【第四章 三角形 05讲 等腰三角形】【四大知识点+八大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第四章 三角形 05讲 等腰三角形 题型归纳 【题型1. 等边对等角】………………………………………………………………… 3 【题型2. 三线合一】…………………………………………………………………… 6 【题型3. 根据等角对等边证明】……………………………………………………… 10 【题型4. 根据等角对等边求边长】…………………………………………………… 14 【题型5. 等腰三角形的性质和判定综合】…………………………………………… 19 【题型6. 等边三角形的性质】………………………………………………………… 24 【题型7. 等边三角形的判定】………………………………………………………… 29 【题型8. 等边三角形的性质与判定综合】…………………………………………… 33 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 42 知识清单 知识点1 等腰三角形的性质 1.等边对等角：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2.三线合一：底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）. 【提示】 （1）等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴； （2）等腰三角形两腰上的高相等；（3）等腰三角形两腰上的中线相等； （4）等腰三角形两底角的平分线相等； （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半； （6）等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行； （7）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高； （8）等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高. 知识点2 等腰三角形的判定 1.利用定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形. 2.判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 知识点3 等边三角形的性质 1.性质：等边三角形的各角都等于60°. 【提示】 （1）等边三角形的三边都相等； （2）每条边上的中线、高和所对角的平分线都互相重合； （3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴； （4）等边三角形的外心（中垂线交点）、内心（角平分线交点）、重心（中线交点）、垂心（高的交点）四心合一. 知识点4 等边三角形的判定 1.判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 2.判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3.判定3：三条边都相等的三角形是等边三角形. 【提示】 等边三角形的面积计算公式：（为边长，为高，） 题型专练 题型1. 等边对等角 【例1】（2025·河北邯郸·三模）如图，，点为线段上一点．若，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】该题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据得出，，，结合等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：， ，，， ． 又， ， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的度数为 ． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键； 利用平行线的性质，推出，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【例3】（24-25八年级下·全国·假期作业）等腰三角形的底角比顶角大，求各个角的度数． 【分析】本题考查等腰三角形的性质。涉及等腰三角形角的度数计算，常借助三角形内角和定理，设未知数建立方程求解．利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理，通过设未知数建立方程求解． 【详解】解：设顶角为x，则底角为． 根据三角形内角和为，可得 ， 解得， ∴底角为． ∴三个角分别是，，． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．有两种情况（顶角是和底角是时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数． 【详解】如图所示，中，． 有两种情况： 当顶角时 当底角是时， ， ， ， ， 这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 【变式2】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，直线，直线EF分别交AB，CD于点E，F，点G，H分别在射线FC，射线FD上，且．若，则的度数为 ．    【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质得，，从而可求，再求出，然后利用平行线的性质即可求解． 【详解】， ， ， ， ． ， ． ∵， ， ． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图：网格中每个小正方形的边长均为1，等腰的三个顶点在小正方形的顶点上，按要求完成以下问题： 在图中，用一条线段将分成2个全等的直角三角形． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定．因为等腰三角形，则过点A作，结合网格特征，得，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示：即为所求， ． 题型2. 三线合一 【例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ） A． B．平分 C． D． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确． 【详解】解：∵中，，D是中点 ∴，即平分， 故A、B、C三项正确， D不正确． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，等边周长是18，是的平分线，则 ． 【分析】本题考查等边三角形的性质，“三线合一”，根据等边三角形三边相等可得，根据“三线合一”可得是的中线，即可得出． 【详解】解：等边周长是18， ， 是的平分线，， 是的中线， ， 故答案为：3． 【例3】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C 【变式1】（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，点D在边上，，E为的中点，若，则的大小为 ． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质是关键；由，E为的中点，求得；再由及三角形外角的性质即可求得的大小． 【详解】解：∵，E为的中点， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E在上，且，若，求的度数． 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 利用等边对等角，三线合一和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，且．求的度数． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三线合一，三角形的内角和等知识点，解决此题的关键是合理利用三线合一；先根据三线合一得到是等腰顶角的角平分线，运用等边对等角和三角形内角和即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型3. 根据等角对等边证明 【例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，的边、均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长度是（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 【分析】该题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，根据平行线的性质得，结合，证出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______ ）． _______． （________ ）． 