精品解析：河南省周口市太康县灵运初级中学2024—2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度太康县灵运初级中学九年级 数学12月月考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 如图，滑雪场有一坡度的滑雪道，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度为20米，则滑雪道的长为（ ） A. 60米 B. 米 C. 米 D. 80米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：∵滑雪道的坡度为， ， 米， 米， 由勾股定理得：米， 故选：B． 2. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用网格求三角形面积，勾股定理，锐角三角函数，作于点，利用勾股定理得到、，结合等面积法，进而得到，最后利用余弦定义求解，即可解题． 【详解】解：作于点， 由图知，，， ， ， 即，解得， ， 的值为， 故选：B． 3. 已知点在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，抛物线开口向下，图象上的点离对称轴越近，其纵坐标越大，由此即可解答． 【详解】解：∵开口向下，对称轴， ∴离对称轴越近，相对应的y值越大， ∵， ∴， 故选：C． 4. 已知二次函数的最小值是（ ） A. 7 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了把二次函数解析式通过配方成顶点式求二次函数的最值的方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 将二次函数解析式配方成顶点式即可求解． 【详解】解：将二次函数的解析式配方成顶点式得： ， ∴当时，二次函数有最小值为：， 故选：D． 5. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 6. 从2，，三个数中任选一个作为二次函数 中的b的值，则所得的抛物线不经过第四象限的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，由抛物线不经过第四象限得出与x轴的交点不在正半轴或顶点在轴上，所以，即，从所列三个数中找到的个数，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：∵抛物线不经过第四象限，， ∴抛物线x轴的交点不在正半轴或顶点在轴上， ∴，即， 从2，，三个数中随机选取一个数，共有3种等可能结果，其中使该抛物线不经过第四象限的概率的有1种结果， ∴该所得的抛物线不经过第四象限的概率是， 故选：A． 7. 如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意判断出△CBA∽△CAD，从而利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵BC＝8，AD是中线， ∴CD＝BD＝4， 在△CBA和△CAD中， ∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C， ∴△CBA∽△CAD， ∴， ∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32， ∴AC＝4； 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 8. 如图与是位似图形，点O是位似中心，若，，求（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，求两个位似图形的相似比，相似三角形的判定与性质综合等知识点，熟练掌握位似图形的性质以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，，由可得，由可得，于是可得，根据相似三角形的性质可得，据此即可得出答案． 【详解】解： 与是位似图形，点O是位似中心， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为6，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的性质结合相似比得出的长和，得到，得出的长，进而求出D点坐标． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴点坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换以及相似三角形的判定与性质．正确得出的长是解题的关键． 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．⑤，其中正确的有（）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小；当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；当与同号时，对称轴在轴左侧；当与异号时，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．也考查了数形结合的思想．由抛物线的开口方向得到，由抛物线的性质得到对称轴，则利用对称轴方程得到，由抛物线与轴的交点位置得，则可对①进行判断；再利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点为，即时，，则可对②进行判断；由于抛物线与轴的交点坐标为，利用抛物线的对称性得到点关于直线的对称点为，则利用函数图象，当时，，于是可对③进行判断；由于当，，加上，，所以，然后用表示，用表示，从而可对④进行判断；由题意可得二次函数的最小值为，所以，从而可对⑤进行判断， 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ，所以①正确； 抛物线与轴的一个交点为，抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点为， 即时，， ，所以②正确； 抛物线与轴的交点坐标为， 而点关于直线的对称点为， 当时，则，所以③正确； 当时，， ，， ， ， 而， ，所以④正确． 抛物线的顶点坐标为，， 二次函数的最小值为， ， ， ∴⑤错误． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 在中，若，为锐角，且，的形状是___________三角形． 【答案】等边 【解析】 【分析】先根据非负数的性质得到，再根据特殊角三角函数值求出的度数，然后根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ，， ， 的形状是等边三角形． 12. 如图，在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形，旋转以及勾股定理，根据正六边形的性质以及勾股定理求出，，进而确定点A的坐标，再根据旋转分别得出旋转1次、2次、3次、4次、5次、6次所对应点的坐标，由规律可得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴点A的坐标为， 第1次顺时针旋转，点A的对应点与点F重合，坐标为， 第2次顺时针旋转，点A的对应点与点E重合，坐标为， 第3次顺时针旋转，点A的对应点与点D重合，坐标为， 第4次顺时针旋转，点A的对应点与点C重合，坐标为， 第5次顺时针旋转，点A的对应点与点B重合，坐标为， 第6次顺时针旋转，点A的对应点与点A重合，坐标为， 第7次顺时针旋转，点A的对应点与点F重合，坐标为， …… 每6个一循环，则， 第2024次顺时针旋转，点A的对应点与点E重合，坐标为， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 15. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据函数图像特点求出最大值和最小值即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数有最大值； ∵， ∴当时，函数值， 当时，函数值， ∴当时，函数值y的取值范围是：， 故答案为：． 三、解答题 16. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质．根据零指数幂的运算法则，负数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数，绝对值的性质即可解答． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，，，，，求的长和的值． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了三角函数值和勾股定理，解题的关键是找出直角三角形并解直角三角形． 由，根据三角函数可得，根据勾股定理可得，则，再根据正切的定义求出的值． 【详解】解：∵， ， ， ， 根据勾股定理可得，则， ． 18. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，嘉嘉从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“自”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词）． 19. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1） 解：如图所示，点为所作； （2） 解：如图所示，为所作； （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 20. 走走和莹莹要使用无人机采集一组航拍资料．如图，在航拍时，莹莹在处测得无人机的仰角为，同时走走登上斜坡的处测得无人机的仰角为．若走走所在斜坡的坡比为，铅垂高度米（点，，，在同一水平线上）． （1）求莹莹和走走两人之间的距离；（结果保留根号） （2）求此时无人机的高度．（，，，结果精确到1米） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，坡比问题，仰角俯角问题，掌握三角函数关系是解题的关键． （1）根据坡比的定义和勾股定理即可求解； （2）过点作于点，解即可求解． 【小问1详解】 解：走走所在斜坡的坡比为，铅垂高度米， （米， （米； 答：莹莹和走走两人之间的距离为米； 【小问2详解】 解：设米，如图所示，过点作于点， ，米，则米， ， 米， 米， 在中，， ， 解得：， 米． 答：此时无人机的高度约为米． 21. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为； （2） 【解析】 【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； 【小问2详解】 当时，， ∴ 解得：，， 如图，当时， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 22. 如图，利用一面墙（墙的长度不限）用20米长的篱笆围成一个矩形场地． （1）怎样围成一个面积为48平方米的矩形场地？ （2）怎样围，才能使矩形场地的面积最大？并求出面积的最大值． 【答案】（1）矩形的长为米、宽为米或长为米、宽为米 （2）矩形的长为米、宽为米时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米 【解析】 【分析】（1）设矩形的宽为米，则矩形的长为米，根据题意可得，解方程即可求出矩形的宽，进而可求出矩形的长； （2）设矩形的宽为米，则矩形的长为米，设矩形场地的面积为平方米，根据题意可得，由此可知矩形场地的面积与矩形的宽成二次函数关系，由二次函数的图象与系数的关系可知函数图象开口向下，然后利用的图象与性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设矩形的宽为米，则矩形的长为米， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，， 当矩形的宽米时，矩形的长为：米； 当矩形的宽米时，矩形的长为：米； 答：当矩形的长为米、宽为米或长为米、宽为米时，可以围成一个面积为平方米的矩形场地； 【小问2详解】 解：设矩形的宽为米，则矩形的长为米，设矩形场地的面积为平方米， 根据题意可得： ， 矩形场地的面积与矩形的宽成二次函数关系， ， 函数图象开口向下， 当时，取得最大值，最大值为， 此时，矩形的长为：米， 答：当矩形的长为米、宽为米时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用——与图形有关的问题，实际问题与二次函数——图形问题，因式分解法解一元二次方程，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质等知识点，熟练掌握一元二次方程的应用及二次函数的应用是解题的关键． 23. 如图所示，已知抛物线经过、两点，点在点左侧． （1）求、值及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1），，顶点坐标为 （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质、面积问题； （1）令，代入解析式可求出、将函数解析式配方成顶点式可得顶点坐标； （2）结合函数图象以及、点的坐标即可得出结论； （3）设，根据三角形的面积公式以及，即可算出的值，代入抛物线解析式即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过、两点，则， 解方程得：， 点在点左侧， ，， ， 顶点坐标为． 【小问2详解】 由函数图象可得当时，． 【小问3详解】 、， ． 设，则， ， ． ①当时，， 解得：，， 此时点坐标为或； ②当时，，则， ∵， ∴方程无解； 综上所述，点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度太康县灵运初级中学九年级 数学12月月考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 如图，滑雪场有一坡度的滑雪道，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度为20米，则滑雪道的长为（ ） A. 60米 B. 米 C. 米 D. 80米 2. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的最小值是（ ） A. 7 B. C. 9 D. 5. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 从2，，三个数中任选一个作为二次函数 中的b的值，则所得的抛物线不经过第四象限的概率是（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 6 D. 4 8. 如图与是位似图形，点O是位似中心，若，，求（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 16 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为6，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．⑤，其中正确的有（）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 在中，若，为锐角，且，的形状是___________三角形． 12. 如图，在中，，，，则______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A的坐标为_____________． 14. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________． 15. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围______． 三、解答题 16. 计算：． 17. 如图，在中，，，，，求的长和的值． 18. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 19. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 20. 走走和莹莹要使用无人机采集一组航拍资料．如图，在航拍时，莹莹在处测得无人机的仰角为，同时走走登上斜坡的处测得无人机的仰角为．若走走所在斜坡的坡比为，铅垂高度米（点，，，在同一水平线上）． （1）求莹莹和走走两人之间的距离；（结果保留根号） （2）求此时无人机的高度．（，，，结果精确到1米） 21. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 22. 如图，利用一面墙（墙的长度不限）用20米长的篱笆围成一个矩形场地． （1）怎样围成一个面积为48平方米的矩形场地？ （2）怎样围，才能使矩形场地的面积最大？并求出面积的最大值． 23. 如图所示，已知抛物线经过、两点，点在点左侧． （1）求、值及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $