第05讲一元二次方程根与系数的关系（1大知识点+1大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第05讲一元二次方程根与系数的关系（1大知识点+1大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元二次方程根与系数的关系 知识点一：一元二次方程根与系数的关系 如果方程 有两个实数根，那么 文字语言：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比 使用条件： (1)方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0： (2)方程有实数根，即△≥0 【即时训练】 1．（2025·天津·模拟预测）方程的两根为、，则的值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ． 故选：A． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）设m，n是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据根与系数的关系进行求解即可 【详解】由题意为方程的两个实数根 ∴， 把代入方程可得： ∴ 故答案为2 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 【典型例题一 一元二次方程根与系数的关系】 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B．3 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．据此解答即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴的值为． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根为，求其另一根． 【答案】2 【分析】本题考查了根与系数的关系，设该一元二次方程的另一根为，则根据根与系数的关系得到，由此易求的值． 【详解】解：设关于的一元二次方程的另一个根为，则， 解得， ∴另一个根是2． 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）设是关于的一元二次方程的两个不同实数根，则的值是（      ） A． B．4 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程中，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系求解是解决问题的关键． 【详解】解：， ，，， ； 故选：C． 2．（2025·广西崇左·三模）若是方程 的两个根，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·广西钦州·期中）已知是一元二次方程的两根，且 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．直接利用根与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为： 4．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“”时，方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系找出，． （1）根据方程的系数结合根的判别式求出即可求解； （2）利用根与系数的关系找出，，代入来求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：的两个实数根为， ，， 与的函数关系式为：． 1．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）若一元二次方程组 ​两根之和为​，则​（   ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：设一元二次方程组 的两根分别为 ， ， 一元二次方程组 的两根之和为， ， ， 当时，，不合题意舍去． 故选： C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键． 2．（2025·四川泸州·二模）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故选：． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．5 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系，直接利用根与系数之间的关系求解即可．熟练掌握根与系数之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2025·广西南宁·三模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），找到两根之积与方程系数的关系，进而求解的值．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握韦达定理中两根之积与方程系数的对应关系是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程，韦达定理指出两根、有． 在方程中，，，， ∴， 解得 ． 故选：B 5．（2025·河北秦皇岛·一模）已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数 C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，先通过根的判别式可得实数根的个数与实数b的取值无关，再利用根与系数的关系可得，则两根异号，熟练运用相关公式是解题的关键． 【详解】解：， 该方程有两个不相等的实数根，实数根的个数与实数b的取值无关，故A,D正确不符合题意； ， 两根异号，两根不一定互为相反数，故B错误，符合题意，C正确不符合题意， 故选：B． 6．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）若是关于的方程： 的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系的计算是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：若是关于的方程： 的两个实数根， ∴， ∴，， ∴， 故选：C ． 7．（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据定义可得，即，再利用判别式可证明原方程有两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴． 故选：B． 8．（2025·江西赣州·一模）已知，则（    ） A．是方程的根 B．是方程的根 C．方程有两个不等根 D．方程的两根，满足 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题关键． 根据求出的值，再根据一元二次方程的解的定义、根的判别式以及根与系数的关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． A、∵时，，∴是方程的根； B、∵时，，∴不是方程的根； C、∵，∴方程有两个相等的实数根； D、方程的两根，满足． 故选：A． 9．（24-25九年级上·全国·期中）设是方程的两个实根，实数a，b满足：，，则的值为（　　） A．2005 B．2003 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．由根与系数关系，是方程的两个实根可得，然后把所给代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：是方程的两个实根， ∴， 故 ， ． 故选：D． 10．（23-24九年级下·上海·自主招生）有2个实数解且，则a的值为（   ） A． B．4 C． D．或4 【答案】A 【分析】本题主要考查根和系数的关系，其中熟悉应用根和系数的关系列方程是解决问题的关键，根据题意得出，再由根和系数的关系求出与，再结合列方程求解的值即可． 【详解】且， ， ， 即为， 为的2个实数解， ，， ， 整理得， 解得或， ， ． 故选：A． 11．