精品解析：河南省信阳市新县2024-2025学年八年级下学期期末学业水平测试数学试卷

八年级数学 一、选择题 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A. B. C. D. 2. 某团队为研究不同施肥方案对小麦产量的影响，在试验田中控制影响小麦生长的其他因素，分别选用甲、乙、丙、丁四种方案施肥，个月后得到如下统计结果： 施肥方案 甲 乙 丙 丁 单穗粒数的平均数 单穗粒数的方差 在本次试验中，从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 如图，点在直线上，，两点在直线上，且，，若，则，两直线之间的距离可以是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 如图，字母所代表正方形的边长是（　　） A. 194 B. 144 C. 13 D. 12 5 某中学开展“情浓端午”经典诵读活动，9位评委给小红打分后，成绩统计如下： 平均数 众数 中位数 方差 90 92 89 0.3 如果去掉一个最高分，再去掉一个最低分，表中的数据不受影响的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 6. 如图，在中，点D、E分别是的中点，点F是上一点．已知，连接，若，则的长度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 为了保护学生视力，课桌高度与凳子高度按照的关系配套设计，已知一张高的课桌配高的凳子，那么高的凳子应配课桌的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 关于一次函数，下列结论正确是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与轴的交点是 C. 将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D. 点和在一次函数的图象上，若，则 10. 如图1，点从矩形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积时间变化的关系图象，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题 11. ___________． 12. 4月23日是世界读书日，某校举行以“书与远方”为主题的演讲比赛．小吴同学的“演讲内容”得96分，“语言表达”得85分，“仪表形象”得90分．若按照图中所示的百分比计算，则她的最后得分是________分． 13. 已知平行四边形的周长是，和交于点O，比的周长小3，则的长为_____． 14. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 15. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 17. 在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点A和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管； （1）求证：； （2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 18. 新县是红军的故乡，将军的摇篮，积淀了丰富的红色历史文化资源．为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感，我市某校组织七、八年级学生前往新县鄂豫皖苏区首府革命博物馆开展研学旅行，并要求学生写观后感，对其观后感进行评价．为了解本次活动的效果，校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，满分100分），过程如下： 【收集数据】 七年级抽取学生成绩在这一组的数据为：85，86，87，87，88，89，89； 八年级抽取学生的成绩为：81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100； 【整理数据】七、八年级不完整的频数分布表如下： 七年级 4 7 2 7 八年级 3 4 7 【分析数据】 两组数据的平均数、中位数、众数如下表：请结合以上信息回答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 97 八年级 91 91 （1）在这次调查活动中，采取的调查方式是 （填写“全面调查”或“抽样调查”）； （2）填空： ， ， ； （3）样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； 19. 阅读材料：在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． （1）若为正数，则的最小值为 ，此时， ； （2）若为正数，求的最小值，并指出取得最小值时对应的的值 20. 如图，在四边形中，与交于点，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）为上一点，连接，若，，，求菱形的面积． 21. 2025年2月23日，第34届国际乒联—亚乒联盟亚洲杯在深圳大运中心落幕，中国乒乓球队再次展现了他们的强大实力，包揽了男、女单打冠军，以及全部奖牌．某校为让学生养成“终身体育”的良好习惯，举办了校园运动会．为表彰运动会上取得优异成绩的参赛选手，学校计划购买甲、乙两种体育用品共100件，已知甲体育用品每件50元，乙体育用品每件60元．设学校购买甲体育用品x件，购买这两种体育用品的总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该校要求购买的甲种体育用品的数量不多于乙种体育用品的3倍，求学校购买这两种体育用品所需的最少总费用． 22. 2025年在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委提出要实施“体重管理3年行动计划”，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某羽毛球俱乐部为倡导人们积极参加健身运动，普及羽毛球运动，特推出如下活动方案： 方案一：购买一张羽毛球健身的年卡，以后每次再收取元； 方案二：不购买羽毛球健身卡，每次收取元． 