第1章 问题解决策略：反思&专题小练习(一)勾股定理与代数的完美结合&易错小练习-【勤径千里马】2025-2026学年新教材八年级上册数学随堂小练10分钟（北师大版2024）

随堂小练△0分钟 八年级数学·北师版·上册 ☆问题解决策略：反思 1分钟知识速记 1.在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线段的性质：两点之间线段最 短.在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，应将其展成平面图形，利 用平面图形中线段的性质确定最短路线. 2.立体图形表面的最短路线问题的一般解题步骤 9分钟目标检测 利用 勾股 立体展开平面找到平面图形上垂直连接对应点，构定理 图形 图形 的对应点 造直角三角形 求解 >目标 掌握最短路径问题的求法 1.如图是一个正方体，有一只蚂蚁从点A沿表面爬向点B,则它所爬过的 最短路径在部分侧面展开图中用虚线可以表示为 ( ) B B B B B A“ A“ A- A A1题图 A B C D 2.如图，长方体的底面的长和宽分别为2 cm和1 cm,高为4 cm,点P在边 BC上，且BP= BC..如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一 圈到达点P,那么所用细线最短为 cm. Bg A. 20 4cm 2 3 A 2cm B 1 cm 单位：dm 2题图 3题图 3.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm,3 dm,2 dm,A和 B是这个三级台阶两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的 食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是______dm. 4.如图，圆柱底面圆的周长为4 cm,高为6cm,蚂蚁从底面点A处绕圆柱爬 行，爬行2圈后正好到达点A的正上方点B处，求蚂蚁爬行的最短路程. B A 4题图 打好学习基础，提升解题能力 见此图标阻抖音/微信扫码 随堂小练△0分钟 八年级数学·北师版·上册 专题小练习(一) 勾股定理与代数的完美结合 1.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A.5,2,3 B.7,24,25 C.6,8,10 D.9,12,15 2.已知1x-121+(y-5)2=0,如果以x,y的长为直角边作一个直角三角 形，那么这个直角三角形的斜边长是 ( ) A.2.5 B.5 C.7 D.13 3.如图，正方形网格中有△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是( ) A.直角三角形 B B.锐角三角形 C C.钝角三角形 X D.以上答案都不对 3题图 4.小明用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根 火柴棒，他摆完这个直角三角形共用火柴棒 ( ) A.20根 B.14根 C.24根 D.30根 5.你听说过亡羊补牢的故事吗?如图，为了防止羊的再次丢失，小明爸爸 要在高0.9m,宽1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条 木板需_____m长. B 日 C- E A 1.2m D 5题图 6题图 0.9 6.如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°,BC=5,AB=13,在AC上取一 点E,沿BE折叠纸片，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上 的点D重合，则CE的长为 _____. 7.观察下列各式：32+42=52;82+62=102;152+82=172;242+102=262;⋯ 你有没有发现其中的规律?请你用发现的规律写出接下来的式 子______ 打好学习基础，提升解题能力 见此图标抖音/微信扫码 随堂小练△0分钟 八年级数学·北师版·上册 8.交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一 辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检 测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为 50 m,这辆小汽车超速了吗? 小汽车B C 小汽车 A 检测仪 8题图 9.已知△ABC的三边长分别为22,ab,22+3(a>b>0)试说明： △ABC是直角三角形. 打好学习基础，提升解题能力 见此图标抖音/微信扫码 随堂小练△0分钟 八年级数学·北师版·上册 第一章易错小练习 >易错点1 审题不仔细，受定势思维影响 1.已知在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b) =c2,则 ( ) A.∠A为直角 B.∠C为直角 C.∠B为直角 D.不是直角三角形 2.