第十四讲：二次函数与一元二次方程（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第十四讲：二次函数与一元二次方程 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的公共点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 2.根的判别式（Δ）与图像关系 Δ > 0：方程有两个不等实数根 ⇨ 抛物线与 x 轴有两个交点。 Δ = 0：方程有两个相等实数根 ⇨ 抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在轴上）。 Δ < 0：方程无实数根 ⇨ 抛物线与 x 轴无交点。 知识点02：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 画出二次函数 y = ax2 + bx + c的图像，观察抛物线与 x 轴交点的横坐标（可通过刻度估计）。 注意：图像法得到的根是近似值，精确解需用公式法。 知识点03：知识总结 考点1：求抛物线与轴的交点坐标 【典型例题】 在平面直角坐标系，抛物线与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C．， D．， 【变式训练1】 若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（    ） A． B． C．0 D．或 【变式训练2】 抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 考点2：求抛物线与轴的交点坐标 【典型例题】 抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 抛物线与轴相交的坐标为（　　） A． B． C． D． 考点3：已知函数值求自变量的值 【典型例题】 二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 【变式训练1】 已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【变式训练2】 二次函数的函数值是，那么对应的值是（    ）． A． B． C．和 D． 和 考点4：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 【典型例题】 已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【变式训练2】 如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 考点5：利用自变量的范围求函数的值或范围 【典型例题】 已知抛物线与直线在之间有个公共点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知二次函数（），当时，x的取值范围为或，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．抛物线与x轴有且只有一个交点，则m的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在直角坐标系中，将函数的图象向上平移5个单位，所得新函数的图象与轴两个交点之间的距离是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．8 4．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 5．抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 6．二次函数的部分图象如图所示，函数值y大于3的自变量x的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 7．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论中正确的结论是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 8．二次函数的函数值与自变量的四组对应值如表所示 x y 则方程的根的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 9．抛物线的图象与x轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．三个交点 10．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（    ）    A．， B．，C．， D．， 二、填空题 11．函数的图象与x轴的交点坐标 12．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 13．已知二次函数的自变量x与函数y的部分对应值列表如下： x … 0 … y … 3 … 则方程的正数解的取值范围是 ． 14．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是 ． 15．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4,0），B（3,0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是 ． 16．若抛物线y=2x2+mx+8与x轴只有一个公共点，则m的值为 ． 17．二次函数的图象如图所示，则方程的两根为 ． 18．抛物线交x轴于A，B两点，则长是 ． 三、解答题 19．如图在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和． (1)求此二次函数的表达式； (2)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 20．如图，已知抛物线经过点．    (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 21．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线． (1)方程的解是______； (2)若，则方程的解有______个，抛物线与直线有______个公共点； (3)不等式的解集是______． 22．已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴； (3)求出此抛物线上纵坐标为的点的坐标． 23．已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点A，B的坐标； (3)求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第十四讲：二次函数与一元二次方程 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的公共点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 2.根的判别式（Δ）与图像关系 Δ > 0：方程有两个不等实数根 ⇨ 抛物线与 x 轴有两个交点。 Δ = 0：方程有两个相等实数根 ⇨ 抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在轴上）。 Δ < 0：方程无实数根 ⇨ 抛物线与 x 轴无交点。 知识点02：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 画出二次函数 y = ax2 + bx + c的图像，观察抛物线与 x 轴交点的横坐标（可通过刻度估计）。 注意：图像法得到的根是近似值，精确解需用公式法。 知识点03：知识总结 考点1：求抛物线与轴的交点坐标 【典型例题】 在平面直角坐标系，抛物线与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟悉用一元二次方程处理二次函数的问题是解决此题的关键．令，解方程即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴当时，， 解得， ∴该函数与x轴的交点坐标为，， 故选：C． 【变式训练1】 若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（    ） A． B． C．0 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数和一次函数和x轴交点问题，根据题意分两种情况：①函数为二次函数，函数的图象与x轴只有一个交点，可得，从而解出a值；②函数为一次函数，此时，从而求解． 【详解】解：①函数为二次函数，， ∴， ∴， ②函数为一次函数， ∴， 解得，； ∴a的值为或； 故选：D． 