50°, 即∠OAD=50°. ∵∠ADO=α-60°, ∴α-60°=50°. ∴α=110°. ③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD. ∠AOD = 1 2× [180°-(α-60)°] =120°- 1 2α. ∴190°-α=120°- α 2.∴α=140°. 综上所述:当α 的度数为125°,或110°, 或140°时,△AOD 是等腰三角形. 2.5 逆命题和逆定理 【典型例题】 例 解:(1)原命题为假命题. 反 例:如 图,AD ∥BC,则 S△ABC = S△DBC,但它们不一定全等;逆命题是:全等三 角形的面积相等,为真命题; (2)原命题为真命题.逆命题是:平行四 边形的对角线互相平分,为真命题. 点评:要写出一个命题的逆命题,首先应 找出原命题的条件和结论,然后将它们互换 位置 得 到 逆 命 题.也 可 以 先 改 写 成“如 果 ……,那么……”形式,再写出它的逆命题. 变式练习 解:(1)假命题. 反例:a=2,b=-3,有a>b,但a2<b2; (2)逆命题:若a2>b2,则a>b. 此命题为假命题. 反例:a=-2,b=-1,有a2>b2,但a <b. 【巩固练习】 1.(1)两直线平行 内错角相等 内错 角相等 两直线平行 (2)a>0,b>0 ab>0 如果ab>0,则 a>0,b>0 2.(1)如果a2=b2,那么a=b; (2)相等的两个角是同一个角的余角; (3)如果a=b,那么|a|=|b|; (4)有两个角相等的三角形是等腰三 角形. 3.(1)当c=0时,ac=bc; (2)如图,∠1=∠2=90°,但∠1与∠2 不是对顶角; (3)如图,∠1与∠2是同旁内角,但∠1 与∠2不互补. 4.如图,∠1的两边与∠2的两边互相平 行,但∠1与∠2不相等. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·31· 5.(1)原命题为真命题;逆命题:如果一 个三角形一边上的中线等于这条边的一半, 那么这个三角形是直角三角形;逆命题是真 命题. (2)原命题是假命题;逆命题:如果两个 三角形全等,那么这两个三角形的一条边和 这条边上的中线对应相等;逆命题是真命题. 6.如图,在△BAC 和△BAD 中, AB=AB AC=AD ∠B=∠B ì î í ï ï ïï , 但△BAC 和△BAD 不全等, ∴是假命题. 微探究 最短路径问题 【典型例题】 例1 ∠AOB=30°. 变式练习1 略 变式练习2 60° 例2 作 MM'⊥AP,且 M'M =河宽,作 NN'⊥AK,且 NN'=河宽,连结 M'N'与河 岸相交于 D,F 两点,作 DC⊥AP,EF⊥ AK,CD,EF 即为所求造的桥使得M 到N 路程最短. 变式练习3 略 【巩固练习】 1.作C 点关于OA 的对称点C1,作D 点 关于OB 的对称点D1,连结C1D1,分别交 OA,OB 于P,Q,那么小明沿C→P→Q→D 的路线行走,所走的总路程最短. 2.(1)取线段AB 的中点G,过中点G 画 AB 的垂线,交EF 于P,则P 到A,B 的距离 相等. (2)画出点A 关于河岸EF 的对称点 A',连结A'B 交EF 于P,则P 到A,B 的距 离和最短. 3.(1)作点D 关于AB 的对称点E,连结 CE 交AB 于点P,此时PC+PD 的值最小. (2)PC+PD 的最小值为8. 4.作图方法如下:如图,作线段BB'∥l, 使BB'=s,且点B'在点B 的左侧.取点A 关 于直线l的对称点A',连结 A'B',交直线l 于点C,在直线l上点C 右侧截取CD=s,则 CD 即为所求作的绿化带的位置. 2.6 直角三角形 【典型例题】 例1 证明:取BE 的中点F,连结DF. 在Rt△BDE 中,∵点F 为BE 中点, ∴DF=BF= 1 2BE , ∴∠CBD=∠BDF, ∴ ∠CFD = ∠CBD + ∠BDF = 2∠CBD. ∵BD 平分∠ABC, ∴∠ABC=2∠CBD, ∴∠CFD=∠ABC. 又AB=AC, ∴∠ABC=∠C,即∠CFD=∠C, ∴CD=DF,∴CD= 1 2BE. 例2 解:过点E 分别作AD,BC 的平行线 EG,EH,分别交CD 于点G,H, 则可得▱AEGD,▱BEHC, ∴AE=DG,BE=CH. ∵点E,F 分别为中点, ∴AE=BE,DF=CF. ∴DF-DG=CF-CH, 即GF=HF. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·41·