第02讲 合并同类项 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年七年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制2024）

第02讲 合并同类项 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.合并同类项 2.整式的项与次数 3.整式的升幂（降幂）排列 4.去括号 题型巩固 一、合并同类项 二、整式的项、项数或次数 三、整式系数、指数中字母求值 四、将整式按某个字母升幂（降幂）排列 五、数字类规律探索 六、图形类规律探索 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1.合并同类项 1.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项 . 2.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 . 3. 合并同类项的一般步骤 (1) 找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作相同的标记(连同各项的符号一同标记)； (2) 运用加法交换律、加法结合律将多项式中的同类项结合； (3) 利用合并同类项法则合并同类项； (4) 写出合并后的结果(可能是单项式，也可能是多项式). 知识点2.整式的项与次数 1.整式的项： 合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项。合并同类项后，整式有几项，就称为几项式。特别地，只含有一项就是单项式 . 2.整式的次数： 各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数。 知识点3.整式的升幂（降幂）排列 为了表达方便或计算需要，在合并同类项后，可以根据加法的交换律将一个整式中的各项按照其中某一个字母指数的大小顺序来排列. 我们常常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序来排列 . 若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的降幂排列；若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的升幂排列 . 知识点4.去括号 1. 去括号法则 (1)如果括号前面是“ +”号，去括号时把括号连同它前面的“ +” 号去掉，括号内的各项都不改变符号. (2)如果括号前面是“－”号，去括号时把括号连同它前面的“－”号去掉，括号内的各项都改变符号. 2.去多层括号的方法 先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序，一般由内向外，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号 . 有时也可以由外向内，即先去大括号，再去中括号，最后去小括号 . 3.添括号法则 (1) 所 添 括 号 前 面 是“ +”号，括 到 括 号 内 的 各 项 都 不 改变符号； (2) 所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改变符号 . 题型巩固 题型一、合并同类项 1．下列合并同类项的结果中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的法则逐项分析即可得解，熟练掌握合并同类项的法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）合并同类项： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则，是解题的关键．根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 【详解】解∶原式 ． 题型二、整式的项、项数或次数 4．对于整式，下列说法正确的是（   ） A．它是二次三项式 B．它的常数项是2 C．它的一次项系数是 D．它的二次项系数是3 【答案】C 【详解】解：A、因为次数最高的项的次数即为该整式的次数，所以它是三次三项式，故该选项错误； B、因为不含字母的项称为常数项，所以它的常数项是，故该选项错误； C、因为该整式的一次项为，所以它的一次项系数是，故该选项正确； D、因为该整式没有二次项，所以它的二次项系数是，故该选项错误； 故选：C． 5．若关于x的整式是四次三项式，则 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x的整式是四次三项式， ∴，且， ∴； 故答案为：． 6．若关于x，y的整式不含二次项，求m，n的值． 【答案】m＝，n＝ 【分析】根据题意，合并同类项，令二次项系数为0，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的多项式 不含二次项， ∴6m﹣1＝0，4n+2＝0， ∴m＝，n＝． 【点睛】本题考查了合并同类项，项的次数，掌握合并同类项法则是解题的关键． 题型三、整式系数、指数中字母求值 7．整式中，不含项，那么k的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵整式中，不含项， ∴， 解得：， 故选：B． 8．若整式是四次三项式，则 ． 【答案】 【详解】解：因为整式是四次三项式， 所以， 解得， 故答案为：． 9．若关于x，y的整式：，化简后是四次三项式，求的值． 【答案】6或0 【详解】解：关于，的整式：，化简后是四次三项式， 整式最高次项是4， ，，，， ， 原式， ， 化简后是四次三项式， 或， 或， 或． 题型四、将整式按某个字母升幂（降幂）排列 10．把整式 按字母降幂排列是 ． 【答案】 【详解】解：把整式 按字母降幂排列是， 故答案为：． 11．阅读： 计算（-3x3+5x2-7）+（2x-3+3x2）时，可列竖式： 小明认为，整式的加减实际上就是合并同类项，而合并同类项的关键是合并各同类项的系数，因此，可以把上题的竖式简化为 所以，原式=-3x3+8x2+2x-10，根据阅读材料解答下列问题： 已知：A=-2x-3x3+1+x2，b=2x3-4x2+x (1)将A按x的降幂排列：___________； (2)请仿照小明的方法计算；A-B； (3)请写出一个整式C：___________，使其与B的和是二次三项式． 【答案】(1)x4-3x3-2x+1 (2)x4-5x3+4x2-3x+1 (3)4-2x3（答案不唯一） 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列、合并同类项 【分析】（1）根据降幂排列的定义即可求解； （2）根据整式的加减运算法则即可求出答案； （3）根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】（1）∵A＝﹣2x﹣3x3+1+x4＝x4﹣3x3﹣2x+1， ∴将A按x的降幂排列是：A＝x4﹣3x3﹣2x+1， 故答案为：A＝x4﹣3x3﹣2x+1； （2）竖式如下， 则A﹣B＝x4﹣5x3+4x2﹣3x+1； （3）C=﹣2x3+1 （﹣2x3+1）+（2x3﹣4x2+x）=﹣4x2+x+1 ﹣4x2+x+1是二次三项式，符合题意 故答案为：﹣2x3+1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查整式的加减运算，理解题意，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键． 题型五、数字类规律探索 12．有一数列：．第9个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探究，观察数列的分子和分母分别寻找规律．分子从第4项开始，每项为前两项之和，分母后一项比前一项大3． 【详解】解：，即， ∵分子为1、1、2、3、5、8、…，从第4项开始，每项等于前两项的和， ∴ 第7项，第8项，第9项， ∵分母为2、5、8、11、14、17、…，后一项比前一项大3， ∴第9项， ∴分子为34，分母为26，约分得， 故选A． 13．一列数1， 2， 2， 3， 3， 3， 4， 4， 4， 4， ……中的第个数为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探索，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律是解题的关键．从这组数可以得出规律，1有1个，2有2个，3有3个，4有4个，……，有个；第个数为时，寻找使不等式成立的值，当时，前7组数的个数之和为，当时，前8组数的个数之和为，所以第个数落在第8组，这个数是8． 【详解】根据规律，设第个数为，则 当时，前7组数的个数之和为， 当时，前8组数的个数之和为， 第个数落在第8组，这个数是8， 故答案为：． 14．把7位数变成7位数，已知新7位数比原7位数大，聪明的宝贝来求： (1)原7位数是几？ (2)如果把汉语拼音字母顺序编为1~26号，且以所求得原7位数的前四个数字组成的两个两位数和所对应的拼音字母拼成一个汉字，再以后三个数字D，E，F分别对应的拼音字母拼成另一个汉字，请写出由这两个汉字组成的词． 【答案】(1)262159 (2)祖辈 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字问题，求出各个字母表示的数字是解题的关键． （1）因把七位数变为七位数，已知新七位数比原七位数大，所以，被减数的个位是2，减数的个位是3，可确定F是9，因F退了1，所以，E就是5，，D是2，，C是1，，B是2，因B退了1，，A是6． （2），对应字母z，，对应字母u，拼音为，D是2，对应字母是b，E就是5，对应字母是e，F是9，对应字母是i，拼音为．据此即可解答． 【详解】（1）解：∵把七位数变为七位数，已知新七位数比原七位数大3591333， ∴， ∵被减数的个位是2，减数的个位是3，可确定F是9， ∵F退了1， ∴，即；，；，；，， ∵B退了1， ∴，． ∴原七位数是262159． （2）解：∵，对应字母z， ，对应字母u， ∴拼音为， ∵D是2，对应字母是b，E就是5，对应字母是e，F是9，对应字母是i， ∴拼音为， ∴拼成的词是“祖辈”． 题型六、图形类规律探索 15．★■▲●★■▲●……，按这样的规律排下去，第215个图形是（ ）． A．★ B．■ C．● D．▲ 【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形的规律，图形按照“★■▲●”的顺序循环排列，每4个为一个周期。确定第215个图形时，计算215除以4的余数，余数对应周期中的位置． 【详解】解：观察图形排列规律“★■▲●”，每4个图形重复一次，即周期为4， ∵， ∴余数为1对应“★”，余数为2对应“■”，余数为3对应“▲”，整除时对应“●”， 此处余数3对应第3个图形“▲”， ∴第215个图形是选项D， 故选：D． 16．按照如图所示的规律摆下去，第20个图形摆放的黑色棋子的个数是 ． 【答案】440 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形规律，可以发现第1个图形中黑色棋子的个数是；第2个图形中黑色棋子的个数是；依此可得出第n个图形摆放的黑色棋子的个数为，然后代入计算即可求解． 