13.1 三角形中的边角关系-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（沪科版2024 安徽专版）

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 13.1三角形中的边角关系 第1课时三角形中边的关系 要点梳理 1,由不在同一条直线上的三条线段背尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形 2,三角形按边长关系分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形和底边和腰不相等的 等腰三角形 3.三角彩三边关系：三角形中任常两边的和大于第三边，三角形中任意两边的差小于第三边 已课内基础闯关 6.如图所示的是折叠凳及其侧面示意图.若 AC=BC=12cm,则折叠凳的宽AB可能为 知识点①三角形的有关概念 1.下列说法正确的是 A.20 cm ①等腰三角形是等边三角形： B.24 cm ②三角形按边分类可分为等樱三角形、等边 C.30 cm 三角形和不等边三角形； D.36 cm 第6题里 ③等腰三角形至少有两条边相等. 7.已知a,b,c是△ABC的三边长，则化简a A.①②B.②③ C.①③ D.③ 十b一c|十be一a|一ea十b的结果是 2.(教材变式)图中三角形的个数为 ( 8.(教材变式)已知等腰三角形ABC A.2 B.3 (1)若AB=7,BC=2,则△ABC的周长为 C.4 D.5 R D 第2题图 知识点②三角形三边的关系 3.(2025合肥期末)下列长度的三条线段能组 (2)若△ABC的周长为24，且AB= BC, 成三角形的是 则AC的长为 A.1 cm,2 cm.3 em B.1 cm,3 cm,5 cm 9.已知△ABC的三边长分别为a,b,c. C.2 cm,2 cm.5 cm D.3 cm.4 cm,5 cm (1)若a,6,c满足(a-b)+(b一c)2=0,试 4.已知三角形三边长分别为2，x,13.若x为 判断△ABC的形状， 正整数，则这样的三角形个数为 (2)若a=5,b=2,且c为整数，求△ABC周 A.7 B.5 C.3 D.2 长的最小值及最大值， 课外拓展提高 5.(2025池州期末)△ABC中，AB=6,BC= 2.若边AC的长为偶数，则△ABC的周长为 ( A.12 B.14 C.15 D.16 39 上用第13章 第2课时三角形中角的关系 要固税理 1,三角移的内角和等于180 2.三角形按角的大小可分为能角三角形、直角三角形和纯角三角形 课内基础闯关 5.(2025淮南期末)若三个内角的比为2：5： 3,则△ABC的形状是 () 知识点①三角形按角分类 A.等腰三角形 B.锐角三角形 1.三角形按角分类可以分为 C.直角三角形 D.饨角三角形 A.直角三角形、等腰直角三角形 6.将一副三角板按如图所示的位置摆放，则 B.等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C.锐角三角形，直角三角形、纯角三角形 ∠a+∠9 D.以上答案都不正确 2.将一个三角形分成两个三角形，这两个三角 形不可能 ) 第6题明 A.都是钝角三角形 7.在△ABC中，∠A：∠B=1:2,设∠A的 B.都是直角三角形 度数为x,∠C的度数为y C.都是锐角三角形 (1)求y与x之间的函数关系式 D.是一个锐角三角形和·个钝角三角形 (2)若△ABC是锐角三角形，请确定x的取 知识点②三角形的内角和 值范围 3.(2025宿州期未)如图，△ABC缺了个角 ∠C.若∠A=76°，∠B=20°，则∠C的度数 是 ( A.96 B.86 C.84 D.66 8.{教材变式)如下图，在△ABC中，延长BC 第3题图 第4题烟 至点D,过点D作DE_AB于点E,交AC 4.如图，点E,D分别在边AB,AC上.若∠B 于点F.已知∠A=54°，∠FCD=122°，求 =30°，∠C=55°，则∠1十∠2的度数为 ∠B和∠D的度数 A.85 B.80 C.75 D.70 变式题“4”字型变为“8”宇型 如图，AB与CD相交于点M,已 知∠A=50°，∠C=75,∠D= 45,则∠B 查武题实 40 八年级数学HK版 @课外拓展提高 @综合能力提升 9.如图，在一副直角三角板中，两块三角板 13.推理能力如图①，已知∠A十∠B十∠C十 (△ABC和△DEF)各有一条直角边与直线 ∠D一∠E=180°.小聪借助几何画板将图 GH重合，∠BAC=30°，∠EDF-45°，连接 ①进行调整，得到图②、图③、图④①三个图 BD.若∠ABD=19,则∠BDF的度数为 形，请解决下列问题： A.90° B.94 C.95° D.100 第9题图 第10随图 10.如图，小明将一块直角三角板摆放在直尺 明3 明④ 上，已知∠A=30.若∠ACB=115°，则 (1)根据图②，得∠A,∠B,∠C.∠D,∠E ∠DEF的度数是 ( 满足的关系式是 A.35°B.45 C.55 D.65 11.如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4. (2)如图③，点E在AD上，试说明∠A十 若∠A=60°，则∠F ∠B+∠C+∠D-∠BEC=180 (3)如图④，点E在AD上方，(2)中的结论 是否还成立？如果成立，请说明理由：如果 不成立，请写出你的结论 结11题医 12.把一副三角板按如下图所示的方式摆放， EF交AC于点H,∠B=∠D=90°，∠A =60°，∠F=45,DE⊥BC.求∠CHE的 度数， 上用第13章 第3课时三角形中几条重要线段 要恩祝理 1,三角彩中，除三条边、三个角是它的基本元幸外，还有角平分线中线和高线， 2.三角形三条中线交于一点，这个变点就是三角形的重心 3.三角形的三条角平分线交于一点，三条高所在直线交于一，点 @课内基础闯关 知识点① 三角形的角平分线 1.如图，若AD是△ABC的角平 分线，∠B=40°，∠C=70,则 第4题烟 第5短图 ∠BAD的度数为 () 5.(2025马鞍山期末)如图所示，在△ABC中， A.25 B.30 第1题剧 D,E分别为BC,AD的中点，且S△A8C= C.35 D.40 6cm°，则阴影部分的面积为 cm2. 2.如图所示，在△ABC中，若∠B=40°，AD, CD分别平分∠BAC,∠ACB,则∠ADC的 知识点③三角形的高线 度数为 6.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角 形的一个顶点，那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 7.(2024一2025合肥期中)如下图所示，在 第题图 交式题图 △ABC中，AB=10. 变式题由两条角平分线夹角求内角度数 (1)请作出△ABC的高AE和CD. 如图，在△ABC中，AD和BD分别平分 (2)已知CD=6,求△ABC的面积. ∠BAC和∠ABC.若∠ADB=135°，则 (3)若BC=7,求AE的长， ∠ACB的度数为 知识点②三角形的中线 3.如图，在△ABC中，D,E,F分别 是边AB,AC,BC的中点，G为线 段EC的中点.下列四条线段中， 是△ABC的巾线的是 ( 第3超图 A.线段DE B.线段BE C.线段EF D.线段FG 4.如图，在△ABC中，E是边BC的中点，AB =7,AC=10.若△ABE的周长是22，则 △ACE的周长是 ( A.15 B.25 C.29 D.32 142 八年级数学HK版 @课外拓展提高 CD (2)若AB=12,AC=10,求gE的值. 8.如图，在△ABC中，AD是 △ABC的角平分线，DE是 △ACD的角平分线.若∠B B =40°，∠C=60,则∠ADE 第8题图 的度数为 A.30 B.40 C.50 D.60 易错点高的位置不确定导致漏解 9.已知AD,AE分别是△ABC的高和中 线.若BD=2,CD=1,则DE的长为 ( A.0.5 B.1 C.1.5 D.0.5或1.5 10.如图，已知！BD是△ABC的一条中线， 总综合能力提升 △ABD与△BCD的周长分别为17,14，则 13.推理能力如下图，AD,AE,AF分别是 AB一BC的长是 △ABC的高线、角平分线和中线， (1)下列结论：①BF=AF:②∠BAE ∠CAE;③S△A6F= 2S△AC:@∠C与 第10题图 第11题图 ∠CAD互余.其中正确的是 (填序号). 变式题边长大小不明确，需分类讨论 已知在△ABC中，AC=30cm,中线AD (2)若∠C=56°，∠B=36°，求∠DAE的 把△ABC分成两个三角形.若这两个三角 度数。 形的周长差是12cm,则AB的长是 (3)若∠C>∠B,直接写出∠DAE与∠C 一∠B之间的数量关系. 11.如图，已知D,E,F分别为AC,BC,BD的 中点，连接AF,DE,EF.若四边形ADEF 的而积为15，则△ABC的而积为 12.