已知直角三角形的两边长分别是3,4,则第三边长的平方是____. 3.已知在△ABC中，AB=15,AC=20,边BC上的高AD=12,求BC的长. >易错点2 运用勾股定理时忽略实际问题的限制 4.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小 圆孔，求一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小 圆孔的大小忽略不计)的范围. 5 a 12 4题图 80 10 CS 打好学习基础，提升解题能力 见此图标抖音/微信扫码 随堂小练△0分钟 八年级数学·北师版·上册 3 勾股定理的应用 [9分钟目标检测] 1.C 2.A 3.4 4.解：在Rt△ABC中，因为∠CAB=90°, BC=17米，AC=8米， 所以AB2=BC2-AC2=172-82=225, 所以AB=15米. 因为此人以每秒1米的速度收绳，7秒 后船移动到点D的位置， 所以CD=17-1×7=10(米), 所以AD2=CD2-AC2=100-64=36, 所以AD=6米， 所以BD=AB-AD=15-6=9(米). 答：船向岸边移动了9米. 5.解：设水池的深度AC=x m, 所以AB=AC+CB=(x+0.5)m. 根据勾股定理，得AC2+CD2=AD2, 所以x2+1.52=(x+0.5)2, 解得x=2. 答：水池的深度AC为2m. 6.解：设阅览室E到点A的距离为x km, 在Rt△EAC和Rt△EBD中， CE2=AE2+AC2=x2+152, DE2=EB2+DB2=(25-x)2+102 因为点E到点C,D的距离相等， 所以CE=DE,所以CE2=DE2, 即x2+152=(25-x)2+102, 所以x=10. 因此，阅览室E应建在距离点A10 km处 ☆问题解决策略：反思 [9分钟目标检测] 1.B 2.5 3.25 4.解：圆柱的侧面展开图如答图所示，连 接CC′, 当路线被分成相等的2段时，路程最短. 蚂蚁绕圆柱爬行2圈到点B的最短路 线是AC→C'B. 因为圆柱底面圆的周长为4 cm, 圆柱高为6cm, 所以2个小长方形的宽都是3cm. 在Rt△AC'C中， 根据勾股定理，得 AC2=AC12+CC12=32+42=25, 所以AC=C'B=5cm, 所以AC+C'B=10 cm. 答：蚂蚁爬行的最短路程是10 cm. B C' C A 4题答图 专题小练习(一) 勾股定理与 代数的完美结合 1.A 2.D 3.A 4.C 5.1.5613 7.352+122=372 8.解：因为△ACB是直角三角形， AB=50m,AC=30m, 所以BC2=AB2-AC2=502-302=402, 所以BC=40m, 所以40÷2=20(m/s), 20 m/s=72 km/h. 因为72>70,所以这辆小汽车超速了. 9.解：因为(223)2+(ab)2 a-262+6?+a2b2 +202B2+b (2±2)2-a2+2B2+6 所以(226)+(ab)2=(22+62)2, 所以△ABC是直角三角形. 80 100 CS 打好学习基础，提升解题能力 见此图标抖音/微信扫码 随堂小练△0分钟 八年级数学·北师版·上册 第一章易错小练习 第二章 实数 1.A 2.7或25 1 认识实数 3.解：因为AD是△ABC的高， 所以AD⊥BC, 所以∠ADB=∠ADC=90°. 因为AB=15,AD=12,AC=20, 所以BD2=AB2-AD2=92, CD2=AC2-AD2=162, 所以BD=9,CD=16. 分类讨论如下：①如答图①, 当AD在△ABC内部时， BC=BD+CD=25; [1分钟知识速记] 1.有限小数 无限循环小数 2.无限不循环 3.有理数 无理数 正实数 0 负实数 4.实数 [9分钟目标检测] 1.D 2.D 3.C 4.解：(1)有理数：4-142,31416, ,0,42②如答图②,当AD在△ABC外部时， BC=CD-BD=7. 综上所述，BC的长为25或7. (2)无理数：π,-1.424 224 2224⋯(相 邻两个4之间2的个数逐次加1). 朱 B D C A D- B C 5.B 6.C 7.B 8.B 9.B 2 平方根与立方根 第1课时 平方根 [1分钟知识速记] 3题答图① 3题答图② 4.解：如答图. 1.(1)正数 x2=a √a 0 0 (2)①非负数 负数 当吸管底部在点0时，吸管在罐内部分 a最短，此时a就是圆柱的高， 2.(1)x2=a 平方根 ±√a 即a=12; (2)两 一 当吸管底部在点A时，吸管在罐内部分 (3)开平方 被开方数 a最长，即线段AB的长. [9分钟目标检测] 在Rt△ABO中， 1.625 2.3 AB2=AO2+BO2=52+122=132, 3.解：(1)原式=9 (2)原式=0.05. 所以AB=13, 所以此时a=13, 4.√6 所以12≤a≤13. 5.解：由题意，知x=3,y=10, 所以√2x+y=√16=4. 6.D 7.1 B a 12 A 0 4题答图 8.解：能.根据题意，得 大台布的面积为1+1=2(平方米), 所以大台布的边长为√2米. 因为√2≈1.414>1.3, 所以这块大台布能盖住现在的新桌子. 80 101 CS 打好学习基础，提升解题能力 见此图标阻抖音/微信扫码