1.5 三角形全等的判定-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

1.4 全等三角形 【典型例题】 例1 DE=BD-BE=2cm. 变式练习1 (1)△ABC≌△DBE 对应边: AB 与DB,AC 与DE,BC 与BE;对应角: ∠A 与∠D,∠ABC 与∠DBE,∠ACB 与 ∠E (2)垂直;理由提示:延长AC 交ED 于 点F,证∠CFD=90°. 变式练习2 ∠DFB=90°,∠DGB=65°. 例2 C 变式练习3 7 【巩固练习】 1.C 2.D 3.①②④ 4.2.5 5.20 6.80° 7.略 8.A 9.提示:证∠QAP= 90° 10.∠C= 1 2 (∠1+∠2) 1.5 三角形全等的判定 【典型例题】 例1 ∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE 或AB =DE) 变式练习1 答案不唯一,如AB=CD. 例2 △ABF≌△CDE,△ABC≌△CDA. 变式练 习 2 有 4 对,分 别 是 △ADF ≌ △ABF,△CDF ≌ △EBF, △ACD ≌ △AEB,△ACF≌△AEF;证明略. 例3 △BEC≌△CDA(AAS). 变式练习3 略 例4 提示:先证△ABD≌△ACE(SSS). 【巩固练习】 1.D 2.C 3.D 4.A 5.AB=DC 6. n(n+1) 2 7.AG=AD ;AG⊥AD 证明 略 8.a-b 9.(1)提示:先证C1B∥CA, 再 证 △AA1C ≌ △C1CB,得 ∠AA1C = ∠C1CB,而∠AA1C=∠BB1C1,∴∠C1CB =∠BB1C1,在△C1B1E 和△BCE 中,可得 ∠B1C1C= ∠B1BC. (2)相 等.提 示:证 ∠BCC1=∠A. 专题拓展 全等三角形中 三垂直基本模型 【夯实基础】 1.C 2.C 3.D 4.∠E=∠DBC(答 案不唯一) 5.90° 【典型例题】 例1 △ACD≌△CBE(AAS) 变式练习1 略 变式练习2 略 例2 根据三垂直基本模型可得△ACD≌ △CBE;∴AD=CE,CD=BE,∴DE=AD +BE. 变式练习3 提示:先证△ACD≌△CBE (AAS) 例3 特例探究:根据三垂直基本模型易证 △ABD ≌ △CAF (AAS) 归 纳 证 明: △ABE≌△CAF(AAS) 拓展应用:△ACF 与△BDE 的面积之和为5. 变式练习4 (1)①= = ②∠α+∠BCA =180°,证明过程略 (2)EF=BE+AF 【巩固练习】 1.D 2.B 3.A 4.13 5.3 6.10 7.(1)△ACD≌△CBE(AAS),证明过程略 (2)9 8.(1)略 (2)△DEF 为等边三角 形,证明略 9.(1)1,3 (2) OC-BD OA =1 ,证 明过程略 专题拓展 构造三角形全等 证明结论 【夯实基础】 1.提示:连结AD. 2.提示:连结AC. 3.提示:连结AB. 4.62-6,提示:过点D 作DE⊥AB,垂足为E,证△DCB≌△DEB. 5.CH=1,提示:先证△AEH≌△CEB. 【典型例题】 例 提示:过点B 作BE∥AC 交AD 的延长 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·4· 拓展与培优 12 1.5 三角形全等的判定 例1 如图,已知点B,F,C,E 在同一直线上,并且 BF=CE,∠B=∠E.请你只添加一个条件(不再添 加辅助线),使得△ABC≌△DEF.你添加的条件是 . 点拨:(1)本题考查了全等三角形的判定; (2)全 等 三 角 形 的 判 定 方 法 有 SSS,SAS, ASA,AAS.此题是条件开放题,由已知 BC=FE (由BF=CE 可得),∠B=∠E,已经有一角和该角 的邻边 对 应 相 等,可 再 增 加 该 角 的 另 一 邻 边(用 SAS)或再增加一角(用AAS 或ASA).此题要注意 隐含条件的挖掘. 变式练习1 如图,已知AB⊥AC,CD⊥BD,证明 △ABC≌△DCB,则 应 添 加 的 条 件 是 . 例2 如图,已知点 A,E,F,C 在一条直线上, △AED≌△CFB,你还能得出哪些三角形全等? 请 一一列举. 点拨:(1)本题考查了全等三角形的性质和判 定等知识; (2)本题属于结论探究题,它难在要求一一列 举.可利用图形的特征(某部分图形通过平移、旋转、 翻转得到整个图形)避免遗漏,然后再从已知出发 进行求证. 变式练习 2 如 图,已 知 Rt△ABC≌Rt△ADE, ∠ABC=∠ADE=90°,BC 与DE 相交于点F,连 结CD,EB.图中还有几对全等三角形,请你一一列 举;并选一对进行证明. 