【变式训练2】 抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，进而得出另一个交点坐标． 【详解】解：由抛物线中，对称轴为：， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 此抛物线与轴的另一个交点坐标是， 故选：D. 考点2：求抛物线与轴的交点坐标 【典型例题】 抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令，求出的值即可，掌握轴上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故选：． 【变式训练1】 抛物线与轴相交的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求抛物线与y轴的交点坐标，令，求出此时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，令，则， ∴抛物线与轴相交的坐标为， 故选B． 考点3：已知函数值求自变量的值 【典型例题】 二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 解得，或， 故选：D． 【变式训练1】 已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：令，得到， 即， 解得：或6． 故选：B 【变式训练2】 二次函数的函数值是，那么对应的值是（    ）． A． B． C．和 D． 和 【答案】C 【分析】把函数值代入函数解析式，解关于的一元二次方程即可． 【详解】把代入， 得 ， 整理得，， 解得，， ∴对应的自变量的值是或， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元二次方程的解法，把函数值代入函数解析式得到方程是解题的关键． 考点4：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 【典型例题】 已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：由表格数据可得： ∵函数的对称轴为直线， 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 【变式训练1】 已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 根据二次函数的对称性可知，当时，还在和之间， 故选：D． 【变式训练2】 如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:D． 考点5：利用自变量的范围求函数的值或范围 【典型例题】 已知抛物线与直线在之间有个公共点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，利用不等式求自变量或函数值的范围，掌握知识点的应用是解题的关键． 先根据题意画出图象，通过抛物线与直线在之间有个公共点，则，最后解出不等式组即可． 【详解】解：如图， 由直线得，当时，，当时，， ∵抛物线与直线在之间有个公共点， ∴， 解得：， 故选：． 【变式训练1】 已知二次函数（），当时，x的取值范围为或，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程、不等式的关系是解题的关键．由题意得，二次函数图象开口向上，则有，且方程的解为，，利用一元二次方程根与系数的关系得到，解出的取值范围，再根据的取值范围求出的最大值，列出不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：当时，x的取值范围为或， 二次函数图象开口向上，且方程的解为，， ，是方程的两根， ， 解得：， 又， 当时，有最大值4，即， 解得：， a的范围是． 故选：A． 【变式训练2】 已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包括对称轴，要特别注意．根据和时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 而抛物线的对称轴为时，， 故选：C． 一、单选题 1．抛物线与x轴有且只有一个交点，则m的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的和一元二次方程，根的判别式等知识点，解题的关键是熟练掌握根的判别式． 抛物线与轴有且只有一个交点，说明其判别式，利用判别式公式，代入系数计算即可求解的值． 【详解】解：抛物线的解析式为，与轴只有一个交点，故判别式， 判别式公式为：， 其中，，，，代入得：， 解得：， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点的坐标求法，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中，轴上的点横坐标都为0． 要求抛物线与轴交点的坐标，根据轴上点的坐标特征，令抛物线方程中，求出对应的值，即可得到交点坐标． 【详解】将代入抛物线方程中，可得． 抛物线与轴交点的坐标为， 故选：A． 3．在直角坐标系中，将函数的图象向上平移5个单位，所得新函数的图象与轴两个交点之间的距离是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的平移，抛物线与轴的交点问题．熟练掌握各知识点是解题的关键． 先根据“上加下减”求出平移后的抛物线解析式，再令，求出新抛物线与轴交点，即可求解． 【详解】解：将函数的图象向上平移5个单位得到新函数为． 当，则， 解得：或 ∴交点横坐标为，． ∴新函数的图象与轴两个交点之间的距离是， 故选：A． 4．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若一元二次方程的二次项系数含有字母，应注意二次项系数不为这个隐含条件． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：或， 又， 或． 故选：D． 5．抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线与直线的解析式，联立求得点的坐标，再根据时，即为抛物线在直线下方，根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线， 联立得， 解得或， 当时，， ∴， ∴抛物线与直线相交于点和点两点， ∴当时，， 故选：B． 6．二次函数的部分图象如图所示，函数值y大于3的自变量x的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性确定的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴点关于直线的对称点为， 当时，， ∴函数值y大于3的自变量x的取值可以是，不能是、0、2． 故选：B． 7．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论中正确的结论是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与轴的交点，解题的关键是根据所给二次函数的图象，结合二次函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知：，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∴，故A选项不符合题意； ∵抛物线与轴交于点、点， ∴， 又∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点， ∴， 则当时，抛物线在轴的上方，即， ∴当时，，故C选项符合题意； ∵，且抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴， 即，故D选项不符合题意． 故选：C． 8．二次函数的函数值与自变量的四组对应值如表所示 x y 则方程的根的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】此题考查图象法求一元二次方程的近似根，解题关键在于根据题意画出函数图象． 利用表格中数据得出二次函数图象的大体位置，再结合一元二次方程的性质得出即可． 【详解】解：利用图表中数据可得出二次函数的大体图象，如图所示： 即图象与x轴交点个数为2个，即方程的根的个数是2． 故选：C． 9．抛物线的图象与x轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．三个交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．令，根据判别式的符号求解即可． 【详解】解：令， 则， 故抛物线与x轴的交点个数为2， 故应选：C． 10．