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知实数a、b是一个一元二次方程的两根，且a+b＝﹣1，ab＝﹣2，写出一个满足以上所有条件的一元二次方程 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵a+b＝﹣1，ab＝﹣2， ∴一个一元二次方程为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 12．（24-25八年级下·重庆·期末）一元二次方程的两根分别为和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系直接求解． 【详解】对于一元二次方程，有， 由根与系数的关系知，， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，是关于x的一元二次方程的两个根．若，则a的值为 ． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系，直接代入求值即可 【详解】∵ 若 则 解得 【点睛】本题直接考察一元二次方程根与系数的关系，直接依据公式代入计算即可 14．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）若是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为： 15．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若一元二次方程的两根分别是，则的值为 ； 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据一元二次方程根与系数关系即可求解． 【详解】解；∵ ∴， ∴ 故答案为：11 16．（24-25九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知关于的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的两根，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 17．（2024·江西九江·一模）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，． 【详解】解：方程的两个实数根分别为，， 由根与系数的关系可知，，. ， ，即， 解得， ， . 18．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】 【分析】本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，则；若一元二次方程有实数根，则；据此即可求解． 【详解】解：设方程的两个实数根为， 则 ∴ 令，即 解得： ∵方程有实数根， ∴ 即： 综上所述： 19．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 【答案】(1)， (2)有两个相等的实数根 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解一元二次方程，根与系数的关系，勾股定理： （1）根据等边三角形的性质可得，原方程变形为，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴方程变为，即：， 解得：，； （2）解：∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 20．（24-25八年级下·北京·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到关于m的不等式，即可求出答案； （2）根据根与系数关系得到，代入，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵，是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲一元二次方程根与系数的关系（1大知识点+1大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元二次方程根与系数的关系 知识点一：一元二次方程根与系数的关系 如果方程 有两个实数根，那么 文字语言：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比 使用条件： (1)方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0： (2)方程有实数根，即△≥0 【即时训练】 1．（2025·天津·模拟预测）方程的两根为、，则的值为（　　） A． B． C． D．3 2．（2025九年级上·全国·专题练习）设m，n是方程的两个实数根，则的值为 ． 【典型例题一 一元二次方程根与系数的关系】 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B．3 C． D．10 2．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根为，求其另一根． 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）设是关于的一元二次方程的两个不同实数根，则的值是（      ） A． B．4 C．7 D． 2．（2025·广西崇左·三模）若是方程 的两个根，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 3．（24-25九年级上·广西钦州·期中）已知是一元二次方程的两根，且 ． 4．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式； 1．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）若一元二次方程组 ​两根之和为​，则​（   ） A．​ B．​ C．​ D．​ 2．（2025·四川泸州·二模）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．5 C． D．2 4．（2025·广西南宁·三模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 5．（2025·河北秦皇岛·一模）已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数 C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关 6．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）若是关于的方程： 的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 8．（2025·江西赣州·一模）已知，则（    ） A．是方程的根 B．是方程的根 C．方程有两个不等根 D．方程的两根，满足 9．（24-25九年级上·全国·期中）设是方程的两个实根，实数a，b满足：，，则的值为（　　） A．2005 B．2003 C． D． 10．（23-24九年级下·上海·自主招生）有2个实数解且，则a的值为（   ） A． B．4 C． D．或4 11．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知实数a、b是一个一元二次方程的两根，且a+b＝﹣1，ab＝﹣2，写出一个满足以上所有条件的一元二次方程 12．（24-25八年级下·重庆·期末）一元二次方程的两根分别为和，则的值为 ． 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，是关于x的一元二次方程的两个根．若，则a的值为 ． 14．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）若是方程的两个根，则 ． 15．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若一元二次方程的两根分别是，则的值为 ； 16．（24-25九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知关于的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和的值． 17． （2024·江西九江·一模）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 18． （23-24九年级上·陕西延安·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 20．（24-25八年级下·北京·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$