专题2.2 圆的一般方程（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题2.2 圆的一般方程 教学目标 1.在掌握圆的标准方程的基础上，识别圆的一般方程的代数特征，掌握二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件． 2.能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，掌握用待定系数法求圆的方程的步骤． 3.增强用解析法研究几何问题的能力，体会数形结合思想．通过对用圆的一般方程解决实际问题的学习，提高数学的应用意识，并体会转化与联系的数学思想． 教学重难点 1.重点 根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并求出圆的方程 2.难点 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件 知识点01 圆的一般方程 1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程____________________叫做圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F＝0 D2＋E2－4F>0 注：(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 【即学即练】 1．求下列各圆的圆心坐标和半径： (1)； (2). 2．已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3.过三点的圆的方程为 ． 4.若方程表示圆，则a的取值范围为（    ） A．R B． C． D． 知识点02 点与圆的位置关系 判断点与圆的一般式方程：位置关系的方法: 代数法（利用方程判断） 将点带入：方程内 ①点在外____________________ ②点在上____________________ ③点在内____________________ 【即学即练】 1.若点在圆内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点03 轨迹与轨迹方程 1.轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2.“轨迹”与“轨迹方程”有区别： （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3.常见轨迹方程的求法： （1）直接法 具体步骤 ①建系：建立适当的平面直角坐标系； ②设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； ③列式：列出关于的方程； ④化简：把方程化为最简形式； ⑤证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． （2） 定义法 （3） 代入法： 【即学即练】 1.已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则动点的轨迹方程为__________ 2.已知圆:过原点作圆的弦,则的中点的轨迹方程为 ． 题型01 圆的一般方程的辨析 【典例1】已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解 【变式1】若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 题型02 求圆的一般方程 【典例1】）圆M经过三点：，，．求圆M的方程． 求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到圆的方程 【变式1】与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点外接圆的方程是 【变式3】已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． 题型03 点与圆的位置关系判断 【典例1】点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 【变式1】“”是“坐标原点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知圆过三点，点，则圆的一般方程为 ，点在圆 （内/上/外）． 题型04 利用点与圆的位置关系求参数（值）范围 【典例1】写出满足“点在圆外部”的一个的值： ． 【变式1】已知点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 与圆有关的最值问题 【典例1】圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 1、圆上的动点到定点的距离最值问题： ①求距离：利用圆心和定点的坐标，求两定点之间的距离d ②求最值：圆上的动点到定点的距离的最大值为d+r，圆上的动点到定点的距离的最小值为d−r 2、圆上的动点到定直线的距离最值问题： ①求距离：用点到直线距离公式求圆心到定直线的距离d ②求最值：圆上的动点到定直线的距离的最大值为d+r，圆上的动点到定直线的距离的最小值为d−r 【变式1】实数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C． D． 【变式2】已知点和，若动点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式3】若平面内两定点间的距离为2,动点满足,则的最大值为 . 题型06 圆的一般方程中对称问题 【典例1】点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【变式1】已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 【变式2】已知直线是圆的一条对称轴，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式3】在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为 ． 