22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（3）（题型专练）数学人教版九年级上册

22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（3） 题型一、二次函数y=a（x-h）²+k的基本性质 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为． 故选：B 2．（22-23九年级上·青海西宁·阶段练习）（1）求抛物线的顶点坐标及对称轴方程； （2）当为何值时，随的增大而增大 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴方程为；（2） 【分析】本题考查了二次函数的性质．解题时，利用了数形结合的数学思想，减少了繁琐的计算过程． （1）由顶点式可得顶点坐标及对称轴方程． （2）开口向下时在对称轴的左侧随的增大而增大，可得到答案． 【详解】解：（1）， 抛物线顶点坐标为，对称轴方程为． （2）， ∴抛物线开口向下， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大． 3．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知抛物线． (1)开口方向：__________； (2)顶点坐标：__________； (3)对称轴：__________； (4)当__________时，的最__________值是__________； (5)当__________时，随的增大而减小． 【答案】(1)向上 (2) (3)直线 (4)，小， (5) 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，掌握二次函数图象开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性是解题的关键． （1）中，开口向上，，开口向下； （2）中顶点坐标为； （3）中是对称轴； （4）根据顶点坐标可得二次函数最值； （5）根据增减性即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴函数图象开口向上； （2）解：的顶点坐标为； （3）解：的对称轴为； （4）解：中当时，二次函数有最小值，最小值为； （5）解：的对称轴为，开口向上， ∴当时，随的增大而减小． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的（   ） A．函数图象开口向下 B．函数图象的对称轴是：直线 C．该函数有最大值 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，最值，增减性是关键． 根据二次函数顶点式得到图形开口，对称轴直线，最大值，增减性，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∵，图象开口向上，顶点坐标为，对称轴直线为，最小值为，当时，随的增大而增大， ∴故A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项正确，符合题意； 故选：D ． 5．（24-25九年级上·山东威海·期末）已知抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．与轴的交点坐标 C．与轴有两个交点 D．顶点坐标 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：抛物线， 抛物线的开口向下上， 故选项A错误； 令，则， 与轴的交点坐标为， 故选项B错误； 令，则， 即， ， 抛物线与轴有两个交点， 故选项C正确； 抛物线的顶点坐标为， 故选项D错误 故选：C ． 题型二、二次函数y=a（x-h）²+k的图象 6．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质和一次函数的性质，根据二次函数的性质得对称轴为直线，可判断C；再由二次函数的性质和一次函数的性质对、的符号进行逐项判断，即可求解；掌握二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： 对称轴为直线，当时，则有，即抛物线与y轴的交点坐标为， 故C错误，不符合题意； A．由抛物线的图象得，顶点坐标为，且，所以一次函数交y轴于正半轴，且经过第一、二、四象限，故此项符合题意； B．由抛物线的图象得，由一次函数图象得，符号不一致，故此项错误，不符合题意； D．由一次函数图象得，，则由抛物线的顶点坐标可知，所以前后矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 题型三、二次函数y=a（x-h）²+k的增减性 8．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小． 【详解】解：函数的解析式是， 对称轴是直线， 点的对称点为， 对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大， 又， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性． 9．（24-25九年级上·重庆忠县·期中）已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得对称轴和在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∵点，在抛物线上，且， ∴， 故选：B． 10．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题中条件可得出抛物线的对称轴相对于直线的位置，进而可解决问题． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴不能在直线的右侧， ∴． 故答案为：． 11．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴距离对称轴越近，函数值越小， 而， ∴， 故答案为：． 题型四、二次函数y=a（x-h）²+k的平移 12．（2025·山西吕梁·三模）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的法则是解题的关键． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”逐步求解． 【详解】将抛物线向左平移3个单位所得抛物线解析式为：，即； 再向下平移2个单位为：，即， 故选：A． 13．（2025·浙江杭州·模拟预测）将抛物线先沿着轴方向向左平移2个单位长度，再沿轴方向向下平移3个单位长度，所得的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案． 【详解】解：原抛物线为向左平移2个单位得到，再向下平移3个单位得到， 故选：B． 14．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某二次函数的图象经过原点，且顶点是． (1)求此二次函数解析式； (2)求此二次函数图象如何平移可以得到图象？ 【答案】(1) (2)向左1个单位，向上2个单位 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据某二次函数的图象经过原点，且顶点是，设，把代入，得，即可作答． （2）结合“左加右减、上加下减”进行作答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象的顶点是， ∴， 把代入， 解得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 则二次函数图象向左1个单位，向上2个单位平移可以得到图象， 题型五、画二次函数y=a（x-h）²+k的图象 15．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】(1)填表、作图见详解 (2)填表见详解 【分析】本题主要考查二次函数作图， （1）把的值代入解析式求解，可得表格数据，在平面直角坐标系中根据的值描点，连线即可求解； （2）根据图示信息即可求解． 【详解】（1）解：代入计算得， 描点，连线如图所示， （2）解：根据图示可得， 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 16．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知函数． (1)该抛物线的对称轴是直线____________，顶点坐标是____________ (2)在下面的坐标系中画出该抛物线的图象 (3)根据图象直接写出当时，的取值范围是____________． (4)根据图象写出当时，的取值范围____________． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题等知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据顶点式的特征回答即可； （2）运用描点法作图即可； （3）根据函数图象与x轴交点的位置回答即可； （4）根据开口向下时离对称轴越近函数值越大回答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：；； （2）列表得： x … -1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 画图得： （3）由图象可知：当时，的取值范围是， （4）当时，， 结合图象可得：当时，，当时，， ∴当时，的取值范围是． 题型六、求二次函数y=a（x-h）²+k的解析式 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知图象的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 根据题意设二次函数的解析式（），把代入求出，即可得到答案． 【详解】解：图象的顶点坐标是， 设二次函数的解析式（）， 把代入得， 解得， 二次函数的解析式为． 18．（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）已知抛物线顶点，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求此抛物线的开口方向和y的最值； 【答案】(1) (2)开口向上， 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的性质； （1）抛物线的解析式为，将代入，即可求解； （2）由及顶点，即可求解； 掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线顶点， 可设此抛物线的解析式为， 过点， ， 解得：， ； 故此抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， ， 抛物线的开口向上，． 19．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． (1)求这个二次函数的表达式． (2)判断点是否在二次函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 【详解】（1）解：设抛物线的顶点式为 将点代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴点在这条抛物线的图象上． 20．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象经过点．且当时，有最小值． (1)求这个二次函数的表达式 (2)试判断点是否在此二次函数的图象上，并说明理由 【答案】(1) (2)在此函数图象上，见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征； （1）根据题意设出函数解析式，再把点代入求解即可； （2）求出时y的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意设这个二次函数的表达式为， 将点代入，得， 解得， 这个二次函数的表达式为； （2）点在此函数图象上； 理由：当时，， 在此函数图象上． 题型一、二次函数y=a（x-h）²+k的最值 21．（2025·安徽阜阳·二模）已知抛物线，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，首先把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，从而可得抛物线开口向上，对称轴是，根据二次函数的性质可知当时，函数的最大值为. 【详解】解：整理：， 可得：， 抛物线开口向上，对称轴是， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，函数的最大值为. 故选：A． 22．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到顶点坐标和函数的增减性，进而确定函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，， ∴， 故答案为：． 23．（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数（是常数） (1)若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； (2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 【答案】(1)①；②2；③ (2)2或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并灵活应用是解题的关键． （1）根据函数表达式求最值，判断二次函数图象的增减区间，即可求解； （2）分析抛物线对称轴的不同位置判断最值并求解即可； 【详解】（1）解：当时，则二次函数 ①二次函数图像的顶点坐标为：； ②该抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，当时，函数取得最大值为2； ∴当时，该二次函数的最大值为2； ③当时，该二次函数的最大值为． 故答案为：①；②2；③ （2）二次函数的对称轴为：，开口向下， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上，常数m的值为或． 故答案为：或． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)若二次函数的图象与轴交于点，求的值； (2)若当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或1 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入，即可求出的值； （2）分和两种情况讨论． 【详解】（1）将点代入， 得， 解得； （2）顶点坐标为 当时，当时，函数最小值，解得， 当时，当时，函数最小值为，解得， 综上所述，的值为或1． 题型二、二次函数y=a（x-h）²+k的推理计算与证明 25．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可； （2）先得出抛物线的对称轴为直线，关于的对称点为，进而分在对称轴的左侧和右侧两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：，则抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴在对称轴的左侧， ∴关于的对称点为， ∴， ∵，， ∴或， 解得：或． 26．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据对称性，求出的值，根据顶点式的性质，求出顶点坐标即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，根据二次函数的对称性求出，进而得到，增减性得到时，，待定系数法求出的值即可． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， ，有 该抛物线的顶点坐标为． （2）抛物线的对称轴是直线， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 设点关于对称轴的对称点为， 抛物线的对称轴是直线， ． 