第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积及体积（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积及体积 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 4 知识点2 圆柱、圆锥、圆台、球体的结构特征 5 知识点3 圆柱、圆锥、圆台的展开图及侧面积 6 知识点4 柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积 7 知识点5 祖暅原理 7 题型破译 8 题型1 空间几何体的结构特征 8 【方法技巧】空间几何体的结构特征 题型2 柱体的表面积与体积 9 【方法技巧】柱体的表面积与体积 题型3 锥体的表面积与体积 11 【方法技巧】锥体的表面积与体积 题型4 台体的表面积与体积 12 【方法技巧】台体的表面积与体积 题型5 球体的表面积与体积 14 【方法技巧】球体的表面积与体积 题型6 组合体的表面积与体积 15 【方法技巧】组合体的表面积与体积 题型7 数学文化之表面积与体积 17 【方法技巧】数学文化之表面积与体积 题型8 表面积与体积中的最值及范围问题 19 【方法技巧】表面积与体积中的最值及范围问题 04真题溯源·考向感知 20 05课本典例·高考素材 22 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）棱锥的结构特征和分类 （2）柱体体积的有关计算 （3）锥体体积的有关计算 （4）求棱锥的高 单选题 填空题 解答题 北京卷T14（5分） 北京卷T8（4分） 北京卷T14（5分） / 考情分析： 北京卷中，本讲多以选择、填空题（4~5 分，中档） 考查。核心考查：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的结构 特征，表面积与体积公式（含组合体，如挖切、拼接）。易错点：组合体表面积多算 / 漏算重叠面，体积公式记错 （如锥体体积漏乘 1/3）。 复习目标： 1.识别基本立体图形的结构特征，区分柱、锥、球的异同； 2.熟记表面积与体积公式，准确计算简单几何体的表面积和体积； 3.掌握组合体的表面积与体积计算方法（拆分或补形）； 4.结合实际场景（如容器容积），应用几何体度量知识解决问题。 知识点1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 图 形 定 义 有两个面 ，其余各面都是 ，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的多面体 用一个平行于 的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体 结 构 特 征 底面互相平行且全等；侧面都是 ；侧棱都相等且互相平行 底面是一个多边形；侧面都是三角形；侧面有一个公共顶点 上、下底面互相平行且相似；各侧棱延长线交于一点；各侧面为 分 类 ①按底面多边形的边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱… ②按侧棱与底面的关系：侧棱垂直于底面的棱柱叫做 ，否则叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体 ①按底面多边形的边数：三棱锥、四棱锥、五棱锥… ②正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与 的连线垂直于底面的棱锥 ①按底面多边形的边数：三棱台、四棱台、五棱台… ②正棱台：由正棱锥截得的棱台 [注意]常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 自主检测1下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 自主检测2设所有棱柱构成的集合为A，所有直棱柱构成的集合为B，所有长方体构成的集合为C，所有正方体构成的集合为D，则A、B、C、D的关系正确的是（    ） A．DCAB B．CDBA C．DABC D．DCBA 知识点2 圆柱、圆锥、圆台、球体的结构特征 分类 定义 图形及表示 表示 圆柱 以 为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴； 于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，左图记作 圆锥 以 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图记作 圆台 用平行于 的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 用表示它的轴的字母表示，左图记作 球 半圆以它的 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做 ，球面所围成的旋转体叫做 ，简称球．半圆的圆心叫做球的 ；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用球心字母进行表示，左图可表示为 自主检测下列叙述正确的是（   ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 知识点3 圆柱、圆锥、圆台的展开图及侧面积 圆柱 圆锥 圆台 侧面展 开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝ S圆锥侧＝ S圆台侧＝ 其中r，r′为底面半径，l为母线长. [注意]　①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和； ②圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r′）lS圆锥侧＝πrl． 自主检测1圆锥的底面半径是，高是，则它的侧面积是（    ） A． B． C． D． 自主检测2圆台的上、下底面半径分别是，，圆台的高为4，则该圆台的侧面积是（    ） A． B． C． D． 知识点4 柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积 几何体   表面积 体积（S是底面积，h是高） 柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝ 球（R是半径） S＝ V＝ 自主检测1已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 自主检测2已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，3，高为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 自主检测3已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 知识点5 祖暅原理 我国数学家祖暅得出了“幂势既同，则积不容异”这一结论，意思是：夹在平行平面，之间的两个形状不同的几何体，被 平面，的任意一个平面所截，如果截面和的面积 ，那么这两个几何体的体积相等（如图所示）． 自主检测中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底而边长为2，下底而边长为4，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 题型1 空间几何体的结构特征 例1-1下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 例1-2如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 方法技巧 （1）区分基本类型：按结构分为柱体、锥体、台体、球体，明确各自核心特征（如柱体上下底平行且全等，锥体有唯一顶点）。 （2）分析构成要素：关注面（平面或曲面）、棱（直或曲）、顶点的数量与连接方式，如棱柱的侧棱平行且相等。 （3）识别特殊几何体：如正棱柱（底面正多边形且侧棱垂直底面）、正棱锥（底面正多边形且顶点在底面投影为中心），明确其对称性。 （4）区分易混几何体：如圆柱与棱柱（底面分别为圆和多边形）、棱台与圆台（侧面分别为梯形和扇环），从底面和侧面形状判断。 【变式训练1-1·】下列说法中，正确的是（    ） A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆 【变式训练1-2】在三棱柱中，截去三棱锥后，剩余的部分是（    ） A．五棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 题型2 柱体的表面积与体积 例2-1如图，在正三棱柱中，为上一点，，，平面将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（    ）    A． B． C．