第1章 因式分解（复习讲义）数学湘教版2024八年级上册

第一章 因式分解（复习讲义） 课程标准 ①用平方差公式分解因式； ②用完全平方公式分解因式； ③十字相乘法； ④分组分解法； 学习目标 1.掌握用平方差公式分解因式； 2.掌握用完全平方公式分解因式； 3.掌握十字相乘法； 4、掌握分组分解法； 知识点1 平方差公式 1.语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【提示】 （1）等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； （2）等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 知识点2 完全平方公式 1.语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 【提示】 （1）等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． （2）等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 知识点3 用公式法分解因式 1.公式法的定义：把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. 2.用公式法分解因式的步骤：先提出公因式，再用公式法. 3.公式扩展：① 立方和公式：（a+b）（a2－ab+b2）=a3+b3 ② 立方差公式：（a－b）（a2+ab+b2）=a3－b3 ③ 完全立方公式：（ab）3=a33a2b+3ab2b3 ④ 三项完全平方：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ⑤ 欧拉公式：（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ca）=a3+b3+c3－3abc 知识点4 十字相乘法 1.二次项系数为1： 方法：拆常数项，凑一次项. 例：分解因式 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的负号与一次项系数的符号相同. 1 2 1 3 12+13=5 == 分解因式当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因式的符号与一次项系数的符号相同. 1 1 1 11+1() =5 = = 2.二次项系数不为1： 方法：拆两头，凑中间. 分解因式当二次项系数为正数且常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同. 2 3 1 23+31 =9 = 分解因式当二次项系数为正数且常数项为负数时，应分解为两异号因数，其中绝对值较大的因式符号与一次项系数的符号相同. 2 － 3 1 2+31 = = 分解因式 2 －当二次项系数为负数时，先提出负号，再按照上面的方法求解. 3 1 2+31 = == = 题型一 因式分解的解的判定 【例1】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型二 提公因式法分解因式 【例2】（24-25八年级下·重庆·期中）把多项式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式2-1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）与的公因式是 ． 【变式2-2】（2025·浙江·三模）因式分解： ． 【变式2-3】（24-25八年级下·陕西安康·期中）把提公因式后一个因式是，则另一个因式是 ． 题型三 运用平方差公式分解因式 【例3】分解因式： ． 【变式3-1】分解因式： ． 【变式3-2】因式分解： ． 【变式3-3】分解因式： ． 题型四 利用完全平方公式进行因式分解 【例5】若一个数的绝对值是2019，则这个数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式5-1】若，且，则的值是（    ） A．或8 B．或 C．2或 D．2或 【变式5-2】若．则的值为（    ） A． B． C． D．五四 【变式5-3】若，且，则 ． 题型五 十字相乘法 四 【例5】材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 【变式5-1】(1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【变式5-2】若一个正整数a可以表示为a＝（b+1）（b﹣2），其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如：28＝（6+1）（6﹣2）＝7×4．． （1）“十字点”为7的“十字数”为　 　：130的“十字点”为　 　； （2）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m﹣n＝18时，求p+q的值． 基础巩固通关测 1．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．把多项式因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 4．已知任意实数满足等式，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 下列回答错误的是（　　） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 6．因式分解： ． 7．分解因式： ． 8．已知，，则 ． 9．分解因式：． 10．分解因式：． 11．已知，，求的值． 12．先化简，再求值：，其中． 能力提升进阶练 1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．已知多项式可以分解为，则x的值是（    ） A． B． C． D． 3．因式分解： ； ； ； 4．因式分解： ； 5．如果是的一个因式，则的值为 ． 6．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式： ． 7.因式分解：x2y+2xy+y＝　 　． 8.分解因式：a3+2a2b+ab2＝　 　． 9.因式分解：3a2+6ab+3b2＝　 　． 10．已知，则的值为 11．因式分解： (1)； (2)． 12．阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ．． (2)已知 ，求的值； (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求， 的值． 13．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 25．先阅读下列材料，再解答下列问题. 分解因式： 分析：将看成整体，设，则原式，再将还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法，回答下列问题： (1)因式分解：______． (2)因式分解：； (3)若为正整数，证明：的值一定是某一个整数的平方． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 因式分解（复习讲义） 课程标准 ①用平方差公式分解因式； ②用完全平方公式分解因式； ③十字相乘法； ④分组分解法； 学习目标 1.掌握用平方差公式分解因式； 2.掌握用完全平方公式分解因式； 3.掌握十字相乘法； 4、掌握分组分解法； 知识点1 平方差公式 1.语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【提示】 （1）等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； （2）等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 知识点2 完全平方公式 1.语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 【提示】 （1）等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． （2）等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 知识点3 用公式法分解因式 1.公式法的定义：把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. 2.用公式法分解因式的步骤：先提出公因式，再用公式法. 3.公式扩展：① 立方和公式：（a+b）（a2－ab+b2）=a3+b3 ② 立方差公式：（a－b）（a2+ab+b2）=a3－b3 ③ 完全立方公式：（ab）3=a33a2b+3ab2b3 ④ 三项完全平方：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ⑤ 欧拉公式：（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ca）=a3+b3+c3－3abc 知识点4 十字相乘法 1.二次项系数为1： 方法：拆常数项，凑一次项. 例：分解因式 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的负号与一次项系数的符号相同. 1 2 1 3 12+13=5 == 分解因式当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因式的符号与一次项系数的符号相同. 