2.2 等腰三角形&2.3 等腰三角形的性质定理-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

(2)由(1)证明易得△ACD≌△CBE, ∴CD=BE,AD=CE, ∴DE=CE-CD=AD-BE. (3)DE=BE-AD 由(1)证明易得△ACD≌△CBE, ∴AD=CE,CD=BE, ∴DE=CD-CE=BE-AD. 23.证明:∵CE=BF,∴BE=CF. 在△ABE 和△DCF 中, AB=DC,AE=DF,BE=CF. ∴△ABE≌△DCF(SSS). ∴∠B=∠C. 在△ABF 和△DCE 中, AB=DC,∠B=∠C,BF=CE. ∴△ABF≌△DCE(SAS).∴AF=DE. 24.(1)只要说明△ACN≌△MCB; (2)画图略; (3)结论“AN=BM”仍成立,理由略. 25.解:(1)由题意得 ∠BAC=180°-∠B-∠C=80°. 又∵AE 是∠BAC 的角平分线, ∴∠EAC=40°. 又∵AD 是△ABC 的高, ∴∠DAC=90°-∠C=20°. ∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°- 20°=20°. (2)证明:∵∠EFG=90°-∠AEC, ∠AEC = ∠B + ∠BAE = ∠B + 1 2∠BAC , 又∵∠BAC=180°-∠B-∠C, ∴∠EFG=90°-(∠B+ 1 2×180°- 1 2∠B- 1 2∠C )= ∠C-∠B 2 . (3)成立.证明:∵∠EFG=90°-∠GEF, ∠GEF=∠AEC=∠B+ 1 2∠BAC , ∴∠EFG=90°-(∠B+ 1 2×180°- 1 2∠B- 1 2∠C ). 即∠EFG= ∠C-∠B 2 . 第2章 特殊三角形 2.1 图形的轴对称 【典型例题】 例1 B 变式练习1 C 变式练习2 A 例2 6 变式 练 习 3 DQ =AQ 或 者 ∠QAD = ∠QDA 等 变式练习4 5cm 【巩固练习】 1.A 2.A 3.C 4.C 5.7 6.5∶4 7.(1)图略 (2)AM=AN,证明过程略 (3)是轴对称图形,对称轴是AG 所在的直线. 8.AC=7cm,BC=11cm. 9.(1)①提示: 作∠ABC 的角平分线BH 交AP 于点H,证 明△BMH≌△CND. ②PA=BD+PD, 证明过程略 (2)AM=BD+DN,画图略 2.2 等腰三角形 2.3 等腰三角形的性质定理 【典型例题】 例1 (1)①②或①③ (2)略 变式练习1 OD=DM+ON.证明过程略. 例2 (1)①先证△CDA≌△CEB, ∴∠CEB=∠CDA=120°, ∴∠AEB=120°-60°=60°; ②∵△CDA≌△CEB,∴AD=BE. (2)先证△ACD≌△BCE, ∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°. ∴∠AEB=135°-45°=90°. 在等腰直角三角形DCE 中, CM 为斜边DE 上的高, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·8· ∴CM=DM=ME, ∴DE=2CM. ∴AE=DE+AD=2CM+BE. 变式练习2 (1)1 1 2 (2) BE AB= 3 4 ,证明过 程略 (3)n= 5 2 例3 【探究二】2 1 2 2 【问题解决】k k-1 k k 【问题应用】2016÷4=504,504 -1=503,当三角形是等边三角形时,面积最 大,2016÷3=672,∴用2016根相同的木棒 搭一个三角形,能搭成503种不同的等腰三 角形,其中面积最大的等腰三角形每腰用672 根木棒. 变式练习3 (1)(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3), (2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4), (4,4,4) (2)由(1)可知,只有(2,3,4),即a= 2,b=3,c=4个单位长度时满足a<b<c,作 图略. 【巩固练习】 1.B 2.B 3.4 4.①② 5.52 6.B 7.8 8.(1)30 (2)略 (3)∠AOB 是定 值,∠AOB=60°.(提示:①当点 D 在线段 AM 上时;②当点 D 在线段AM 的延长线 上时.) 2.4 等腰三角形的判定定理 【典型例题】 例1 解:∵BD,CE 是△ABC 的高, ∴ ∠BEC=∠CDB=90°. 又∵∠EOB=∠DOC, ∴ ∠EBO=∠DCO. 由OB=OC 得∠OBC=∠OCB. ∴∠EBO+∠OBC =∠DCO+∠OCB, 即∠ABC=∠ACB. ∴AC=AB.即△ABC 是等腰三角形. 例2 解:连 结 PA,∵点 P 是 等 腰 直 角 △ABC 边BC 的中点,即 PA 是底边上的 中线, ∴PA⊥PC,∠BAP=∠CAP=45°(三 线合一). ∵△ABC 是等腰直角三角形, 即∠B=∠C=45°, ∴BP=AP=CP. ∵∠EPF 是直角, ∴∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPC =90°,即∠EPA=∠FPC. 在△PAE 和△PCF 中, ∵ ∠EAP=∠C, PA=PC, ∠EPA=∠FPC, ì î í ï ï ïï ∴△PAE≌△PCF. ∴PE=PF. ∴△PEF 是等腰三角形. 小结:要说明一个三角形是等腰三角形 的方法一般有两种:一是直接说明它的两腰 相等,二是先说明它的两个角相等,而后利用 “等角对等边”来说明三角形是等腰三角形. 针对不同的题目,同学们要灵活选择不同的 方法. 变式练习 由条件不难得出判断结论:用① ②作为条件能判定△BEC 是等腰三角形. 理由如下: ∵AB=DC,∠ABE=∠DCE,∠AEB =∠DEC, ∴△ABE≌△DCE. ∴BE=CE, ∴△BEC 是等腰三角形. 【巩固练习】 1.D 2.C 3.A 4.C 5.A 6.12 7.等腰三角形 8.本题答案不唯一,如AB=AC 9.本题答案不唯一,如 BD=CD,∠1 =∠2 10.25 11.解:本题答案不唯一,如图. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·9· 拓展与培优 32 2.2 等腰三角形 2.3 等腰三角形的性质定理 例1 如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边AC, AB 上,BD 与CE 交于点O,给出下列三个条件: ①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;③OB=OC. (1)上述三个条件中,由哪两个条件可以判定 △ABC 是等腰三角形? (用序号写出所有成立的情 形) (2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程. 点拨:(1)本题主要考查了等腰三角形的判定, 解题的关键是找出相等的角. (2)由①②或①③两个条件可以判定△ABC 是 等腰三角形. 变式练习1 如图,过∠AOB 平分线上一点C 作 CD∥OB 交OA 于点D,E 是线段OC 的中点,过点 E 画直线分别交射线CD,OB 于点M,N,探究线段 OD,ON,DM 之间的数量关系,并证明你的结论. 例2 (1)问题发现 如图1,△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点 A,D,E 在同一直线上,连结BE. 填空:①∠AEB 的度数为 ;②线段 AD,BE 之间的数量关系是 ; (2)拓展探究 如图2,△ACB 和△DCE 均为等腰三角形, ∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E 在同一直线上, CM 为△DCE 中DE 边上的高,连结BE.请判断 ∠AEB 的度数及线段CM,AE,BE 之间的数量关 系,并说明理由. 点拨:(1)本题主要考查了等边三角形与等腰 三角形的性质; (2)本 题 第(1)小 题 解 题 的 关 键 点 是 证 明 △CDA≌△CEB,难点在于第(2)小题,这种从特殊 到一般的问题解决应紧抓特殊问题的解题途径与 解题方法. 变式练习2 如图,已知在等边△ABC 中,点D 为 AC 上一动点,CD=nAD,连结BD,M 为线段BD 上的点,∠AMD=60°,AM 的延长线交BC 于点E. (1)若n=1,如图1,则 BE CE= ,BE AB= ; (2)若n=3,如图2,请猜想 BE AB 的值,并加以 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 33 证明; (3)若 BE AB= 5 7 ,求n 的值. 例3 【问题提出】用n 根相同的木棒搭一个三角形 (木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形? 【问题探究】不妨假设能搭成m 种不同的等腰 三角形,为探究m 与n 之间的关系,我们可以先从 特殊入手,通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得 出结论. 【探究一】 (1)用3根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多 少种不同的等腰三角形? 此时,显然能搭成一种等腰三角形.所以,当n =3时,m=1; (2)用4根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多 少种不同的等腰三角形? 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一 种情况,不能搭成三角形.当n=4时,m=0; (3)用5根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多 少种不同的等腰三角形? 