8 D．9 例2-2如图，直线，，相互平行，且两两之间的距离为1，平面平面，且平面ABC与平面之间的距离为3，直线与平面ABC所成的角为，则三棱柱的体积为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）表面积构成：侧面积加两个底面面积，侧面积由侧面展开图面积确定（如直棱柱侧面为矩形，圆柱侧面为矩形）。 （2）体积计算基础：体积等于底面积与高的乘积，高是两底面之间的垂直距离（直棱柱高为侧棱长，斜棱柱高需单独计算）。 （3）特殊柱体处理：圆柱表面积需算两个圆形底面积和矩形侧面积；正棱柱侧面积可由底面周长乘侧棱长直接计算。 （4）表面积注意点：斜棱柱侧面展开为平行四边形，侧面积需用底面周长乘侧棱长再乘夹角正弦，避免误用直棱柱公式。 （5）体积与尺寸关系：底面积或高变化时，体积成比例变化，可通过比例关系快速计算变化后的体积。 【变式训练2-1】已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm，高为4cm，内孔半径为1cm，则此几何体的表面积是（    ）．    A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知圆柱的高为4，它的表面积与体积的数值之比为2，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 题型3 锥体的表面积与体积 例3-1（2025·北京海淀·三模）已知一个圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则此圆锥的表面积为 ． 例3-2（2025·北京·三模）如图，已知棱长为2的正方体中，动点M ， N， P ， Q分别在棱，， ， 上， 且满足， ， 设.给出下列四个结论： ①当时， 则四面体的表面积为8: ② 存在m、n，使得四面体的表面积为9； ③当 时，四面体的体积为 ④ 四面体.的体积与m、n无关. 其中所有正确结论的序号为 . 方法技巧 （1）表面积构成：侧面积加一个底面面积，侧面积为各侧面面积之和（棱锥侧面为三角形，圆锥侧面为扇形）。 （2）体积核心公式：体积是底面积与高乘积的三分之一，高是顶点到底面的垂直距离（正棱锥高过底面中心）。 （3）特殊锥体计算：圆锥侧面积由底面半径和母线长确定（展开为扇形）；正棱锥侧面积可由底面周长乘斜高（侧面高）的一半计算。 （4）表面积易错点：棱锥侧面需逐个计算面积（非正棱锥各侧面不全等），避免直接用正棱锥公式。 （5）体积与切割关系：锥体被平行于底面的平面截得的小锥体，体积与原锥体体积比为相似比的立方。 【变式训练3-1】（2025·北京·模拟预测）已知正六棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成角的正切值为，则该六棱锥的体积为 . 【变式训练3-2】（2025·北京门头沟·一模）某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，，顶点到底面的距离为3，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-3·变载体】（2025·北京海淀·三模）如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高，分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 题型4 台体的表面积与体积 例4-1（2025·北京丰台·二模）如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（   ） A．18 B． C． D．34 例4-2（2025·北京·模拟预测）如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）表面积构成：侧面积加上下两个底面面积，侧面积为各侧面面积之和（棱台侧面为梯形，圆台侧面为扇环）。 （2）体积计算基础：体积与上下底面积、高相关，可通过补成锥体（用大锥体体积减小锥体体积）计算。 （3）特殊台体处理：圆台侧面积由上下底半径和母线长确定；正棱台侧面积可由上下底周长之和乘斜高的一半计算。 （4）台体与锥体转化：台体可看作锥体截得，上下底半径（或边长）的比等于对应锥体高的比，利用此关系求未知量。 （5）表面积注意点：上下底面为相似图形，计算面积时需分别用对应尺寸，避免混淆上下底参数。 【变式训练4-1】已知正四棱台的体积为，，，则该四棱台的表面积为（   ） A．18 B． C． D． 【变式训练4-2】已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，其侧面积等于上、下底面积之和，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】在四棱台中，下底面为正方形，，，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 题型5 球体的表面积与体积 例5-1将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 例5-2已知圆台的高为3，上､下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例5-3在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 例5-4棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 例5-5已知正三棱台的上、下底面边长分别为，侧棱与底面所成角的正切值为3，则其外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）核心关联量：表面积和体积仅由半径决定，半径是计算的关键参数。 （2）截面性质应用：球体的任意截面是圆，截面圆半径、球半径与球心到截面距离满足特定关系，可据此求半径。 （3）特殊球体处理：半球表面积需加底面圆面积（完整球面的一半加一个圆）；球缺（球体的一部分）体积需结合高度和半径计算。 （4）球与几何体组合：如球内切于正方体（直径等于正方体棱长）、外接于正方体（直径等于体对角线），利用几何关系求半径。 （5）半径确定方法：通过球与其他几何体的位置关系（如相切、顶点在球面上）建立方程，解出半径后计算表面积或体积。 【变式训练5-1】在棱长为的正方体中，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知棱长都相等的三棱锥所有顶点都在球O的表面上．若三棱锥的所有棱长之和为12，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知一个正四棱锥的底面边长为2，体积为，若该四棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（   ） A．9π B．4π C． D．3π 【变式训练5-4】球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离等于球的半径的一半，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-5】在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型6 组合体的表面积与体积 例6-1如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形，，和是两个全等的正三角形.已知该多面体的棱BF与平面ABCD所成的角为45°，，，则该屋顶的表面积为（    ） A．100 B． C．200 D． 例6-22023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比—热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（    ）． A． B． C． D． 方法技巧 （1）分解构成：将组合体拆分为基本几何体（柱、锥、台、球等），明确各部分的连接方式（拼接、挖去等）。 （2）表面积计算：重叠部分（如两个几何体贴合的面）不重复计算，需减去重叠面积；挖去部分需加新露出的表面积。 （3）体积计算：拼接型组合体体积为各部分体积之和；挖去型组合体体积为原几何体体积减挖去部分体积。 （4）复杂组合体分析：先确定主体几何体，再分析附加部分的位置和尺寸，如 “圆柱上放圆锥” 需明确底面是否重合、高度关系。 （5）易错点处理：注意几何体连接后的隐藏面（如嵌入部分），避免多算或少算表面积；体积计算需确保各部分尺寸对应。 