1.1 认识三角形&1.2 定义与命题-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拓展与培优 数学 八年级上册 浙江教育教材适用 参考答案 第1章 三角形 1.1 认识三角形 【典型例题】 例1 图中共有7个三角形,分别为△AEF, △ADE,△BDE,△BCF,△ABE,△ABF, △ABC;以 E 为 顶 点 的 三 角 形 有△AEF, △ADE,△BDE,△ABE. 变式练习1 (1)①图中三角形有3个;②图 中三角形有6个;③图中三角形有8个; (2)①图中以B 为顶点的角所对的边是AC 和AD;②图中以B 为顶点的角所对的边是 AC,AD,AE;③图中以B 为顶点的角所对的 边是AE,AD,AC,CE,CD. 例2 (1)两边长分别为7和9,设第三边是 x,则9-7<x<7+9,即2<x<16.第三边长 是4(答案不唯一); (2)∵2<x<16,∴x 的值为4,6,8,10,12,14共六个,∴a=6. 变式练习2 第一根木棒的长度5<m≤7. 例3 AD,AF 分别是△ABC,△ABE 的角 平分线.BE,DE 分别是△ABC,△ADC 的中 线.AG 是△ABC,△ABD,△ACD,△ABG, △ACG,△ADG 的高. 变式练习3 B 例4 如图所示: 变式练习4 B 【巩固练习】 1.B 2.D 3.D 4.稳定 5.1<x<6 6.钝角 7.②③ 8.(1)3cm (2)3cm 9.2b-2c 10.(1)= (2) x=10 y=10{ 20 (3)13,理由略. 1.2 定义与命题 【典型例题】 例1 条件是“a=b,b=c”.结论是“a=c”. 变式练习1 条件是“两条直线都与第三条直 线相交,内错角相等”.结论是“这两条直线 平行.” 例2 条件是“两个三角形全等”.结论是“这 两个三角形的面积相等.” 变式练习2 条件是“两个角是对顶角”.结论 是“这两个角相等”. 【巩固练习】 1.C 2.A 3.C 4.D 5.假 6.真 7.乙的说法正确. 1.3 证明 【典型例题】 例1 证明:∵GH⊥CD,∠2=30°(已知), ∴∠2+∠3=90°(垂直的定义), ∴∠3=90°-∠2=90°-30°=60°(等式 的性质), ∵∠3=∠4(对顶角相等), ∴∠4=60°(等量代换). ∵∠1=60°(已知), ∴∠1=∠4(等量代换), ∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·1· 数学 八年级上册 1 第1章 三角形 1.1 认识三角形 例1 如图,图中共有多少个三角形? 请写出这些 三角形,并指出所有以E 为顶点的三角形. 点拨:(1)本 题 考 查 三 角 形 的 定 义、顶 点 有 关 知识; (2)在较复杂的图形中寻找三角形,可以将它 们按一定顺序罗列统计,如由单独一个部分组成, 由两个部分合并组成,由多个部分合并组成,逐一 罗列出来,最后计算总数. 变式练习1 在下面一组图形中: (1)各图形中分别有几个三角形? (2)说出各个图形中以B 为顶点的角所对的边. 例2 已知三角形的三条边为互不相等的整数,且 有两边长分别为7和9,另一条边长为偶数. (1)请写出一个三角形,符合上述条件的第三 边长; (2)若符合上述条件的三角形共有a 个,求a 的值. 点拨:(1)本题考查三角形三边关系; (2)在运用三角形三边关系判定三条线段能否 构成三角形时,只要两条较短的线段长度之和大于 第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一 个三角形. 变式练习2 两根木棒的长分别是m 和m-4(m> 4),要选择第三根木棒,将它们首尾相接钉成一个 三角形.张同学手里长为6的木棒可以完成任务,但 李同学手里长为10的木棒却无法完成任务.问第一 根木棒的长度m 在什么范围? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 2 例3 如图,在△ABC 中,∠BAD=∠CAD,AE= CE,AG⊥BC,AD 与BE 相交于点F,试指出AD, AF 分别是哪两个三角形的角平分线? BE,DE 分 别是 哪 两 个 三 角 形 的 中 线? AG 是 哪 些 三 角 形 的高? 点拨:(1)本题考查三角形中的特殊线段:角平 分线、中线与高; (2)寻找三角形中的特殊线段,首先要抓住特 殊线段涉及的数量关系,如角相等、线段相等、垂直 等;再抓住特殊线段涉及的位置关系,如过三角形 的一个顶点、过中点等,这样就能确定是哪个三角 形的特殊线段了. 变式练习3 如图,△ABC 中,∠1=∠2,G 为AD 中点,延长BG 交AC 于E,且满足BE⊥AC;F 为 AB 上一点,且CF⊥AD 于点H,下列判断: ①线段AG 是△ABE 的角平分线; ②△ABG 与△DBG 的面积相等; ③线段AE 是△ABG 的边BG 上的高; ④线段GE 是△ADC 的边AD 上的中线. 其中正确的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 例4 六边形钢架 ABCDEF,由6条钢管铰接而 成,如图所示,为使这一钢架稳固,试用三条钢管连 结使之不能活动,方法很多,请至少画出三种不同 的方法.