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,则不能 搭成三角形; 若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒,则能搭 成一种等腰三角形.所以,当n=5时,m=1; (4)用6根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多 少种不同的等腰三角形? 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,则不能 搭成三角形; 若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒,则能搭 成一种等腰三角形.所以,当n=6时,m=1. 综上所述,可得: 表① n 3 4 5 6 m 1 0 1 1 【探究二】 用7根、8根、9根、10根相同的木棒搭一个三 角形,能搭成多少种不同的三角形? 请将结果填在 表②中: 表② n 7 8 9 10 m 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的 木棒继续进行探究,…… 【问题解决】用n 根相同的木棒搭一个三角形 (木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形? (设n 分别等于4k-1,4k,4k+1,4k+2,其中k 是 正整数,把结果填在表③中) 表③ n 4k-1 4k 4k+1 4k+2 m 【问题应用】用2016根相同的木棒搭一个三角 形(木棒无剩余),能搭成 种不同的等腰三 角形.(写出解答过程),其中面积最大的等腰三角形 每腰用了 根木棒.(只填结果) 点拨:(1)本题考查的是作图应用与设计作图、 三角形三边关系; (2)根据木棒的根数分类讨论,利用三角形两 边之和大于第三边和等腰三角形的性质进行解答. 变式练习3 “综合与实践”学习活动准备制作一组 三角形,记这些三角形的三边分别为a,b,c,并且这 些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单 位长度. (1)用记号(a,b,c)(a≤b≤c)表示一个满足条 件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单 位长度的一个三角形,请列举出所有满足条件的三 角形; (2)用直尺和圆规作出三边满足a<b<c的三 角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕 迹). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 34 一、夯实基础 1.若等腰三角形中有两边长分别为2和5,则 这个三角形的周长为 ( ) A.9 B.12 C.7或9 D.9或12 2.在 等 腰 △ABC 中,AB =AC,其 周 长 为 20cm,则AB 边的取值范围是 ( ) A.1cm<AB<4cm B.5cm<AB<10cm C.4cm<AB<8cm D.4cm<AB<10cm 3.在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三 角形,这样的等腰三角形一共可以围成 种. 4.如图,△ABD 与△AEC 都是等边三角形, AB≠AC,下列结论中,正确的是 . ①BE =CD;② ∠BOD =60°;③ ∠BDO =∠CEO. 5.如图,△ABC 中,D 是BC 上一点,AC=AD =DB,∠BAC=102°,则∠ADC= 度. 二、拓展提升 6.如图,在△ABO 中,∠AOB=90°,∠BAO= 30°,在坐标轴上取一点P,使得△PAB 是等腰三角 形,则符合条件的P 有 ( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 7.如图,∠BOC=10°,点A 在OB 上,且OA= 1,按下列要求画图:以A 为圆心,1为半径向右画 弧交OC 于点A1,得第1条线段AA1;再以A1 为圆 心,1为半径向右画弧交OB 于点A2,得第2条线段 A1A2;再以A2 为圆心,1为半径向右画弧交OC 于 点A3,得第3条线段A2A3;……这样画下去,直到 得第n 条线段,之后就不能再画出符合要求的线段 了,则n= . 8.如图,在等边△ABC 中,线段AM 为BC 边 上的中线.动点D 在直线AM 上时,以CD 为一边 在CD 的下方作等边△CDE,连结BE. (1)填空:∠CAM= 度; (2)若点 D 在线段 AM 上时,求证:△ADC ≌△BEC; (3)当动点D 在直线AM 上时,设直线BE 与 直线AM 的交点为O,试判断∠AOB 是否为定值? 并说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