5.2 二元一次方程组的解法 预习 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第五章 二元一次方程组 2. 二元一次方程组的解法 知识点预习 1. 核心思路：消元 目标：将“二元”转化为“一元”，通过解一元一次方程求解方程组。 方法分类： 代入消元法——用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程消元。 加减消元法——通过方程相加或相减直接消去一个未知数。 2. 代入消元法 适用场景：一个方程的未知数系数较简单（如系数为 1 或 -1）。 步骤： （1）变形：用一个未知数的代数式表示另一个未知数； （2）代入：将表达式代入另一方程； （3）求解：解一元一次方程； （4）回代：求另一未知数； （5）检验：验证解是否满足原方程组。 3. 加减消元法 适用场景：两个方程中某一未知数的系数相等或互为相反数。 步骤： （1）变形：调整系数使某一未知数系数相反或相等； （2）加减：两方程相加或相减消元； （3）求解：解一元一次方程； （4）回代：求另一未知数； （5）检验：验证解的正确性。 4. 总结 本节核心是掌握 代入消元法 和 加减消元法 解二元一次方程组： 代入法：变形→代入→求解→回代→检验（适合系数简单时）。 加减法：调整系数→加减消元→求解→回代→检验（适合系数对称时）。 需通过典型例题（如绿植问题、例 1-4）理解步骤本质，灵活选择方法，并养成检验习惯，为后续学习方程组应用奠定基础。 附：解题口诀 代入消元：一方程中解一元，代入另式消一员。 加减消元：看系数找同异，相加减消一元。 检验勿忘：回代原式验真假，解需成对写周全。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．用代入法解方程组时，将②代入①正确的是（　　） A．x﹣2x＝6 B．2y+y＝6 C．x+2x＝6 D．y+y＝6 【解答】解：将②代入①得：x+2x＝6， 故选：C． 2．若方程组可直接用加减消元法消去y，则a，b的关系为（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．绝对值相等 D．相等 【解答】解：若方程组可直接用加减消元法消去y， 则a，b相等或互为相反数，即绝对值相等， 故选：C． 3．用代入法解方程组正确的解法是（　　） A．先将①变形为x＝2+y，再代入② B．先将①变形为x＝2﹣y，再代入② C．先将②变形为y＝7﹣2x，再代入① D．先将②变形为x，再代入① 【解答】解：A、先将①变形为x＝2﹣y，∴不符合题意； B、先将①变形为x＝2﹣y，再代入②，∴符合题意； C、先将②变形为y＝2x﹣7，∴不符合题意； D、先将②变形为x，∴不符合题意； 故选：B． 4．对于二元一次方程组，将①式代入②式，可以得：﹣5y+9＝14，则方程①是（　　） A．y＝x﹣3 B．x＝y﹣3 C．2x﹣3＝y D．2y+1＝x 【解答】解：A．∵y＝x﹣3， ∴x＝y+3， 把x＝y+3代入②得：3（y+3）﹣8y＝14， 3y+9﹣8y＝14， ﹣5y+9＝14， ∴方程①是y＝x﹣3， 故此选项符合题意； B．∵把x＝y﹣3代入②得： 3（y﹣3）﹣8y＝14， 3y﹣9﹣8y＝14， ﹣5y﹣9＝14， ∴方程①不是x＝y﹣3， 故此选项不符合题意； C．∵把2x﹣3＝y代入②得： 3x﹣8（2x﹣3）＝14， 3x﹣16x+24＝14， ﹣13x+24＝14， ∴方程①不是2x﹣3＝y， 故此选项不符合题意； D．∵把2y+1＝x代入②得： 3（2y+1）﹣8y＝14， 6y+3﹣8y＝14， ﹣2y+3＝14， ∴方程①不是2y+1＝x， 故此选项不符合题意； 故选：A． 5．关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去x后，得到的方程是（　　） A．6+2y﹣y＝5 B．6﹣2y﹣y＝5 C．﹣6+2y﹣y＝5 D．﹣6﹣2y﹣y＝5 【解答】解：解方程组：， 由①式解出x，得：x＝3﹣y③， 将③代入②式中，得2（3﹣y）﹣y＝5， 展开并整理：6﹣2y﹣y＝5， 因此，消去x后的方程为：6﹣2y﹣y＝5，所以选项A、C、D错误，选项B正确． 故选：B． 6．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得方程正确的是（　　） A．9x﹣4x+20＝5 B．9x﹣4x﹣20＝5 C．9x﹣2x﹣10＝5 D．9x﹣2x+10＝5 【解答】解：将方程①代入②中，得：9x﹣2（2x+10）＝5， 即9x﹣4x﹣20＝5． 故选：B． 7．亮亮在用“加减消元法”解二元一次方程组时，通过①xa+②xb消去y，则a，b的值可能是（　　） A．a＝3，b＝4 B．a＝﹣3，b＝4 C．a＝4，b＝3 D．a＝3，b＝﹣4 【解答】解：， ①×4+②×3，得：8x﹣12y+9x+12y＝5×4+7×3， 即：17x＝41； 故选：C． 8．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去y，可以将①×5+② C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 【解答】解：根据加减消元法可知：， 要消去x，可以将方程①×3﹣方程②×2，要消去y，可以将方程①×5+方程②×3 故选：C． 9．已知关于a、b的二元一次方程组，则a+b的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 【解答】解：原方程在两个方程相加得3a+3b＝﹣12， 故a+b的值为﹣4， 故选：B． 