精品解析：云南省保山市智源初级中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

保山市智源初级中学2024—2025学年上学期九年级 第二次单元测试 数学 试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分100分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真填涂准考证号． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共15题，每题只有一个正确选项，每题2分，共30分）． 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称及中心对称的定义，由轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后两部分可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180度后与原图重合，逐选项判断即可，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解决此题的关键． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 竹篮打水 B. 瓮中捉鳖 C. 水滴石穿 D. 守株待兔 【答案】A 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、竹篮打水，是不可能事件，符合题意； B、瓮中捉鳖，是必然事件，不符合题意； C、水滴石穿，是必然事件，不符合题意； D、守株待兔，是随机事件，不符合题意； 故选：A． 3. 下表是某同学求代数式的值的情况．根据表格，可知方程的根是（ ） x … 0 1 2 … … 8 3 0 0 … A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟记能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；根据一元二次方程的解的定义在表格找出能使成立的x的值即为所求． 【详解】解：由表格知，当和时，成立， 该方程的根是，， 故选：D． 4. 如图所示，在同一坐标系中，作出①；②；③的图像，则图像从里到外的三条抛物线对应的函数为（　　） A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ③②① 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据二次函数的图像与性质可知，对于二次函数而言，越大，抛物线的开口越窄， 根据二次函数的二次项系数的关系：进行判断，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的形状与有关，即越大，抛物线的开口越窄， 又， 抛物线的开口最宽，抛物线的开口最窄， 从里到外的三条抛物线对应得函数依次是①②③， 故选：A． 5. 甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式以及自变量x的取值范围成为解题的关键． 先根据实际意义写出函数的解析式，根据函数的类型以及自变量的取值范围判断即可． 【详解】解：根据题意可知，时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间之间的函数关系式为：， 所以函数图象大致是B． 故选：B． 6. 如图，是的外接圆，是的直径．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及三角形内角和定理，解题的关键是连接，构造出直角三角形； 连接，则，根据圆周角定理可求出的度数等于的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 7. 已知是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求得，，进而求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：A． 8. 如图，将等腰绕点O逆时针旋转，得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出角的度数，再根据旋转的性质得出角的度数即可求解． 【详解】解：是等腰三角形， ， 将绕点逆时针旋转得到， ， ， 故选：C 9. 已知抛物线与轴有唯一的一个交点，则的值为（ ） A. B. 4 C. 2或 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据抛物线与x轴有唯一的一个交点，对于一元二次方程来说，，从而可以求得k的值． 【详解】解：∵抛物线与x轴有唯一的一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：D． 10. 用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长，用扇形的弧长，可求圆锥的底面半径，利用勾股定理得出答案． 【详解】解：∵扇形的弧长， ∴圆锥的底面半径为， ∴这个圆锥形筒的高为． 故选：B． 11. 如图，是一次函数与反比例函数的图象，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或者 B. 或者 C. 或者 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数图象在同一坐标系中二者的图象之间的关系．根据反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象可直接解答． 【详解】解：观察图象，两函数图象的交点坐标为，， 的解就是一次函数图象在反比例函数的图象的下方的时候的取值范围， 由图象可得：或者， 故选：A． 12. 如图，四边形内接于，为直径，D是中点，若，则（ ） A. 105° B. 110° C. 115° D. 120° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理得，，求出，利用四边形对角互补求出答案． 【详解】解：∵D是中点，若， ∴ ∵为直径， ∴ ∴ ∵四边形内接于， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确理解圆周角定理求出是解题的关键． 13. 如图，在菱形中，，，菱形的顶点B，分别在x轴和反比例函数的图象上，则k的值为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点的坐标，从而可以求得的值，进而求得反比例函数的解析式．本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点的坐标． 【详解】解：在菱形中，，菱形边长为2， ，， 过作于， 则， ，， 点的坐标为， 顶点在反比例函数的图象上， ，得， 即， 故选：B． 14. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】连接， ，分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：B． 15. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条拋物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．有下列结论：①小球从飞出到落地用时为；②小球飞行的最大高度为；③小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．分别求出和时，的值即可判断①正确，③错误；求出的最大值即可判断②正确，由此即可得． 【详解】解：当时，， 解得或， 则小球从飞出到落地用时为，结论①正确； ， 则小球飞行的最大高度为，结论②正确； 当时，， 解得或， 则小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是或，结论③错误； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 二、填空题（共4题，每题2分,共8分） 16. 若关于x的方程为一元二次方程，则a的取值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．根据定义含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数为2，最高次项的系数不为0的整式方程是一元二次方程，一元二次方程的二次项系数不能是0，求出a的取值即可． 【详解】解：关于x的方程为一元二次方程， ， 解得：， 故答案为：1． 17. 若点与点关于原点对称，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， 解得：，． ． 故答案为：3． 18. 如图，为直径，弦，垂足为点，则长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理得到，再由勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵为直径，弦， ∴， ∴在中，， ∴的半径为5， ∴． 故答案为：10． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为_________________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴A点坐标为． 当时，， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， ∴． 故答案为：10． 三、解答题（共8题，共62分） 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据因式分解法可进行求解． 【小问1详解】 解： 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得：． 21. 如图，点A、B、C、D在上，与分别相交于点E、F，如果，那么与相等吗？请说明理由． 【答案】 解：点A，B，C，D在⊙上 ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，圆周角定理，“圆周角，弧，弦”之间的关系，先根据圆的基础定义和“等边对等角”得，再根据“边角边”证明，可得，最后根据“圆周角，弧，弦”之间的关系和圆周角定理得出答案． 【详解】略 22. 