题型07 圆过定点问题 【典例1】已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【变式1】圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式2】点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 题型08 圆的轨迹问题 【典例1】点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 【变式1】已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 【变式2】平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形，求点的轨迹方程． 1．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 2．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 3．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 6．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知三角形的三个顶点分别为，，，则（    ） A．边的垂直平分线的方程是 B．三角形的面积为1 C．三角形外接圆的方程为 D．三角形外接圆的圆心坐标 8．（多选）已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q（－2，3），则下列说法正确的是（    ） A．圆心C的坐标为（2，7） B．点Q在圆C外 C．若点P（m，m＋1）在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为 9．（多选）已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的图形面积为 C．若点在曲线上，则 D．若圆能覆盖曲线，则的最小值为 10．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为 . 11．已知圆关于直线对称的圆的方程为，则＝ ． 12．欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 . 13．已知关于x，y方程表示一个圆． (1)求实数m的取值范围； (2)当时，过点的直线l与圆心的距离是2，求出直线l的方程． 14．已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 圆的一般方程 教学目标 1.在掌握圆的标准方程的基础上，识别圆的一般方程的代数特征，掌握二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件． 2.能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，掌握用待定系数法求圆的方程的步骤． 3.增强用解析法研究几何问题的能力，体会数形结合思想．通过对用圆的一般方程解决实际问题的学习，提高数学的应用意识，并体会转化与联系的数学思想． 教学重难点 1.重点 根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并求出圆的方程 2.难点 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件 知识点01 圆的一般方程 1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 注：(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 【即学即练】 1．求下列各圆的圆心坐标和半径： (1)； (2). 【答案】(1)圆心为，半径为；(2)圆心为，半径为3 【分析】根据题意，把圆的方程化为圆的标准方程，结合圆的标准方程，即可求解. 【解析】（1）解：圆，可得化为， 可得圆心坐标为，半径为. （2）解：圆，可得化为， 可得圆心坐标为，半径为. 2．已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，两点的中点坐标即为圆心，两点间的距离即为圆的直径，从而求出圆的标准方程，再化为一般式方程. 【解析】由题意可知该圆的圆心为，圆的直径为，则半径为， 所以圆的方程为，即. 故选：B． 3.过三点的圆的方程为 ． 【答案】(或者写成) 【分析】待定系数法求出圆的方程. 【解析】设圆的方程为， 将代入得， ，解得， 故圆的方程为. 故答案为： 4.若方程表示圆，则a的取值范围为（    ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元二次方程表示圆可得答案. 【解析】根据题意，若方程表示圆， 则有，解得． 故选：C 知识点02 点与圆的位置关系 判断点与圆的一般式方程：位置关系的方法: 代数法（利用方程判断） 将点带入：方程内 ①点在外____________________ ②点在上____________________ ③点在内____________________ 【即学即练】 1.若点在圆内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点与圆的位置关系求参数范围即可. 【解析】由题可知，，解得. 故选：D 2.若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表示圆得，又利用点在圆外得，从而可得结果. 【解析】因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A. 知识点03 轨迹与轨迹方程 1.轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2.“轨迹”与“轨迹方程”有区别： （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3.常见轨迹方程的求法： （1）直接法 具体步骤 ①建系：建立适当的平面直角坐标系； ②设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； ③列式：列出关于的方程； ④化简：把方程化为最简形式； ⑤证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． （2） 定义法 （3） 代入法： 【即学即练】 1.已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则动点的轨迹方程为__________ 【答案】 【分析】利用圆的定义，得出点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，从而得到答案. 【解析】点的坐标为，动点满足， 故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 圆的方程为， 故答案为： 2.