【第四章 三角形 06讲 线段垂直平分线】【两七知识点+六大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第四章 三角形 06讲 线段垂直平分线 题型归纳 【题型1. 线段垂直平分线的性质】…………………………………………………… 5 【题型2. 线段垂直平分线的判定】…………………………………………………… 7 【题型3. 尺规作图——作垂线】……………………………………………………… 9 【题型4. 尺规作图——作已知线段的垂直平分线】………………………………… 11 【题型5. 尺规作图——作等腰三角形】……………………………………………… 13 【题型6. 尺规作图——作角平分线】………………………………………………… 15 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 19 知识清单 知识点1 线段的垂直平分线 1.定义：垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（中垂线）. 【提示】 （1）线段垂直平分线既包含了位置关系（垂直），又包含了数量关系（平分）； （2）线段垂直平分线的定义本身就是线段垂直平分线的判定方法； （3）垂直平分线是一条直线，对称轴也是一条直线，故可以说线段的一条对称轴是它的垂直平分线. 知识点2 线段垂直平分线的性质 1.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 2.符号语言：∵ l是AB的垂直平分线，点P在直线l上 ∴ PA=PB 【提示】 （1）垂直平分线的性质是由全等三角形的判定和性质推导出的，以后可直接应用，不必再证明； （2）如果点P与点D重合，此时PA=PB（即DA=DB）仍然成立； （3）此性质可用来证明两线段相等； （4）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 如图，直线MN垂直平分AA’； 直线MN垂直平分BB’； 直线MN垂直平分CC’. 知识点3 线段垂直平分线的判定 1.判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 2.符号语言：∵ PA=PB ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上 【提示】线段垂直平分线的性质与判定互为逆定理. 知识点4 尺规作图——过一点作已知直线的垂线 （1） 1.过直线上一点作已知直线的垂线 要求：如图（1），已知点P在直线l上，求作直线PQ⊥l .（2） 作法：（1）如图（2），在点P左侧任取一点A，以点P为 圆心，PA长为半径作弧，在点P的右侧交直线l于点B； （2）如图（3），分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作（3） 弧，两弧在直线l 上方交于点Q； （3）如图（4），过点P，Q作直线PQ，直线PQ⊥l .（4） 2.过直线外一点作已知直线的垂线 要求：如图（1），已知点P在直线l外，求作直线PQ⊥l . 作法：（1）如图（2），在直线上任取一点A，以点P为圆心，PA长为半径作弧，交直线l于另一点B； （2）如图（3），分别以A，B为圆心，大于AB长为半径往没有点P的直线一侧作弧，两弧交于点Q； （3）如图（4），过点P，Q作直线PQ，直线PQ⊥l . （4） （3） （2） （1） 知识点5 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 要求：如图（1），已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线PQ. 作法：（1）如图（2），分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，相交于点P，Q； （2）过点P，Q作直线PQ； （3）直线PQ就是线段AB的垂直平分线.（4） （1） （2） （3） 知识点6 尺规作图——作等腰三角形 1.已知底边及底边上的高线作等腰三角形 要求：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图（1）），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2），①作线段AB=a； ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； ③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 知识点7 尺规作图——作角平分线 要求：如图（1），已知∠AOB，求作∠AOB的平分线. 作法：（1）如图（1），以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； （2）如图（2），分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； （3）如图（3），画射线OP．射线OP即为所求． （1） （2） （3） 证明：如图，连结CP，DP 由步骤（1）作法可知，OC=OD；由步骤（2）作法可知，CP=DP 在△OCP和△ODP中， ∴ ∴ △OCP△ODP（SSS） ∴ ∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB 题型专练 题型1. 线段垂直平分线的性质 【例1】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长为18，则的长为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图是一个风筝的骨架示意图（可称为筝形）．已知垂直平分，则筝形的周长为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，垂直平分，交于点，交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：． (2)若，，求的周长． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，那么的长等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东梅州·期末）已知四边形中，连接对角线，且的垂直平分线恰好经过点C，交于点O，交于点E，连接． (1)如图1，若，说明：平分； (2)如图2，连接是线段的垂直平分线，求的大小． 【变式3】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）中，，的垂直平分线交、于、． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 题型2. 线段垂直平分线的判定 【例1】（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，连接、，，，则有（   ） A．与互相垂直平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．平分 【例3】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，已知中，．求证：． 【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期中）到三角形三个顶点距离都相等的点是（   ） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 【变式2】（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分． 【变式3】（2025·湖北恩施·一模）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．求证：． 题型3. 尺规作图——作垂线 【例1】（24-25七年级上·山东烟台·期中）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．顶角B的角平分线 B．边的垂直平分线 C．边的中线 D．边的高线 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）作图题（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、均为格点（网格线的交点），画出关于直线对称的； (2)如图，已知直线和线段，利用尺规作出线段关于直线的对称线段． 【例3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法在上找一点，连接，使得的面积是面积的一半．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A．平分 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（其中点与点对应，点与点对应），请画出； (2)用尺规作图，作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹）． 