设小凯每年去俱乐部打羽毛球x次，按照方案一所需费用（元），且；按照方案二所需费用为（元），且，其函数图像如图所示． （1）请直接写出方案一的函数表达式，并写出b的实际意义：= ，b的实际意义： ； （2）年小凯给自己制定了一个健身计划，每周去俱乐部打球2次（天），他选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 23. 在学完矩形的性质后，老师组织同学们利用矩形的折叠开展数学活动．小亮发现矩形折叠后，会出现全等的图形；小颖发现矩形折叠后会得到直角三角形，请利用同学们的发现解决下列问题． （1）如图1，矩形，，，将延对角线翻折得到，点的对应点为点，与交于点，则有______，，且，易得______； （2）在（1）的条件下，若要求线段的长度，令，则______ (用x表示)，在中利用勾股定理列出方程______（不用化简）； （3）如图2，对矩形进行如下操作：①分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．若，，求线段CQ的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学 一、选择题 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，化简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，据此即可求解． 【详解】解：A、，被开方数4是完全平方数，可化简为整数，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，是最简二次根式，故符合题意； C、，被开方数为分数，不是最简二次根式，故不符合题意； D、，被开方数为分数，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 2. 某团队为研究不同施肥方案对小麦产量的影响，在试验田中控制影响小麦生长的其他因素，分别选用甲、乙、丙、丁四种方案施肥，个月后得到如下统计结果： 施肥方案 甲 乙 丙 丁 单穗粒数的平均数 单穗粒数的方差 在本次试验中，从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用平均数，方差作决策，理解表格信息，熟练掌握方差的意义是关键．根据平均数的大小，方差的含义进行判定即可． 【详解】解：∵平均数：， ∴先从平均数角度出发，选择甲或丁； ∵方差：， ∴从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是丁， 故选：D． 3. 如图，点在直线上，，两点在直线上，且，，若，则，两直线之间的距离可以是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线之间的距离的定义即可得到答案． 本题考查了平行线之间的距离，两条平行线中，过其中一条直线上任意一点向另外一条直线作垂线，这个点和垂足之间的线段的长就是这两条平行线之间的距离．熟练掌握平行线之间距离的概念是解题的关键． 【详解】解：根据平行线之间的距离的定义可得，两直线的距离应该小于的长度， ∵， ∴，两直线之间的距离可以是3． 故选：D． 4. 如图，字母所代表的正方形的边长是（　　） A. 194 B. 144 C. 13 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，求一个数的算术平方根的运用，根据题意，的面积，可得正方形的面积，再求算术平方根即可． 【详解】解：根据题意可得，的面积， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：D ． 5. 某中学开展“情浓端午”经典诵读活动，9位评委给小红打分后，成绩统计如下： 平均数 众数 中位数 方差 90 92 89 0.3 如果去掉一个最高分，再去掉一个最低分，表中的数据不受影响的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数、方差的概念，根据去掉一个最高分，再去掉一个最低分，表中的数据不受影响的是数据中间的数，即可解题． 【详解】解：去掉一个最高分，再去掉一个最低分， 一组数据中间的数不会改变， 即表中的数据不受影响的是中位数． 故选：C． 6. 如图，在中，点D、E分别是的中点，点F是上一点．已知，连接，若，则的长度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理．根据直角三角形的性质求出，进而求出 ，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”计算，得到答案． 【详解】解：，点是的中点，， ， ， ， 点分别是的中点， ． 故选：C． 7. 为了保护学生视力，课桌高度与凳子高度按照的关系配套设计，已知一张高的课桌配高的凳子，那么高的凳子应配课桌的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，把，代入求出，得出函数解析式为，然后把代入函数解析式，求出结果即可． 【详解】解：把，代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 即高凳子应配课桌的高度为， 故选：D． 8. 如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来判断，再利用平行四边形的性质来求解． 【详解】解：中点重合固定（记为点），故，相互平分，转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，四边形为平行四边形； A．不一定相等，选项错误，不符合题意； B．不一定相等，选项错误，不符合题意； C．不一定相等，选项错误，不符合题意； D．由平行四边形的性质知，选项正确，符合题意； 故选：D． 9. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与轴的交点是 C. 将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D. 