2.1 图形的轴对称-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

(2)由(1)证明易得△ACD≌△CBE, ∴CD=BE,AD=CE, ∴DE=CE-CD=AD-BE. (3)DE=BE-AD 由(1)证明易得△ACD≌△CBE, ∴AD=CE,CD=BE, ∴DE=CD-CE=BE-AD. 23.证明:∵CE=BF,∴BE=CF. 在△ABE 和△DCF 中, AB=DC,AE=DF,BE=CF. ∴△ABE≌△DCF(SSS). ∴∠B=∠C. 在△ABF 和△DCE 中, AB=DC,∠B=∠C,BF=CE. ∴△ABF≌△DCE(SAS).∴AF=DE. 24.(1)只要说明△ACN≌△MCB; (2)画图略; (3)结论“AN=BM”仍成立,理由略. 25.解:(1)由题意得 ∠BAC=180°-∠B-∠C=80°. 又∵AE 是∠BAC 的角平分线, ∴∠EAC=40°. 又∵AD 是△ABC 的高, ∴∠DAC=90°-∠C=20°. ∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°- 20°=20°. (2)证明:∵∠EFG=90°-∠AEC, ∠AEC = ∠B + ∠BAE = ∠B + 1 2∠BAC , 又∵∠BAC=180°-∠B-∠C, ∴∠EFG=90°-(∠B+ 1 2×180°- 1 2∠B- 1 2∠C )= ∠C-∠B 2 . (3)成立.证明:∵∠EFG=90°-∠GEF, ∠GEF=∠AEC=∠B+ 1 2∠BAC , ∴∠EFG=90°-(∠B+ 1 2×180°- 1 2∠B- 1 2∠C ). 即∠EFG= ∠C-∠B 2 . 第2章 特殊三角形 2.1 图形的轴对称 【典型例题】 例1 B 变式练习1 C 变式练习2 A 例2 6 变式 练 习 3 DQ =AQ 或 者 ∠QAD = ∠QDA 等 变式练习4 5cm 【巩固练习】 1.A 2.A 3.C 4.C 5.7 6.5∶4 7.(1)图略 (2)AM=AN,证明过程略 (3)是轴对称图形,对称轴是AG 所在的直线. 8.AC=7cm,BC=11cm. 9.(1)①提示: 作∠ABC 的角平分线BH 交AP 于点H,证 明△BMH≌△CND. ②PA=BD+PD, 证明过程略 (2)AM=BD+DN,画图略 2.2 等腰三角形 2.3 等腰三角形的性质定理 【典型例题】 例1 (1)①②或①③ (2)略 变式练习1 OD=DM+ON.证明过程略. 例2 (1)①先证△CDA≌△CEB, ∴∠CEB=∠CDA=120°, ∴∠AEB=120°-60°=60°; ②∵△CDA≌△CEB,∴AD=BE. (2)先证△ACD≌△BCE, ∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°. ∴∠AEB=135°-45°=90°. 在等腰直角三角形DCE 中, CM 为斜边DE 上的高, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·8· 拓展与培优 30 第2章 特殊三角形 2.1 图形的轴对称 例1 如图,下列四个图形: 其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为 ( ) A.13 B.11 C.10 D.8 点拨:(1)本题考查了轴对称及对称轴的定义; (2)根据轴对称及对称轴的定义,分别找到各 轴对称图形的对称轴条数,然后可得出答案. 变式练习1 下列四个图形: 其中是轴对称图形,且对称轴的条数为2的图 形的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 变式练习2 下列选项中有一张纸片会与上面图形 紧密拼凑成正方形纸片,且正方形上的黑色区域会 形成一个轴对称图形,则此纸片为 ( ) 例2 如图,在△ABC 中,AB+AC=6cm,BC 的 垂直平分线l与AC 相交于点D,则△ABD 的周长 为 cm. 点拨:(1)本题考查了线段垂直平分线的性质; (2)根据垂直平分线的性质,可得DC=DB,继 而可确定△ABD 的周长. 变式练习3 如图,四边形ABCD 是矩形,用直尺 和圆规作出∠A 的平分线与BC 边的垂直平分线的 交于点Q(不写作法,保留作图痕迹).连结QD,在新 图形中,你发现了什么? 请写出一条. 变式练习4 如图,在△ABC 中,AC 的垂直平分线 DE 交AC 相交于点E,交BC 相交于点D,BC= 7cm,△ABD 的周长为12cm,求AB 的长. 一、夯实基础 1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 31 中,是轴对称图形的是 ( ) 2.下列“数字”图形中,有且仅有一条对称轴 的是 ( ) 3.如图,在四边形 ABCD 中,AC 垂直平分 BD,垂足为E,下列结论不一定 成立的是 ( ) A.AB=AD B.AC 平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC 4.如图,将长形纸带ABCD,沿EF 折叠后,C, D 两点分别落在C',D'的位置,经测量得∠EFB= 65°,则∠AED'的度数是 ( ) A.65° B.55° C.50° D.25° 5.点P 在线段AB 的垂直平分线上,PA=7, 则PB= . 6.如图①为一张三角形ABC 纸片,P 点在BC 上.今将A 折至P 时,出现折线BD,其中 D 点在 AC 上,如图②所示.若△ABC 的面积为70,△DBC 的面积为45,则BP 与PC 的长度比为 . 二、拓展提升 7.如图,在△ABC 中,AB=AC,作AB 边上的 高CE,并延长CE 至点M,使ME=CE,连结AM, 作AC 边上的高线BD,并延长BD 至点N,使DN =BD,连结AN,CM 与BN 相交于点G. (1)按照上述语句,补全图形; (2)AM 与AN 有何数量关系? 请证明; (3)你补全的图形是轴对称图形吗? 8.如图,已知AC 比BC 小4cm,AB 的垂直平 分线EF 交AB 于点E,交BC 于点F,△ACF 的周 长为18cm,求AC,BC 的长. 9.在等腰直角△ABC 中,AB=BC,点 P 是 BC 边上垂直平分线EF 上的一点,连结AP,交BC 于点M,N 是点M 关于EF 的对称点,连结PN 并 延长交AC 于点D,连结BD 交PA 于点G. (1)如图①,点P 在BC 的下方时,①求证:PA ⊥BD;②请猜想线段PA,BD,PD 三者之间的数 量关系,并加以证明; (2)如图②,若点P 移动到△ABC 的内部时, 其他条件不变,线段AM,DB,DN 三者有什么数量 关系,请画出图形,直接写出结果,不必证明. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