【变式3】（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在正方形网格中，是格点三角形． (1)画出使得和关于直线对称； (2)请在直线上找一点，使点到，两点的距离相等； (3)请在直线上找一点，使的值最小． 题型4. 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 【例1】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【例3】（2025·河南驻马店·三模）定义：顶角等于的等腰三角形为豫式三角形．如图，中，且，则为豫式三角形． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接．求证：是豫式三角形． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，点C在射线上，请用尺规作图法作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，“T”字形图案由两个全等的矩形拼成，E，F是的三等分点，是矩形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作等腰直角三角形，其中为腰． (2)在图2中作线段的垂直平分线． 【变式3】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，请按下列要求解答问题： (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长是，的周长是，求的长． 题型5. 尺规作图——作等腰三角形 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知线段和．求作以的长为底，的长为腰的等腰三角形，并画出边上的高．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【例2】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图中，，，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）在射线上找一点，使为等腰三角形，并求的度数． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·期中）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 如图，已知线段，求作以为底的等腰直角三角形． 【变式2】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）线段和C、D两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段上作一点B，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3】（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）证明与作图：        (1)已知：如图1，，，垂足分别为M，N，与相交于点P．若，求证：． (2)尺规作图：如图2，已知：线段a，b， 求作：等腰三角形，使底边上的高为a，腰长为b．（提示：作图要保留作图痕迹，且要用2B铅笔，不用写作法）． 题型6. 尺规作图——作角平分线 【例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列尺规作图，能确定的是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，点、分别是两边、上的点． 尺规作图：作的垂直平分线，并在上找一点，使得点到两边、的距离相等．（保留作图痕迹） 【例3】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知：如图，中，． (1)在上作一点D，使得；在上作一点E，使得与关于直线对称；（请用无刻度的直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，可得的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，． (1)作的角平分线，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：，请将以下推导过程补充完整． 证明：∵平分， ∴， 在和中， （② ） 又∵， ∵ ∴（⑤ ） 【变式3】（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，点在的边上，且． (1)若，则____________（用含的式子表示）； (2)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)在（2）的条件下，判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 【变式4】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知：在中，，．求作：点P，使点P在内部，且，．（尺规作图，不写作法，只留作图痕迹） 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，中，，，边的垂直平分线分别与边，交于点，，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 3．（24-25七年级下·山西晋中·期末）根据下列图形中的作图痕迹判断，是的中线的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，有下列三种尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．25 D．30 8．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点．若，，则的周长为（    ） A．20 B．18 C．16 D．15 9．（24-25七年级下·四川资阳·期末）如图，已知，按照下列步骤进行尺规作图： ①以点B为圆心、任意长为半径作弧，与角的两边分别交于M、N两点； ②分别以点M和N为圆心、大于线段一半的长为半径作弧， 在内，两弧相交于点D； ③作射线． 然后过点D作的垂线，交于点E．若，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤： （1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M； （2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线； （3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接； （4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接． 根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D．的周长等于线段的长 二、填空题 11．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为 ． 12．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点．作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 13．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么 ． 14．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，，在边和的延长线上分别截取，使，再分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线BP．若，则的度数是 ． 15．（2025·山东菏泽·模拟预测）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：（1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；（2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；（3）作射线交直线于点；若，则 度． 16．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，点E在上，垂直平分于点D，，若，则 ． 17．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，．若为底边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 18．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则 °． 19．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点；已知，，且于点．若，则线段长为 ． 20．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线，点在上，垂直平分，垂足为点，分别交，，于点N，G，F，交的延长线于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 三、解答题 21．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，在中，．请用尺规作图法，在的上方求作一点，使，且．（保留作图痕迹，不写作法） 22．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，，请用尺规作图法在边上确定点，连接，使得．保留作图痕迹，不写作法 23．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知在中，． (1)用直尺和圆规在内部画，与交于点； (2)用直尺和圆规画的角平分线； (3)作出中边上的高； (4)度量与，发现 ．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 24．（2025九年级下·浙江金华·学业考试）小丽与小明，小颖同学一起研究一个利用尺规作一个角的问题： 如图1，已知在射线上，依次取点B，C，使． 小明：如图2，分别以A，C为圆心，长为半径画弧，交于点D，连结，则． 小丽：如图3，分别以A，B为圆心，长为半径画弧，交于点D，连结．则． 小颖：如图4，分别以A，C为圆心，大于长为半径画弧，交于点D；以B为圆心，长为半径画弧交射线于点E；以E为圆心，长为半径画弧交于点F，连结，则． (1)做法正确的同学有 ． (2)请选择你认为正确的一种做法给出证明．证明：我选择证明图 （填序号）． 25．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，于点，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 26．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在锐角中，，，垂足为点D． (1)尺规作图：求作边上的高，垂足为点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，若两条高与相交于点O，求证：． 27．（24-25七年级下·河南郑州·期末）三角形具有神奇的魅力，古今中外无数学者从未停止过对它的探索．我国最近发射的神舟二十号载人飞船的飞行任务标识就是以三角形为基，进行的大胆创新．善于学习的小明用等边三角形纸片对该标识进行了探究． (1)如图1，小明在等边三角形三条边上分别截取，连接，然后剪去，和，得到该标识对应的六边形，连接． ①小明发现该六边形______（填“是”或“不是”）轴对称图形，每个内角度数都相等为______； ②请判断与的位置关系，并说明理由． (2)小明继续探究，如图2，分别以点C，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点J和点K，作直线，交于点P，交于点M，连接．量得，，请直接写出的面积． 28．（24-25七年级下·山东威海·期末）综合与实践 在一次课堂探究活动中，老师让同学探究如何利用尺规过直线外一点作已知直线的平行线．如图1，已知直线，点为直线外一点． (1)小东设计的尺规作图过程如下，如图2： ①在直线上取一点，连接； ②分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于、两点，作直线，交直线于点，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点，作直线．则就是所求作的直线． 你认为小东作的直线是否与平行？请说明理由． (2)小华设计的尺规作图过程如下，如图3： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交直线于点、，连接、，并延长至点； ②以为圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、． ③分别以、为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧交于点，作直线，则就是所求的直线． 你认为小华作的直线是否与平行？请说明理由． 29．（24-25七年级下·江西九江·期末）【知识生成】 我们在第一章已经学习了完全平方公式，，请结合完全平方公式解决以下问题： 【直接运用】 （1）若，则_____； 【转化应用】 （2）如图，已直角三角形和直角三角形中，，连接，点E是的垂直平分线与的交点，连接． ①试说明：； ②设，且．已知，求． 30．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 06讲 线段垂直平分线 题型归纳 【题型1. 线段垂直平分线的性质】…………………………………………………… 5 【题型2. 线段垂直平分线的判定】…………………………………………………… 9 【题型3. 尺规作图——作垂线】……………………………………………………… 13 【题型4. 尺规作图——作已知线段的垂直平分线】………………………………… 17 【题型5. 尺规作图——作等腰三角形】……………………………………………… 22 【题型6. 尺规作图——作角平分线】………………………………………………… 26 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 32 知识清单 知识点1 线段的垂直平分线 1.定义：垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（中垂线）. 【提示】 （1）线段垂直平分线既包含了位置关系（垂直），又包含了数量关系（平分）； （2）线段垂直平分线的定义本身就是线段垂直平分线的判定方法； （3）垂直平分线是一条直线，对称轴也是一条直线，故可以说线段的一条对称轴是它的垂直平分线. 知识点2 线段垂直平分线的性质 1.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 2.符号语言：∵ l是AB的垂直平分线，点P在直线l上 ∴ PA=PB 【提示】 （1）垂直平分线的性质是由全等三角形的判定和性质推导出的，以后可直接应用，不必再证明； （2）如果点P与点D重合，此时PA=PB（即DA=DB）仍然成立； （3）此性质可用来证明两线段相等； （4）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 如图，直线MN垂直平分AA’； 直线MN垂直平分BB’； 直线MN垂直平分CC’. 知识点3 线段垂直平分线的判定 1.判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 2.符号语言：∵ PA=PB ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上 【提示】线段垂直平分线的性质与判定互为逆定理. 知识点4 尺规作图——过一点作已知直线的垂线 （1） 1.过直线上一点作已知直线的垂线 要求：如图（1），已知点P在直线l上，求作直线PQ⊥l .（2） 作法：（1）如图（2），在点P左侧任取一点A，以点P为 圆心，PA长为半径作弧，在点P的右侧交直线l于点B； （2）如图（3），分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作（3） 弧，两弧在直线l 上方交于点Q； （3）如图（4），过点P，Q作直线PQ，直线PQ⊥l .（4） 2.过直线外一点作已知直线的垂线 要求：如图（1），已知点P在直线l外，求作直线PQ⊥l . 作法：（1）如图（2），在直线上任取一点A，以点P为圆心，PA长为半径作弧，交直线l于另一点B； （2）如图（3），分别以A，B为圆心，大于AB长为半径往没有点P的直线一侧作弧，两弧交于点Q； （3）如图（4），过点P，Q作直线PQ，直线PQ⊥l . （4） （3） （2） （1） 知识点5 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 要求：如图（1），已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线PQ. 作法：（1）如图（2），分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，相交于点P，Q； （2）过点P，Q作直线PQ； （3）直线PQ就是线段AB的垂直平分线.（4） （1） （2） （3） 知识点6 尺规作图——作等腰三角形 1.已知底边及底边上的高线作等腰三角形 要求：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图（1）），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2），①作线段AB=a； ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； ③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 知识点7 尺规作图——作角平分线 要求：如图（1），已知∠AOB，求作∠AOB的平分线. 