【变式训练6-1·变载体】冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”．通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知分别是上、下底面圆的圆心，，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练6-2·变载体】所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（　　）    A． B． C． D． 题型7 数学文化之表面积与体积 例7-1（2025·北京大兴·三模）《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体．如图，在羡除中，底面是正方形，∥平面，，其余棱长都为，则这个几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 例7-2（2025·北京·模拟预测）攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体.已知正四棱台侧棱、下底的长度（单位：dm）分别为4，6，侧面与底面所成二面角的正切值为，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）提取几何模型：从文化背景（如古建筑、器物）中识别几何体（如斗拱中的棱台、粮仓中的圆柱），确定基本类型。 （2）转化已知条件：将文化描述中的长度、比例等转化为几何体的参数（如直径、高、棱长），明确已知量。 （3）选择计算方法：根据几何体类型，用对应的表面积或体积计算思路（如求 “粮仓容积” 即圆柱体积）。 （4）结合实际意义：注意单位换算（如古代单位与现代单位的转换），确保结果符合实际情境（如容积需为正数）。 （5）验证合理性：通过几何常识判断结果是否合理（如球体体积不可能大于同直径的柱体体积）。 【变式训练7-1】（2025·北京东城·二模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问题.某工程要完成一个形如直四棱柱的“堑”型沟渠的土方作业（如图），其中与平面所成的角均为，，米，米，米，则需要挖土 立方米. 【变式训练7-2】《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如图所示，底面为矩形，且为等边三角形，且平面平面，点M为棱上靠近点E的三等分点，平面将几何体分成体积为的左、右两部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】（2024·河南新乡·一模）“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（   ） A．立方分米 B．立方分米 C．7立方分米 D．立方分米 题型8 表面积与体积中的最值及范围问题 例8-1已知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 例8-2已知正四棱锥的高为，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则当该正四棱锥体积最大时，高的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 例8-3在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是（    ）． A． B． C． D． 方法技巧 （1）确定变量关系：明确几何体中可变参数（如圆柱的半径与高），建立表面积或体积关于变量的函数关系。 （2）分析约束条件：根据题意确定变量的取值范围（如半径为正数、高不超过某值），明确定义域。 （3）求最值方法：利用几何性质（如表面积一定时，球的体积最大）或函数单调性（如二次函数顶点、导数求极值）求最值。 （4）范围推导：通过变量的取值范围，结合函数单调性，确定表面积或体积的取值区间（如半径增大时，球体体积递增）。 （5）验证极值：检查端点值和极值点对应的几何体是否存在（如尺寸为正），确保最值在合理范围内。 【变式训练8-1】已知一个圆锥的母线长为，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D．1 【变式训练8-2】若将一块体积为的橡皮泥捏成一个圆锥，则圆锥的侧面积最小为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】圆柱高为4，底面积为，在圆柱内部有一个可自由转动的正四面体，则该正四面体的最大棱长为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为 ． 2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（    ）. A．1 B．2 C． D． 3．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ． 4．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2021·北京·高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：    等级 24h降雨量（精确到0.1） …… …… 小雨 0.1~9.9 中雨 10.0~24.9 大雨 25.0~49.9 暴雨 50.0~99.9 …… …… 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是 A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 1．下列命题错误的是（    ） A．一个棱锥至少5个面 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 2．如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是 A． B． C． D． 3．如图所示，长方体被平面截成两个几何体，点分别在棱上，点分别在棱上，且，则截得的两个几何体分别是（   ） A．三棱柱和五棱柱 B．三棱台和五棱柱 C．三棱柱和五棱台 D．三棱台和五棱台 4．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是（   ） A． B． C． D． 5．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（    ）    A．7 B．6 C．4 D．3 6．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内．如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是 .    7．如图，以的一边AB所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体，画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何体及有关的结构特征. 8．下列命题是否正确？若正确，请说明理由；若错误，请举出反例. （1）有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱； （2）有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台. 9．如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 10．如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）.为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到，可用计算工具） 11．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺母共重．如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为，内孔直径为，高为，这堆螺母大约有多少个？