同理可得_______． 周长 _______． 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则可证明得到，同理可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：平分， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （等角对等边）． 同理可得． 周长 ． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交AB于点，交AC于点，若，，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质．根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，再根据三角形周长公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴的周长为． 故选：C 【变式2】（2025·海南·一模）如图，在中，于点，已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【分析】（1）证明，得到，由可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等角对等边，掌握全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ， ， 又，， ； （2）证明∵， ， ， ， ， ． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）某卡通形象如图所示，其中射线是的外角平分线，且．请判断该卡通形象头部的形状，并说明理由． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和平行线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键． 根据得出，，再根据平分线得出，等量代换得出即可证明． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下， ， ，， 是的外角的平分线， ， ， ， 是等腰三角形． 题型4. 根据等角对等边求边长 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 首先根据角平分线的性质得出，进而利用平行线的性质得出，即可得出进而求出即可． 【详解】解：平分交于， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】本题考查了等角对等边．根据等角对等边求得，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为， 故选：B． 【例3】（2025·江苏连云港·一模）如图，已知，，与交于点M．过点C作，过点B作，与交于点N． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）先根据得出，再结合平行线的性质得，，则，即可作答． 【详解】（1）证明：在与中， ∵，，， ∴． （2）解：如图： 由（1）知． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∴． 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在△中，O是上的任意一点（不与点A、C重合）过点O平行于的直线l分别与、的外角的平分线交于点E、F．若，则的长是（    ） A．4 B． C．8 D．9 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，根据平行线性质和角平分线定义推出，根据等腰三角形的判定推出，然后运用等量代换得． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， 故选；D． 【变式2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等角对等边、角平分线的定义，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点，利用全等三角形的判定定理证出，得出，，由得到，再利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 的长为10． 【变式3】（24-25八年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，，点是边上一点，点为外的任意一点，连接，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【分析】本题考查全等三角形的判定，等角对等边； （1）先证明，再利用证明即可； （2）由可得，根据即可求出的周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 题型5. 等腰三角形的性质和判定综合 【例1】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）在中，是的中点，交于点． (1)求的度数； (2)求证： 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，根据已知，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，，根据垂直的定义得出，进而得出，根据等角对等边，即可求解． 【详解】（1）解：，是的中点        即   又     （2）证明：∵，， ∴， ，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，判断与之间的数量关系，并说明理由． 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及同角的余角相等，先求出，，，进而证明，即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ，是的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【例3】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，为边上一点，的角平分线交于，且，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质． （1）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，推出，再利用等腰三角形的性质即可证明； （2）利用三角形周长公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵为BC的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴的周长． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，，求的长． 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知，是上一点，于，的延长线交的延长线于，求证：△是等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及判定的理解及运用,解决本题的关键是要熟练掌握等腰三角形的判定．根据等腰三角形的性质得到，再根据等角的余角相等得到，再由，根据等角对等边判定是等腰三角形． 【详解】证明：∵， ∴（等边对等角）， ∵， ∴， ∴， ∴（等角的余角相等）， ∵（对顶角相等）， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，交于点，点在线段上，且，，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，证明是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，则可由证明，据此可证明结论； （2）由三角形外角的性质可得，由全等三角形的性质可得，，则，再由等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴． 题型6. 