已知圆:过原点作圆的弦,则的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设则代入圆:化简即可得到点的轨迹方程. 【解析】设则代入圆: 可得即 点的轨迹方程为 故答案为： 题型01 圆的一般方程的辨析 【典例1】已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径. 【解析】，即， 故该圆的圆心坐标为，半径为． 故选：A． 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解 【变式1】若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【解析】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 【变式2】已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数m的取值范围即可. 【解析】圆的标准方程为：， 故即或， 故选：D. 【变式3】（多选）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 【答案】BCD 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解析】由题意，方程，可化为， 可圆的圆心坐标为， A中，当时，此时半径为，所以A错误； B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确； C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确； D中，当时，可得，方程表示的圆半径为， 又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确． 故选：BCD. 题型02 求圆的一般方程 【典例1】）圆M经过三点：，，．求圆M的方程． 【答案】 【分析】待定系数法设出圆的一般方程，建立方程组解出即可. 【解析】设圆的方程为， 依题得, 解得, 所以圆M的方程的方程为. 求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到圆的方程 【变式1】与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求圆的方程为，利用点求得，从而确定正确答案. 【解析】依题意，设所求圆的方程为， 由于所求圆过点，所以， 解得，所以所求圆的方程为． 故选：B 【变式2】已知点外接圆的方程是 【答案】 【分析】设圆的一般方程，将三个圆上的点的坐标代入圆方程得到方程组，求得方程组的解，即可得到圆的一般方程. 【解析】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组， 解方程组得， 于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 【变式3】已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． 【答案】x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 【分析】利用圆的一般方程，代入条件，列出关系式，即可得到圆的一般方程. 【解析】圆心C， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－－－1＝0， 即D＋E＝－2.① 又∵半径长r＝＝， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限， ∴－<0，即D>0.则 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 题型03 点与圆的位置关系判断 【典例1】点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【答案】A 【分析】将点的坐标代入圆的方程，即可判断. 【解析】因为，所以点在圆的外部． 故选：A. 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 【变式1】“”是“坐标原点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由“坐标原点在圆的外部”得且，进而可得. 【解析】由坐标原点在圆的外部可得，即且， 故“”是“且”的必要不充分条件， 故选：B 【变式2】已知圆过三点，点，则圆的一般方程为 ，点在圆 （内/上/外）． 【答案】 外 【分析】设圆的一般方程为，利用待定系数法，即可求得圆的方程，把点带入圆的方程，进而得到点与圆的位置关系. 【解析】设圆的一般方程为， 因为圆过三点，可得，解得， 满足，所以圆的方程为， 将点代入方程得，所以点在圆外． 故答案为：；外 题型04 利用点与圆的位置关系求参数（值）范围 【典例1】写出满足“点在圆外部”的一个的值： ． 【答案】4（答案不唯一， ） 【分析】利用点与圆的位置关系求参数范围即可. 【解析】圆，则， 由点在圆外部，得， 解得，取. 故答案为：4 【变式1】已知点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点在圆外以及方程表示圆得到不等式组，解不等式组即可. 【解析】由点在圆外知，即，解得， 又为圆，则， 解得，故. 故选：D. 【变式2】已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出表示圆的充要条件，然后可判断出答案. 【解析】若表示圆，则， 解得. “”是“”表示圆的必要不充分条件， 所以实数的取值范围是. 故选：B 题型05 与圆有关的最值问题 【典例1】圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用圆的性质求解即得. 【解析】圆的圆心为，半径为， 则点到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：B 1、圆上的动点到定点的距离最值问题： ①求距离：利用圆心和定点的坐标，求两定点之间的距离d ②求最值：圆上的动点到定点的距离的最大值为d+r，圆上的动点到定点的距离的最小值为d−r 2、圆上的动点到定直线的距离最值问题： ①求距离：用点到直线距离公式求圆心到定直线的距离d ②求最值：圆上的动点到定直线的距离的最大值为d+r，圆上的动点到定直线的距离的最小值为d−r 【变式1】实数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】化简可得，表示为圆上点到直线距离的倍，运用几何法求解即可. 