（可用计算工具，取）    4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积及体积 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 4 知识点2 圆柱、圆锥、圆台、球体的结构特征 5 知识点3 圆柱、圆锥、圆台的展开图及侧面积 7 知识点4 柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积 8 知识点5 祖暅原理 9 题型破译 10 题型1 空间几何体的结构特征 10 【方法技巧】空间几何体的结构特征 题型2 柱体的表面积与体积 12 【方法技巧】柱体的表面积与体积 题型3 锥体的表面积与体积 15 【方法技巧】锥体的表面积与体积 题型4 台体的表面积与体积 19 【方法技巧】台体的表面积与体积 题型5 球体的表面积与体积 22 【方法技巧】球体的表面积与体积 题型6 组合体的表面积与体积 28 【方法技巧】组合体的表面积与体积 题型7 数学文化之表面积与体积 31 【方法技巧】数学文化之表面积与体积 题型8 表面积与体积中的最值及范围问题 35 【方法技巧】表面积与体积中的最值及范围问题 04真题溯源·考向感知 40 05课本典例·高考素材 44 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）棱锥的结构特征和分类 （2）柱体体积的有关计算 （3）锥体体积的有关计算 （4）求棱锥的高 单选题 填空题 解答题 北京卷T14（5分） 北京卷T8（4分） 北京卷T14（5分） / 考情分析： 北京卷中，本讲多以选择、填空题（4~5 分，中档） 考查。核心考查：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的结构 特征，表面积与体积公式（含组合体，如挖切、拼接）。易错点：组合体表面积多算 / 漏算重叠面，体积公式记错 （如锥体体积漏乘 1/3）。 复习目标： 1.识别基本立体图形的结构特征，区分柱、锥、球的异同； 2.熟记表面积与体积公式，准确计算简单几何体的表面积和体积； 3.掌握组合体的表面积与体积计算方法（拆分或补形）； 4.结合实际场景（如容器容积），应用几何体度量知识解决问题。 知识点1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 图 形 定 义 有两个面 互相平行 ，其余各面都是 四边形 ，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的 三角形 ，由这些面所围成的多面体 用一个平行于 棱锥底面 的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体 结 构 特 征 底面互相平行且全等；侧面都是 平行四边形 ；侧棱都相等且互相平行 底面是一个多边形；侧面都是三角形；侧面有一个公共顶点 上、下底面互相平行且相似；各侧棱延长线交于一点；各侧面为 梯形 分 类 ①按底面多边形的边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱… ②按侧棱与底面的关系：侧棱垂直于底面的棱柱叫做 直棱柱 ，否则叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体 ①按底面多边形的边数：三棱锥、四棱锥、五棱锥… ②正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与 底面中心 的连线垂直于底面的棱锥 ①按底面多边形的边数：三棱台、四棱台、五棱台… ②正棱台：由正棱锥截得的棱台 [注意]常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 自主检测1下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 【答案】C 【详解】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误. 故选：C. 自主检测2设所有棱柱构成的集合为A，所有直棱柱构成的集合为B，所有长方体构成的集合为C，所有正方体构成的集合为D，则A、B、C、D的关系正确的是（    ） A．DCAB B．CDBA C．DABC D．DCBA 【答案】D 【详解】正方体是特殊的长方体，所以,长方体一定是直棱柱，故， 而直棱柱是棱柱的一类，所以，故DCBA 故选：D 知识点2 圆柱、圆锥、圆台、球体的结构特征 分类 定义 图形及表示 表示 圆柱 以 矩形的一边所在直线 为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直 于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 平行 于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，左图记作 圆柱 圆锥 以 直角三角形的一条直角边 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图记作 圆锥SO 圆台 用平行于 圆锥底面 的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 用表示它的轴的字母表示，左图记作 圆台 球 半圆以它的 直径 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做 球面 ，球面所围成的旋转体叫做 球体 ，简称球．半圆的圆心叫做球的 球心 ；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用球心字母进行表示，左图可表示为 球O 自主检测下列叙述正确的是（   ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 【答案】A 【详解】对于A，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，故A正确； 对于B，如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体，故B错误； 对于C，如果以直角梯形的非高所在的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体不是圆台是一个组合体，故C错误； 对于D，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，故D错误. 故选：A. 知识点3 圆柱、圆锥、圆台的展开图及侧面积 圆柱 圆锥 圆台 侧面展 开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝ 2πrl S圆锥侧＝ πrl S圆台侧＝ π(r＋r′)l 其中r，r′为底面半径，l为母线长. [注意]　①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和； ②圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r′）lS圆锥侧＝πrl． 自主检测1圆锥的底面半径是，高是，则它的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆锥的底面半径是，高是， 则圆锥母线长为， 所以它的侧面积是. 故选：C 自主检测2圆台的上、下底面半径分别是，，圆台的高为4，则该圆台的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意， 因为圆台的，，且高，母线长是5， 故圆台的侧面积. 故选：C. 知识点4 柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积 几何体   表面积 体积（S是底面积，h是高） 柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝ (S上＋S下＋)h 球（R是半径） S＝ V＝ 自主检测1已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设两者的底面半径为r，则由侧面积相等可得，解得， 故圆锥的表面积. 故选：C 自主检测2已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，3，高为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得该正四棱台的体积为． 故选：D． 自主检测3已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，， 利用正弦定理可得外接圆的半径， 又，所以直三棱柱的外接球的半径为， 所以该球的表面积为. 故选：A. 知识点5 祖暅原理 我国数学家祖暅得出了“幂势既同，则积不容异”这一结论，意思是：夹在平行平面，之间的两个形状不同的几何体，被 平行于 平面，的任意一个平面所截，如果截面和的面积 总相等 ，那么这两个几何体的体积相等（如图所示）． 自主检测中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底而边长为2，下底而边长为4，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等， 故 . 故选：B. 