等边三角形的性质 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知和均为等边三角形，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，等边三角形的性质，因为和均为等边三角形，由等边三角形的性质得到，，，再利用角与角之间的关系求得，则，故可求． 【详解】解：∵ 和均为等边三角形， ∴ ，，， ∵ ，， ∴ 在和中 ∴ ∴ 故选：B． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．求证：． 【分析】本题考查等边三角形中求角度，涉及“一线三等角”模型，先利用等边三角形的性质可得，从而利用三角形外角性质得到，再由已知条件即可得证．熟记等边三角形性质、三角形外角性质是解决问题的关键． 【详解】证明：是等边三角形， ， 是的一个外角， ， ，， ． 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．若，．求的长． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差等内容，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，然后证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，都是等边三角形， ∴， ， 即， ∴， ∴， ∴， ∴的长为3． 【变式1】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，分别以，为边作两个等边和，连接并延长交于点D． (1)求的度数； (2)求证：． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）证明， 得出即可； （2）先分别求出，，得出，根据等角对等边求出结果即可． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， ， ∴， ∴． 【变式3】（2025·福建福州·三模）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由等边三角形得到，然后证明出，进而证明出． 【详解】证明：为等边三角形， ， ， ， 在和中， ． 题型7. 等边三角形的判定 【例1】（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 【例2】（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，在中，，求证：是等边三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定等知识，先根据等角对等边证明，然后根据并结合等边三角形的定义即可得证． 【详解】证明：， ， 又， 是等边三角形． 【例3】（24-25八年级上·吉林四平·期末）如图，为的角平分线，过点A作交的延长线于点E．若，则是__________三角形，并写出推理过程． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定，平行线的性质是解答此题的关键．先由得，再根据角平分线的定义得，然后根据平行线的性质得，，进而得，据此可得出结论． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【变式1】（24-25八年级下·四川达州·期中）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【分析】本题考查了等边 三角形的判定、轴对称图形，如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形，有一个内角为的等腰三角形是等边三角形． 【详解】解：三角形是轴对称图形， 这个三角形一定是等腰三角形， 又这个三角形有一个内角为， 这个三角形一定是等边三角形． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定．利用证明，得到，推出，利用等角对等边求得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【变式3】（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，是角平分线，，过点作，垂足为．    (1)若，求与之间的数量关系； (2)若，，，求的长； (3)若，为线段（不与点，重合）上任意一点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数． 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由题意得，得到是等边三角形，结合是角平分线，再利用三线合一性质可得，即可得出结论； （2）过点作于点，利用角平分线的性质定理得到，利用和三角形的面积公式即可求出的长； （3）利用角平分线的定义和三角形外角的性质求出，由是以为腰的等腰三角形，分2种情况①；②，利用三角形内角和定理分别求出对应的的度数即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 是等边三角形， 又是角平分线， ， 与之间的数量关系为． （2）解：如图，过点作于点，    是角平分线，，， ， ， ，即， 解得：， 的长为3． （3）解：， ， 又是角平分线， ， ， ， ， 是以为腰的等腰三角形， 或， ①若，则； ②若，则； 综上所述，的度数为或．    题型8. 等边三角形的性质与判定综合 【例1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 【例2】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键． （1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， 所以； （2）解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 【例3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接，若线段，求的长． 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【例4】（2025·陕西·模拟预测）如图，在四边形中，，，为对角线延长线上一点，且，连接．若，求证：． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，先根据平行线的性质得出，再证明是等边三角形，进而得出，，再证明，进而可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴． ∴． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，等边三角形的判定方法． （1）由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理即可求出； （2）由垂直的定义得到，由直角三角形三角形的性质求出，得到，判定是等边三角形． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 由（1）知， ， ， ， 是等边三角形． 【变式2】（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）在等边中，F为边上的点，作，延长与交于点D，截取，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：是等边三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边对等角，等边三角形的判定， 对于（1），根据“边角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（2），先根据全等三角形的性质得，，再根据“等边对等角”得，则答案可证； 对于（3），根据全等三角形的对应角相等得，进而得出， 再根据“有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形”得出答案. 【详解】（1）证明：在和中，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴平分； （3）证明：∵， ∴， ∴. 又∵， ∴为等边三角形． 【变式3】（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，通过已知条件和图形分析，逐步推导出各个角的度数是解题的关键． （1）通过，得到，再由，证明是等边三角形； （2）由（1）得到是等边三角形，，根据，得到，最后由得到是直角三角形； 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【变式4】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）实践与探究 【提出问题】是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点，连接．