例3 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC, BE⊥CE 于点E,AD⊥CE 于点D.求证:△BEC ≌△CDA. 点拨:(1)本 题 考 查 了 全 等 三 角 形 的 判 定 等 知识; (2)证明两个三角形全等书写:①证全等时要 用的间接条件要求证明;②指 明 在 哪 两 个 三 角 形 中,列出三个条件,写出全等的结论及依据. 变式练习3 学习“全等三角形”的知识时,老师布 置了一道作业题:“如图①,已知在△ABC 中,AB= AC,点P 是△ABC 内任意一点,将AP 绕点A 顺 时针旋转至 AQ,使∠QAP=∠BAC,连结 BQ, CP,证明:BQ=CP.” 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 13 小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分 析,证明了△ABQ≌△ACP,从而证得BQ=CP, 之后,他将点P 移到三角形ABC 之外,原题中其他 条件不变,发现“BQ=CP”仍然成立,请你就图②给 出证明. 例4 如图,已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,且 B,D,E 三点共线,求证:∠ADE=∠1+∠2. 点拨:(1)本题考查了全等三角形的性质和判 定等知识; (2)先证△ABD≌△ACE.再用全等三角形的 性质得出∠BAD=∠1,∠ABD=∠2.由三角形外 角等于不相邻的两个内角和可知∠ADE=∠ABD +∠BAD,所以∠ADE=∠1+∠2.先判断两个三 角形全等,再利用全等三角形的性质去得出对应角 相等、对应边相等,进而求其他结论是常用的方法. 一、夯实基础 1.如 图,下 列 条 件 中,不 能 证 明 △ABC ≌ △DCB 的是 ( ) A.AB=DC,AC=DB B.AB=DC,∠ABC=∠DCB C.BO=CO,∠A=∠D D.AB=DC,∠A=∠D 2.如图,已知AB=AD,那么添加下面一个条 件后,仍无法判定△ABC≌△ADC 的是 ( ) A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90° 3.如图,△ABC 中,AB=AC,D 是BC 的中 点,AC 的垂直平分线分别交AC,AD,AB 于点E, O,F,则图中全等三角形的对数是 ( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 4.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AC, 垂足为E,BF∥AC 交ED 的延长线于点F,若BC 恰好平分∠ABF,AE=2BF.给出下列四个结论: ①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AC= 3BF,其中正确的结论共有 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 14 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5.如 图,在△ABC 中,AC=DB,如 果 要 用 “SSS”证明△ABC≌△DCB,应增加的条件是 . 6.如图,已知AB=AC,D 为∠BAC 的角平分 线上面一点,连结BD,CD;如图2,已知AB=AC, D,E 为∠BAC 的角平分线上面两点,连结 BD, CD,BE,CE;如图3,已知 AB=AC,D,E,F 为 ∠BAC 的角平分线上面三点,连结BD,CD,BE, CE,BF,CF;…,依此规律,第n 个图形中有全等三 角形的对数是 . 7.如图,已知在△ABC 中,BE,CF 分 别 是 AC,AB 边上的高,在BE 上截取BD=AC,在CF 的延长线上截取CG=AB,连结AD,AG,则AG 与 AD 有何关系? 试证明你的结论. 二、拓展提升 8.AD,BE 是锐角△ABC 的高,相交于点O,若 BO=AC,BC=a,CD=b,则AD 的长为 . 9.如图①,将一张长方形纸片对折,然后沿虚 线 剪 切,得 到 两 个 (不 等 边)三 角 形 纸 片 △ABC,△A1B1C1. (1)将△ABC,△A1B1C1 如图②摆放,使点A1 与B 重合,点B1 在AC 边延长线上,连结CC1 交 BB1 于点E,求证:∠B1C1C=∠B1BC; (2)若将△ABC,△A1B1C1 如图③摆放,使点 B1 与B 重合,点 A1 在 AC 边的延长线上,连结 CC1 交A1B1 于点F.试判断∠A1C1C 与∠A1BC 是否相等,并说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