1 1 1 11+1() =5 = = 2.二次项系数不为1： 方法：拆两头，凑中间. 分解因式当二次项系数为正数且常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同. 2 3 1 23+31 =9 = 分解因式当二次项系数为正数且常数项为负数时，应分解为两异号因数，其中绝对值较大的因式符号与一次项系数的符号相同. 2 － 3 1 2+31 = = 分解因式 2 －当二次项系数为负数时，先提出负号，再按照上面的方法求解. 3 1 2+31 = == = 题型一 因式分解的解的判定 【例1】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了因式分解的定义， 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A． 左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解． B． 左边为，正确因式分解应为，但选项B写为，分解不完整，错误． C． 左边二次三项式被正确分解为，符合因式分解的定义． D． 右边为，包含加法运算，不是乘积形式，不属于因式分解． 综上，只有选项C属于因式分解． 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了因式分解的定义， 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为整式的乘积形式． 【详解】A． 右边含分式，不符合整式乘积的要求，错误． B． 左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于乘法运算而非因式分解，错误． C． 右边为，仍是多项式相加的形式，未形成乘积，错误． D． 左边是平方差，分解为，符合整式乘积的定义，正确． 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式，如果能转化为几个整式的积的形式，即属于因式分解，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是整式乘法运算，不属于因式分解； B、的右边仍为多项式与单项式的差，未完全转化为积的形式； C、符合平方差公式，将多项式分解为两个一次因式的乘积，属于因式分解； D、展开后为，与不等，等式不成立； 故选：C 题型二 提公因式法分解因式 【例2】（24-25八年级下·重庆·期中）把多项式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用提公因式法，即可解答． 【详解】解：把多项式因式分解时，提取的公因式是，则：n≥5， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键． 【变式2-1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）与的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是确定几个单项式的公因式，先确定公因式的系数：取两个单项式的系数的最大公约数，再取相同因式的最低次幂的积，从而可得答案． 【详解】解：与的公因式是， 故答案为：． 【变式2-2】（2025·浙江·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级下·陕西安康·期中）把提公因式后一个因式是，则另一个因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先提取公因式把原式分解因式，从而可以得到另一个因式，掌握“利用提公因式的方法分解因式”是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 题型三 运用平方差公式分解因式 【例3】分解因式： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 直接利用平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-1】分解因式： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，直接利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式3-2】因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是利用平方差公式．利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-3】分解因式： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 题型四 利用完全平方公式进行因式分解 【例5】若一个数的绝对值是2019，则这个数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2个，除非绝对值为0的数才有一个为0． 【详解】解：∵， ∴绝对值等于2019的数有2个，即和， 故选：C． 【变式5-1】若，且，则的值是（    ） A．或8 B．或 C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值意义及代数式求值，由得到，由确定同号，代值求解即可得到答案，熟记绝对值的意义是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 同号，则或， 或， 故选：C． 【变式5-2】若．则的值为（    ） A． B． C． D．五四 【答案】C 【分析】本题考查绝对值得非负性，代入求值，根据绝对值得非负性得到，，然后求出x，y的值，代入即可解题． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故选C． 【变式5-3】若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，代入求值，根据可得的值，再根据进一步判定的值，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴异号， 当时，，则； 当时，，则； 故答案为： ． 题型五 十字相乘法 四 【例5】材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 【答案】(1) ； ； (2) ； ． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 【变式5-1】(1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】(1) (2)； (3)；43或 【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可． （2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可． 【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以 ． 故答案为：． （2）①把二次项系数2写成，，满足，所以 ． 故答案为：． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足， 所以 ． 故答案为：． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件， 所以 ． 故答案为：． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件， 所以m=或m=， 故m的值为43或-78． 【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键． 【变式5-2】若一个正整数a可以表示为a＝（b+1）（b﹣2），其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如：28＝（6+1）（6﹣2）＝7×4．． （1）“十字点”为7的“十字数”为　 　：130的“十字点”为　 　； （2）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m﹣n＝18时，求p+q的值． 【答案】（1）40，12；（2）10或19． 【分析】（1）根据“十字点”的定义计算可得； （2）根据已知可得为大于2的正整数），为大于2的正整数），再根据，分来讨论即可解答． 【详解】解：（1）“十字点”为7的“十字数”为， ， 的“十字点”为12， 故答案为：40，12； （2）的“十字点”为，的“十字点”为， 为大于2的正整数），为大于2的正整数）， ， ， 整理得，， ，为大于2的正整数，为大于2的正整数， ，； ， ， 或或， （不合题意，舍去），，； 或． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，能够理解题意，根据题中所给条件将数进行正确的拆解是解题的关键． 基础巩固通关测 1．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A. ，是因式分解； B. ，是整式的乘法，不是因式分解； C. ，右边最后运算减法，不是因式分解； D. ，右边为分式，不是因式分解； 故选：A． 2．把多项式因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，先找出的公因式是，进行作答即可． 【详解】解：依题意，的公因式是， ∴把多项式因式分解，应提取的公因式是， 故选：C 3．多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解参数．通过将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比一次项系数即可确定p的值. 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C． 4．已知任意实数满足等式，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，通过作差法可得，分解因式得到，再根据偶次方的非负性可得，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴ ∴，即， 故选：B． 5．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 下列回答错误的是（　　） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 首先利用提取公因式法进行因式分解，然后再用平方差公式法因式分解，即可解答． 【详解】解： 其中运用的方法是提取公因式法和平方差公式法， 所以， *代表，故选项A说法正确，不符合题意； ☆代表，故选项B说法正确，不符合题意； 在运算过程中运用了提取公因式法和平方差公式法，△和□分别代表了提公因式法和平方差公式法中的一种，没有运用到完全平方公式法，故选项C说法正确，不符合题意；选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 6．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 7．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先对 进行因式分解，然后把，代入求解即可，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：由， ∵，， ∴原式， 故答案为：． 9．分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．提出公因式，即可求解． 【详解】解： 10．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式．先分组，再提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 11．已知，，求的值． 【答案】36或60 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，先根据完全平方公式求出，再把所求式子因式分解为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当时， ； 当时， ； ∴的值为36或60． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，因式分解的应用，先提公因式分解因式，再根据多项式乘以多项式的计算法则去小括号后合并同类项，进一步根据多项式乘以多项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 能力提升进阶练 1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的识别，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：选项A：，这是整式乘法运算的展开过程，而非因式分解，排除． 选项B：，右边含有分式，不符合整式的要求，排除． 选项C：，左边为多项式，右边通过提取公因式转化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义． 选项D：，右边未完全分解为积的形式，仍存在加法运算，排除． 故选C． 2．已知多项式可以分解为，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x的值． 【详解】解：根据题意可得：， ∵ ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难． 3．因式分解： ； ； ； 【答案】 / ； ； ． 【解析】利用完全平方公式、十字相乘法、提取公因式法以及分组分解法求解即可． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 4．因式分解： ； 【答案】 【解析】先运用十字相乘法进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握十字相乘法和公式法进行因式分解是解答本题的关键． 5．如果是的一个因式，则的值为 ． 【答案】 【解析】本题考查因式的定义，熟练掌握因式的定义是解题的关键，根据是的一个因式，可得当时，代数式，代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵是的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式： ． 【答案】． 【解析】根据图形中的正方形和长方形的面积，以及整体图形的面积进而得出恒等式． 【详解】解：由面积可得：． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确利用面积得出等式是解题关键． 7.因式分解：x2y+2xy+y＝　y（x+1）2　． 【解析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解． 【详解】解：x2y+2xy+y ＝y（x2+2x+1） ＝y（x+1）2． 故答案为：y（x+1）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 8.分解因式：a3+2a2b+ab2＝　a（a+b）2　． 【解析】先提取公因式a，再运用完全平方公式分解． 【详解】解：a3+2a2b+ab2 ＝a（a2+2ab+b2） ＝a（a+b）2． 故答案为：a（a+b）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 9.因式分解：3a2+6ab+3b2＝　3（a+b）2　． 【解析】先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：3a2+6ab+3b2， ＝3（a2+2ab+b2）， ＝3（a+b）2． 【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底． 10．已知，则的值为 【答案】 【分析】先根据完全平方公式的变形求出，再把所求式子提取公因式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，正确得到是解题的关键． 11．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解：十字相乘法、分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先分组为，再变形，然后利用提公因式法分解因式即可； （2）先根据十字相乘法分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 12．阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ．． (2)已知 ，求的值； (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求， 的值． 【答案】(1)，1 (2) (3), 【分析】本题考查了完全平方公式的配凑、非负数的性质、等腰三角形的性质、三角形的三边关系等．熟悉完全平方公式的形式是解题关键． （1）利用完全平方公式的配凑可得，据此即可求解； （2）利用完全平方公式的配凑可得，据此即可求解； （3）利用完全平方公式的配凑可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∴， ∴，， ∴，； 故答案为：，1； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 13．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． （1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，整体代入得出答案即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） 根据题意得：， ∴原式． 25．先阅读下列材料，再解答下列问题. 分解因式： 分析：将看成整体，设，则原式，再将还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法，回答下列问题： (1)因式分解：______． (2)因式分解：； (3)若为正整数，证明：的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法及整体换元思想是解题的关键． （）仿照题例，利用平方差公式进行因式分解即可； （）先由原式得，然后利用完全平方公式进行因式分解即可； （）先由原式得，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：将看成整体，设， 则原式， 再将还原，得原式， 故答案为：； （2）解： ； （3）证明： ， ∵为正整数， ∴的值一定是某一个整数的平方． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$