【详解】解：由分析可得：第20个图形需要黑色棋子的个数是（个）． 故答案为：440． 17．问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律． 问题探究： 我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法． 探究一 用若干木棒来搭建横长是，纵长是的矩形框架（、是正整数），需要木棒的条数． 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条． 问题（一）：当，时，共需木棒多少条． 问题（二）：当矩形框架横长是，纵长是时，横放的木棒为多少条， 纵放的木棒为多少条． 探究二 用若干木棒来搭建横长是，纵长是，高是的长方体框架（、、是正整数），需要木棒的条数． 如图，当，，时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需条； 如图，当，，时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需条； 如图，当，，时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需条． 问题（三）：当长方体框架的横长是，纵长是，高是时，横放与纵放木棒条数之和为多少条，竖放木棒条数为多少条． 实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是、高是的长方体框架，总共使用了条木棒，则这个长方体框架的横长是多少． 拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是，高是的正三棱柱框架，需要木棒多少条． 【答案】问题（一）：共需条； 问题（二）：横放的木棒为条，纵放的木棒为条； 问题（三）：横放与纵放木棒条数之和为条，竖放木棒条数为条； 实际应用：这个长方体框架的横长是； 拓展应用：需要木棒条． 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查规律型﹣图形变化类问题，学会用分类讨论的思想解决问题.解决本题的关键是理解题意，从特殊到一般探究规律后利用规律即可解决问题. 问题（一）、根据探究一中的规律可以得到当横长是，纵长是时，横放的木棒的条数是条，纵放的木棒的条数是条，分别求出当，时，横放和竖放的木棒的条数，两者相加即为所需木棒的条数； 问题（二）、根据探究一中的规律可以得到当横长是，纵长是时，横放的木棒的条数是条，纵放的木棒的条数是条； 问题（三）、由探究二可知，当长方体框架的横长是，纵长是，高是时，横放与纵放木棒条数之和为条，竖放木棒条数为条； 实际应用：设这个长方体框架的横长是，根据横放与纵放木棒条数之和为条，可以列关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； 拓展应用：根据三棱柱中横放与竖放的木棒的数量与边长之间的关系，分别求出当边长为时，横放木棒的数量、纵放木棒的数量、竖放木棒的数量，把三者相加即可得到所需木棒的总条数． 【详解】问题（一）：解：由规律可知，当横长是，纵长是时， 横放的木棒的条数是条，纵放的木棒的条数是条， 当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条， 共需条； 问题（二）：解：由规律可知 当矩形框架横长是，纵长是时，横放的木棒为 条，纵放的木棒为条； 问题（三）：解：由规律可知 当长方体框架的横长是，纵长是，高是时，横放与纵放木棒条数之和为条，竖放木棒条数为条； 实际应用：设这个长方体框架的横长是， 横放与纵放木棒条数之和为， 解得：， 答：这个长方体框架的横长是； 拓展应用：若按照如图方式搭建一个底面边长是，高是的正三棱柱框架， 横放的木棒条数是条， 纵放木棒条数是条， 之和为条， 竖放木棒条数为条， 共需要木棒条． 分层强化 一、单选题 1．下列说法错误的是（   ） A．是三次四项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是四次二项式 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的有关概念．多项式中每个单项式叫做多项式的项，有几个单项式即是几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的系数、次数的概念求解． 【详解】解：A、是三次四项式，正确，不符合题意； B、是二次二项式，正确，不符合题意； C、是三次三项式，原说法错误，符合题意； D、是四次二项式，正确，不符合题意， 故选：C． 2．下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项法则，根据合并同类项法则：“系数相加减，字母及字母的指数不变，”进行求解即可． 【详解】解：A.，故A错误； B.，故B错误； C.不能合并，故C错误； D.，正确． 故选D． 3．为关于的三次二项式的条件是（   ） A． B．，n为任意数 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．根据三次二项式的定义，多项式需满足最高次数为3且仅有2个非零项。 【详解】解：为关于的三次二项式的条件是， ． 故选D． 4．如图，长为，宽为的大长方形被分割为6块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为1，那么阴影的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是列代数式，合并同类项，先标注字母，求解，，，再利用周长公式列式计算即可． 