点和在一次函数的图象上，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质逐项判断即可解求解，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，该选项错误，不合题意； 、把代入得，， ∴， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为，该选项错误，不合题意； 、将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为，该选项正确，符合题意； 、∵， ∴随的增大而减小， 若，则，该选项错误，不合题意； 故选：． 10. 如图1，点从矩形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积时间变化的关系图象，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题函数图象，根据图象分析得出矩形的长为是解题关键．当点在边上运动时，的值不变，先求出，再利用勾股定理列方程可求． 【详解】解：矩形中，， 当点在边上运动时，的值不变， ，即矩形的长是， ，即． 当点在上运动时，逐渐减小， ， 在中， ， ， 解得（负值舍去）． 故选：C 二、填空题 11. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简． 直接根据二次根式性质计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 4月23日是世界读书日，某校举行以“书与远方”为主题的演讲比赛．小吴同学的“演讲内容”得96分，“语言表达”得85分，“仪表形象”得90分．若按照图中所示的百分比计算，则她的最后得分是________分． 【答案】91 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数．熟练掌握加权平均数是解题的关键． 根据加权平均数的计算方法直接计算即可解答． 【详解】解：由题意知，她的最后得分是（分）， 故答案为：91． 13. 已知平行四边形的周长是，和交于点O，比的周长小3，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的周长，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 根据平行四边形的性质可得，再根据比的周长小3，即可求得． 【详解】解：∵平行四边形的周长是， ∴， ∵比的周长小3， ∴， ∴． 故答案为：4． 14. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可该不等式的解集． 【详解】解：把代入，得：，解得：， ∴直线与直线交于点， 当时，则． 故答案为：． 15. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可； （2）先计算二次根式的除法和完全平方公式，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点A和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管； （1）求证：； （2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】（1）见解析 （2）应选择八（1）班铺设方案，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，求三角形高，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可证明结论； （2）利用等面积法求出，进而求出两个方案中水管的长度即可得到结论． 【小问1详解】 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； 【小问2详解】 解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度， ∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案． 18. 新县是红军故乡，将军的摇篮，积淀了丰富的红色历史文化资源．为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感，我市某校组织七、八年级学生前往新县鄂豫皖苏区首府革命博物馆开展研学旅行，并要求学生写观后感，对其观后感进行评价．为了解本次活动的效果，校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，满分100分），过程如下： 【收集数据】 七年级抽取学生成绩在这一组的数据为：85，86，87，87，88，89，89； 八年级抽取学生的成绩为：81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100； 【整理数据】七、八年级不完整的频数分布表如下： 七年级 4 7 2 7 八年级 3 4 7 【分析数据】 两组数据的平均数、中位数、众数如下表：请结合以上信息回答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 97 八年级 91 91 （1）在这次调查活动中，采取的调查方式是 （填写“全面调查”或“抽样调查”）； （2）填空： ， ， ； （3）样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； 【答案】（1）抽样调查； （2）6，89，95； （3）七年级学生甲在本年级的排名更靠前，见解析 【解析】 【分析】本题考查了调查的分类，中位数和众数的定义，以及中位数的意义． （1）根据题意判断调查方式即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）根据中位数的意义分析即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查 【小问2详解】 解：由数据可知，八年级抽取学生成绩为的人数有6人，即； 七年级抽取的20名学生成绩的中位数为第10和11名成绩的平均数，即； 八年级抽取学生的成绩中，分有三人，人数最多，即； 故答案为：6，89，95； 【小问3详解】 解：由题意可知，七年级抽取学生成绩的中位数为分，八年级抽取学生成绩的中位数为分， 而90分大于七年级抽取学生成绩的中位数，小于八年级抽取学生成绩的中位数 即七年级学生甲在本年级的排名更靠前． 19. 