题型1 空间几何体的结构特征 例1-1下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】B 【详解】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误； 多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，； 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误； 用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误. 故选：B. 例1-2如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【详解】如图，延长BC，与两条棱的延长线分别交于两点，连接， 分别交棱于两点，连接，则五边形及内部，即过点的截面. 故选：C 方法技巧 （1）区分基本类型：按结构分为柱体、锥体、台体、球体，明确各自核心特征（如柱体上下底平行且全等，锥体有唯一顶点）。 （2）分析构成要素：关注面（平面或曲面）、棱（直或曲）、顶点的数量与连接方式，如棱柱的侧棱平行且相等。 （3）识别特殊几何体：如正棱柱（底面正多边形且侧棱垂直底面）、正棱锥（底面正多边形且顶点在底面投影为中心），明确其对称性。 （4）区分易混几何体：如圆柱与棱柱（底面分别为圆和多边形）、棱台与圆台（侧面分别为梯形和扇环），从底面和侧面形状判断。 【变式训练1-1·】下列说法中，正确的是（    ） A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆 【答案】B 【详解】在圆柱上下底面各取的点的连线平行于轴是母线，故选项A错误； 由圆锥母线的定义可知选项B正确； 圆台可看做是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的， 根据圆锥母线的定义可知选项C错误； 当球面上两点是球的一条直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故D错误. 故选：B． 【变式训练1-2】在三棱柱中，截去三棱锥后，剩余的部分是（    ） A．五棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 【答案】B 【详解】如图可得三棱柱中，截去三棱锥后，剩余的部分是四棱锥. 故选：B 题型2 柱体的表面积与体积 例2-1如图，在正三棱柱中，为上一点，，，平面将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（    ）    A． B． C．8 D．9 【答案】A 【详解】该几何体被截面截完后，分为两个部分， 其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成， 下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的. 为了便于计算，设，，， 中，边上的高， 则上部分几何体的面积 ， 下部分几何体的面积， 故上下两部分表面积之比为. 故选：A 例2-2如图，直线，，相互平行，且两两之间的距离为1，平面平面，且平面ABC与平面之间的距离为3，直线与平面ABC所成的角为，则三棱柱的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面ABC与平面之间的距离为3，直线与平面ABC所成的角为， 所以. 则四边形的面积为. 因为直线，，相互平行，且两两之间的距离为1， 所以直线到平面的距离为. 三棱柱的体积为. 故选：A 方法技巧 （1）表面积构成：侧面积加两个底面面积，侧面积由侧面展开图面积确定（如直棱柱侧面为矩形，圆柱侧面为矩形）。 （2）体积计算基础：体积等于底面积与高的乘积，高是两底面之间的垂直距离（直棱柱高为侧棱长，斜棱柱高需单独计算）。 （3）特殊柱体处理：圆柱表面积需算两个圆形底面积和矩形侧面积；正棱柱侧面积可由底面周长乘侧棱长直接计算。 （4）表面积注意点：斜棱柱侧面展开为平行四边形，侧面积需用底面周长乘侧棱长再乘夹角正弦，避免误用直棱柱公式。 （5）体积与尺寸关系：底面积或高变化时，体积成比例变化，可通过比例关系快速计算变化后的体积。 【变式训练2-1】已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 因为圆柱的侧面展开图是一个正方形，所以， 所以圆柱的表面积为， 圆柱的侧面积为， 所以这个圆柱的表面积与侧面积的比值是， 故选：C 【变式训练2-2】在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm，高为4cm，内孔半径为1cm，则此几何体的表面积是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】所求几何体的侧面积为， 上下底面面积为， 挖去圆柱的侧面积为， 则所求几何体的表面积为． 故选：C． 【变式训练2-3】已知圆柱的高为4，它的表面积与体积的数值之比为2，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱的底面半径为，所以圆柱的表面积为，体积为， 因为它的表面积与体积的数值之比为2，所以， 解得，故该圆柱的体积为． 故选：B. 题型3 锥体的表面积与体积 例3-1（2025·北京海淀·三模）已知一个圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则此圆锥的表面积为 ． 【答案】 【详解】由题意作图如下： 则，，可得， 即圆锥底面半径，母线长． 所以圆锥表面积． 故答案为：. 例3-2（2025·北京·三模）如图，已知棱长为2的正方体中，动点M ， N， P ， Q分别在棱，， ， 上， 且满足， ， 设.给出下列四个结论： ①当时， 则四面体的表面积为8: ② 存在m、n，使得四面体的表面积为9； ③当 时，四面体的体积为 ④ 四面体.的体积与m、n无关. 其中所有正确结论的序号为 . 【答案】②④ 【详解】对于①，当时，为所在棱的中点，四面体的4个面为全等的三角形， 其中， 所以四面体的表面积为，故①错误； 对于②，当时，如图，四面体的表面积为， 当时，四面体的表面积为， 由连续性变化可得存在，使得四面体的表面积为9，故②正确； 对于④，四面体的体积可以用割补法求解， 正方体体积， 由图，两个三棱柱的体积和为定值， 同样，两个四棱锥的体积和，也为定值与无关， 所以四面体的体积与无关，故④正确； 对于③，由④，四面体的体积，为定值，故③错误. 故答案为：②④. 方法技巧 （1）表面积构成：侧面积加一个底面面积，侧面积为各侧面面积之和（棱锥侧面为三角形，圆锥侧面为扇形）。 （2）体积核心公式：体积是底面积与高乘积的三分之一，高是顶点到底面的垂直距离（正棱锥高过底面中心）。 （3）特殊锥体计算：圆锥侧面积由底面半径和母线长确定（展开为扇形）；正棱锥侧面积可由底面周长乘斜高（侧面高）的一半计算。 （4）表面积易错点：棱锥侧面需逐个计算面积（非正棱锥各侧面不全等），避免直接用正棱锥公式。 （5）体积与切割关系：锥体被平行于底面的平面截得的小锥体，体积与原锥体体积比为相似比的立方。 【变式训练3-1】（2025·北京·模拟预测）已知正六棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成角的正切值为，则该六棱锥的体积为 . 【答案】 【详解】令正六棱锥底面中心为，取边中点，连接， 则底面，，是侧面与底面所成的角， 即，令，则， 由，得，该六棱锥的体积. 故答案为：. 【变式训练3-2】（2025·北京门头沟·一模）某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，，顶点到底面的距离为3，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，且底面是等腰直角三角形，， 所以点在平面上的射影为边的中点，在直角三角形中，由勾股定理得,所以, 又因为底面是等腰直角三角形，， ; 设点到平面的距离为，则 , 所以. 故选：C 【变式训练3-3·变载体】（2025·北京海淀·三模）如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高，分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 连接，，如图，因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，又，所以四边形是矩形， 所以，， 又，分别为AB，CD的中点，所以，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 又对角线，所以点E为线段的中点. 连接，交EF于点N，过点作于M， 由题意知，故， 又，，，平面，所以平面， 故，又，，平面， 所以平面，即是四棱锥的高， 同理可得点F为线段的中点，所以，， 在中，，则，所以， 因为， 所以. 故选：B. 题型4 台体的表面积与体积 例4-1（2025·北京丰台·二模）如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（   ） A．18 B． C． D．34 【答案】B 【详解】由题意在棱台中，底面和为正方形，各侧棱均相等， 过作底面，交底面于，过作交于，连接， 因为底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以即为侧面与底面夹角的平面角，即， 由题意可知，所以， 所以该棱台的表面积. 故选：B 例4-2（2025·北京·模拟预测）如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取、的中点、，连接、、， 则由题意可知为侧面与底面所成锐二面角，则， ，得，， 在直角梯形中，，则， 则正四棱台的体积为. 故选：A. 方法技巧 （1）表面积构成：侧面积加上下两个底面面积，侧面积为各侧面面积之和（棱台侧面为梯形，圆台侧面为扇环）。 （2）体积计算基础：体积与上下底面积、高相关，可通过补成锥体（用大锥体体积减小锥体体积）计算。 （3）特殊台体处理：圆台侧面积由上下底半径和母线长确定；正棱台侧面积可由上下底周长之和乘斜高的一半计算。 （4）台体与锥体转化：台体可看作锥体截得，上下底半径（或边长）的比等于对应锥体高的比，利用此关系求未知量。 （5）表面积注意点：上下底面为相似图形，计算面积时需分别用对应尺寸，避免混淆上下底参数。 【变式训练4-1】已知正四棱台的体积为，，，则该四棱台的表面积为（   ） A．18 B． C． D． 【答案】B 【详解】设正四棱台的高为，则，解得， 设正四棱台侧面等腰梯形的高为，则， 故该四棱台的表面积为. 故选：B. 【变式训练4-2】已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，其侧面积等于上、下底面积之和，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆台的母线长，圆台为高为， 则圆台的上、下底面圆的面积分别为， 侧面积为， 所以，可得，则， 所以圆台的体积为. 故选：B. 【变式训练4-3】在四棱台中，下底面为正方形，，，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】延长四棱台侧棱交于一点P，得四棱锥，且， 为等边三角形，．取的中点E，的中点F，， 过点P作于点O，因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面，即为该四棱锥的高， ， 在中，， 原四棱台的高为，. 故选：D 题型5 球体的表面积与体积 例5-1将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知圆锥的母线长，设圆锥底面半径为，高为， 则底面圆的周长，所以，， 设外接球的半径为，则由得， 所以球的体积=. 故选：D. 例5-2已知圆台的高为3，上､下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作出圆台及外接球的轴截面图，如图. 易得球心在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为， 则球心到下底面圆的距离为，由勾股定理得，解得， 则外接球的半径，表面积为. 故选：A. 例5-3在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为平面，，，，所以，即． 把三棱锥补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径． 根据长方体体对角线公式 ，则， 球的体积. 故选：C． 例5-4棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，因为正三棱柱的底面是边长为的等边三角形， 设的外接圆的半径为，正三棱柱的外接球的半径为， 可得，则， 所以正三棱柱外接球的体积为. 故选：D 例5-5已知正三棱台的上、下底面边长分别为，侧棱与底面所成角的正切值为3，则其外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设正三棱台的上、下底面的外接圆圆心分别为， 连接，则为正三棱台的高． 因为正三棱台的上、下底面边长分别为， 所以． 因为侧棱与底面所成角的正切值为3，所以， 过作，垂足为，易得四边形为矩形，所以， 则， 故正三棱台的高， 易知球心在线段或其延长线上，设外接球的半径为， 连接． 当球心在线段上时，，得， 此时点与重合， 当球心在线段的延长线上时，，无解， 所以正三棱台外接球的体积为． 故选:D． 方法技巧 （1）核心关联量：表面积和体积仅由半径决定，半径是计算的关键参数。 （2）截面性质应用：球体的任意截面是圆，截面圆半径、球半径与球心到截面距离满足特定关系，可据此求半径。 （3）特殊球体处理：半球表面积需加底面圆面积（完整球面的一半加一个圆）；球缺（球体的一部分）体积需结合高度和半径计算。 （4）球与几何体组合：如球内切于正方体（直径等于正方体棱长）、外接于正方体（直径等于体对角线），利用几何关系求半径。 （5）半径确定方法：通过球与其他几何体的位置关系（如相切、顶点在球面上）建立方程，解出半径后计算表面积或体积。 【变式训练5-1】在棱长为的正方体中，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图为的中点， ， 平面，平面， ，，平面， 平面， 正方体的棱长为， ，，， ， ， 的外接圆半径为， 所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积， 设圆柱的外接球半径为，则， 三棱锥的外接球的表面积为， 故选：C． 【变式训练5-2】已知棱长都相等的三棱锥所有顶点都在球O的表面上．若三棱锥的所有棱长之和为12，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，正四面体的棱长为， 如图所示，将棱长为的正四面体放入棱长为的正方体中， 则该正方体的外接球与球O是同一个球， 则球的半径为， 故球O的表面积为. 故选：D 【变式训练5-3】已知一个正四棱锥的底面边长为2，体积为，若该四棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（   ） A．9π B．4π C． D．3π 【答案】A 【详解】正四棱锥的外接球的球心在它的高上， 由已知得，得， 易知正四棱锥底面外接圆半径， 球的半径为，由球的性质得，解得， 所以球O的表面积为. 故选：A． 【变式训练5-4】球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离等于球的半径的一半，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即为直角三角形， 因此外接圆的半径，设球的半径为， 由球心到所在平面的距离等于球的半径的一半，得，解得， 所以球的表面积为． 故选：C 【变式训练5-5】在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，，由余弦定理得： 所以， 由正弦定理，底面的外接圆半径满足，即，故， 由于侧棱长， 则顶点在底面上的投影为底面三角形的外心，则， 设，由勾股定理，即，解得：， 则外接球的球心必在过且垂直于底面的直线上， 设到的距离为，则， ，因，故，解得：， 所以球的半径，表面积为. 故选：D. 题型6 组合体的表面积与体积 例6-1如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形，，和是两个全等的正三角形.已知该多面体的棱BF与平面ABCD所成的角为45°，，，则该屋顶的表面积为（    ） A．100 B． C．200 D． 【答案】D 【详解】如图，过点F作平面ABCD，O为垂足，作于点N，连接OB，ON， 则， 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 易知，∴. 在直角三角形FON中，易知，∴， ∴在直角三角形FBN中，， ∴，∴，，∴该屋顶的表面积为， 故选：D. 例6-22023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比—热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由模型的轴截面可知圆锥的底面半径为，高为； 圆柱的底面半径为，高为， 故该模型球舱体积为（）， 故选：D. 方法技巧 （1）分解构成：将组合体拆分为基本几何体（柱、锥、台、球等），明确各部分的连接方式（拼接、挖去等）。 （2）表面积计算：重叠部分（如两个几何体贴合的面）不重复计算，需减去重叠面积；挖去部分需加新露出的表面积。 （3）体积计算：拼接型组合体体积为各部分体积之和；挖去型组合体体积为原几何体体积减挖去部分体积。 （4）复杂组合体分析：先确定主体几何体，再分析附加部分的位置和尺寸，如 “圆柱上放圆锥” 需明确底面是否重合、高度关系。 （5）易错点处理：注意几何体连接后的隐藏面（如嵌入部分），避免多算或少算表面积；体积计算需确保各部分尺寸对应。 【变式训练6-1·变载体】冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”．通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知分别是上、下底面圆的圆心，，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知圆柱的高为， 故该陀螺的体积为， 故选：D 【变式训练6-2·变载体】所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为点，，连接，，    容易求得，. 取的中点，连接，易得，则， 所以多面体的体积 . 故选：B 题型7 数学文化之表面积与体积 例7-1（2025·北京大兴·三模）《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体．如图，在羡除中，底面是正方形，∥平面，，其余棱长都为，则这个几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接交于点,取的中点为,则平面, 由其余棱长都为，所以 取的中点为,连接,则, 过作, 则平面,如图所示，由题意可知，,则, 所以, 所以. 故选：D 例7-2（2025·北京·模拟预测）攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体.已知正四棱台侧棱、下底的长度（单位：dm）分别为4，6，侧面与底面所成二面角的正切值为，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过作平面于，过作于，连接， 因平面,则，又平面， 故平面，因平面，则，故为的平面角， 故，则. 令正四棱台上底边长为，则， ， 所以，即， 解得或（舍去），故. 所以该结构表面积为 . 故选：A. 方法技巧 （1）提取几何模型：从文化背景（如古建筑、器物）中识别几何体（如斗拱中的棱台、粮仓中的圆柱），确定基本类型。 （2）转化已知条件：将文化描述中的长度、比例等转化为几何体的参数（如直径、高、棱长），明确已知量。 （3）选择计算方法：根据几何体类型，用对应的表面积或体积计算思路（如求 “粮仓容积” 即圆柱体积）。 （4）结合实际意义：注意单位换算（如古代单位与现代单位的转换），确保结果符合实际情境（如容积需为正数）。 （5）验证合理性：通过几何常识判断结果是否合理（如球体体积不可能大于同直径的柱体体积）。 【变式训练7-1】（2025·北京东城·二模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问题.某工程要完成一个形如直四棱柱的“堑”型沟渠的土方作业（如图），其中与平面所成的角均为，，米，米，米，则需要挖土 立方米. 【答案】 【详解】因为与平面所成角均为，且, 所以四边形为等腰梯形， 因为, 所以等腰梯形的高， 故， 所以直四棱柱体积. 故答案为：. 【变式训练7-2】《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如图所示，底面为矩形，且为等边三角形，且平面平面，点M为棱上靠近点E的三等分点，平面将几何体分成体积为的左、右两部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以可将刍甍补成如图所示的三棱柱，取中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以三棱柱是直三棱柱， 不妨设的面积为，三棱锥的体积为， 从而. 故选：D. 【变式训练7-3】（2024·河南新乡·一模）“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（   ） A．立方分米 B．立方分米 C．7立方分米 D．立方分米 【答案】D 【详解】如图，在正三棱台中，， 将棱台补全为正三棱锥， 设为底面的中心，连接，则平面， 而平面，所以， 因为，所以， ， 所以， 则正三棱台的高， 该正三棱台的上底面面积， 下底面面积， 所以该正三棱台储物凳的储物容积 . 故选：D. 题型8 表面积与体积中的最值及范围问题 例8-1已知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设球半径为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为， 如图，则有，即， 整理得，当且仅当，即时，等号成立， 此时圆柱体积取得最大值， 所以圆柱的体积最大时，即. 故选：C. 例8-2已知正四棱锥的高为，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则当该正四棱锥体积最大时，高的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】    如图，设高为，底边长为， 则， 又，∴， 又，， , 所以当时，，当时，， 所以函数在单调递增，单调递减， 故， 故选:C. 例8-3在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作, 该四棱台的高， 在上下底面由勾股定理可知，． 在梯形中，， 所以该四棱台的体积为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，． 取,的中点，,连接,，显然有， 由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面． 显然， 在直角梯形中，， 因此在等腰梯形中，， 同理在等腰梯形中，， 在等腰梯形中，设，， 则， ， 所以梯形的面积为， 故选：C． 【点睛】解决与几何体截面的问题，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）根据空间中的线面关系，找到线线平行或者垂直，进而确定线面以及面面关系， （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求长度下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于长度的方程，并求解. 方法技巧 （1）确定变量关系：明确几何体中可变参数（如圆柱的半径与高），建立表面积或体积关于变量的函数关系。 （2）分析约束条件：根据题意确定变量的取值范围（如半径为正数、高不超过某值），明确定义域。 （3）求最值方法：利用几何性质（如表面积一定时，球的体积最大）或函数单调性（如二次函数顶点、导数求极值）求最值。 （4）范围推导：通过变量的取值范围，结合函数单调性，确定表面积或体积的取值区间（如半径增大时，球体体积递增）。 （5）验证极值：检查端点值和极值点对应的几何体是否存在（如尺寸为正），确保最值在合理范围内。 【变式训练8-1】已知一个圆锥的母线长为，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则， 则，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当圆锥体积取得最大值时，， 设圆锥内切球的半径为，则由轴截面面积可得， 解得. 故选：A 【变式训练8-2】若将一块体积为的橡皮泥捏成一个圆锥，则圆锥的侧面积最小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥底面圆的半径为，高为，则，即． 圆锥的侧面积为． 令函数，． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以． 故选：A 【变式训练8-3】圆柱高为4，底面积为，在圆柱内部有一个可自由转动的正四面体，则该正四面体的最大棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，圆柱高为4，底面积为，则圆柱的底面半径为1， 当圆柱底面半径等于正四面体的外接球的半径时，正四面体有最大棱长a， 如图，在正四面体中，棱长为a，其外接球的半径为， 为的中点，为的中心，连接，则平面， 设为正四面体外接球的球心，连接， 因为为正三角形，所以， 在中，， 所以， 在中，由， 得，解得，则. 故选：D. 1．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为 ． 