【解析】化简可得，即在圆上， 则表示为圆上点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 则的最小值为. 故选：A 【变式2】已知点和，若动点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由点和，动点P满足，得到点P的轨迹方程，再求距离最大值即可. 【解析】因为点和，动点P满足， 设点，所以，整理得， 所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为直线恒过点， 当直线和直线OC垂直时点P到直线的距离取得最大值， 所以最大值为, 故选：C 【变式3】若平面内两定点间的距离为2,动点满足,则的最大值为 . 【答案】 【分析】通过建立平面直角坐标系,根据距离公式可得出点的轨迹方程为圆,根据圆的几何性质得的最大值,再代入运算即可. 【解析】设,,由得即, 则 由圆的几何性质可知 所以即最大值为. 故答案为:. 题型06 圆的一般方程中对称问题 【典例1】点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】C 【分析】设M、N两点关于直线对称，可得直线经过圆心，代入计算即可. 【解析】由，得， 所以圆心为，半径为， 由题意可得直线经过圆心， 故有，即， 所以半径为， 当时，圆C的半径的最小值为. 故选：C. 【变式1】已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】设利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可. 【解析】设，则，解得，. 因为在上，所以，解得. 故选：B 【变式2】已知直线是圆的一条对称轴，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由于直线l是圆的对称轴，所以圆的圆心必定在直线l上，代入计算即可. 【解析】由于直线l是圆的对称轴，所以圆的圆心必定在直线l上， 将圆的一般方程转变为标准方程： ， 圆心为 ，将圆心坐标代入直线l的方程得 ， ， ， 函数是开口向下，以  为对称轴的抛物线， 所以 ， 故选：A. 【变式3】在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为 ． 【答案】 【分析】直线为线段的垂直平分线，确定线段的中点和斜率即可求出的方程为. 【解析】圆，即，其圆心， 又的圆心， 根据题意可得直线为线段的垂直平分线， 又，线段的中点， 则直线的方程为，即. 故答案为：. 题型07 圆过定点问题 【典例1】已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【解析】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 【变式1】圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【解析】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D 【变式2】点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 【答案】和 【分析】过点作垂直于直线，垂足为，则以为直径的圆过定点和，求出直线的方程，联立两直线方程，求出交点坐标，即可得解. 【解析】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和， 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故答案为：和 题型08 圆的轨迹问题 【典例1】点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 【答案】（1）(x－1)2＋y2＝1；（2）x2＋y2－x－y－1＝0 【分析】（1）设出点M坐标，找到要求点M与已知点P的关系，代入已知点P满足的关系式由题意计算即可得.（2）设出点N(x，y)，直接根据题目提供的条件列出方程化简整理即得 【解析】(1)设线段AP的中点M(x，y)， 由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2,2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 【变式1】已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出点坐标，由题意计算即可得. 【解析】设，由，故， 化简得：，故P的轨迹方程为. 故答案为： 【变式2】平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得. 【解析】设，由，所以6， 整理得，即动点的轨迹方程为. 故选：C. 【变式3】已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形，求点的轨迹方程． 【答案】. 【分析】由圆的性质可得线段的中垂线过原点，再借助圆的定义求出轨迹方程即得. 【解析】由于线段是圆的弦，则线段的中垂线必过圆心， 又线段的中垂线是矩形的对称轴，因此该对称轴垂直平分线段，即， 显然不重合，当重合时，点重合，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除点外）， 所以点的轨迹方程是. 1．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出圆心，利用点到直线的距离公式计算即可. 【解析】由圆，可得：，所以圆的圆心为，则圆心到直线的距离为， 故选：B 2．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【解析】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 3．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可． 【解析】由已知圆，则， 又点在圆的外部， 则， 即，解得， 故选：C． 4．若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的条件可得不等式，解不等式即可． 【解析】因为表示圆，所以，得到， 令，得到，则，得到， 令，得到，则，得到， 所以， 故选：A. 5．