阅读材料：在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． （1）若为正数，则的最小值为 ，此时， ； （2）若为正数，求的最小值，并指出取得最小值时对应的的值 【答案】（1）6，3 （2），最小值 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； 【小问1详解】 解：∵， ∴， 当，即（不合题意，舍去）时，有最小值为6． 故答案为：6，3． 【小问2详解】 解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； 即时，原式有最小值． 20. 如图，在四边形中，与交于点，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）为上一点，连接，若，，，求菱形面积． 【答案】（1）答案见详解； （2） 【解析】 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴菱形的面积． 21. 2025年2月23日，第34届国际乒联—亚乒联盟亚洲杯在深圳大运中心落幕，中国乒乓球队再次展现了他们的强大实力，包揽了男、女单打冠军，以及全部奖牌．某校为让学生养成“终身体育”的良好习惯，举办了校园运动会．为表彰运动会上取得优异成绩的参赛选手，学校计划购买甲、乙两种体育用品共100件，已知甲体育用品每件50元，乙体育用品每件60元．设学校购买甲体育用品x件，购买这两种体育用品的总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该校要求购买的甲种体育用品的数量不多于乙种体育用品的3倍，求学校购买这两种体育用品所需的最少总费用． 【答案】（1） （2）学校购买这两种体育用品所需的最少总费用为5250元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，一次函数图象的性质，解一元一次不等式， （1）根据总费用等于购买甲种体育用品的费用加上购买乙种体育用品的费用的和可得答案； （2）根据不等关系列出不等式，求出解集，再根据一次函数的性质得出最小值． 【小问1详解】 解：由题意，得； 【小问2详解】 解：由题意，得， 解得. ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， （元）， 答：学校购买这两种体育用品所需的最少总费用为5250元． 22. 2025年在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委提出要实施“体重管理3年行动计划”，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某羽毛球俱乐部为倡导人们积极参加健身运动，普及羽毛球运动，特推出如下活动方案： 方案一：购买一张羽毛球健身的年卡，以后每次再收取元； 方案二：不购买羽毛球健身卡，每次收取元． 设小凯每年去俱乐部打羽毛球x次，按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且，其函数图像如图所示． （1）请直接写出方案一的函数表达式，并写出b的实际意义：= ，b的实际意义： ； （2）年小凯给自己制定了一个健身计划，每周去俱乐部打球2次（天），他选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 【答案】（1）；一张羽毛球健身的年卡的费用为元 （2）选择方案一费用少些，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法确定直线的解析式，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，灵活掌握应用的意义是解题的关键． （1）利用待定系数法求得解析式，利用实际意义求出的解析式即可；b的实际意义就是年卡的费用． （2）计算出一年打球次数，比较两种方式的费用，选择费用小的方案即可． 【小问1详解】 设直线， ∵直线过代入得： ， 解得：， ∴解析式为：， b的实际意义是一张羽毛球健身的年卡的费用为元； ∵不购买羽毛球健身卡每次收取元， ， ∴直线的解析式为 【小问2详解】 根据题意，两种方案费用相等的次数满足方程， 解得， 当时，； 当时，； ∵每周去俱乐部打球2次（天）， ∴一年打球次数至少为， 故， ∴选择方案一费用少些． 23. 在学完矩形的性质后，老师组织同学们利用矩形的折叠开展数学活动．小亮发现矩形折叠后，会出现全等的图形；小颖发现矩形折叠后会得到直角三角形，请利用同学们的发现解决下列问题． （1）如图1，矩形，，，将延对角线翻折得到，点的对应点为点，与交于点，则有______，，且，易得______； （2）在（1）的条件下，若要求线段的长度，令，则______ (用x表示)，在中利用勾股定理列出方程______（不用化简）； （3）如图2，对矩形进行如下操作：①分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．若，，求线段CQ的长． 【答案】（1），， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出，，由折叠的性质得出，，证出，则可得出结论； （2）由勾股定理可得出答案； （3）连接，由翻折的不变性，知，，证明，推出，设，在中，利用勾股定理列式计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵将延对角线翻折得到， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：，，； 【小问2详解】 ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴． 故答案为：，； 【小问3详解】 连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， 由作图知， 由翻折的不变性，知，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴线段的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，作线段的垂直平分线，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$