2.1 图形的轴对称（教学课件）数学浙教版2024八年级上册

2.1图形的轴对称 第2章 特殊的三角形 浙教版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 理解轴对称概念与性质 掌握轴对称图形和对称轴的定义，能识别常见几何图形（如线段、角、等腰三角形等）的对称轴 掌握轴对称作图与应用 能根据给定对称轴作出简单图形的轴对称图形 会利用轴对称解决实际问题（如最短路径问题），理解镜面对称原理 培养几何直观与推理能力 通过观察、折叠等操作活动建立空间观念 能用轴对称性质进行简单的几何证明（如等腰三角形性质定理的推导） 课堂导入 同学们，仔细观察这些图片，它们有什么共同特点？ 沿着直线折叠后，直线两侧的图形能够完全重合。 同桌谈论一下，生活中还有其他类似的图形吗 新知探究 课堂活动：我们一起“剪一剪” 同学们请拿出一张纸（可以是作业纸）和剪刀，按照下面的步骤剪出图案 如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对称点。 对称轴 新知探究 画出下列图形的对称轴，并数一数有几条和同桌讨论一下 六角星 长方形 平行四边形 圆 等腰直角三角形 等腰梯形 无数条 没有 例1传承中华文化，感受非遗剪纸的魅力．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（      ） 典例分析 一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够相互重合，那么这个图形就叫做轴对称图形 D 变式训练 习近平主席提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．如图有关环保的四个图形中，不是轴对称图形的是 ，（填序号） 不是轴对称图形 是轴对称图形 不是轴对称图形 不是轴对称图形 ①③④ 新知探究 如图所示，AD平分∠BAC，AB＝AC。 （1）四边形ABDC 是轴对称图形吗？如果你认为是，说出它的对称轴。哪一个点与点B对称？ 四边形ABDC是轴对称图形，对称轴为AD，点B与点C对称 新知探究 如图所示，AD平分∠BAC，AB＝AC。 连结 BC，交 AD 于点 E。把四边形 ABDC沿 AD 对折，BE 与 CE 重合吗？∠AEB 与∠AEC呢？由此你得到什么结论？ BE和CE能重合，∠AEB和∠AEC能重合 总结：轴对称图形有下面的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。 例1 如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，∠PAN=PBN．下列判断错误的是（        ） 典例分析 A . AM=BM B . AP=BN C . ∠MAP=∠MBP D . ∠ANM=∠BNM 可得到点A、点B是对称点 所以AM=MB,AP=PB ∠MAP=∠MBP,∠ANM=∠BNM B 变式训练 如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（     ） A .∠A=∠F B .线段BE被直线MN垂直平分 C . ∠ABE+∠FEB=180° D . BC=ED B 新知探究 在正方形网格上有一个△ABC，点A、B、C关于MN对称的点A'、B'、C'，画出△A'B'C' O B' C' A' 作法：（1）作AO垂直于MN，延长AO至A'，使得AO=A'O （2）按上述方法分别作出B的对称点B'，C的对称点C' （3）依次连接A'B'、B'C'、C'A'，△A'B'C'即为所求 新知探究 一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫作图形的轴对称，这条直线也叫作对称轴。 注意：图形的轴对称是由一个图形变为另外一个能重合的图形，是2个图形之间的关系 成轴对称的两个图形是全等图形 注意：轴对称图形是指一个图形自身关系对称轴能够重合 例2 下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（       ） 典例分析 C 变式训练 如图所示，两个图形成轴对称的有__________只填写序号 ④⑥ （教材母题）例3 如图所示，直线l表示草原上的一条河流。一骑马少年从A地出 发，去河边让马饮水，然后返回位于 B 地的家中。他沿怎样的路线骑行，能 使路程最短？作出这条最短路线。 典例分析 解：作点 A 关于直线 l 的对称点 A'，连结 A'B，交直线 l 于点C，连结AC。骑马少年沿折线A—C—B的路线骑行时路程最短。 A' C 设P是直线l上任意一点，连结AP，A'P。 由作图知，直线l垂直平分AA'，则 AC＝A'C，AP＝A'P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。 则AP＋BP＝A'P＋BP≥A'B，A'B＝A'C+BC＝AC＋BC， 即AP＋BP≥AC＋BC， 所以骑马少年沿折线A—C—B的路线骑行时路程最短。 变式训练 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABC周长的最小值是_______． 