22.1.3 第3课时 二次函数y =a (x -h) 2 +k的图象和性质-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

数学九年级上册第二十二章二次函数 第3课时二次函数y=a( 知识梳理ZHISHI SHULI 1.二次函数y=a(x一h)2十k的图象是抛物线， 它与y=ax2的 相同，只是 不同.因此，它可由抛物线y=ax2经过平移 而得到， 2.二次函数y=a(x一h)2十k及其图象有如下 性质： (1)a>0时，开口 ,顶点是图象 ;a<0时，开口 ,顶点 是图象 (2)对称轴是经过点 且平行于 轴的直线 (3)顶点坐标是 (4)如果a>0,当x<h时，y随x的增大而 ;当x>h时，y随x的增大而 .如果a<0,当x<h时，y随x的增 大而 ；当x>h时，y随x的增大 而 对点练习DUIDIAN LIANXI 知识点一二次函数y=a(x一h)2十k的图象 和性质 1.(天津和平区期中)抛物线y=一（十）° 3的顶点坐标是( A(分，-3） B(7-3) c(合3 D.(-3 2.由二次函数y=2(x一3)2十1可知( 】 A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为直线x=一3 32 x一h)2十k的图象和性质 C.其最小值为1 D.当x<3时，y随x的增大而增大 知识点二二次函数y=a(x一h)2十k的图象 与y=ax2的图象的关系 3.抛物线y=(x一2)2一1可以由y=x2平移而 得到，下列平移正确的是() A.先向左平移2个单位长度，再向上平移 1个单位长度 B.先向左平移2个单位长度，再向下平移 1个单位长度 C.先向右平移2个单位长度，再向上平移 1个单位长度 D.先向右平移2个单位长度，再向下平移 1个单位长度 4.在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点 为A(1,-4),且过点B(3,0). (1)试求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图象如何平移可使平移 后所得图象的顶点为坐标原点？ 课后作业KEHOU ZUOYE 1.二次函数)=红一2的图象与y轴( A.没有交点 B.交点为(0，-1) C.交点为(0,1) D.交点为(0，) 2.如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所 对应的函数解析式可能为( ) A.y=- .y-(x+1)? Cy=二2(x=1)2 Dy含+1-1 3.已知二次函数y=a(x十1)2-b有最小值1， 则a,b的大小关系为() A.ab B.a<<b C.a=b D.不能确定 4.在平面直角坐标系中，将抛物线y=一2x2平 移后发现新抛物线的最高点坐标为(1,2)，那 么新抛物线的解析式为() A.y=-2(x-1)2+2 B.y=-2(x-1)2-2 C.y=-2(x+1)2+2 D.y=-2(x+1)2-2 5.已知二次函数y=a(x-h)2+k(a>0),其图象 过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 6.(天津东丽区校级期末)已知点A(x1,y1), B(x2,y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象 上，若x1>x2>1,则y1 .y2 7.如图，把抛物线y=2文2平移 得到抛物线m,抛物线m经过 点A(-6,0)和原点O(0,0), 它的顶点为P,它的对称轴与 抛物线y= 2x2交于点Q,则图中阴影部分 的面积为 8.画出二次函数y=(x一1)2一4的图象. (1)指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对 33 22.1二次函数的图象和性质 称轴； (2)当x取哪些值时，y随x的增大而减小？ 当x取哪些值时，y随x的增大而增大？ (3)写出该函数图象上的最高点或最低点的 坐标及函数的最大值或最小值； (4)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平 移1个单位长度，求所得抛物线的解析式. )能力提升ENGU TISHENG→ 9.已知抛物线y=一(x一t)2十2t,试探求不论t 为何值，其顶点都在某一条直线上， 解：因为y=一(x一t)2+2t的图象的顶点坐 x=t, 标为(t,2t),即 y=2t, 所以不论t取何值，始终有y=2x. 因此可得到，不论t为何值，其顶点总在直线 y=2x上移动. 利用以上的解法，试探求解决下列题目： 已知抛物线y=一(x一m)2+2m2,试探求不 论m为何值时，其顶点总在某一个图象上 移动.3.解(1)，抛物线y=a(x十h)2的对称轴是直线x=一2， 此抛物线对应的函数解析式为y= (x-3 .一h=一2，解得h=2, .抛物线的解析式为y=a(x十2)2， 4(x+3). (2)y= 抛物线过(1，一3)， (3)存在，点P的坐标为(6,4) .-3=9a,解得a=一3， 1 第3课时二次函数y=a(x一h)2+k 的图象和性质 把物线的解折式为)=一号(x十2识 (2)由(1)可知其顶点坐标为（一2,0） 知识梳理 1∠0 1.形状位置 (3)ra=- 2.(1)向上最低点向下最高点(2)(h,0)y .抛物线开口向下， x=h(3)(h,k)(4)减小增大增大减小 对称轴为x=一2， 对点练习 .当x<一2时，y随x的增大而增大. 1.B2.C3.D 4.D 4.解(1)根据题意，设二次函数的解析式为y=a(x一1)2一4. 5.=-3x-6 因为二次函数的图象过点B(3,0),所以0=4a一4，解 得a=1,所以二次函数的解析式为y=(x一1)2-4，即 6.解(1)把，点A(2,8)代入y=ax2,得8=22·a, y=x2-2x-3. 解得a=2. (2)由题意知，原抛物线的顶点为A(1,一4)，因此只需 .抛物线对应的函数解析式为y=2x2. 将原抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移4个 ∴.将此抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线对 单位长度，即可使平移后所得图象的顶点为坐标原点。 应的函数解析式为y=2(x一1)2. 课后作业 (2)由(1)知，新抛物线对应的函数解析式为y=2(x一1)2， ',该抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1,顶点坐 1.B2.D3A4A5D6>7号 标是(1,0). 8.解列表： (3)当x<1时，y随x的增大而减小 x -2-101234 课后作业 y=(x-1)2-4 50-3-4-305 1.B2.B3.B4.D5.D 描点、连线，画出函数图象如图」 6.向左平移2个单位长度7.> 8解a=分y=+A以 当x=0时y=,则A(0,号 4 2 当y=0时，名十=0， 01234x 解得x=一h,则C(一h,0), .OA=OC ·-h=22,解得h=0(舍去)或h=一2， (1)函数y=(x一1)2-4的图象开口向上，顶，点坐标为 抛物线的解析式为y=合（红一2识 (1,一4)，对称轴是直线x=1. 能力提升 (2)当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随 9.解(1)由题意，可设此抛物线对应的函数解析式为y= x的增大而增大. a(x-3)2 (3)函数y=(x-1)2-4图象上的最低点（即顶点）坐 点B(0,4)在此抛物线上， 标是(1，一4)，函数有最小值，当x=1时，y小位=一4， (4)抛物线y=(x一1)2一4向左平移2个单位长度，再 90=4,解得a=手 向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为y= 43 (x十1)2-5，即y=x2+2x-4. 二次函数的解析式为：y=x2 能力提升 2x或y=x2+2x. 9.解因为y=一（x一m)2十2m2的图象的顶点坐标为 (2),m=2,.由二次函数y x=m, x2-2mx+m2-1得：y=x2-4x十 (m,2m2),即 所以不论m取何值，都有y y=2m2, 3=(x-2)2-1, 2x2.所以不论m为何值时，其顶点总在y=2x2的图象 .抛物线的顶点为D(2,一1)，当x=0时，y=3, 上移动： .C点坐标为(0,3)， 22.1.4二次函数y=ax2+ .C(0,3),D(2,-1) bx十c的图象和性质 (3)存在.连接CD,根据“两点之间，线段最短”可知， 当点P位于CD与x轴的交点时，PC十PD最短.设 第1课时二次函数y=a.x2+bx+c 经过C,D两点的直线解析式为y=x十b(≠0)，将 的图象和性质 C(0,3),D(2,一1)两点坐标代入解析式中可得 3=b, k=-2, 知识梳理 解得 .y=-2x十3. -1=2k+b, b=3. (1)抛物线(2)x=一2元 b 4ac-b2 2a 4a (3)①上 令y=0,可得-2x十3=0，解得x=号 低减小增大②下高增大减小 对点练习 当P点坐标为（受，0）时，PC+PD最短. 1.B2.B3.14.①③④5.D6.y=x2+2x+1 第2课时 待定系数法求二次函数解析式 课后作业 1.A2.B3.D4.D5.k<46.5 知识梳理 7.0<t<28.4 1.(1)ax2+bx十c(a,b,c为常数，a≠0) 9.解(1)由图象知，抛物线过点（1,0)，(4,0)， (2)a(x一h)2十k(a,h,k为常数，a≠0) 代入函数解析式，得-5+c=0, a=1, (3)a(x一x)(x一x)(x1,x2为抛物线与x轴交点的横 解得 16a-20+c=0, c=4. 坐标，a≠0) 故所求二次函数的解析式为y=x2一5x十4. 2.根据题目中所给的条件设出二次函数的解析式代入 点的坐标，得到方程（组）解方程（组）将求出的待 又因为y=2-5x十4=(x-)°-是，所以函教国 定系数还原到解析式中 象的顶点坐标为（侵，一是） 对点练习 1.D2.y=x2-2x-33.B4.y=x2-3x+2 5 (2)由(1)知，a=1>0,抛物线的对称轴为直线x=2， 5解(1)，点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(4,0)， .∴.AB=1+4=5, 由因象知，当x>号时，y的值随x值的增大而增大；当 AB=OC,.OC=5,∴.C点的坐标为(0,5). <号时y的值随x值的增大而减小。 (2)设过这个二次函数的解析式为y=a(x一4)(x+1) (a≠0). (3)由(1)知，y=2-5x十4=(e-吕)广-是，将抛物 点C(0,5)在该二次函数的图象上， 线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长 5=a(0-4)(0+1),解得a三一号 度，则所得抛物线的解折式为y=(。一吕+3)”-号-4， y--0+10=---0=-r+ 即y=x2+x-6. 能力提升 空+5 10.解(1)：二次函数的图象经过坐标原点O(0,0), 课后作业 .代入二次函数y=x2-2mx十m2-1,得出：m2-11.B2.D =0, 3.y=-2(x-2)2+8(或y=-2(x+2)2+8) 解得m=士1， 4.解(1)当b=3时，c=-2-b=-5,y=x2+2x-5=