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】直接根据图像求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程的解为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵两个交点坐标分别为，， ∴方程的解为，，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型． 二、填空题 11．函数的图象与x轴的交点坐标 【答案】和/或 【分析】令可得，再利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】由题意，令得：， 解得或， 则此二次函数与x轴的交点坐标是和， 故答案为：和． 【点睛】本题考查了求二次函数与x轴的交点坐标、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 12．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 13．已知二次函数的自变量x与函数y的部分对应值列表如下： x … 0 … y … 3 … 则方程的正数解的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据表格中的自变量与函数值求出对称轴，可得答案． 【详解】解：或时，， 的对称轴为：， 当时，，时，，得； 根据对称性可得：当时，，时，，得； 则方程的正数解的取值范围 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象求一元二次方程的近似根，解题的关键是掌握两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间． 14．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于， ∴不等式的解集是． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图像的理解，谁大谁的图象在上面． 15．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4,0），B（3,0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是 ． 【答案】﹣4或3． 【分析】根据二次函数与轴的交点的横坐标即为一元二次方程根的性质，即可求得方程的解. 【详解】抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4,0），B（3,0）两点， 则ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣4或3， 故答案为：﹣4或3． 【点睛】本题考查二次函数与轴的交点和一元二次方程根的关系，属基础题. 16．若抛物线y=2x2+mx+8与x轴只有一个公共点，则m的值为 ． 【答案】±8 【分析】由抛物线y=2x2+mx+8与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+mx+8=0，根的判别式△=b2-4ac=0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【详解】∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴△=0， ∴b2-4ac=m2-4×2×8=0； ∴m=±8． 故答案为±8． 【点睛】此题主要考查了二次函数根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系．一个交点判别式Δ=0，两个交点Δ>0，没有交点Δ<0，熟练掌握相关知识是解题关键. 17．二次函数的图象如图所示，则方程的两根为 ． 【答案】 【分析】结合图象得到抛物线与x轴的一交点坐标为，对称轴方程为x=1，则抛物线与x轴的另一交点坐标与关于直线x=1对称，可得出另一交点的坐标，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一交点坐标为，对称轴方程为x=1， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标与关于直线x=1对称， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标． ∴方程的两根为：． 故答案是：． 18．抛物线交x轴于A，B两点，则长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x轴相交时，．根据抛物线与x轴分别交于A、B两点，令求得点A、B的坐标，从而可以求得的长． 【详解】解：∵， ∴时，， 解得，，． ∵抛物线与x轴分别交于A、B两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴的长为：． 故答案为：6． 三、解答题 19．如图在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和． (1)求此二次函数的表达式； (2)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）分别求出图象对称轴及时x的值，结合图象即可得到x的取值范围． 【详解】（1）将（1，0）和代入中，得 ， 解得， ∴此二次函数的表达式为； （2）∵， ∴图象的对称轴为直线， ∵图象与y轴交点为， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，或． 【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，配方法将函数解析式化为顶点式，确定函数图象的顶点坐标，对称轴，利用函数图象求函数值，熟记二次函数的性质是解题的关键． 20．如图，已知抛物线经过点．    (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 【详解】（1）把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，或， ∴当时，x的取值范围是或． 21．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线． (1)方程的解是______； (2)若，则方程的解有______个，抛物线与直线有______个公共点； (3)不等式的解集是______． 【答案】(1) (2)2，两 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性，则，得出二次函数与轴的另一个交点为，故方程的解是， （2）作图，得出直线与有两个交点，运用数形结合，即可作答． （3）运用图象性质以及二次函数与轴的交点，开口方向，即可作答． 【详解】（1）解：结合图象，设二次函数与轴的另一个交点为， ∵对称轴为直线，二次函数与轴的一个交点为， ∴， ∴， ∴二次函数与轴的一个交点为， ∴方程的解是； 故答案为：； （2）解：如图所示： 直线与有两个交点， ∴方程的解有2个； ∴抛物线与直线有两个公共点； 故答案为：2，两； （3）解：由（1）得二次函数与轴的交点坐标为和 ∵二次函数的开口方向向下， ∴结合图象，得不等式的解集是. 22．已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴； (3)求出此抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的顶点坐标为，对称轴为轴 (3)， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据解析式写出顶点坐标与对称轴，即可求解； （3）把代入，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴，∴， ∴此抛物线对应的函数解析式为． （2）由题可得，抛物线的顶点坐标为，对称轴为轴； （3）把代入得， ，解得， ∴此抛物线上纵坐标为的点的坐标为，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握的性质是解题的关键． 23．已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点A，B的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)点，点 (3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与图形面积综合． （1）将点和点代入即可求出解析式； （2）令，解出的x的值即可得到点A、B的坐标； （3）根据点坐标求得，代入面积公式计算即可． 【详解】（1）解：把点和点代入得 解得， 所以抛物线的解析式为：． （2）把代入， 得， 解得， ∵点A在点B的左边， ∴点，点． （3）解：连接， 由题意得， 学科网（北京）股份有限公司 $$