作法：（1）如图（1），以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； （2）如图（2），分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； （3）如图（3），画射线OP．射线OP即为所求． （1） （2） （3） 证明：如图，连结CP，DP 由步骤（1）作法可知，OC=OD；由步骤（2）作法可知，CP=DP 在△OCP和△ODP中， ∴ ∴ △OCP△ODP（SSS） ∴ ∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB 题型专练 题型1. 线段垂直平分线的性质 【例1】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长为18，则的长为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．由垂直平分线可得，又由的周长等于18，即可求得，然后由，求得的长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵的周长等于18， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图是一个风筝的骨架示意图（可称为筝形）．已知垂直平分，则筝形的周长为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到两端点的距离是解决问题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到,即可求得答案． 【详解】解：∵垂直平分，, ∴, ∴筝形的周长. 故选：D． 【例3】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，垂直平分，交于点，交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：． (2)若，，求的周长． 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，进而证明； （2）根据题意求出，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）解：，， ， 的周长． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，那么的长等于（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线垂直且平分其所在线段；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．先根据线段垂直平分线的性质得到，再利用三角形的周长定义得到，然后利用等线段代换得到，从而可求出的长． 【详解】解：的垂直平分线交于点，交于点， ， 的周长等于， ， ， 即， ． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·广东梅州·期末）已知四边形中，连接对角线，且的垂直平分线恰好经过点C，交于点O，交于点E，连接． (1)如图1，若，说明：平分； (2)如图2，连接是线段的垂直平分线，求的大小． 【分析】本题考查多边形的内角与外角，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，掌握平行线的性质，线段垂直平分线的性质以及邻补角的定义是正确解答的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质以及平行线的性质进行解答即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及平角的定义进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）中，，的垂直平分线交、于、． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段的垂直平分线的性质证明，求出，根据，求出的长； （2）设，根据线段的垂直平分线的性质证明，得到的度数，根据等腰三角形的性质用表示出的度数，根据三角形内角和定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ， 的周长为， ，又， ； （2）设， ， ， ， ， ， ， 则， 解得． 则． 题型2. 线段垂直平分线的判定 【例1】（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，证明垂直平分线段可得结论． 【详解】解：连接，． 由作图可知，， 垂直平分线段， ， ． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，连接、，，，则有（   ） A．与互相垂直平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．平分 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定，由，，得A与C在的垂直平分线上，进而解决此题． 【详解】解：∵，， ∴A与C在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴垂直平分， 故B选项符合题意； 由已知条件无法证明平分，平分， 故A、C、D选项不符合题意； 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，已知中，．求证：． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理．先根据等腰三角形的性质得出，根据，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据线段垂直平分线的判定得出垂直平分，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期中）到三角形三个顶点距离都相等的点是（   ） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行作答即可． 【详解】解：∵到三角形三个顶点距离都相等的点， ∴该点是三角形的三边垂直平分线的交点，故选：B 【变式2】（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分． 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，全等三角形的性质和判定， 首先证明出，得到，然后结合即可得到垂直平分． 【详解】∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴垂直平分． 【变式3】（2025·湖北恩施·一模）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．求证：． 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，掌握该知识点是解题的关键．由“到线段两端点距离相等的点在该线段垂直平分线上”，可判断是的垂直平分线，即可解得． 【详解】证明：∵，， ∴点A、C在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 题型3. 尺规作图——作垂线 【例1】（24-25七年级上·山东烟台·期中）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．顶角B的角平分线 B．边的垂直平分线 C．边的中线 D．边的高线 【分析】本题考查作图-基本作图，根据作图痕迹判断出线段是的高即可． 【详解】解：由作图可知，故线段是的高． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）作图题（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、均为格点（网格线的交点），画出关于直线对称的； (2)如图，已知直线和线段，利用尺规作出线段关于直线的对称线段． 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）结合轴对称的性质按要求画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，线段即为所求． 【例3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法在上找一点，连接，使得的面积是面积的一半．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】此题考查了尺规作垂直平分线，三角形中线的性质， 作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接， 此时， 的面积是面积的一半， 则点即为所求． 【变式1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A．