1.6 线段垂直平分线的性质&1.7 角平分线的性质-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

数学 八年级上册 25 1.6 线段垂直平分线的性质 1.7 角平分线的性质 例1 (曲靖中考题)如图,以∠AOB 的顶点O 为圆 心,适当长为半径画弧,交OA 于点C,交OB 于点 D.再分别以点C、D 为圆心,大于 1 2CD 的长为半径 画弧,两弧在∠AOB 内部交于点E,过点E 作射线 OE,连结CD.则下列说法错误的是 ( ) A.射线OE 是∠AOB 的平分线 B.△COD 是等腰三角形 C.C、D 两点关于OE 所在直线对称 D.O、E 两点关于CD 所在直线对称 点拨:如图的作图方法,作的是∠AOB 的平分 线,从平分线出发再去得出相关结论. 例2 (吉林长春中考题)如图,在△ABC 中,AB> AC,按以下步骤作图:分别以点B 和点C 为圆心, 大于BC 一半的长为半径作圆弧,两弧相交于点 M 和点N,作直线MN 交AB 于点D,连结CD.若AB =6,AC=4,则△ACD 的周长为 . 点拨:根据题意可知直线 MN 是线段BC 的垂 直平分线,推出DC=DB,可以证明△ADC 的周长 =AC+AB,由此即可解决问题. 例3 (广东省中考题)如图,已知锐角△ABC, 过点A 作BC 边的垂线MN,交BC 于点D(用尺规 作图法,保留作图痕迹,不要求写作法); 点拨:(1)①以点A 为圆心画弧交BC 于点E、F; ②分别以点E、F 为圆心,大于 1 2EF 长为半径 画弧,两交于点G; ③连结AG,即为BC 边的垂线MN,交BC 于 点D. 一、夯实基础 1.(福建省福州市中考题)如图,C,D 分别是线 段AB,AC 的中点,分别以点C,D 为圆心,BC 长 为半径画弧,两弧交于点 M,测量∠AMB 的度数, 结果为 ( ) A.80° B.90° C.100° D.105° 2.(甘 肃 省 白 银 市 中 考 题)如图,△ABC 中, ∠C=90°,∠A=30°. (1)用尺规作图作 AB 边上的中垂线DE,交 AC 于点D,交AB 于点E.(保留作图痕迹,不要求 写作法和证明); (2)连结BD,求证:BD 平分∠CBA. 3.(陕西中考题)如图,已知△ABC,请用尺规 过点A 作一条直线,使其将△ABC 分成面积相等 的两部分.(保留作图痕迹,不写作法) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 26 4.(广西玉林防城港市中考题)根据图中尺规 作图的痕迹,先判断得出结论: . 然后证明你的结论(不要求写出已知、求证). 5.如图,△ABC 是等腰三角形,AB=AC,请你 用尺规作图将△ABC 分成两个全等的三角形,并说 明这两个三角形全等的理由.(保留作图痕迹,不写 作法) 二、拓展提升 6.(北京市中考题)阅读下面材料: 在数学课上,老师提出如下问题: 尺规作图:作一条线段的垂直平分线. 已知:线段AB. 求作:线段AB 的垂直平分线. 小芸的作法如下: 如图, ①分别以点A 和点B 为圆心,大于 1 2AB 的长为 半径作弧,两弧相交于C、D 两点; ②作直线CD. 所以直线CD 就是所求作的垂直平分线. 老师说:“小芸的作法正确.” 请回答:小芸的作图依据是什么? 7.数学课上,探讨角平分线的作法时,李老师 用直尺和圆规作角平分线,方法如下: 作法:①在 OA 和OB 上分别截取OD、OE,使 OD=OE. ②分别以D、E 为圆心,以大于 1 2DE 的长 为半径作弧,两弧在∠AOB 内交于点C. ③作 射 线 OC,则 OC 就 是∠AOB 的 平 分线. 小颖的身边只有刻度尺,经过尝试,她发现利 用刻度尺也可以作角平分线. 根据以上情境,解决下列问题: (1)李老师用尺规作角平分线时,用到的三角 形全等的判定方法是 . (2)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方 法.(要求:作出图形,写出作图步骤,不予证明) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∠CDE.因为AE=DF,所以AE+AD=DF +AD,即ED=FA.在△ABF 和△DCE 中, AB=DC,∠BAF=∠CDE,FA=ED,所以 △ABF≌△DCE(SAS),所以BF=CE. (2)成立.理由略. (3)相等.理由:因为AD∥BC, 所以∠FAB=∠ABC,∠EDC=∠DCB, 又∠ABC=∠DCB, 所以∠FAB=∠EDC. 因为AE=DF, 所以AE-AD=DF-AD, 即DE=AF. 在 △ABF 和 △DCE 中,AB =DC, ∠FAB=∠EDC,AF=DE, 所以△ABF≌△DCE(SAS), 所以BF=CE. 14.