如右图，BE和CD是 △ABC的两条高线且相交 于点O. (1)若∠A=65,求∠B(OC 的度数。 上第13年 4△所以平移后的直线表达式为y一x十8 10.D11,x>212.C 13.解：(1)设与x之间的函数关系式为w=x十b. ,05,d0代人得。气 k=-2, 5b-74, 所以和与x之间的函数关系式为=一2x十T4. 3.x(0x10), 2)因为y-{-6x+90(10<x616, 所以当y=3x=1多时，x=8； 当y=-6x十90=18时，x=12, 所以第6天和第12天口销售量为18件， 当x=6时，0=一2×6|74=62，销售额为62×18=1116 (元)： 当x=12时，w=一2X12十74=50，销售为50X15=806 (元)， 所以第右天日销售金额较亮. 14.D15.D16.D17.1(答茶不准) 18.都：(1)把点(2,1)代入y=表x十3，得-20十3=1，解得表 =1.把点(2,1)代人y-c6,得2十b=1,解得b=一. (2)m会1. 19.解：(1)设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元. 由题宝红年年化 y=30. 答：A型挂面何袋20元，B型挂面每袋36元 (2)设购买B型挂面a袋，总费用为心元，则购买A型挂面 (40一a)袋. 由题意，得20(40一a)十39a≤950，屏得a15 因为a210,所以10≤a15. 因为8为正整数，所以a=10或11或12或13或14或15. w=20(40-a)-30a=10a+800. 因为100，所以w度4的增大而增大， 所以当一10时，w有最小值，最小位为10×10十800 =900. 答：共有6种购买方案，最低花费900元 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 13,1三角形中的边角关系 第1课时三角形中边的关系 1.D2.D3.D4.C5.B6.A7.3a-b-c 8.(1)i6(2)9.6 9.解：(1)：(a-b)°+(b-c)2=0, ∴.a-b=0,币-c=0, ,,4=b=cg ∴△ABC是等边三角形。 (2),a-5,b-2,且c为整数， ,∴.5-2c5十2，即3<67，∴.0-4,5,6 当c=4时，△ABC周长有最小值5十2十4=11： 当c=6时，△ABC周长有最大作5十2十6=13. 第2课时三角形中角的关系 1.C2.C3.C4.A变式题s0°5.C6.195 7.￥：(1)∠A=x,∠A+∠B=12,∴∠B=2z, .y=180°x-2x=180°-3x 180°-3x<90,解得30t<15 12x<90°， (2)依题意，得 8.解：DE⊥AB,·∠AED=∠BED=90. :∠A=54°，/A十/AEF-/AFE=180°， ∠AFE=180°-90°-54°=36， :∠CFD与∠AFE互为对顶角， ∴∠CFD-∠AFE-36, ∴.在△CFD中，∠D=18-∠F℃D-∠CFD-180-122 -36*-22, ·在△BED中，∠B=180°-∠D-∠BED=10°-22 90=68. 9.B10.C11.120 12,::∠A=60°，∠F=45°，∠B=∠D=90°， .∠C=30,∠DEF=45 *DE⊥BC, ∴∠CED=90, .∠CEH=∠CED+∠DEF=90+45=135°， ∠CHE=180°-∠C-∠CEH=180°-30°-135=15 故∠CHE的度数为15. 13.￥：(1)∠B十∠C十∠D-∠FAC-∠FEC=180 (2)如图① ∠A+∠C+∠1=180°，∠B-∠D+ ∠2-180°， ∴∠A+∠C-15-∠1，∠B+∠D 180°-∠2， 图①) ∴∠A+∠B+∠C+∠D=180°+189°-∠1-∠2. '∠BEC=180°-∠1-∠2， ∴∠A+∠B+∠C+∠D=180°+∠BEC, ∠A+∠B+∠C+∠D-∠BEC=1S0. (3)成立，理由如下： 如图，过点E作FG/AD交AC于点F,交BD于点G, ∠1=∠A,∠2=，‘D. :∠BEC+∠3+∠4=180， ∠BEC-150°-∠3-∠4. ∠1+∠C+∠3=15的°，∠2+∠B+ ∠4-180°， *.∠1-∠C+∠2+，∠B=180+180 ∠/3-∠4， ,∠1-/C-∠2+，B-180°十/BEC, ∴∠A十∠C+∠D+∠B=180°+∠BEC, ·∠A+∠B+∠C+∠D-∠BEC-180. 第3课时三角形中几条重要线段 1.C210变式题03B4.B526.C 7.解：(1)如图，AE,CD即为所求作的高. (2)AB-10,CD-6,CD是△ABC的高， 4S△Ae=2AB·CD=zXi0X6=30. (3)AE是△ABC的高，且S△c=30, 56=7BC·AE=30, 7×7·AE=0,AE= 7 上册懿考答案 159 8.B9.D10.3变式题42cm或18cm11.40 12.解：(1)，BE和CD是△ABC的两条高线， ∴∠BDO=∠AEB=90, ∴∠ABE+∠BOD=180°-∠BD0=90,∠ABE十∠A= 180°-∠AEB-S0°， .∠BOD=∠A=65 ÷∠B0C=180°-∠B0D=180-65-115“ (②)由三角形的面积公式，特Sa=立·AB·CD=之 AC·BE. ,AB=12,AC=10, ÷7×12GD=2×10~BE, 器8吾 13.解：1)④ (2):∠C=56,∠B=36, ∴∠BAC=1S0°-∠B-∠C=180-36°-56=88 :∠BAE=∠CAE,AD⊥BC, ∠BAE-∠CAE-号∠BAC=4,∠MD=约-∠B =90°-36°=54°， ∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=54°-44=10 3)∠DAE=z(∠C-∠B). 13.2命题与证明 第1课时命题 1.A2.B3.如果同旁内角互补，那么两直线平行 4.C5.若x>0,则x2>06.1D7,D 8.四个角都是直角的四边形是正方形 9.(答案不唯一)一√瓦见 10.解：(1)“邻补角是互补的角”的条件是“两个角是邻补角”， 结论是“这两个角互补”，是真命题。 (2)“同位角相等”的条件是“两个角是同位角”，结论是“这 两个角州等”，是服命题 反例：知图，∠1和∠2是同位角，但∠1+∠2（答蒸不唯 第2课时证明 1.C2.C 3.证明：ABCD,∠BAO=∠CDO 又：AE,DF分别是△BAO,△CDO的角平分线， .∠EAO= ∠BA0-吉∠CD0=∠FDO. ∴.AE∥DF 4.解：BAF两直线平行，同位角相等BAF等量代换 CAD CAD等量代换内错角相等，两直线平行 5.解：示例：AD∥BC,∠B-∠CAD平分∠EAC 证期：AD∥BC,∠B=∠AD,∠C=∠DAC 又'∠B-∠C,∠EAD-∠DAC,即AD平分∠EAC. 故是真命题. 160 /八三级数学HK版 第3课时三角形内角和定理及其推论 1.解：∠C∠2∠B∠A∠A180 2.A3.A4.C5.C变式题D6.C 7.045°2)902▣ 45 8.证明：：ABCD. ,∴.∠BAC+∠ACD=180 ∠E-90,∠CAE+∠ACE=90°， ∴.∠BAE+∠ECD=90. :AE平分∠CAB, .∠CAE=∠BAE, .∠CAE+∠ECD-90°， ∴∠FCD-∠ACE,即CE平分∠ACD. ◆一题多解法 如图，过点E作直线EF∥AB,设∠CAE=x° ,AE平分∠CAB,∠AEC=50°， +∠BAE=∠CAE=x°，∠ACE= 90°-x° ,EF/AB,AB∥GD. ,∴，AB∥EF/CD, ·∠AEF=∠BAE=ax, .∠FEC=/ECD=90°-x, .∠ECD=∠ACE,即CE平分∠ACD. 9.解：(1)，M0N=65°， .∠2+∠3=280°-∠M0N=180°65°=115. :∠=∠2，∠3=∠4 ÷.∠EGB+∠EBC=360°-2（∠2+∠3）=360°-115×2 =130, ./BEC=180°-(/ECB十/EBC)=180°-130°=50°. (2)2a十2=180°3=2a 方法技巧专题三角形角的度数的计算 1.C2.B3.65减35 4.斜：(1)∠BAC=90°，∠ACB=60° ÷∠ABC=180°-90-60°=30°. :BD平分∠ABP, ·∠ABD=z∠ABP=15. 当AP⊥BC时，∠APB=9的， ,.∠BAP=90°-∠ABP=60 AD平分∠BAP, ∴∠BAD=∠BAP=30, ∴.∠ADB=180°-15°-30°-135 (2)出(1)可知，∠ABD一15°， ,.∠ADB-180°-15°-∠BAD-165-∠BAD. 由点P不能与点B重合，德∠BAD>0,∴∠ADB<165 由点P可以与点C重合，得∠BAD行∠BAC-4 ∠ADB≥165-45-120. 故∠ADB的报值范回为120°≤∠ADB<165, 5.解：(1)CD是，∠ACB的平分线，∠ACB=54°， 1 六∠ACD=7∠ACB=27