解题思路：连接PC，求出PA+PB的最小值可得结论 解：如图，连接PC ∵EF垂直平分线段BC，∴PB=PC ∴PA+PB=PA+PC≥AC=4 ∴PA+PB的最小值为4， ∴△ABP的周长最小值为3+4=7 7 课堂练习 1．三星堆文化是古蜀文明的实证，揭示了中华文明多元一体的格局，并展现了独特的艺术成就与文化交流，在下面三星堆出土文物图片中，不是轴对称图形的是（      ） C 课堂练习 2．如图，在△ABC中，∠A=25°，∠C=120°，沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，下列结论不正确的是（       ） D 解题思路：根据折叠的性质得到△BCD≌△BED，BC=BE，然后利用三角形外角的性质求解即可 解：如图所示，连接DE ∵沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在AB边上的点E处 ∴△BCD≌△BED，BC=BE，故A、B正确 ∴∠BED=∠C=120°，∵∠A=25°， ∴∠ADE=∠BED-∠A=120°-25°=95°，故C正确； ∴∠AED=180°-∠BED=60° ∴∠AED≠∠ADE ∴AD≠AE，故D错误。 A .△BCD≌△BED B . BC=BE C . ∠ADE=95° D . AD=AE 课堂练习 3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，∠C=75°，△AB'C'与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，则∠CAB的度数是 . 解：∵∠B=∠C=75° ∴∠BAC=180°-∠B-∠C==30° ∵△AB'C'与△ABC关于直线EF对称 ∴∠B'AC'=∠BAC=30°，∠C'AF=∠CAF=10° ∴∠CAB'=∠CAF+∠C'AF+∠C'AB'=10°+10°+30°=50° 解题思路：根据三角形的内角和定理求出∠BAC=30°，由轴对称的性质可得∠B'AC'=∠BAC=30°，∠C'AF=∠CAF=10°，再由角的和差即可求解。 50° 课堂练习 4 .把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若∠EFB=23°，则∠D'FD=_______°． 解题思路：本题主要考查的是平行线的性质和折叠的性质，直接利用平行线的性质和折叠的性质得出∠C'EG=64°，进而得出答案。 解：∵EF是折痕，∠EFB=23°，AC'∥BD' ∴∠C'EF=∠GEF=∠GEF=23°， ∴∠C'EG=46°， ∵CE∥FD ∴∠D'FD=∠FGC=∠C'EG=46° 46° 课堂练习 5．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． 解：△A1B1C1的面积： 2×4-×4×1-×2×1-×2×2=3 (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)△A1B1C1的面积为______． 求网格中面积问题：一般利用将所求的图形补为长方形 解：如图所示 课堂练习 6．如图，在△ABC中，点B与点C关于直线MN对称，直线MN分别与边AC、BC相交于点D，E，连接BD，若△ABD的周长为18，△ABC的周长为32，求CE的长． 先根据轴对称的性质可得BD=CD，据此可得AC=AD+BD，在利用两个三角形的周长的差可得BC的长，进而得到CE的长 解：∵点B与点C关于直线MN对称，直线MN分别与边AC，BC相较于点D、E。 ∴BD=CD，∴AC=AD+CD=AD+BD ∴△ABD的周长为18，△ABC的周长为32 ∴AD+BD+AB=AC+AB=18，AC+AB+BC=32. ∴BC=32-18=14 ∴CE=BC=7 课堂练习 7．如图，纸片△ABC中，AB＞AC，将△ABC折叠，使AB边与AC边叠在一起，点B落在AC的延长线上的点D处． （1）若AB=10，AC=6，求CD的长； 解：折叠可得：△ABE≌△ADE，∴AB=AD=10, ∵AC=6，∴CD=AD-AC=4 （2）若∠BAC=68°，∠B=32°，求钝角∠BED的度数 解：∵∠BAC=68°，∠B=32°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠B=80° ∴∠BCD=180°-∠ACB=100°，∵△ABE≌△ADE，∴∠D=∠B=32° ∴∠BED=∠D+∠BCD=132° 课堂小结 作图： 作已知图形关于某直线的对称图形（先找关键点的对称点，再连线）。 设计对称图案（如剪纸、标志设计）。 轴对称的实际应用 定义：一个图形沿某条直线（对称轴）折叠后，直线两侧的部分能完全重合，这样的图形称为轴对称图形；若两个图形关于某直线对称，则称它们成轴对称。 关键要素： 对称轴（可能不止一条，如正方形有4条）。 对称点（折叠后重合的点，其连线被对称轴垂直平分）。 轴对称的基本概念 性质1：对称轴是任意一对对称点连线的垂直平分线（作图与证明的核心依据） 性质2：轴对称变换不改变图形的形状与大小（全等变换），只改变位置和方向。 轴对称的性质 01 03 04 02 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$