平分 B． C． D． 【分析】本题考查的是作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（其中点与点对应，点与点对应），请画出； (2)用尺规作图，作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹）． 【分析】本题考查了作图——平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，在顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）先根据平移的性质分别画出点D、E、F，再顺次连接即可； （2）根据尺规作图，作出段的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，直线即为线段的垂直平分线． 【变式3】（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在正方形网格中，是格点三角形． (1)画出使得和关于直线对称； (2)请在直线上找一点，使点到，两点的距离相等； (3)请在直线上找一点，使的值最小． 【分析】本题考查轴对称，线段垂直平分线的性质，最短路径，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）在网格中找到原格点三角形关于直线的对称点，连接即可； （2）作线段的垂直平分线，与直线相交，交点即为所求； （3）在网格中找出点关于已知直线的对称点，连接，与直线相交，交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，为所求， （2）解：如图，点为所求， （3）解：如图，点为所求， 题型4. 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 【例1】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，由作图可知是的边的垂直平分线，则有，，即，然后通过的周长为，则有，再代入即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作图步骤可得是的边的垂直平分线， ∴，，即， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】本题考查了复杂作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等．作的垂直平分线交于点，由垂直平分线的性质可知，即可完成作图． 【详解】解：如图，点即为所求作． 【例3】（2025·河南驻马店·三模）定义：顶角等于的等腰三角形为豫式三角形．如图，中，且，则为豫式三角形． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接．求证：是豫式三角形． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由等腰三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，推出，进一步可得，，根据豫式三角形的定义即可得证． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作； （2）证明：如图， ∵，， ∴， ∵线段的垂直平分线与边交于点， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵在中，顶角，， ∴是豫式三角形． 【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定义及三角形外角的性质等知识点，解题的关键是理解新定义（豫式三角形）． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，点C在射线上，请用尺规作图法作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，直线即为所求． 【变式2】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，“T”字形图案由两个全等的矩形拼成，E，F是的三等分点，是矩形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作等腰直角三角形，其中为腰． (2)在图2中作线段的垂直平分线． 【分析】本题考查了矩形的性质，熟记相关结论即可； （1）由题意得，推出，得到，进一步得，即可完成作图； （2）连接，得到的中点；根据（1）可得，过点作，即可完成作图． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作： （2）解：如图所示，即为所求作： 【变式3】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，请按下列要求解答问题： (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长是，的周长是，求的长． 【分析】本题考查线段垂直平分线的画法，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的画法和性质． （1）分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两个交点作直线即可； （2）由线段垂直平分线的性质，可得，等量代换，两个三角形的周长作差，即可得的长． 【详解】（1）解：分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点和点，过点和点作直线，直线即为线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接，如下图： （2）解：∵的周长是， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 答：的长为． 题型5. 尺规作图——作等腰三角形 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知线段和．求作以的长为底，的长为腰的等腰三角形，并画出边上的高．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】本题考查尺规作图之线段的垂直平分线，作已知线段，掌握尺规作图的基本方法是解题的关键．首先作，进而作出线段的垂直平分线交于点，以点为圆心，以长为半径画弧交的垂直平分线于点，连接，即可． 【详解】解：作，进而作出线段的垂直平分线交于点，以点为圆心，以长为半径画弧交的垂直平分线于点，连接， 如图，和即为所作． 【例2】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图中，，，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）在射线上找一点，使为等腰三角形，并求的度数． 【分析】本题主要考查尺规作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分三种情形分别求解即可得解． 【详解】，， ， 如图，有三种情形： ①当时， ； ②当时，； ③当时，， ， 综上，的度数为或或． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·期中）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 如图，已知线段，求作以为底的等腰直角三角形． 【分析】本题考查五类基本尺规作图-作线段的垂直平分线、作两条线段相等等知识，先作线段，再作的垂直平分线，垂足为点，在垂直平分线上截取，即可作出等腰．解决此类题目的关键是熟悉五类基本尺规作图，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：如图所示： 等腰即为所求． 【变式2】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）线段和C、D两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段上作一点B，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作线段的垂直平分线交于点，连接即可． 本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，掌握尺规作垂线的方法是解决问题． 【详解】解：连接，作的垂直平分线交于点，连接，则就是所求的以为底边的等腰三角形，如图： 【变式3】（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）证明与作图：        (1)已知：如图1，，，垂足分别为M，N，与相交于点P．若，求证：． (2)尺规作图：如图2，已知：线段a，b， 求作：等腰三角形，使底边上的高为a，腰长为b．（提示：作图要保留作图痕迹，且要用2B铅笔，不用写作法）． 【分析】本题主要考查了做等腰三角形，全等的判定以及性质．