某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘． （1）用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率； （2）这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】（1） （2） 这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平，理由如下： 由（1）可知，转出的两个数字之积为偶数的结果数有8种， ∴王老师获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平． 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到转出的两个数字之积为奇数的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出王老师获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中转出的两个数字之积为奇数的结果数有4种， ∴余老师获胜的概率为； 【小问2详解】 略 23. 如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣4，﹣1）． （1）画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B1C1； （2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AB2C2，画出△AB2C2并求线段AB扫过的面积． 【答案】（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△AB2C2即为所求． 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）分别作出B，C的对应点B2，C2即可，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解（1）略 （2）线段AB扫过的面积＝＝ 【点睛】本题考查作图旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键． （1）先通过一次函数求出点坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）根据，求出，分类讨论，代入反比例函数即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则或， 当时，， 当时，， 综上：或． 25. 如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过米，另外三边由米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为y平方米． （1）若矩形的面积为平方米，求x的值； （2）当矩形的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积． 【答案】（1） （2）当矩形的面积最大时，利用的墙长是米，求此时的最大面积为平方米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）由题意知，且，可求，依题意得，，令，则，计算求出满足要求的解即可； （2）由题意知，，由，对称轴为直线，可知当时，矩形的面积最大，然后求解作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，且， ∴， 依题意得，， 令，则，整理得，， 解得，（舍去）或， ∴x的值为； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，矩形的面积最大，可利用的墙长是（米），此时的最大面积为（平方米）， ∴当矩形的面积最大时，利用的墙长是米，求此时的最大面积为平方米． 26. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 27. 如图，抛物线（、为常数）经过和两点，其顶点为． （1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）若点是拋物线上第一象限的一个动点．设的面积为，试求的最大值； （3）若抛物线与线段有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）S的最大值为4 （3）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标； （2）过点作轴于点，交线段于点，利用，转化为二次函数，求最值即可． （3）联立抛物线和线段的解析式，得到，令，则：抛物线与轴在的范围内有两个交点，分和两种情况讨论，确定的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将和代入， 得，，解得， 抛物线表达式为 ， 顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：过点作轴于点，交线段于点． 设，则点的横坐标为． 设直线表达式为（）， 将代入上式，得，解得 直线的表达式为 的坐标为 ， 抛物线开口向下，有最大值 当时，最大． 【小问3详解】 解：由（2）知：线段的表达式为， 由得：， 令， 则：抛物线与轴在的范围内有两个交点， 当时：，当时，； ①时：如图： 此时： 解得：； ②时：如图， 此时：， 解得：， ∴当抛物线与线段有两个交点时的取值范围为：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保山市智源初级中学2024—2025学年上学期九年级 第二次单元测试 数学 试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分100分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真填涂准考证号． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共15题，每题只有一个正确选项，每题2分，共30分）． 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 竹篮打水 B. 瓮中捉鳖 C. 水滴石穿 D. 守株待兔 3. 下表是某同学求代数式的值的情况．根据表格，可知方程的根是（ ） x … 0 1 2 … … 8 3 0 0 … A. B. C. ， D. ， 4. 如图所示，在同一坐标系中，作出①；②；③的图像，则图像从里到外的三条抛物线对应的函数为（　　） A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ③②① 5. 甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的外接圆，是的直径．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 如图，将等腰绕点O逆时针旋转，得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线与轴有唯一的一个交点，则的值为（ ） A. B. 4 C. 2或 D. 或4 10. 用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是一次函数与反比例函数的图象，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或者 B. 或者 C. 或者 D. 12. 如图，四边形内接于，为直径，D是中点，若，则（ ） A. 105° B. 110° C. 115° D. 120° 13. 如图，在菱形中，，，菱形的顶点B，分别在x轴和反比例函数的图象上，则k的值为　　 A. B. C. D. 14. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条拋物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．有下列结论：①小球从飞出到落地用时为；②小球飞行的最大高度为；③小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共4题，每题2分,共8分） 16. 若关于x的方程为一元二次方程，则a的取值为_______． 17. 若点与点关于原点对称，则__________． 18. 如图，为直径，弦，垂足为点，则长为______． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为_________________． 三、解答题（共8题，共62分） 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 如图，点A、B、C、D在上，与分别相交于点E、F，如果，那么与相等吗？请说明理由． 22. 某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘． （1）用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率； （2）这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由． 23. 如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣4，﹣1）． （1）画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B1C1； （2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AB2C2，画出△AB2C2并求线段AB扫过的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 25. 如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过米，另外三边由米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为y平方米． （1）若矩形的面积为平方米，求x的值； （2）当矩形的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积． 26. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 27. 如图，抛物线（、为常数）经过和两点，其顶点为． （1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）若点是拋物线上第一象限的一个动点．设的面积为，试求的最大值； （3）若抛物线与线段有两个交点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $