24.1.2 垂直于弦的直径 课件 2025—2026学年人教版数学九年级上册

24.1.2 垂直于弦的直径 九年级上册 数学 人教版 学习目标 新课引入 新知学习 课堂小结 1 2 3 4 目录 CONTENTS 1.理解圆的对称性． 2.探索并证明垂径定理的性质和推论.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决相关的计算与应用．(难点) 学习目标 24.1.2 垂直于弦的直径 圆的定义是什么？ · 旋转定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆． 集合定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合 什么叫做弦？ 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径. 弦 直径 什么叫做弧？ 连圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 弧 我们学习完圆的定义后，这节课来学习一下圆的性质 新课引入 24.1.2 垂直于弦的直径 探究 问题1：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次， 你发现了什么？由此你能得到什么？ 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 温馨提示：因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说圆的直径是圆的对称轴. 新知学习 24.1.2 垂直于弦的直径 问题2：你能证明上述结论吗？ 如图，设CD是⊙O的任意一条直径， A为⊙O上点C，D以外的任意一点. 该怎么证明前面的结论呢？ O A＇ D M A · C 证明：过点A，作AA′⊥CD,交⊙O于点A′,垂足为M，连接OA,OA′. 在△OAA′中，OA=OA′, 所以△OAA′是等腰三角形. 又∵AA′⊥CD， ∴AM=MA′. 即CD是AA′的垂直平分线 对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′， 因此⊙O关于直线CD对称.即 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 24.1.2 垂直于弦的直径 如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB， 垂足为 E.你能发现图中有哪些相等的线段和弧? · O D E A B C 二、垂径定理及其推论 线段：AE = BE 弧： CD是⊙O 直径 CD⊥AB AE=BE ( ( AD=BD ( ( AC=BC 我们证明一下。 24.1.2 垂直于弦的直径 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 归纳 ∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB于点E， ∴ AE = BE， 数学语言： · O D E A B C 文字语言：一条直线若满足:①过圆心②垂直于弦 则③平分弦 ④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧 过圆心 24.1.2 垂直于弦的直径 例1 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 O A B C A B D C O E A B O E C A B O C D E ①过圆心 ②垂直于弦 24.1.2 垂直于弦的直径 例2 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，点O到直线AB的距离为 6 cm，则 AB = cm. · O A B E 解析：连接 OA，作OE垂直AB ∵ OE⊥AB， ∴ AB = 2AE = 16 (cm). 16 ∴ (cm). 做辅助线的方法： ①连半径 ②作弦心距 结论：()2 +弦心距2 =半径2 24.1.2 垂直于弦的直径 例3 如图，⊙O 的弦 AB＝8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC＝2 cm，求半径 OC 的长. · O A B E C D 解：连接 OA. ∵ CE⊥AB 于 D， ∴ 设 OC = OA = x cm，则 OD = x - 2，根据勾股定理，得 解得 x = 5. 即半径 OC 的长为 5 cm. x2 = 42 + ( x - 2)2， 做辅助线的方法：连半径 结论：()2 +弦心距2 =半径2 24.1.2 垂直于弦的直径 例4 如图 a、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为____________. C 图 b D C B O A D O A B 图 a 2 cm 或 12 cm 指弧中点到弦的距离 24.1.2 垂直于弦的直径 24.1.2 垂直于弦的直径 试一试 上面我们学习了垂径定理的文字语言描述如下： · O D E A B C 一条直线若满足: ①过圆心②垂直于弦 则③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 已知①② 可推出 ③④⑤ 猜想：已知①③ ？ ②④⑤ 24.1.2 垂直于弦的直径 猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧 · O D E A 图示： · O D A B C C B · O D E A B C · O D E A B C 被平分的弦是直径 被平分的弦不是直径 24.1.2 垂直于弦的直径 猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧 图示： · O D A B C 被平分的弦是直径 反例： · O D A B C 直径虽然平分弦但不垂直于弦 所以猜想1有问题，我们不妨要求被平分的弦不能是直径，提出猜想2再来研究一下是否成立 24.1.2 垂直于弦的直径 猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧 已知：如图，CD 是⊙O 的直径，CD平分弦AB于点E. 求证：CD ⊥AB于点E ， = ， = · O D E A B C 证明： 连接 AO、BO，则 AO = BO. 在△OAB中，∵OA=OB ∴△OAB是等腰三角形. ∵CD平分弦AB于点E， ∴OE⊥AB于点E， 即CD⊥AB与点E. ∴ = ， = 24.1.2 垂直于弦的直径 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD 是⊙O 的直径，CD平分AB于点E， ∴ CD ⊥ AB于点E， 数学语言： · O D E A C B 试一试：更换条件你还能证明吗？ 24.1.2 垂直于弦的直径 探究 ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 猜想3：已知①⑤ ？ ②③④ 猜想3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧. · O D E A C B 正确 24.1.2 垂直于弦的直径 例5 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形. 24.1.2 垂直于弦的直径 解：如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为 O，半径为 R. 经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，OC 与 相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C 是 的中点，CD 就是拱高. 由题设可知 AB=37，CD=7.23， 所以 AD= AB= ×37=18.5， OD=OC-CD=R-7.23. 在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2， 即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R≈27.3. 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m. 24.1.2 垂直于弦的直径 1. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为 5cm，油面宽 AB 为 6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为 8cm，则油面 AB上升了（　　）cm． A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 D 思路点拨：上升的过程中油面宽度为8cm不止是一个时刻。 注意圆中的多种情况 随堂练习 24.1.2 垂直于弦的直径 2.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB=10，CD=8，则图中阴影部分的面积为 .　 20 24.1.2 垂直于弦的直径 3.如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 C 思路点拨：将点坐标转化为线段长度 24.1.2 垂直于弦的直径 4.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图(1)所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图(1)所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图(2)是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为(　　) A. 10 cm B. 15 cm C. 20 cm D. 24 cm C 24.1.2 垂直于弦的直径 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 2、垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【知二推三】 课堂小结 24.1.2 垂直于弦的直径 3、常见辅助线：①连半径；②做弦的垂线 构造直角三角形，有如下关系： 24.1.2 垂直于弦的直径 已知 结论 命题 ①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ①③ ②④⑤ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧 ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧 ②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧 ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦 24.1.2 垂直于弦的直径 $$