15 方法技巧专题 利用“三线合一”作辅助线&教材变式专题 等腰三角形中的特殊模型-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（沪科版2024 安徽专版）

方法技巧专题 利用“三线合一”作辅助线 题型①在等腰三角形中，构造三线合一 题型② 利用垂直平分线构造等腰三角形 1.(2025池州贵池区期末)如下图，在△ABC3.如下图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF 中，AB=AC,∠BAC=120°，D为BC的中 交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE 点，DE⊥AC丁点E,AE=8.求CE的长 的中点，且BE=AC (1)求证：AD⊥BC. (2)若∠C=70°，求∠BAC的 E D O 度数 2.如右图，在△ABC中，AB=AC, D为CA延长线上一点，且DE 题型③ 利用角平分线及其垂线构造等腰三 ⊥BC交AB于点F,交BC于 角形 点E 4.如右图，在△ABC中， B E (1)求证：△ADF是等腰三角形 ∠ABC=3∠C,AD平分 (2)若EF=4,F为AB中点，求DF的长 ∠BAC,BE⊥AD于点E 求证：BE=号(AC-AB.) 上用第15章 等腰三角形中的特殊模型 教材变式专题 (“一线三等角”和“手拉手”) 模型① “一线三等角” 教材母题 【例1】如右图，在 △ABC中，AB=AC,点D, E分别在边BC,AC上，AD =AE.若∠BAD=30°.求∠EDC的度数： 【解】，AB=AC,∴.设∠EDC=x,∠B ∠C=y, 模型② “手拉手” 则∠AED=∠EDC十∠C=x十y. 教材母题 ,AD=AE..∠ADE=∠AED=x十 【例2】已知：如下图，点C为线段AB上一 y,.∠AIDC=∠ADE+∠EDC=2x十y. 点，△ACM和△CBN是等边三角形，AN交 又，∠ADC=∠B十∠BAD, CM于点E,BM交CN于点F.求证： .2x十y=y十30°，解得x=15, (1)CE=CF. ∴.∠EDC的度数是15 (2)EF∥AB 【方法指导】本题是教材原感，主要考查的 【解】(1)，△ACM和 是等腰三角形的性质，当∠ADE=∠B时，可 △CBN是等边三角形， 以构造出“一线三等角”.所谓“-一线三等角”是 ∴.AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠NCB 指在一条直线土出现了三个角相等，只要见到 =G0°，.∠ACN=180°-∠NCB=120°， 一条直线土出现三个等角，综合性题目信往就 ∠MCB=180°-∠ACM=120°， 会利用全等以及警服三角形的性质作为出题 .∠ACN=∠MCB, 和解题的一种形式 .△ACN≌△MCB(SAS),∴.∠ANC 变式题 ∠MBC.即∠ENC=∠FBC. 1.如下图，D,E为直线l上的两个动点(D,A, ,∠ECN=180°-∠ACM-∠NCB E三点互不重合)，F为∠BAC内一点，且 60°，.∠ECN=∠FCB=60°， △ABF和△ACF均为等边三角形，连接 .△ECN≌△FCB(ASA),.CE=CF FD,FE,BD,CE,若∠BDA=∠AEC= (2),∠ECN=60°，CE=CF, ∠BAC,求证：DF=EF .△ECF是等边三角形，∴∠EFC-60°， .∠EFC=∠NCB,.EF∥AB. 【方法指导】本题是敦村原题，主要考查的 是等腰三角形的性质，当两个篓腰三角形的顶 角度数相等，且顶角的顶点重合时，可以构造 出“手拉手”.本燕型住往就会利用全等以及等 腰三角形的性质作为出题和解题的一种形式· 92 八年级数学HK版 变式题 (2)如图②，当点C在线段AB外，其他条件 2.