猜想的形状． 兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量和的长度，结果如下： 的长度 的长度 小明 2.6 2.6 小丽 3.4 3.4 小亮 4.1 4.1 根据以上数据，猜想：是___________三角形． 【解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你补全证明过程． 证明：如图，在边上截取，连接． 是___________三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可作答． （2）理解题意，结合上下已有的过程，先结合等边三角形的性质得出，因为平分以及进行角的等量代换得，再证明，然后进行角的整理，得，即可作答． 【详解】解：[提出问题] ∵根据所测的数据得出 ∵ ∴是等边三角形； 故答案为：等边 [解决问题] 在边上截取，连接． 是等边三角形， ， ∵ ∴ ． 平分 ． 在和中， ． ， 是等边三角形． 巩固练习 一、单选题 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（ ） A． B． C．1 D． 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点，利用全等三角形判定证出，得到，，再证出，得到，再利用线段和差即可求出的长． 【详解】解：作交的延长线于点， 是边长为3的等边三角形， ，， ， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，绕点逆时针旋转后得到，点落在边上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，从而得出，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，是的角平分线，点，是上的两点，连接，，，．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B． C．6 D． 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，全等三角形的判定和性质． 根据等腰三角形三线合一可得，，证明，，可知阴影部分的面积是面积的一半，进而计算即可． 【详解】解：，是的角平分线， ，，， ∵，， ∴，， ∴阴影部分的面积是面积的一半 ，， 阴影部分的面积． 故选：B． 4．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（  ） A．5 B．5或8 C． D．4或 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，等边对等角，解题的关键是分情况讨论． 根据题意分情况讨论，分别根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， 根据题意得，， ①当时，， ②当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ③若时，点P在延长线上，不符合题意． 综上所述，t的值是5或8． 故选：B． 5．（2025·新疆伊犁·模拟预测）在三角形的三个内角中，如果满足其中一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”，其中内角称为“主智慧角”，内角称为“次智慧角”．如图，在中，，，为边上一点，连接．若是“智慧三角形”，且为“主智慧角”，为“次智慧角”，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质．利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，利用“智慧三角形”的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为“主智慧角”，为“次智慧角”， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点． 设点P、Q的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， 设点P、Q的运动时间为， ∴， ∴ 若与全等．则有： ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴， ∴． 故点Q的运动速度为． 所以，点的运动速度为或 故选：D． 7．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 8．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针转得到，以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定与性质，根据旋转的性质可得，，，，由此即可判断结论①和③正确；根据角的和差可得，再根据平行线的判定即可判断结论②正确；假设，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，这与相矛盾，由此即可判断结论④错误． 【详解】解：∵将绕点A逆时针转得到， ∴，，，， ∴①和③正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴②正确，符合题意； 假设，则， ∴是等边三角形， ∴，这与相矛盾， ∴假设不成立，④错误，不符合题意； 综上所述，结论正确的有①②③， 故选：A． 9．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为E，D，且点D恰好在线段上，以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（    ）个． A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】此题考查了旋转的性质，四边形内角和，等腰直角三角形的性质和判定， 由旋转的性质可得，，，，由等腰直角三角形的性质和四边形内角和可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得，，故①错误； 由旋转的性质可得，图形可得， 等量代换得，故②正确； 由旋转的性质可得旋转角，故③正确； 和是等腰直角三角形，，故④正确； 由旋转的性质可得， 点D在线段上，， 等量代换得，故⑤正确； 已证明， 又∵，四边形内角和为， ∴．故⑥正确； 综上：正确的有②③④⑤⑥，共5个； 故选：B． 10．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．①③⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③正确；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：和是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ，故正确； 故选：C． 二、填空题 11．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，已知点是边的中点，点在边上，沿线段折叠，使点落在边的点处，若，则的度数为 ． 【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及其推论，弄清题目中角的关系是解题的关键． 先证出，进而证出，再由可求出的度数． 【详解】解：是边的中点， ， 是由折叠得到的， ，， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．由题意可知，是等腰直角三角形，则，由折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据点的分为分两种情况分别求解即可． 【详解】解：，为等腰三角形， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 如图1，当点在上时，，则； 如图2，当点在的延长线上时，，则； 综上可知，的长为或 故答案为：或． 14．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与按如图位置摆放，点D在的边上，， ，与相交于点F，请你补充一个条件： ，使．（填一个即可） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，补充一个条件：，使，理解题意，因为以及得出，再根据，得出，即可作答． 【详解】解：补充一个条件：，使． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 或者添加条件是， 与上述同理得， ∵，， ∴， 或者添加条件是， 与上述同理得， ∵，， ∴， 故答案为：或或（答案不唯一） 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作的平行线，交的延长线于点，证得后即可证得，然后利用等边三角形的性质可得，即可求得的长，解题的关键是正确的作出辅助线． 【详解】解：过点作的平行线，交的延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵、都是等边三角形， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图：O是等边内一点，线段以C为旋转中心顺时针旋转得到，连接、、、，若，当是等腰三角形，则 度． 【分析】由等边三角形的性质得，，由旋转得，，则是等边三角形，所以，推导出，再证明≌，则，再分三种情况讨论，一是，则，所以，而，则，求得，则；二是，则，所以，求得，则；三是，则，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， 线段以C为旋转中心顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形，， ， 在和中， ， ≌， ， 当是等腰三角形，且时，则， ， ，且， ， ， ； 当是等腰三角形，且时，则， ， ， ； 当是等腰三角形，且时，则， ， ， ， 综上所述，的度数为或或， 故答案为：110或125或140． 【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、“等边对等角”、三角形内角和定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，证明，并且正确地求出的度数是解题的关键． 17．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，点D在内部，且满足，若，则的面积为 ． 【分析】由可证，可得，即可求解．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点B作直线于H， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：18． 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，中，，，D，E，F分别是上的动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 【分析】本题考查了轴对称图形，垂线段最短，三角形内角和定理，三角形的外角性质．作关于的对称线段，作点关于的对称点，过点作的垂线，垂足为，交于点，交于点，由垂线段最短知的最小值为线段的长，求得，利用直角三角形的性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：作关于的对称线段，作点关于的对称点，过点作的垂线，垂足为，交于点，交于点， ∵，， ∴， 由垂线段最短知的最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为 ． 【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题关键．由题意可得，由折叠可知，又，所以，得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（24-25七年级下·全国·期中）如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，并延长交于点F，以下结论：①；②；③；其中正确的有 ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键，只要证明即可解决问题． 【详解】解：平分 ， ，故①正确， ， ， ， ， ， ， ，故②正确， ， ， ， ，故③正确， 故答案为：①②③． 三、解答题 21．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，平分，，求的度数． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以得到和的度数，再根据平分，即可得到的度数，然后根据，即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ． 22．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，．求证：． 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．等边对等角，得到，三角形的外角，推出，进而证明，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·陕西西安·期末）综合与实践 问题情境： 如图1，在四边形中，，，E是一点，连接，，，． 问题探究： (1)求证：是等腰直角三角形； (2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形，，，点B，E，C在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，E，C在直线上，，，若，，求的长． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先运用证明可得，再说明即可证明结论； （2）证明可得，然后根据线段的和差即可解答； （3）先根据三角形外角的性质、角的和差以及已知条件可得，再证明可得，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，点在上，，平分，交于点，点是线段的中点，连接与相等吗？请说明理由． 解：结论：__________ 理由： ∵平分 ∴________ ∵________+________．（________ ） 又∵， ∴__________+__________ ∴__________ 请完成后面的说理过程： 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出是解题关键，利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案． 【详解】解：结论： 理由： ∵平分（已知） ∴（角平分线的意义） ∵．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又∵， ∴， ∴（等量代换）， （等角对等边）， 点F是线段的中点 ∴（线段中点的意义）， （等腰三角形的三线合一）． 25．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，是中线，作关于的轴对称图形． (1)直接写出和的位置关系； (2)连接，写出和的数量关系，并说明理由； (3)当，时，在上找一点P，使得点P到点C与到点E的距离之和最小，求的面积． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称性图形的性质，全等三角形的性质和判定， 对于（1），根据对称性得出答案； 对于（2），先根据等腰三角形的性质得，再根据对称性得，可得答案； 对于（3），连接交于点P，此时的值最小，再证明，可得，然后根据面积公式可得答案． 【详解】（1）解：． ∵关于对称， ∴； （2）解：连接EC．结论：． 理由：∵是中线，， ∴． ∵关于对称， ∴， ∴； （3）解：连接交于点P，此时的值最小． ∵，，， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 26．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，是边延长线上一点，连接，过作，且，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角． （1）根据题意、，只需证明其对应两边的夹角相等即可证明； （2）根据等边对等角得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到，进而可知，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ， ∴， ． 27．（24-25七年级下·江西吉安·期末）在四边形中． (1)如图（1），若平分，，，则线段、的长度满足的数量关系是_____．（直接填答案） (2)如图（2），C是边的中点，若平分，，说明线段、、的长度满足的数量关系． (3)如图（3），C是边的中点，平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？ 