(只需画图,不必写出作法) 点拨:(1)本题考查三角形的稳定性; (2)根据三角形具有稳定性,作六边形的三条 对角线,把六边形分成三角形即可. 变式练习4 如图,小明做了一个方形框架,发现很 容易变形,请你帮他选择一个最好的加固方案 ( ) 一、夯实基础 1.下列长度的3条线段,能首尾依次相接组成 三角形的是 ( ) A.1cm,3cm,5cm B.3cm,4cm,6cm C.5cm,6cm,11cm D.8cm,5cm,2cm 2.图中的三角形被木板遮住了一部分,这个三 角形是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 3.如图,图中共有三角形 ( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.8个 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 3 4.如图,生活中都把自行车的几根梁做成三角 形的支架,这是因为三角形具有 性. 5.三角形的三边长分别为5,1+2x,8,则x 的 取值范围是 . 6.若一个三角形的一条高在该三角形的外部, 则此三角形是 三角形(填“锐角”“直角”或 “钝角”). 7.下列说法:①平分三角形内角的射线是三角 形的角平分线;②三角形的中线、角平分线、高都是 线段;③一个三角形有三条角平分线和三条中线; ④直角三角形只有一条高;⑤三角形的中线、角平 分线、高都在三角形的内部.其中正确的有 (填序号). 8.如图,在△ABC 中,AE⊥BC 于点E,AD 为 BC 边上的中线.DF 为△ABD 中AB 边上的高线. 已知 AB=8cm,AC=5cm,△ABC 的 面 积 为 24cm2. (1)求△ABD 与△ACD 的周长之差; (2)求DF 的长. 二、拓展提升 9.若△ABC 的三边为a,b,c,则化简|a+b-c| -|b-a-c|的结果是 . 10.已 知△ABC 的 面 积 是60,请 完 成 下 列 问题: (1)如图1,若AD 是△ABC 的边BC 上的中 线,则△ABD 的面积 △ACD 的面积(填 “>”“<”或“=”); (2)如图2,若 CD,BE 分别是△ABC 的边 AB,AC 上的中线,求四边形ADOE 的面积可以用 如下 方 法:连 结 AO,由 AD =DB 得:S△ADO = S△BDO,同理:S△AEO=S△CEO,设S△ADO=x,S△AEO= y,则 S△BDO =x,S△CEO =y,由 题 意 得:S△ABE = 1 2S△ABC=30 ,S△ADC= 1 2S△ABC=30 ,可列方程组 为:2x+y=30 x+2y=30{ ,解得 ,通过解这个方程组 可得四边形ADOE 的面积为 ; (3)如图3,AD∶DB=1∶3,CE∶AE=1∶2, 请你计算四边形ADOE 的面积,并说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 4 1.2 定义与命题 例1 如果a=b,b=c,那么a=c,其条件和结论各 是什么? 点拨:命题由题设和结论组成,一般来说,如果 前面给的是条件,那么后面就是结论. 变式练习1 命题“两条直线都与第三条直线相交, 如果内错角相等,那么这两条直线平行”的条件和 结论各是什么? 例2 指出命题“全等三角形的面积相等”的条件和 结论. 点 拨:需 要 将 命 题 转 化 为 “如 果 ……, 那么……”的形式. 变式练习 2 指出命题“对顶角相等”的条件和 结论. 一、夯实基础 1.下列命题中是真命题的是 ( ) A.锐角大于它的余角 B.锐角大于它的补角 C.钝角大于它的补角 D.锐角与钝角之和等于平角 2.下列命题中,属于假命题的是 ( ) A.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c B.若a∥b,b∥c,则a∥c C.若a⊥c,b⊥c,则a∥b D.若a⊥c,b∥a,则b⊥c 3.有下列四个命题:①对顶角相等;②内错角 相等;③在三角形中,两边之和大于第三边;④一个 平面内,如果两条直线都垂直于第三条直线,那么 这两条直线平行.其中真命题有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.命题“度数之和为90°的两个角互为余角”的 条件是 ( ) A.90° B.两个角 C.度数之和为90° D.度数之和为90°的两个角 二、拓展提升 5.“能被3整除的整数,它的末位数字一定是 3”是 命题(填“真”或“假”). 6.“一次函数y=kx-2,当k>0时,y 随x 的 增大而增大”是一个 命题(填“真”或“假”). 7.在讨论“内错角相等”是不是命题时,甲认 为:这不是命题,因为这句话是错误的.乙认为:这 是命题,因为它作出了判断,只不过这一判断是错 误的,你认为谁的说法是正确的? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