掌握等腰三角形的性质以及全等的判定以及性质是解题的关键． （1）先证明，由全等的性质得出，由对顶角相等得出再证明，由全等的性质即可得出 （2）在直线l上取点D，作于D，在上截取，然后以点A为圆心，b为半径画弧交l于B、C两点，则满足条件． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ （2）等腰三角形如下图所示：    题型6. 尺规作图——作角平分线 【例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列尺规作图，能确定的是（    ）． A． B． C． D． 【分析】此题考查了尺规作图—基本作图，观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项作图痕迹可知，D为中点，即，不能确定； B选项作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，即，不能确定； C选项作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定； D选项作图痕迹可知，是边上的高，不能确定． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，点、分别是两边、上的点． 尺规作图：作的垂直平分线，并在上找一点，使得点到两边、的距离相等．（保留作图痕迹） 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，作垂直平分线，连接，然后分别作平分线，线段垂直平分线，交于点即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，作平分线，线段垂直平分线，交于点 ∴点即为所求． 【例3】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知：如图，中，． (1)在上作一点D，使得；在上作一点E，使得与关于直线对称；（请用无刻度的直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【分析】此题考查了角平分线的作图、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，准确作图是关键． （1）利用角平分线的作图和线段的作图进行解答即可； （2）证明，由，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）猜想， 理由：由（1）可知，与关于直线对称， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，可得的度数是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由作法得：垂直平分，平分，可得， 【详解】解：由作法得：垂直平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，． (1)作的角平分线，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：，请将以下推导过程补充完整． 证明：∵平分， ∴， 在和中， （② ） 又∵， ∵ ∴（⑤ ） 【分析】本题考查的是作角平分线，全等三角形的判定与性质； （1）根据作已知角的角平分线的步骤作图即可； （2）根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】（1）解：如图，作图如下： （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， （②） 又∵， ， ， ∵， ， ， ， ∴（⑤同位角相等，两直线平行） 【变式3】（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，点在的边上，且． (1)若，则____________（用含的式子表示）； (2)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)在（2）的条件下，判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、平行线的判定等知识点；熟练掌握上述基础知识是解题的关键． （1）利用三角形的外角的性质求解即可； （2）根据角平分线的作图步骤作图即可； （3）根据三角形的外角定理可得；由（1）可知，从而得出，即可证明. 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：作图如下： （3）解：；理由如下： 在中，， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 【变式4】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知：在中，，．求作：点P，使点P在内部，且，．（尺规作图，不写作法，只留作图痕迹） 【分析】本题考查尺规作图． 作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点P， 此时，， 则点P即为所求． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，中，，，边的垂直平分线分别与边，交于点，，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，解答此题要两次运用等腰三角形两底角相等的性质．先根据等腰三角形的性质求出，由线段垂直平分线的性质得，得出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴． 故选C． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可． 【详解】∵垂直平分， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 3．（24-25七年级下·山西晋中·期末）根据下列图形中的作图痕迹判断，是的中线的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的中线，根据三角形角平分线、中线、高及作一个角等于已知角的作法逐项判断即可求解，掌握基本作图方法是解题的关键． 【详解】解：、是的角平分线，该选项不合题意； 、是的中线，该选项符合题意； 、是的高，该选项不合题意； 、作，不是的中线，该选项不合题意； 故选：． 4．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，连接，则， ，若要的周长最小，则三点共线，即为与的交点，的周长为，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵为边的垂直平分线， ∴， 由的周长为， ∴当三点共线，的周长最小值为， 故选：． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，有下列三种尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题考查了垂线，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图. 根据角平分线、垂直平分线和垂线的尺规作图方法，直接判断即可． 【详解】解：由作图方法可知，图①作法下面应该还有两条相交的弧，即图①的正确作图如下： 图②和图③作法正确， 故选：C． 6．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出，进而根据等腰三角形的性质和外角的性质得出，最后根据三角形内角和为180度求解即可． 【详解】∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．25 D．30 【分析】本题考查中垂线的性质，根据作图可知垂直平分线段，进而得到，，推出，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ，， ， 的周长， ， 的周长 故选：B 8．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点．若，，则的周长为（    ） A．20 B．18 C．16 D．15 【分析】由作图可知垂直平分线段，，利用线段垂直平分线的性质求解即可． 本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，， ， 的周长. 故选：D . 9．（24-25七年级下·四川资阳·期末）如图，已知，按照下列步骤进行尺规作图： ①以点B为圆心、任意长为半径作弧，与角的两边分别交于M、N两点； ②分别以点M和N为圆心、大于线段一半的长为半径作弧， 在内，两弧相交于点D； ③作射线． 然后过点D作的垂线，交于点E．若，则（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查作图，由作图可知，射线是的角平分线，则，再根据，然后由求解即可． 【详解】解：由作图可知，射线是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 10．