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）证明即可得到结论； （2）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （3）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中， ∴． ∴，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． （3）解：，理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． 28．（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与探究 【问题情境】 在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片与进行摆放，使直角顶点重合．如图1，已知，与交于点，与交于点，与交于点，连接并延长，交于点．点是否是线段的中点？ 【特例研究】 （1）勤学小组将它们按图2方式摆放，点在上，点在上，此时点与点重合，点与点重合，同学们发现此时可以先证，再证，进而说明点是线段的中点，请你写出推理过程 【一般探究】 （2）善思小组受到启发，可以先证，再利用勤学小组的方法说明点是线段的中点，请说明理由． 【变式探究】 （3）智慧小组继续改变摆放位置进行探究，且与始终有重合部分，若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先证明，再证明，然后由等腰三角形的三和合一说理即可； （2）先证明，再证明，然后证明，然后由等腰三角形的三和合一说理即可； （3）分三种情况讨论，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以，即． 在和中， 因为， 所以． 所以． 在和中， 因为 所以． 所以． 又因为， 所以，即点是线段的中点； （2）因为， 所以，即， 因为， 所以， 在和中， 因为， 所以， 所以， 所以，即． 在和中， 因为， 所以， 所以， 在和中， 因为， 所以． 所以， 又因为， 所以，即点是线段的中点． （3）分三种情况讨论： ①当时　，， 所以， 因为，所以不符合题意； ②当时，， 所以， ③当时，， 所以 综上，的度数为或． 29．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在面对复杂数学问题时，“特殊化与转化”是重要的问题解决策略．从特殊图形出发．将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，将一般转化为特殊，有助于我们发现解决问题的思路． 【问题背景】如图1，在等边中，D、E分别为边、上任意一点，且，连接、，与相交于点O． 【特例感知】（1）当点D为中点，点E为中点时，请直接写出线段与的数量关系______，______； 【一般探究】（2）当D、E分别为边，上任意一点时，第一问的结论还成立吗？请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，在等边中，P、M分别为边、上的点，且，过点P作交于点Q，交于点G；过点M作交于点N，交于点F，则： ①_____； ②求证：． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，由点D为中点，点E为中点，得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）①根据平行线的性质得到即可得到结论； ②根据三角形内角和定理得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为中点，点E为中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：第一问的结论还成立，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）①解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60； ②证明：∵，， 且， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点评】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 30．（2025·湖北武汉·模拟预测）问题提出 如图1，在中，分别是的角平分线和高，于点交于点，记，探究与的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出： ①与的数量关系； ②与的数量关系． （2）再探究一般情形，如图1，当时，证明（1）中的两个结论依然成立． 问题拓展 （3）如图1，若，请直接写出用含的式子表示的值． 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、三角内角和定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①证明，，即可得到结论；②证明，，即可得到结论； （2）利用等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等进行证明即可； （3）根据（2）中的结论进行解答即可； 【详解】解：（1）①解：当时， ∴，， ∵分别是的角平分线和高， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴． ②∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）①平分 ， ， ， ， ， ②如图1，在上取点，连接，使得， 则， ， 设，则， （3）． 设， 由（2）得：， 所以， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 05讲 等腰三角形 题型归纳 【题型1. 等边对等角】………………………………………………………………… 3 【题型2. 三线合一】…………………………………………………………………… 4 【题型3. 根据等角对等边证明】……………………………………………………… 6 【题型4. 根据等角对等边求边长】…………………………………………………… 8 【题型5. 等腰三角形的性质和判定综合】…………………………………………… 10 【题型6. 等边三角形的性质】………………………………………………………… 13 【题型7. 等边三角形的判定】………………………………………………………… 15 【题型8. 等边三角形的性质与判定综合】…………………………………………… 17 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 21 知识清单 知识点1 等腰三角形的性质 1.等边对等角：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2.三线合一：底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）. 【提示】 （1）等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴； （2）等腰三角形两腰上的高相等；（3）等腰三角形两腰上的中线相等； （4）等腰三角形两底角的平分线相等； （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半； （6）等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行； （7）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高； （8）等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高. 知识点2 等腰三角形的判定 1.利用定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形. 2.判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 知识点3 等边三角形的性质 1.性质：等边三角形的各角都等于60°. 【提示】 （1）等边三角形的三边都相等； （2）每条边上的中线、高和所对角的平分线都互相重合； （3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴； （4）等边三角形的外心（中垂线交点）、内心（角平分线交点）、重心（中线交点）、垂心（高的交点）四心合一. 知识点4 等边三角形的判定 1.判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 2.判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3.