点在对称轴右侧，且， 当时，根据二次函数的性质，时，随的增大而增大， ． ， ． 当时，． 把代入函数表达式中， ， ． 题型三、二次函数y=a（x-h）²+k与几何性质的计算 27．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 28．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，面积问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别求出，，结合，列式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：依题意，抛物线上存在一点， 故连接，如图所示： ∵点， ∴， ∵与轴交于两点（在的左侧）， ∴令，则， 解得 ∴， ∴， ∵抛物线上存在一点，使得， ∴， 则， 即， 把代入，得， 解得 观察四个选项，唯有符合题意， 故选：D． 题型四、二次函数y=a（x-h）²+k的实际问题 29．（24-25九年级上·天津·期末）如图①所示，矩形窗框的周长及其两条隔断，的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行．设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图②． (1)由图②可知，当________米时，矩形的面积最大，最大值是________平方米； (2)求与之间的函数解析式并写出自变量取值范围； (3)求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质等知识点， （1）由图②可知，函数图象最高点为，进而即可得解， （2）设二次函数解析式为，将代入，即可得到解析式，再由图②即可知自变量的取值范围； （3）由（2）知，当时，有最大值4，进而即可得的长 ，再计算其总长即可得解； 熟练掌握其性质并能正确识别函数图象，确定自变量的取值为何值时函数取得最大值，利用待定系数法求得函数解析式是解决此题的关键． 【详解】（1）解：由图②可知，函数图象最高点为，经过原点， ∴当米时，矩形的面积最大，最大值是平方米， 故答案为：，； （2）解：设二次函数解析式为， 将代入，得，解得， ， ∴对称轴为直线， 又∵图象经过原点， ∴由图象②知，图象与轴的另一交点为， ∴自变量的取值范围为； （3）解：由（2）知，当时，有最大值4， ， ． 30．（2025·江西上饶·一模）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动路径可近似看成形状相同的两条抛物线．在如图所示的平面直角坐标系中，x（单位：m）是弹力球距抛出点的水平距离，y（单位；m）是弹力球距地面的高度．甲站在原点处，从离地面的点A处抛出弹力球，弹力球在点B处着地后弹起．已知弹力球第一次着地前抛物线的函数解析式为． (1)求a的值及的长． (2)若弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低． ①求弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的函数解析式． ②如图，如果在地面上摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，此时筐的最左端与原点的水平距离为．若要使得游戏成功，则d的取值范围是________． 【答案】(1),米 (2)；． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与一元二次方程，利用待定系数法求出抛物线解析式是解题的关键． （）将点坐标代入解析式，即可求出的值； （）由（）可得弹力球第一次着地前抛物线的解析式，再令，解方程求出的值，即可得出点坐标，再根据条抛物线形状相同，且弹力球在处着地后弹起的最大高度为着地前抛物线最大高度的一半以及点坐标，即可求出弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的表达式；l把代入，解方程求出的值与框的位置比较即可． 【详解】（1）解：∵点是抛物线的起点， ∴， 解得， 则， 当时，， 解得， (不合，舍去)， ∴点的横坐标为； ∴； （2）解：由（）知，点的横坐标为5； ∵两条抛物线形状相同，弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低． ∴， 设弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线解析式为， 将点代入该解析式，得， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴ 弹力球第一次着地后的弹起降落形成抛物线解析式为； 令中，则， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴弹力球第二次落地点距离原点米， ∵筐的最左端与原点的水平距离为．在地面上摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐， 当代入， 得 解得或， ∵时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ∴由题意可知, 解得： ∴要使得游戏成功，则d的取值范围是． 故答案为：． 题型五、二次函数y=a（x-h）²+k与几何压轴问题 31．（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为． (1)求，，三点的坐标； (2)一个二次函数的图象经过，，三点，其中，该函数图象与轴交于另一点，点在线段上（与点，不重合）． ①若点的坐标为，求的值； ②用表示和，并求的最大值． 【答案】(1)，， (2)①；②，，的最大值为4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性和最值是解题关键． （1）令，求出的值即可得点的坐标，再根据二次函数的顶点式即可得顶点的坐标； （2）①先求出二次函数的对称轴为直线，再根据点关于对称轴对称可得，由此即可得； ②设点的坐标为，根据二次函数的对称性可得，则，再求出的值，然后求出，利用二次函数的性质求最值即可得． 【详解】（1）解：令，则， 解得或， ∵二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧）， ∴，， ∵二次函数的顶点为， ∴． （2）解：①由（1）可知，，， ∵这个二次函数的图象经过点，， ∴这个二次函数的对称轴为直线， 又∵这个二次函数的图象经过点，， ∴点关于对称轴对称， ∴， 解得． ②由题意，设点的坐标为， ∵这个二次函数的图象经过点，， ∴这个二次函数的对称轴为直线， 又∵这个二次函数的图象经过点，， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段上（与点不重合）， ∴，， ∴， 又∵点在线段上（与点不重合）， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为4， 综上，，，的最大值为4． 32．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）下列关于二次函数 （为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．通过分析二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及特定点代入，逐一验证各结论的正确性． 【详解】解：二次函数形状由二次项系数决定，原函数为，其二次项系数为，与的系数相同，故两函数图象形状相同，结论①正确； 对于，当时，即，该函数的图象一定经过点，结论②正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，结论③错误； 的顶点坐标为，对于二次函数，当时，，即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确； 综上，正确结论为①②④，共3个， 故选：C． 33．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（   ） A．或 B．或 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的平移及最值问题．