【详解】解：标注字母如图所示： 由题意可得：，，， 阴影的周长为：， 故选：C． 5．如图是用棋子摆成的“”，摆成第一个“”需要7个棋子，第二个“”需要棋子12个，第三个“”需要棋子17个；按这样的规律摆下去，摆成第2024个“”需要（   ）个棋子． A．10120 B．10122 C．10124 D．10126 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据前3个“H”字所用棋子的个数发现规律，由此归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：解：由图可知，摆成第1个“H”字需要的棋子的个数为（个）， 摆成第2个“H”字需要的棋子的个数为（个）， 摆成第3个“H”字需要的棋子的个数为（个）， …… 归纳类推得：摆成第n个“H”字需要的棋子的个数为个， 当时，， 故选：B． 6．观察下列各组等式： （1）； （2）； （3）； … 根据上述规律，第2018个式子的值是（   ） A．8068 B．8069 C．8070 D．8071 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律，观察等式结构，左边为，右边为，其中为式子的序号，代入即可得第2018个式子的值． 【详解】规律分析：每个式子的左边为，右边为，其中为式子的序号． 第1个式子：； 第2个式子：； 展开左边验证：，与右边一致，规律成立。 第2018个式子中，，因此值为：； 故选：D． 二、填空题 7． ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解决此题的关键．根据合并同类项法则化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．若关于x的整式是三次二项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项数和次数，根据多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数求解即可． 【详解】解：∵多项式是三次二项式， ∴，， ∴． 故答案为：． 9．将整式按的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式，先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【详解】解：按x的降幂排列：． 故答案为：． 10．化简： ． 【答案】 【分析】按照运算法则先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的加减混合运算．按照运算法则先去括号，再合并同类项即可．熟练掌握法则是解题的关键． 11．合并同类项： ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． 合并同类项求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号，先求出的值，再根据利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．代数式合并同类项后按的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】根据合并同类项的法则进行计算，再按的降幂排列即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，将多项式按某个字母的降幂排列，熟练掌握合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，是解题的关键． 14．单项式与是同类项，则这两个单项式的和是 ．（结果不能含有字母m、n） 【答案】/ 【分析】本题考查同类项定义以及单项式乘单项式，同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项．由同类项定义求出a，b的值，再求单项式的和即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ∴单项式的和为， 故答案为：． 15．已知，为常数，且三个单项式，，的和仍然是单项式，则 ． 【答案】2或3 【分析】本题主要考查同类项的定义，合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 根据题意可得或，进而求出与的值； 【详解】解：∵三个单项式，，的和仍然是单项式， ∴或， ∴，，或，， ∴或， 即或3， 故答案为：2或3． 16．如图，用“十字形”分割正方形，分割一次，分成了4个正方形，分割两次，分成了7个正方形（不计组合成的正方形），分割三次，分割成( )正方形．如果连续用“十字形”分割10次，分成了( )正方形． 【答案】 10个 31个 【分析】本题考查的是图形类规律探究，观察图形可知：分割1次，得到4个正方形，分割2次得到7个正方形，分割3次将得到10个正方形，由此可知道每分割增加1次，就增加3个正方形．那么1次分割，分成了4个正方形，就可以表示成个；那么2次分割，分成了7个正方形，就可以表示成个；分割n次，得到个正方形，根据此规律，即可计算出分割10次，分成了多少个正方形． 【详解】解：分割1次，分成了4个正方形，； 分割2次，分成了7个正方形，； 分割3次，分成了（个）正方形； …… 分割n次，分成了个正方形． 分割10次，分成了（个）正方形； 分割三次，分割成10个正方形．如果连续用“十字形”分割10次，分成了31个正方形． 