判定3：三条边都相等的三角形是等边三角形. 【提示】 等边三角形的面积计算公式：（为边长，为高，） 题型专练 题型1. 等边对等角 【例1】（2025·河北邯郸·三模）如图，，点为线段上一点．若，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的度数为 ． 【例3】（24-25八年级下·全国·假期作业）等腰三角形的底角比顶角大，求各个角的度数． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，直线，直线EF分别交AB，CD于点E，F，点G，H分别在射线FC，射线FD上，且．若，则的度数为 ．    【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图：网格中每个小正方形的边长均为1，等腰的三个顶点在小正方形的顶点上，按要求完成以下问题： 在图中，用一条线段将分成2个全等的直角三角形． 题型2. 三线合一 【例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ） A． B．平分 C． D． 【例2】（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，等边周长是18，是的平分线，则 ． 【例3】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，点D在边上，，E为的中点，若，则的大小为 ． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E在上，且，若，求的度数． 【变式3】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，且．求的度数． 题型3. 根据等角对等边证明 【例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，的边、均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长度是（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______ ）． _______． （________ ）． 同理可得_______． 周长 _______． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交AB于点，交AC于点，若，，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式2】（2025·海南·一模）如图，在中，于点，已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【变式4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）某卡通形象如图所示，其中射线是的外角平分线，且．请判断该卡通形象头部的形状，并说明理由． 题型4. 根据等角对等边求边长 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【例3】（2025·江苏连云港·一模）如图，已知，，与交于点M．过点C作，过点B作，与交于点N． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在△中，O是上的任意一点（不与点A、C重合）过点O平行于的直线l分别与、的外角的平分线交于点E、F．若，则的长是（    ） A．4 B． C．8 D．9 【变式2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 【变式3】（24-25八年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，，点是边上一点，点为外的任意一点，连接，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 题型5. 等腰三角形的性质和判定综合 【例1】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）在中，是的中点，交于点． (1)求的度数； (2)求证： 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，判断与之间的数量关系，并说明理由． 【例3】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，为边上一点，的角平分线交于，且，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，，求的长． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知，是上一点，于，的延长线交的延长线于，求证：△是等腰三角形 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，交于点，点在线段上，且，，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 题型6. 等边三角形的性质 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知和均为等边三角形，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．求证：． 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．若，．求的长． 【变式1】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，分别以，为边作两个等边和，连接并延长交于点D． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式3】（2025·福建福州·三模）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 题型7. 等边三角形的判定 【例1】（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，在中，，求证：是等边三角形． 【例3】（24-25八年级上·吉林四平·期末）如图，为的角平分线，过点A作交的延长线于点E．若，则是__________三角形，并写出推理过程． 【变式1】（24-25八年级下·四川达州·期中）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 【变式3】（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，是角平分线，，过点作，垂足为．    (1)若，求与之间的数量关系； (2)若，，，求的长； (3)若，为线段（不与点，重合）上任意一点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数． 题型8. 等边三角形的性质与判定综合 【例1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【例2】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【例3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接，若线段，求的长． 【例4】（2025·陕西·模拟预测）如图，在四边形中，，，为对角线延长线上一点，且，连接．若，求证：． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【变式2】（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）在等边中，F为边上的点，作，延长与交于点D，截取，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：是等边三角形． 【变式3】（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【变式4】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）实践与探究 【提出问题】是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点，连接．猜想的形状． 兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量和的长度，结果如下： 的长度 的长度 小明 2.6 2.6 小丽 3.4 3.4 小亮 4.1 4.1 根据以上数据，猜想：是___________三角形． 【解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你补全证明过程． 