如右图，△ACB和△DCE均为 不变时，(1)中的结论是否仍然成立？若成 等腰直角三角形，∠ACB= 立，请说明理由；若不成立，请你写出正确结 ∠DCE=90°，点A,D,E在同 论，再说明理由。 一直线上.CM为△DCE中DE边上的高，连 (3)如图③，点E为四边形ABCD内一点， 接BE 且满足∠AED=∠BE℃=90°，AE=DE, (1)求∠AEB的度数. BE=CE,对角线AC,BD交于点P,AC (2)探究线段CM,AE,BE之间的数吊关 10.求四边形ABCD的面积. 系，并说明理由. 图② 3.如图①，点C在线段AB上（点C不与端点 A,B重合)，分别以AC,BC为边在AB的 同侧作等边三角形ACD和等边三角形 BCE,连接AE,BD交于点P. (1)AE与BD的数量关系是 ∠APD的度数是 上用第15章∠DAC-∠C-∠BDA-36 ∴.∠BAC=∠BAD+∠DAC=108°， 故原三角形最大内角为105”： ④当原三角形是钝角三角形，∠C=36时，如图④. .∠C=36,AD=BD=BC, ,∠G=∠BDC=36°， ·∠DBC=180-∠C-∠BDC=1o8, ∠A=∠ABD-号∠BDC=18, ∴.∠ABC=∠ABD+∠DBC=126 故原三角形最大内角为126°： 离④ 需5 ⑤当原三角形是纯角三角形，∠ABC■36时，如图⑤ ∠ABC=36°，AD=BD,CD=CB,设∠DBA=x, ∴.∠A=∠DBA=x°，∠CBD=∠CDB=36°-x. :∠CDB=∠A十∠DBA,.36°-x°=2x,解得x=12, .∠C=180°-36-12°=132 故原三角形最大内角为132： 踪上所述，原三角形最大内角的所有可能值的总和为？2“+ 90°+108°+126°+132°=528. 4.解：①如图①，当△ABC是锐角三角形，且AB=AC时 由题意可知，∠ADB=90,∠ABD=50°， ∴，在RtAABD中，∠A=90°-∠ABD=40 又：AB=AC, ∴∠C=∠ABC=- ×180'-∠A)=70, 图① ②如图②，当△ABC是钝角三角形，且AB=AC时 由题意可知，∠ADB=90°，∠ABD=50°， 在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=40° 又：∠BAD=∠ABC+∠C,AB=AC, 六∠C=∠ABC=2∠BAD=20 综上所述，该等腰三角形底角的度数为70或20°， 5.解：设等腰三角形的腰长为x,底边长为y, 十x=, +x=27, 则有 或 专+y=: 此时两种情况都符合三角形三边关系定理。 故等腰三角形的腰长为14，底边长为20或腰长为18，底边 长为12. 6.解：当∠A为锐角时，如图①，AB的垂直平分线与AC交于 点N,与AB交于点M :MN与AC相交所得角的度数为48，六∠ANM=4S, ·∠A=90°-∠ANM=90°-48°=42. AB=AC, ∠B= ×(180-∠A)=X180'-42)=69: 4 图① 图2 当∠BAC为钝角时，如图②，AB的垂直平分线交CA的括 长线于点N,交BC于点M. :MN与AC所在的直线相交所得锐角的度数为48"， .∠ANM=48", .∠NAB=90°-∠ANM=90°-48=42 AB=AC,∠NAB=∠B+∠C, ∠B-∠C-7∠NaB-号X4g-2 1 综上所述，∠B的度数为69或21 7.解：当∠A为顶角时，如图①. :BD平分∠ABC且∠ABC=∠C, ∠ABD-∠CBD-言∠ABC-7∠C 设∠ABD=∠CBD=x,则∠ABC=∠C =2x ① ∴.∠BDA=∠CBD+∠C=3x,∠A=180°-2∠ABC 180°-4x. ∠BDA:∠A=9:4, .3x￥(180°-4x)=9:4, 解得x=33.75. 