故答案为：， 17．将正整数按如图所示规律排列，若用表示第n排，从左到右第m个数，如表示正整数8，则表示正整数 ．       1…………..第一排     2  3…………第二排   4  5  6………第三排 7  8  9  10……第四排 …… 【答案】49 【分析】本题考查数字变化规律．观察图形可知，每一排的数字的个数与排数相同，先求出前9排的数字的总个数，然后根据有序数对的实际意义写出第10排的第4个数即可． 【详解】解：由图可知， 前9排数字个数共有（个）， ∴第10排数字为：46，47，48，49，50，51，⋯⋯， ∵表示第10排从左到右第4个数， ∴表示正整数是49， 故答案为：49． 18．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如“1，5，12，22，35，…”这样的数就是五边形数，其规律可用下面的图形表示，则第8个五边形数是 ． 【答案】92 【分析】本题考查图形类规律探索，将图形规律转化为数字规律，根据数字的变化找出其与顺序之间的关系，每一个五边形数可以表示为． 【详解】第1个五边形数：， 第2个五边形数：， 第3个五边形数：， 第4个五边形数：， 第5个五边形数：， ...... 第个五边形数：， 第8个五边形数为：． 答案为：92． 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了去括号、合并同类项，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解题的关键．根据去括号、合并同类项的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 20．合并同类项：； 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，先整理原式，再合并同类项，即可作答． 【详解】解： 21．求与的和，并将结果按的降幂排列． 【答案】 【分析】先合并同类项，再按照x的指数由高到低排列即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，多项式的降幂排列，掌握“合并同类项与降幂排列的含义”是解本题的关键． 22．如果单项式 与（其中 m 0， n 0）是关于 x，y 的单项式，且它们是同类项． (1)求的值． (2)若，求． 【答案】(1)1 (2)0 【分析】本题主要考查了同类项，合并同类项法则， （1）根据同类项的定义可知，求出a，再计算代数式的值即可； （2）根据题意可知，即可求出代数式的值． 【详解】（1）∵与是同类项， ∴， 解得， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 23．（1）如果两个关于，的单项式与是同类项（其中）． 直接写出______． 若这两个单项式和为，求的的值． （2）关于，的多项式，，若的值与无关，求出、的值． 【答案】（1）；； （2）、的值分别为和． 【分析】本题考查了同类项的定义、合并同类项法则的应用等知识点，掌握合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变成为解题的关键． （1）根据同类项的定义求解即可； 根据合并同类项的法则把系数相加即可； （2）计算，合并同类项后，令关于项系数等于即可求得结论． 【详解】解：（1）由题意得， ， 解得，， ，其中， ， ， 故答案为：；； （2）， ， ， ， 的值与无关， ，， 解得，，； 、的值分别为和． 24．认真观察下面的序列等式的变化，寻找“将一项拆成两项”的规律：，，，，…．用上面的思路，解决下列问题： (1)写出上面序列等式的第n个等式； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字类规律探索，正确确定式子变化规律是解题关键． （1）根据所给式子得规律即可； （2）将原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知第n个等式为； （2）原式 ． 25．“整体思想”是一种非常重要的数学思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．阅读下列材料，并解决相关问题． 【材料呈现】 求代数式的值，其中，． 先去括号，再合并同类项 把看成一个整体，用字母表示记为，这个代数式可以简化为 【问题解决】 （1）对“材料呈现”中的代数式，利用“整体思想”进行化简求值，并写出过程； 【简单应用】 （2）①把看成一个整体，合并的结果是______； ②若，则的值为______． 【答案】（1），，过程见解析；（2）①；② 【分析】本题考查了整体思想，合并同类项，代数式求值． （1）令，则原式化为，然后合并同类项，再将代入，最后将，代入计算即可； （2）①令，则，再计算即可； ②将变形为，然后将整体代入求值即可． 【详解】解：（1）令，则 ， 当，时，原式； （2）①令，则 ， 故答案为：； ②∵ ∴ ， 故答案为：． 26．在数学习题课中，同学们为了求的值，进行了如下探索： (1)某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为的长方形纸片对折． （）求图中部分的面积； （）请你利用图形求的值； (2)请你利用备用图，再设计一个能求与的值的几何图形． 【答案】(1)（）；（）； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了图形与数字的变化规律、有理数的混合运算等知识点，明确题意并灵活利用数形结合的思想是解答本题的关键． （）（）由对折可知，每一个图形的面积都是上一个图形面积的，由规律可得的面积是； （）由图形可知，，所以可得：； （）首先利用对角线把矩形分成两个面积相等的三角形，然后依次作点为的中点，点为的中点，点为的中点． 