证明：如图，在边上截取，连接． 是___________三角形． 巩固练习 一、单选题 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（ ） A． B． C．1 D． 2．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，绕点逆时针旋转后得到，点落在边上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，是的角平分线，点，是上的两点，连接，，，．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B． C．6 D． 4．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（  ） A．5 B．5或8 C． D．4或 5．（2025·新疆伊犁·模拟预测）在三角形的三个内角中，如果满足其中一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”，其中内角称为“主智慧角”，内角称为“次智慧角”．如图，在中，，，为边上一点，连接．若是“智慧三角形”，且为“主智慧角”，为“次智慧角”，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（　　） A． B． C．或 D．或 7．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 8．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针转得到，以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为E，D，且点D恰好在线段上，以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（    ）个． A．6 B．5 C．4 D．3 10．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．①③⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题 11．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，已知点是边的中点，点在边上，沿线段折叠，使点落在边的点处，若，则的度数为 ． 12．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 13．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 14．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与按如图位置摆放，点D在的边上，， ，与相交于点F，请你补充一个条件： ，使．（填一个即可） 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么 16．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图：O是等边内一点，线段以C为旋转中心顺时针旋转得到，连接、、、，若，当是等腰三角形，则 度． 17．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，点D在内部，且满足，若，则的面积为 ． 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，中，，，D，E，F分别是上的动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 19．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为 ． 20．（24-25七年级下·全国·期中）如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，并延长交于点F，以下结论：①；②；③；其中正确的有 ． 三、解答题 21．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，平分，，求的度数． 22．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，．求证：． 23．（24-25七年级下·陕西西安·期末）综合与实践 问题情境： 如图1，在四边形中，，，E是一点，连接，，，． 问题探究： (1)求证：是等腰直角三角形； (2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形，，，点B，E，C在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，E，C在直线上，，，若，，求的长． 24．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，点在上，，平分，交于点，点是线段的中点，连接与相等吗？请说明理由． 解：结论：__________ 理由： ∵平分 ∴________ ∵________+________．（________ ） 又∵， ∴__________+__________ ∴__________ 请完成后面的说理过程： 25．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，是中线，作关于的轴对称图形． (1)直接写出和的位置关系； (2)连接，写出和的数量关系，并说明理由； (3)当，时，在上找一点P，使得点P到点C与到点E的距离之和最小，求的面积． 26．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，是边延长线上一点，连接，过作，且，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 27．（24-25七年级下·江西吉安·期末）在四边形中． (1)如图（1），若平分，，，则线段、的长度满足的数量关系是_____．（直接填答案） (2)如图（2），C是边的中点，若平分，，说明线段、、的长度满足的数量关系． (3)如图（3），C是边的中点，平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？ 28．（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与探究 【问题情境】 在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片与进行摆放，使直角顶点重合．如图1，已知，与交于点，与交于点，与交于点，连接并延长，交于点．点是否是线段的中点？ 【特例研究】 （1）勤学小组将它们按图2方式摆放，点在上，点在上，此时点与点重合，点与点重合，同学们发现此时可以先证，再证，进而说明点是线段的中点，请你写出推理过程 【一般探究】 （2）善思小组受到启发，可以先证，再利用勤学小组的方法说明点是线段的中点，请说明理由． 【变式探究】 （3）智慧小组继续改变摆放位置进行探究，且与始终有重合部分，若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 29．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在面对复杂数学问题时，“特殊化与转化”是重要的问题解决策略．从特殊图形出发．将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，将一般转化为特殊，有助于我们发现解决问题的思路． 【问题背景】如图1，在等边中，D、E分别为边、上任意一点，且，连接、，与相交于点O． 【特例感知】（1）当点D为中点，点E为中点时，请直接写出线段与的数量关系______，______； 【一般探究】（2）当D、E分别为边，上任意一点时，第一问的结论还成立吗？请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，在等边中，P、M分别为边、上的点，且，过点P作交于点Q，交于点G；过点M作交于点N，交于点F，则： ①_____； ②求证：． 30．（2025·湖北武汉·模拟预测）问题提出 如图1，在中，分别是的角平分线和高，于点交于点，记，探究与的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出： ①与的数量关系； ②与的数量关系． （2）再探究一般情形，如图1，当时，证明（1）中的两个结论依然成立． 问题拓展 （3）如图1，若，请直接写出用含的式子表示的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$