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤： （1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M； （2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线； （3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接； （4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接． 根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D．的周长等于线段的长 【分析】本题考查了尺规作图、垂直平分线的性质，熟练掌握尺规作垂线的步骤是解题的关键．根据作图步骤可得，，点F在的垂直平分线上，得到，的周长，再结合选项分析即可得出答案． 【详解】解：由步骤（1）（2）可得， 由步骤（3）可得， 由步骤（4）可得点F在的垂直平分线上，则， ∴的周长， 由作图步骤无法判断， 结合选项可得，A、B、D选项的结论正确，不符合题意；C选项的结论不一定正确，符合题意； 故选：C． 二、填空题 11．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为 ． 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．先根据线段垂直平分线的性质得出，故可得出的周长，由此即可得出结论． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 故答案为：10． 12．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点．作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据题意可得直线是线段的垂直平分线，从而得出，，结合题意可得的周长． 【详解】解：∵分别以点和点为圆心，以大于一半的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线．直线交于点，连接， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴的周长． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么 ． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可得，利用三角形内角和定理可得，则可求出，进而得到，即． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O是各边垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为；． 14．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，，在边和的延长线上分别截取，使，再分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线BP．若，则的度数是 ． 【分析】根据基本作图，得，根据得，利用三角形外角性质，解答即可． 本题考查了角的平分线作图，等边对等角，三角形外角性质的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025·山东菏泽·模拟预测）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：（1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；（2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；（3）作射线交直线于点；若，则 度． 【分析】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质.由作图得平分，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得，即可获得答案． 【详解】解：由作图得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，点E在上，垂直平分于点D，，若，则 ． 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三线合一，垂直的定义，三角形的内角和为，掌握知识点是解题的关键；由垂直平分，得，，继而求出，根据，可得，即可解答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，．若为底边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【分析】本题考查三角形的周长最值问题，结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及中点的相关属性进行分析． 连接交于点，连接，依据要三线合一的性质可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为可求得的长，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，由此可解． 【详解】解：如图，连接交于点，连接． 是等腰三角形，D是的中点，， ，， ， 解得． 是线段的垂直平分线， ， ， 当点M位于点处时，取得最小值，最小值为的长度． 的周长为， 其最小值为． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则 °． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，根据题意可知，垂直平分线段，再根据垂直平分线的性质得出，再根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，垂直平分线段， ， ， ， ， 故答案为：20． 19．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点；已知，，且于点．若，则线段长为 ． 【分析】延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，证明，根据等腰三角形三线合一性质得，再证明得到，即可求解． 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线， ∴为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴线段长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的画法和定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，通过作辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键． 20．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线，点在上，垂直平分，垂足为点，分别交，，于点N，G，F，交的延长线于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 【分析】根据等角的余角相等对①进行判断；根据线段垂直平分线的性质得，所以，然后证明，可对②进行判断；进而可知，根据垂直平分线的性质得到，，即可证明，可对③进行判断；利用三角形外角性质对④进行判断． 【详解】解：，， ，， ， ，所以①正确； 垂直平分， ， ， ∵是的平分线， ∴， ， ，所以②正确； ， ∵垂直平分， ∴， ∴，所以③正确； ， ，所以④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键. 三、解答题 21．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，在中，．请用尺规作图法，在的上方求作一点，使，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】本题主要考查尺规作已知直线的垂线，作线段等于已知线段，根据过直线上一点作已知直线的垂直得到，以点为圆心，以为半径画弧与垂线交于点，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，点即为所求点的位置． 22．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，，请用尺规作图法在边上确定点，连接，使得．保留作图痕迹，不写作法 【分析】本题考查作图：复杂作图、三角形内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作的平分线交于点，可得，则，则点即为所求． 【详解】解：如图，作的平分线交于点， ，， ， ， ， 则点即为所求． . 23．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知在中，． (1)用直尺和圆规在内部画，与交于点； (2)用直尺和圆规画的角平分线； (3)作出中边上的高； (4)度量与，发现 ．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【分析】本题考查了作角平分线，作一个角等于已知角，作垂线，比较线段的长度，熟练掌握基本作图是解题的关键； （1）根据题意作，与交于点 （2）根据题意作的角平分线； （3）根据题意作出中边上的高 （4）根据题意度量与，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）如图，是的角平分线 （3）如图，中边上的高 （4）度量可得， 故答案为：． 24．（2025九年级下·浙江金华·学业考试）小丽与小明，小颖同学一起研究一个利用尺规作一个角的问题： 如图1，已知在射线上，依次取点B，C，使． 小明：如图2，分别以A，C为圆心，长为半径画弧，交于点D，连结，则． 小丽：如图3，分别以A，B为圆心，长为半径画弧，交于点D，连结．则． 小颖：如图4，分别以A，C为圆心，大于长为半径画弧，交于点D；以B为圆心，长为半径画弧交射线于点E；以E为圆心，长为半径画弧交于点F，连结，则． (1)做法正确的同学有 ． (2)请选择你认为正确的一种做法给出证明．证明：我选择证明图 （填序号）． 【分析】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）结合等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质逐个判定即可； （2）结合等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质证明即可． 【详解】（1）做法正确的同学有小明、小丽、小颖， 故答案为：小明、小丽、小颖． （2）我选择证明图2 如图2，连结， 由作图可得， 是等边三角形， ， ， ， ，． 我选择证明图3 如图3，连结， 由作图可得， 是等边三角形， ，即， ， ， ． 我选择证明图4 连结 由作图可得，是等边三角形， ， ， ， ， ． 25．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，于点，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识的应用是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质推出，，由等腰三角形的性质推出，，由三角形的外角性质得到，由直角三角形的性质求出，即可得到的度数； （2）由（1）知，，得到，因此，求出，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在锐角中，，，垂足为点D． (1)尺规作图：求作边上的高，垂足为点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，若两条高与相交于点O，求证：． 【分析】题目主要考查垂线的作法及全等三角形的判定和性质，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）过点C作的垂线，垂足为E，连接即可； （2）根据全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）解：过点C作的垂线，垂足为E，连接， 则线段即为所求． （2）证明：， ∵ ∴ 在和中 ∵，， ∴ ∴ ∴ 27．（24-25七年级下·河南郑州·期末）三角形具有神奇的魅力，古今中外无数学者从未停止过对它的探索．我国最近发射的神舟二十号载人飞船的飞行任务标识就是以三角形为基，进行的大胆创新．善于学习的小明用等边三角形纸片对该标识进行了探究． (1)如图1，小明在等边三角形三条边上分别截取，连接，然后剪去，和，得到该标识对应的六边形，连接． ①小明发现该六边形______（填“是”或“不是”）轴对称图形，每个内角度数都相等为______； ②请判断与的位置关系，并说明理由． (2)小明继续探究，如图2，分别以点C，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点J和点K，作直线，交于点P，交于点M，连接．量得，，请直接写出的面积． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称图形的识别，线段垂直平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①根据轴对称图形的定义可得第一空的答案；由等边三角形的性质可得，再证明是等边三角形，得到，则，同理可得，据此可得第二空答案； ②由等边三角形的性质得到，再证明是等边三角形，得到，则； （2）过点P作交延长线于H，证明 得到，则． 【详解】（1）解：①由题意得，六边形是轴对称图形， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴六边形得到每个内角度数都相等为； ②，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点P作交延长线于H， 由（1）可得， ∴， 由作图方法可得垂直平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴． 28．（24-25七年级下·山东威海·期末）综合与实践 在一次课堂探究活动中，老师让同学探究如何利用尺规过直线外一点作已知直线的平行线．如图1，已知直线，点为直线外一点． (1)小东设计的尺规作图过程如下，如图2： ①在直线上取一点，连接； ②分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于、两点，作直线，交直线于点，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点，作直线．则就是所求作的直线． 你认为小东作的直线是否与平行？请说明理由． (2)小华设计的尺规作图过程如下，如图3： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交直线于点、，连接、，并延长至点； ②以为圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、． ③分别以、为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧交于点，作直线，则就是所求的直线． 你认为小华作的直线是否与平行？请说明理由． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的尺规作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的尺规作图． （1）利用判断出，得出，即可得出结论； （2）根据作图可得是的角平分线，进而证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知：直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ； （2）根据作图可得， 是的角平分线， ， ， 又， ， ∴ ． 29．（24-25七年级下·江西九江·期末）【知识生成】 我们在第一章已经学习了完全平方公式，，请结合完全平方公式解决以下问题： 【直接运用】 （1）若，则_____； 【转化应用】 （2）如图，已直角三角形和直角三角形中，，连接，点E是的垂直平分线与的交点，连接． ①试说明：； ②设，且．已知，求． 【分析】本题考查完全平方公式，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握利用完全平方公式变形求值是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）①用证明即可； ②由，得，，再根据，得出，又因，求得，然后根据求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：11； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的垂直平分线与的交点， ∴， 在与中， ， ∴， ②∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 30．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 【分析】本题考查轴对称图形的性质，尺规作图——作垂直平分线，作角平分线，平行线的性质，读懂题意是解题的关键． （1）任务一：连接，作的垂直平分线m，过点P作直线m的垂线，交边于点A，以点A为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，则点为所求； 任务二：作出与所成夹角的角平分线，即为折痕； （2）根据三等分线得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：（1）任务一：如图，点为所求． 任务二：如图，折痕为所求． （2）如图， 由题意可知，是的三等分线， ∴， ∵， ∴， ∴与相交所成的锐角是． 故答案为：50 1 学科网（北京）股份有限公司 $$