【详解】（1）解：（）由图可知，的面积为， 的面积为， 的面积为， 的面积为； （）如下图所示， 由图可知， ， ； （2）解：可设计如下图所示： 点为的中点，点为的中点，点为的中点， 由图可知， ， ； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 合并同类项 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.合并同类项 2.整式的项与次数 3.整式的升幂（降幂）排列 4.去括号 题型巩固 一、合并同类项 二、整式的项、项数或次数 三、整式系数、指数中字母求值 四、将整式按某个字母升幂（降幂）排列 五、数字类规律探索 六、图形类规律探索 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1.合并同类项 1.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项 . 2.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 . 3. 合并同类项的一般步骤 (1) 找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作相同的标记(连同各项的符号一同标记)； (2) 运用加法交换律、加法结合律将多项式中的同类项结合； (3) 利用合并同类项法则合并同类项； (4) 写出合并后的结果(可能是单项式，也可能是多项式). 知识点2.整式的项与次数 1.整式的项： 合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项。合并同类项后，整式有几项，就称为几项式。特别地，只含有一项就是单项式 . 2.整式的次数： 各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数。 知识点3.整式的升幂（降幂）排列 为了表达方便或计算需要，在合并同类项后，可以根据加法的交换律将一个整式中的各项按照其中某一个字母指数的大小顺序来排列. 我们常常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序来排列 . 若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的降幂排列；若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的升幂排列 . 知识点4.去括号 1. 去括号法则 (1)如果括号前面是“ +”号，去括号时把括号连同它前面的“ +” 号去掉，括号内的各项都不改变符号. (2)如果括号前面是“－”号，去括号时把括号连同它前面的“－”号去掉，括号内的各项都改变符号. 2.去多层括号的方法 先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序，一般由内向外，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号 . 有时也可以由外向内，即先去大括号，再去中括号，最后去小括号 . 3.添括号法则 (1) 所 添 括 号 前 面 是“ +”号，括 到 括 号 内 的 各 项 都 不 改变符号； (2) 所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改变符号 . 题型巩固 题型一、合并同类项 1．下列合并同类项的结果中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）合并同类项： ． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算：． 题型二、整式的项、项数或次数 4．对于整式，下列说法正确的是（   ） A．它是二次三项式 B．它的常数项是2 C．它的一次项系数是 D．它的二次项系数是3 5．若关于x的整式是四次三项式，则 ． 6．若关于x，y的整式不含二次项，求m，n的值． 题型三、整式系数、指数中字母求值 7．整式中，不含项，那么k的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 8．若整式是四次三项式，则 ． 9．若关于x，y的整式：，化简后是四次三项式，求的值． 题型四、将整式按某个字母升幂（降幂）排列 10．把整式 按字母降幂排列是 ． 11．阅读： 计算（-3x3+5x2-7）+（2x-3+3x2）时，可列竖式： 小明认为，整式的加减实际上就是合并同类项，而合并同类项的关键是合并各同类项的系数，因此，可以把上题的竖式简化为 所以，原式=-3x3+8x2+2x-10，根据阅读材料解答下列问题： 已知：A=-2x-3x3+1+x2，b=2x3-4x2+x (1)将A按x的降幂排列：___________； (2)请仿照小明的方法计算；A-B； (3)请写出一个整式C：___________，使其与B的和是二次三项式． 题型五、数字类规律探索 12．有一数列：．第9个数是（   ） A． B． C． D． 13．一列数1， 2， 2， 3， 3， 3， 4， 4， 4， 4， ……中的第个数为 ． 14．把7位数变成7位数，已知新7位数比原7位数大，聪明的宝贝来求： (1)原7位数是几？ (2)如果把汉语拼音字母顺序编为1~26号，且以所求得原7位数的前四个数字组成的两个两位数和所对应的拼音字母拼成一个汉字，再以后三个数字D，E，F分别对应的拼音字母拼成另一个汉字，请写出由这两个汉字组成的词． 题型六、图形类规律探索 15．★■▲●★■▲●……，按这样的规律排下去，第215个图形是（ ）． A．★ B．■ C．● D．▲ 16．按照如图所示的规律摆下去，第20个图形摆放的黑色棋子的个数是 ． 17．问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律． 问题探究： 我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法． 探究一 用若干木棒来搭建横长是，纵长是的矩形框架（、是正整数），需要木棒的条数． 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条． 问题（一）：当，时，共需木棒多少条． 问题（二）：当矩形框架横长是，纵长是时，横放的木棒为多少条， 纵放的木棒为多少条． 探究二 用若干木棒来搭建横长是，纵长是，高是的长方体框架（、、是正整数），需要木棒的条数． 如图，当，，时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需条； 如图，当，，时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需条； 如图，当，，时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需条． 问题（三）：当长方体框架的横长是，纵长是，高是时，横放与纵放木棒条数之和为多少条，竖放木棒条数为多少条． 实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是、高是的长方体框架，总共使用了条木棒，则这个长方体框架的横长是多少． 拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是，高是的正三棱柱框架，需要木棒多少条． 分层强化 一、单选题 1．下列说法错误的是（   ） A．是三次四项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是四次二项式 2．下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．为关于的三次二项式的条件是（   ） A． B．，n为任意数 C． D． 4．如图，长为，宽为的大长方形被分割为6块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为1，那么阴影的周长是（   ） A． B． C． D． 5．如图是用棋子摆成的“”，摆成第一个“”需要7个棋子，第二个“”需要棋子12个，第三个“”需要棋子17个；按这样的规律摆下去，摆成第2024个“”需要（   ）个棋子． A．10120 B．10122 C．10124 D．10126 6．观察下列各组等式： （1）； （2）； （3）； … 根据上述规律，第2018个式子的值是（   ） A．8068 B．8069 C．8070 D．8071 二、填空题 7． ． 8．若关于x的整式是三次二项式，则 ． 9．将整式按的降幂排列为 ． 10．化简： ． 11．合并同类项： ． 12．已知，则 ． 13．代数式合并同类项后按的降幂排列为 ． 14．单项式与是同类项，则这两个单项式的和是 ．（结果不能含有字母m、n） 15．已知，为常数，且三个单项式，，的和仍然是单项式，则 ． 16．如图，用“十字形”分割正方形，分割一次，分成了4个正方形，分割两次，分成了7个正方形（不计组合成的正方形），分割三次，分割成( )正方形．如果连续用“十字形”分割10次，分成了( )正方形． 17．将正整数按如图所示规律排列，若用表示第n排，从左到右第m个数，如表示正整数8，则表示正整数 ．       1…………..第一排     2  3…………第二排   4  5  6………第三排 7  8  9  10……第四排 …… 18．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如“1，5，12，22，35，…”这样的数就是五边形数，其规律可用下面的图形表示，则第8个五边形数是 ． 三、解答题 19．计算：． 20．合并同类项：； 21．求与的和，并将结果按的降幂排列． 22．如果单项式 与（其中 m 0， n 0）是关于 x，y 的单项式，且它们是同类项． (1)求的值． (2)若，求． 23．（1）如果两个关于，的单项式与是同类项（其中）． 直接写出______． 若这两个单项式和为，求的的值． （2）关于，的多项式，，若的值与无关，求出、的值． 24．认真观察下面的序列等式的变化，寻找“将一项拆成两项”的规律：，，，，…．用上面的思路，解决下列问题： (1)写出上面序列等式的第n个等式； (2)计算：． 25．“整体思想”是一种非常重要的数学思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．阅读下列材料，并解决相关问题． 【材料呈现】 求代数式的值，其中，． 先去括号，再合并同类项 把看成一个整体，用字母表示记为，这个代数式可以简化为 【问题解决】 （1）对“材料呈现”中的代数式，利用“整体思想”进行化简求值，并写出过程； 【简单应用】 （2）①把看成一个整体，合并的结果是______； ②若，则的值为______． 26．在数学习题课中，同学们为了求的值，进行了如下探索： (1)某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为的长方形纸片对折． （）求图中部分的面积； （）请你利用图形求的值； (2)请你利用备用图，再设计一个能求与的值的几何图形． 学科网（北京）股份有限公司 $$