【答案】 【详解】先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则. 证明：设，， 在平面取一点，， 在平面内过作直线，使得，作直线，使得， 因为平面平面，，故，而，故， 同理，而，故 . 下面回归问题. 连接，因为且，故，同理，， 而，故直角梯形与直角梯形全等， 故， 在直角梯形中，过作，垂足为， 则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形， 故， 平面平面，平面平面，, 平面，故平面， 取的中点为，的中点为，的中点为，连接， 则，同理可证平面，而平面， 故平面平面，同理平面平面， 而平面平面，故平面， 故，故四边形为平行四边形，故. 在平面中过作，交于，连接. 则四边形为平行四边形，且，故， 故四边形为平行四边形， 而平面， 故平面，故平面平面， 而，故， 故几何体为直棱柱， 而，故, 因为，故平面， 而平面，故平面平面， 在平面中过作，垂足为，同理可证平面， 而，故，故， 由对称性可得几何体的体积为， 故答案为：. 2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（    ）. A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】如图，底面为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取的中点，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 3．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ． 【答案】 23 57.5/ 【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则， 故，. 故答案为：. 4．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心， 且，故. 因为，故， 故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 而三角形内切圆的圆心为，半径为， 故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为 故选：B 5．（2021·北京·高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：    等级 24h降雨量（精确到0.1） …… …… 小雨 0.1~9.9 中雨 10.0~24.9 大雨 25.0~49.9 暴雨 50.0~99.9 …… …… 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是 A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】B 【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥， 所以积水厚度，属于中雨. 故选：B. 1．下列命题错误的是（    ） A．一个棱锥至少5个面 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】A 【详解】对于A，最简单的棱锥是三棱锥，即四面体，只有4个面，故A错误； 对于B，由平行六面体的定义可知平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C，由于棱锥的侧面都是三角形，有一个面是平行四边形的棱锥，即该面为底面，所以一定是四棱锥，故C正确； 对于D，由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确. 故选：A. 2．如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据模型中相邻的面折成长方体以后仍相邻，即可作出判断． 【详解】解：D折成的长方体有两组对面是黑色的，一组对面是白色的． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的折叠，考查空间想象能力是此类题目的目的． 3．如图所示，长方体被平面截成两个几何体，点分别在棱上，点分别在棱上，且，则截得的两个几何体分别是（   ） A．三棱柱和五棱柱 B．三棱台和五棱柱 C．三棱柱和五棱台 D．三棱台和五棱台 【答案】A 【详解】在长方体，，又， 所以四边形为平行四边形，同理四边形、都是平行四边形， 又平面平面，故多面体为三棱柱， 同理多面体为五棱柱， 故选A. 4．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，设该长方体的长、宽、高分别为，，， 即，，． 由长方体的性质可知，，两两垂直， 所以， 故剩下几何体的体积， 因此. 故选：C. 5．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（    ）    A．7 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【详解】设三棱柱的底面的面积为，高为，则. 当侧面水平放置时，水的形状呈直四棱柱形， 由于液面恰好经过的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的，即直四棱柱的底面积是， 所以水的体积， 当底面水平放置时，设水面高为，则， 从而有，所以， 即当底面水平放置时，水面高为6. 故选：B. 6．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内．如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是 .    【答案】 【详解】因为八面体的每一个面都是正三角形，且四边形ABCD是边长为的正方形， 所以每个面的面积为（）， 则这个八面体的表面积（）. 故答案为： 7．如图，以的一边AB所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体，画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何体及有关的结构特征. 【答案】见解析 【详解】这个几何体的图形如图，下半截是一个圆锥，上半截是一个圆柱挖去一个圆锥的组合体. 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握各种旋转体的几何特征，是解答的关键．属于基础题. 8．下列命题是否正确？若正确，请说明理由；若错误，请举出反例. （1）有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱； （2）有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台. 【答案】（1）错误，反例见解析，（2）错误，反例见解析 【详解】（1）错误，还必须满足满足相邻平行四边形的公共边平行，反例如图①. （2）错误，还必须满足侧棱的延长线交于一点，反例如图②.      【点睛】本题考查棱柱和棱台的概念和性质，属于基础题. 9．如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 【答案】剩下部分体积为，表面积为. 【详解】由于是的中点，所以圆柱的高，且圆柱的底面半径为. 圆锥的体积为， 圆柱的体积为， 所以剩下几何体的体积为. 剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积， 即 . 10．如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）.为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到，可用计算工具） 【答案】 【解析】上部四棱柱的侧面积容易求出；要计算四棱台侧面积需先计算出斜高，再计算侧面积，两者相加即为需要瓷砖面积． 【详解】解；由题意，需贴瓷砖的部分为四棱柱与四棱台的侧面积. ， 四棱台的斜高， 故需要瓷砖的面积为. 【点睛】本题考查几何体的侧面积求解，关键是得出所需要的数据，准确利用公式，属于基础题． 11．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺母共重．如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为，内孔直径为，高为，这堆螺母大约有多少个？（可用计算工具，取）    【答案】 【详解】每个螺母的体积为：立方毫米， 所以每个螺母的质量为千克， 所以螺母个数个. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$