经检验，x=33,75是原方程的解， ∠A=180°-4z=45: 当∠A为底角时，如图② BD平分∠ABC且∠ABC=∠A: ∴∠ABD=号∠ABC=∠A. 1 设∠ABD=x,则∠ABC=∠A=2x, .∠BDA=180°-∠A-∠ABD=180 图2 -3x. ∠BDAt∠A=9:4, .(180°-3x)￥2x=9￥4， 解得x=24 经检验，x一24“是原方程的解， ∠A=2x=48. 综上所述，∠A的度数为45“或48 方法技巧专题利用“三线合一"作辅助线 1.解：连接AD,如图. :AB=AC,∠BAC=120°，D为BC的 中点， AD⊥BC,AD平分∠BAC,∠B=∠C =30°， 六∠DAC-Z∠BAC=6O DE⊥AC, 上册参考答案 173 .∠AED=90, F∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+∠CBF= ·∠ADE=30 ∠ABC=3∠C, 在Rt△ADE中，AE=8,∠ADE=30° ·∠C+2∠CBF=3∠C, .AD=2AE=16. ∴∠CBF=∠C, 在Rt△ADC中，AD=16,∠C=30, ∴.BF=CF, ,.AC=2AD=32, ∴.CE=AC-AE=32-8=24 BE-BF-CF. 2.解：(1)证明：AB=AC, .CF=AC-AF=AC-AB ∴∠B=∠C. BE-(AC-AB). ,DE⊥BC,∠DEC=∠DEB=90°， ,∴.∠B+∠BFE=90,∠C十∠D=90, 教材变式专题等腰三角形中的特殊模型 ∠D=∠BFE (“一线三等角”和“手拉手”) '∠BFE=∠AFD 1.证正明：∠BDA=∠AEC=∠BAC, ,∠D=∠AFD, ∠BDA+∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠BAC+∠CAE .AD=AF. =180, .△ADF是等腰三角形， ,∠ABD=∠CAE (2)如图，过点A作AG⊥DE,垂足为G ,△ABF和△ACF均为等边三角形， AD=AF,:.DG=GF. ∴∠ABF=∠CAF=G0',FB=AB=AF=AC, ,F为AB中点， 六∠DBA+∠ABF=∠CAE十∠CAF, AF=BF=乞AB, 即∠DBF=∠EAF, 在△ADB和△CEA中， 在△AFG和△BFE中， ∠ABD=∠CAE, ∠AGF=∠BEF=90, ∠AFG=∠BFE ∠BDA=∠AEC AF=BF. AB-CA, .△ADB≌△CEA(AAS), .△AFG≌△BFE(AAS), ..BD=AE. .GF-EF-4. 在△DBF和△EAF中， .DF=2GF=8. FB-FA, 3.解：(1)证明：连接AE,如图 ∠DBF=∠EAF: :EF是AB的垂直平分线， BD=AE. ..BE-AE. .△DBF≌△EAF(SAS), .BE=AC, “.DF=EF ∴.AE=AC 2.解：(1)如图，△ACB和△DCE均为 D为线段CE的中点， .AD⊥BC 等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE =90°. (2):AE=BE. ,,AC=BC,DC=EC,∠I+∠DCB= ∴.∠B=∠BAE :∠AEC是△ABE的外角， ∠2+∠DCB=90°， .∠1=∠2. .∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B AE=AC, 在△ACD和△BCE中， (DC-EC, ∴.∠AEC=∠C=2∠B ∠C=70°， ∠1=∠2， .∠B=35 AC=BC, .△ACD≌△BCE(SAS), '∠B+∠C+∠BAC=180, AD=BE,∠ADC=∠BEC ∴.∠BAC=180°-35-70°=75 4.证明：延长BE交AC于点F,如图 :△DCE是等腰直角三角形， ∠3=∠4=45， BF⊥AD, .∠ADC=180°-∠3=135“， .∠AEB=∠AEF=90 ,∠BEC=135, AD平分∠BAC, “.∠AEB=∠BEC-∠4=135°-45°=90° ∴，∠BAE=∠FAE (2)AE=BE+2CM.理由如下： ∠AEB=∠AEF, “△DCE是等腰直角三角形，CM⊥DE, 在△ABE和△AFE中， AE=AE, .∠DCM=∠ECM=∠3=∠4=45， ∠BAE=∠FAE, DM-ME=CM. ∴·△ABE≌△AFE(ASA), .DE=2CM. ,.∠ABF=∠AFB,AB=AF,BE=FE. 174 八年级数学HK版 由1)可知，AD=BE, ∴，AE=AD+DE=BE+2CM 3.解：(1)AE=BD60 (2)(1)中的结论仍然成立。 理由：如图①，AC交BD于点O 图① △ACD,△BCE都是等边三角形， ,CA=CD,CE=CB,∠ACD=∠BCE=6O' ∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACB, .∠ACE=∠DCB. 在△ACE和△DCB中， CA-CD, ∠ACE=∠DCB, CE=CB. ∴△ACE≌△DCB(SAS), .AE=DB,∠EAC=∠BDC: :∠AOP=∠DOC, ∠APO=∠DCO=60, 即∠APD=60°. (3)如图②，AC交BE于点O :∠AED=∠BEC=90', ∴.∠BEC十∠AEB=∠AED十∠AEB, ∴.∠AEC=∠DEB. 又：AE=DE,CE=EB, '.△AEC≌△DEB(SAS), ∴.AC=DB=10,∠DBE=∠ACE. :∠BOP=∠EOC, ∠BPO=∠CEO=90 AC⊥BD, ∴SiAm-2AC·DP+号AC·PB-号AC·(DP PB)=7AC·BD=50, 章末对点导练 1.D2.B3.40 4.解：(1)如图所示，△A:B1C即为所求. (2)如图所示，△A:B:C:即为所求. (3)如图所示，点P即为所求。（一2,0） 5.C6.48 7,解：(1)连接BD并延长，交AC于点H,如图， :DE,DF分别为BC,AB边的垂直平分线， .DC=DB,DA=DB ·∠DAB=∠DBA∠DCB=∠DBC,DA=DC, ·∠ACD=∠CAD. :∠ADH=∠DAB+∠DBA=2∠DBA,∠CDH=∠DCB +∠DBC=2∠DBC, ·∠ADC=2∠ABC=80, 六∠ACD=z×a80°-∠ADC)=50 (2)∠ABC+∠ACD=90.理由如下： ,∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°， .2∠ACD+2∠ABC=180. ∴.∠ABC+∠ACD=90. 8.29.1510.A11.C 12.证明：(1)：∠ABC-∠ACB, AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上， OB=OC,·点O在BC的垂直平分线上， ∴AE垂直平分BC, (2):∠OED=∠ODE, :.OD=OE. 又：BD⊥AC,AE⊥BC, 即OD⊥AC,OE⊥BC, CO平分∠ACB (3)由(1)知AB=AC ∠BAC=60, ,△ABC是等边三角形， .BC=AC,∠ACB=60 由(1)知AE垂直平分BC, E是BC的中点， ∴BC-号BC 'BD⊥AC, acD-÷ac. ..EC=CD. ,△CDE是等边三角形. 13.解：(1)：AB=AC,∠BAC=90°， ∴∠B=∠C=45 '∠BAD=60,∠DAE=30. AD-AE. ∠AED-吉180-∠DAE)=75 ·∠CDE=∠AED-∠C=30 (2)设∠BAD=x,则∠CAD=90°-x. :AE=AD,∠AED=45+ ÷∠CDE=∠AED-∠C=zx, .∠BAD=2∠CDE (3)设∠CDE=x∠C=y :AB=AC,∠C=y, 上册参考答案 175