已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 【答案】B 【分析】设点，由，可得，又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 【解析】设点， 由，得， 即， 又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 故选：B． 6．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得圆心，半径，设，则，可得点的轨迹为正方形，结合圆的性质，即可求解. 【解析】如图所示，由圆，可得， 则圆心，半径， 设，则，可得点的轨迹为如下所示的正方形， 其中，则， 则，所以的最大值为. 故选：D. 7．（多选）已知三角形的三个顶点分别为，，，则（    ） A．边的垂直平分线的方程是 B．三角形的面积为1 C．三角形外接圆的方程为 D．三角形外接圆的圆心坐标 【答案】ABC 【分析】利用直线垂直的性质与中点坐标公式求出的垂直平分线的方程，从而判断A，利用点线距离公式与两点距离公式求得三角形，从而判断B，利用待定系数法求得三角形外接圆的一般方程，从而判断CD． 【解析】对于A，因为，，， 所以，的中点为， 所以边的垂直平分线的方程为，即，故A正确； 对于B，， 边所在直线方程为，即， 则顶点到边的距离为， 所以三角形的面积为，故B正确； 对于CD，不妨设三角形外接圆的方程为， 所以，解得， 所以三角形外接圆的方程为， 所以三角形外接圆的圆心坐标为，故C正确，D错误. 故选：ABC． 8．（多选）已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q（－2，3），则下列说法正确的是（    ） A．圆心C的坐标为（2，7） B．点Q在圆C外 C．若点P（m，m＋1）在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为 【答案】ABD 【分析】A选项，把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标；B选项，求出CQ的长度，与半径相比，判断点与圆的位置关系；C选项，把P点坐标代入，求出的值，进而求出直线PQ的斜率；D选项，由B选项求出点Q在圆C外，M是圆C上任一点，所以MQ|的长度满足，求出MQ|的取值范围. 【解析】将化为，所以圆心C坐标为，故A正确：因为两点之间的距离为，所以点Q在圆C外．故B正确，因为点在圆C上，所以，所以，即．所以直线的斜为，故C错误，因为圆心，半径所以，即，故D正确 故选：ABD． 9．（多选）已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的图形面积为 C．若点在曲线上，则 D．若圆能覆盖曲线，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，推理、计算判断作答. 【解析】对于A，曲线上任意点有：，该点关于直线的对称点有， 即曲线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上，A正确； 对于B，因点在曲线上，点，也都在曲线上，则曲线关于x轴，y轴对称， 当时，曲线的方程为，表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆(含端点)， 因此，曲线是四个顶点为的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图， 所以曲线围成的图形面积是，B正确； 对于C，点在曲线上，则， 则有，即，解得，而，C正确； 对于D，曲线上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖曲线，则，D不正确. 故选：ABC 10．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【解析】设圆的方程为， 圆过点，和，所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为： 11．已知圆关于直线对称的圆的方程为，则＝ ． 【答案】 【分析】由题意，设关于直线的对称点为，列出方程组，求解方程组即可得圆关于直线对称的圆的方程，从而即可得答案. 【解析】解：圆的圆心是坐标原点，半径为， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点关于直线对称的点的坐标为， 因为圆关于直线对称的圆的方程为， 所以圆关于直线对称的圆的方程为，即， 所以，即． 故答案为：. 12．欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 . 【答案】/ 【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出、，从而得到圆心坐标即的外心坐标，再确定的重心坐标，即可得解. 【解析】依题意，解得， 所以圆，即，故圆心坐标为， 即的外心坐标为，又的重心坐标为， 又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为. 故答案为： 13．已知关于x，y方程表示一个圆． (1)求实数m的取值范围； (2)当时，过点的直线l与圆心的距离是2，求出直线l的方程． 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）根据题意，结合二元二次方程表示的曲线与圆的关系，即可求解； （2）根据题意，设直线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【解析】（1）方程可化为， 由，解得，所以方程表示圆时m的取值范围是． （2）当时，圆的方程为，则圆心为，半径为． ①当直线l的斜率存在时，设l的方程为，化为， 则圆心C到直线l的距离，解得， 此时直线l的方程为； ②当直线l的斜率不存在时，直线方程为，与圆心的距离也是2． 综上，直线l的方程为或． 14．已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设圆的方程为一般式，然后根据题意进行求解； （2）设出点坐标，根据题意求解出点坐标，代入圆后解得点的轨迹方程. 【解析】（1）解：设圆的方程为， 故圆心为， 由题意得，解得， 所以圆的方程为； （2）设点的坐标是，点的坐标是． 因为点的坐标是，且是线段的中点， 所以． 故．   ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 即．     ② 把①代入②，得， 整理，得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$