首先确定平移后的函数解析式，再根据二次函数的性质得到最小值的位置，进而求解n的值即可． 【详解】解：原二次函数顶点为，设解析式为， 代入点得，即， 向右平移个单位后，解析式为， 代入点得方程， 解得， ∴平移后函数为，对称轴为直线，顶点坐标为， 解方程，得或， ∵当时，函数的最小值为， ∴必须包含或，且不跨越对称轴（否则最小值在顶点处为）， ∴或， 解得或， 故选：A． 34．（2025·广西贵港·模拟预测）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．甲：无论m取何值，都有．乙：若点P平移后的对应点为，则点P移动到点的最短路程为；丙：当时，随着m的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（    ） A．只有甲说得对 B．只有乙说得对 C．只有甲和乙说得对 D．甲、乙、丙都说得对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．求得抛物线的顶点即可判断甲说得对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得点移动到点的最短路程为，即可判断乙说得对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断丙说得对． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有；故甲说得对； 将抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， 点移动到点的最短路程为，故乙说得对； ， 当时，， 随着的增大而减小， 当时，随着的增大，线段由长变短，故丙说得不对． 故选：C． 35．（2025·广东珠海·一模）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，勾股定理等．由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：抛物线L的解析式为， 抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线L过两点， ， ， ，， 抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M， 设抛物线M的顶点， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得， 解得，， 点C的坐标为或 故答案为：或． 36．（2025·山东临沂·一模）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 【答案】 【分析】将抛物线化为顶点式求出对应的、的值，由得，解出再代入，即可求解． 【详解】解：抛物线，，， ，， ， 解得：或， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，新定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 37．（2025·江苏宿迁·三模）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义并应用到二次函数中解决问题是解决本题的关键；难点是得到用表示的点的坐标． 把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得和的值，易得，则可得用表示的的值及的值，进而可得用表示的的式子，把用表示的代入抛物线解析式，可得的值． 【详解】解：， ，， 抛物线的“相对深度”为6， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 38．（2025九年级下·浙江·学业考试）在平面直角坐标系运动中，已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)图象上有两点． ①若，求的值； ②探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①存在最小值为0 【分析】本题考查待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先由已知求得，再代入求得； ②由于，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由已知，二次函数的图象经过点， ∴， 解得． （2）解：①由题意，， ∴． ； ②存在最小值． 由， 得存在最小值为0． 39．（2025·陕西咸阳·一模）驱动任务：某公园为了美化环境，打造富有特色的公园，修建了两个“抛物线型”景观池某数学社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划研究这两个“抛物线型”景观池． 收集资料：经过查询后发现，这两个“抛物线型”景观池的形状大小完全一样，其俯视图如图所示．建立模型：如图，点、、在一条直线上，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线与关于轴对称，，抛物线的函数表达式为． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式； (2)点在抛物线上且在抛物线的对称轴左侧，点在轴上，是一座长的木桥，轴，现计划再修一条小道，点在抛物线上且在抛物线的对称轴右侧，轴，求小道的长． 【答案】(1) (2)20米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，理解题意是解题的关键． （1）根据题意得出抛物线的对称轴，即可得出抛物线的表达式，再根据抛物线与关于轴对称，即可求解． （2）根据题意可得，令，求出，再根据题意得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的函数表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线与关于轴对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：根据题意可得， 令，则，解得：（舍去）或， 即， ∵轴，抛物线与关于轴对称， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（3） 题型一、二次函数y=a（x-h）²+k的基本性质 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·青海西宁·阶段练习）（1）求抛物线的顶点坐标及对称轴方程； （2）当为何值时，随的增大而增大 3．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知抛物线． (1)开口方向：__________； (2)顶点坐标：__________； (3)对称轴：__________； (4)当__________时，的最__________值是__________； (5)当__________时，随的增大而减小． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的（   ） A．函数图象开口向下 B．函数图象的对称轴是：直线 C．该函数有最大值 D．当时，随的增大而增大 5．（24-25九年级上·山东威海·期末）已知抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．与轴的交点坐标 C．与轴有两个交点 D．顶点坐标 题型二、二次函数y=a（x-h）²+k的图象 6．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C． D． 题型三、二次函数y=a（x-h）²+k的增减性 8．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·重庆忠县·期中）已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 11．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ． 题型四、二次函数y=a（x-h）²+k的平移 12．（2025·山西吕梁·三模）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·浙江杭州·模拟预测）将抛物线先沿着轴方向向左平移2个单位长度，再沿轴方向向下平移3个单位长度，所得的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某二次函数的图象经过原点，且顶点是． (1)求此二次函数解析式； (2)求此二次函数图象如何平移可以得到图象？ 题型五、画二次函数y=a（x-h）²+k的图象 15．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 16．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知函数． (1)该抛物线的对称轴是直线____________，顶点坐标是____________ (2)在下面的坐标系中画出该抛物线的图象 (3)根据图象直接写出当时，的取值范围是____________． (4)根据图象写出当时，的取值范围____________． 题型六、求二次函数y=a（x-h）²+k的解析式 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知图象的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是，求此二次函数的解析式． 18．（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）已知抛物线顶点，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求此抛物线的开口方向和y的最值； 19．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． (1)求这个二次函数的表达式． (2)判断点是否在二次函数图象上，并说明理由． 20．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象经过点．且当时，有最小值． (1)求这个二次函数的表达式 (2)试判断点是否在此二次函数的图象上，并说明理由 题型一、二次函数y=a（x-h）²+k的最值 21．（2025·安徽阜阳·二模）已知抛物线，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 23．（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数（是常数） (1)若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； (2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)若二次函数的图象与轴交于点，求的值； (2)若当时，的最小值为，求的值． 题型二、二次函数y=a（x-h）²+k的推理计算与证明 25．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 26．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 题型三、二次函数y=a（x-h）²+k与几何性质的计算 27．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 28．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（   ）． A． B． C． D． 题型四、二次函数y=a（x-h）²+k的实际问题 29．（24-25九年级上·天津·期末）如图①所示，矩形窗框的周长及其两条隔断，的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行．设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图②． (1)由图②可知，当________米时，矩形的面积最大，最大值是________平方米； (2)求与之间的函数解析式并写出自变量取值范围； (3)求的值． 30．（2025·江西上饶·一模）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动路径可近似看成形状相同的两条抛物线．在如图所示的平面直角坐标系中，x（单位：m）是弹力球距抛出点的水平距离，y（单位；m）是弹力球距地面的高度．甲站在原点处，从离地面的点A处抛出弹力球，弹力球在点B处着地后弹起．已知弹力球第一次着地前抛物线的函数解析式为． (1)求a的值及的长． (2)若弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低． ①求弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的函数解析式． ②如图，如果在地面上摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，此时筐的最左端与原点的水平距离为．若要使得游戏成功，则d的取值范围是________． 题型五、二次函数y=a（x-h）²+k与几何压轴问题 31．（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为． (1)求，，三点的坐标； (2)一个二次函数的图象经过，，三点，其中，该函数图象与轴交于另一点，点在线段上（与点，不重合）． ①若点的坐标为，求的值； ②用表示和，并求的最大值． 32．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）下列关于二次函数 （为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 33．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（   ） A．或 B．或 C．1 D． 34．（2025·广西贵港·模拟预测）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．甲：无论m取何值，都有．乙：若点P平移后的对应点为，则点P移动到点的最短路程为；丙：当时，随着m的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（    ） A．只有甲说得对 B．只有乙说得对 C．只有甲和乙说得对 D．甲、乙、丙都说得对 35．（2025·广东珠海·一模）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 36．（2025·山东临沂·一模）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 37．（2025·江苏宿迁·三模）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为 ． 38．（2025九年级下·浙江·学业考试）在平面直角坐标系运动中，已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)图象上有两点． ①若，求的值； ②探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 39．（2025·陕西咸阳·一模）驱动任务：某公园为了美化环境，打造富有特色的公园，修建了两个“抛物线型”景观池某数学社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划研究这两个“抛物线型”景观池． 收集资料：经过查询后发现，这两个“抛物线型”景观池的形状大小完全一样，其俯视图如图所示．建立模型：如图，点、、在一条直线上，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线与关于轴对称，，抛物线的函数表达式为． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式； (2)点在抛物线上且在抛物线的对称轴左侧，点在轴上，是一座长的木桥，轴，现计划再修一条小道，点在抛物线上且在抛物线的对称轴右侧，轴，求小道的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$