解:BN=CM 且BN⊥CM. 理由:因为AM⊥AB,AN⊥AC, 所以∠MAB=∠NAC=90°, 所 以 ∠MAB + ∠BAC = ∠NAC +∠BAC, 即∠MAC=∠BAN. 在△ABN 和△AMC 中, AB=AM,∠BAN=∠MAC,AN=AC, 所以△ABN≌△AMC(SAS), 所以BN=MC,∠ABN=∠M. 在△AME 中, ∠M+∠MEA+∠MAE=180°, 在△BED 中, ∠EBD+∠BED+∠BDE=180°, 因为∠EBD=∠ABN=∠M, ∠MEA=∠BED(对顶角相等), 所以∠BDE=∠MAE=90°, 所以BD⊥ED,即BN⊥CM. 1.6 线段垂直平分线的性质 1.7 角平分线的性质 【典型例题】 例1 D 例2 10 例3 作法略 【巩固练习】 1.B 2.(1)解:如图所示,DE 就是要求作的 AB 边上的中垂线; (2)证明:∵DE 是AB 边上的中垂线, ∠A=30°,∴AD=BD, ∴∠ABD=∠A=30°, ∵∠C=90°, ∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°, ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°- 30°=30°, ∴∠ABD=∠CBD,∴BD 平分∠CBA. 3.解:如图,直线AD 即为所求直线. 4.解:OM 是∠AOB 的角平分线. 证明:连结CM、DM,∵OC=OD,CM= DM,OM =OM,∴ △OCM ≌ △ODM,∴ ∠BOM=∠AOM,∴OM 是∠AOB 的角平 分线. 5.解:作出BC 的垂直平分线,交BC 于 点D, ∵AB=AC,∴AD 平分∠BAC, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·6· 即∠BAD=∠CAD, 在△ABD 和△ACD 中, AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD ì î í ï ï ïï , ∴△ABD≌△ACD(SAS). 6.解:由“分别以点A 和点B 为圆心,大 于1 2AB 的长为半径作弧,两弧相交于C、D 两点”可知点C,D 到点A,B 的距离相等,所 以点C,D 都在线段的垂直平分线上,所以经 过点C,D 的直线就是线段AB 的垂直平分 线,依据是“到线段两个端点距离相等的点在 线段的垂直平分线上”;作直线CD 的依据是 “两点确定一条直线”,故答案为:到线段两个 端点距离相等的点在线段的垂直平分线上; 两点确定一条直线. 7.(1)SSS (2)解:如图所示. 步骤:①利用刻度尺在OA、OB 上分别 截取OG=OH. ②连结GH,利用刻度尺作出GH 的中 点Q. ③作 射 线 OQ.则 OQ 为 ∠AOB 的 平 分线. 周末拓展 三角形的初步 知识章拓展 1.A 2.B 3.C 4.C 5.C 6.D 7.D 8.D 9.C 10.C 11.对角线相等的四边形是矩形 12.-2 >-3,但是- 1 2<- 1 3 (答案不唯一) 13.如 ∠CAB=∠DBA(答案不唯一) 14.3 15.30° 16.16 17.7 18.21 19.解:(1)假命题,反例不唯一,如当a =-3,b=2时,(-3)2>22,但-3<2 (2) 真命题 (3)假命题,反例不唯一,如30°的余 角是60°,但60°>30°. 20.连结BC,作BC 的垂直平分线EF, 过点A 作EF 的垂线交EF 于点O,点O 即 为机场的位置. 21.解:(1)∵∠A=70°, ∴∠ABC+∠ACB=110°, 即∠1+∠2+∠3+∠4=110°, ∵BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠2+∠4=55°, ∴∠BPC=180°-∠2-∠4=125°. (2)∵∠A=α, ∴∠ABC+∠ACB=180°-α, 即∠1+∠2+∠3+∠4=180°-α. ∵BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠2+∠4=90°- 1 2α , ∴∠BPC=180°-∠2-∠4=90°+ 1 2α. 22.(1)证明:∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=90°, ∵AD⊥MN,∴∠DAC+∠ACD=90°, ∵BE⊥MN,∴∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠BCE=∠DAC,∠ACD=∠CBE, ∵AC=BC,∴△ADC≌△CEB. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·7·