10．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（　　） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【解答】解：A．由①，得，故选项A变形正确，不符合题意； B．由②得，故选项B变形错误，符合题意； C．由①得，故选项C变形正确，不符合题意； D．由②得x，故选项D变形正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题预习（24分） 11．已知x与y互为相反数，并且2x﹣y＝3，则xy＝　﹣1　 ． 【解答】解：∵x与y互为相反数， ∴x+y＝0， ∴， 解得， ∴xy＝1×（﹣1）＝﹣1，故答案为：﹣1． 12．解二元一次方程组的最优方法是　代入　 的方法．（选填“代入”或“加减”） 【解答】解：解二元一次方程组的最优方法是代入法， 故答案为：代入． 13．已知方程|x﹣2y+4|+（2x+5y﹣1）2＝0，则（x+y）2025＝　﹣1　 ． 【解答】解：∵|x﹣2y+4|+（2x+5y﹣1）2＝0， ∴， ∴x＝﹣2，y＝1， ∴（x+y）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 14．已知方程组，则x﹣y的值为　﹣1　 ． 【解答】解：， ①﹣②，得x﹣y＝﹣1． 故答案为：﹣1． 15．下面是解方程组的过程导图： 其中，“？”处为 　②+③　 ． 【解答】解：， ①×2，得2x+2y＝10③， ②+③，得5x＝15， 解得：x＝3， 把x＝3代入①，得3+y＝5， 解得：y＝2， ∴方程组的解为， ∴“？”处为②+③． 故答案为：②+③． 16．已知关于x，y的二元一次方程a1x+b1y＝c1的部分解如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … 关于x，y的二元一次方程a2x+b2y＝c2的部分解如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是　　 ． 【解答】解：由表可知，是两个方程的公共解， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 三、解答题预习（46分） 17．解方程组：． 【解答】解：， 把①代入②，得3x﹣2（2x﹣1）＝8， 解得x＝﹣6， 把x＝﹣6代入①，得y＝﹣13， 所以方程组的解是． 18．用适当的方法解方程组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①×2+②得，5a＝10， 解得a＝2， 把a＝2代入①得，2﹣2b＝4， 解得b＝﹣1， 故方程组的解为； （2）原方程组可化为， ①×6﹣②得，4x＝﹣4， 解得x＝﹣1； 把x＝﹣1代入①得，﹣2+y＝1.5， 解得y＝3.5， 故方程组的解为． 19．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）， 把①代入②，得3x+3﹣x＝7， 解得x＝2， 把x＝2代入①，得y＝1， 所以方程组的解是； （2）， ①+②，得6x＝18， 解得x＝3， 把x＝3代入①，得y＝6， 所以方程组的解是； （3）， 整理得， ①+②，得6x＝30， 解得x＝5， 把x＝5代入②，得y， 所以方程组的解是； （4）， 整理得， ①×2，得4x+2y＝8③， ②+③，得7x＝7， 解得x＝1， 把x＝1代入①，得y＝2， 所以方程组的解是． 20．下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解决问题． 解：由①得y＝3x﹣4，③第一步 将③代入②，得6x﹣3（3x﹣4）＝﹣10，第二步 解得x．第三步 将x代入③，得y＝﹣6，第四步 ∴原方程组的解为．第五步 （1）①以上求解过程中，小明用了　代入　 消元法（填“代入“或“加减“）； ②第　三　 步开始出现错误； （2）请用另一种消元法写出此题正确的解答过程． 【解答】解：（1）， 由①，得y＝3x﹣4，③第一步 将③代入②，得6x﹣3（3x﹣4）＝﹣10，第二步 解得：，第三步． 故答案为：①代入，②三； （2）， 由①×2，得6x﹣2y＝8，③ 由③﹣②，得y＝18， 将y＝18代入①，3x﹣18＝4， 解得：x， ∴方程组的解为． 21．已知关于x，y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若x﹣y＝1，求k的值； （2）若x+y＝5，求k的值． 【解答】解：（1）方程组的解为， 把x＝4，y＝3代入2x﹣y＝3k+5得，3k+5＝8﹣3， 解得k＝0； （2）方程组 的解为， 把x，y代入2x﹣y＝3k+5得，3k+5， 解得k． 22．阅读与思考． 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点（2，4）、（﹣3，6）． ①已知点（a+1，2b﹣1），且a、b为有理数． 当a、b满足a+b＝5时，就称点（a+1，2b﹣1）为“理想点”． 例如：点A（1，3），令，得． ∵a+b＝0+2≠5， ∴A（1，3）不是“理想点”； 点B（7，﹣3），令，得． ∵a+b＝6﹣1＝5， ∴B（7，﹣3）是“理想点”． ②已知点（a，b），且a、b为有理数．当a、b满足a+b＝ab时，就称点（a，b）为“开心点”．反之，当点（a，b）为“开心点”时，则a+b＝ab． 认真阅读上面材料，完成下面问题： （1）请仿照上述材料中①的方法判断点（6，﹣5）是否为“理想点”． （2）已知x、y是二元一次方程组的解，若点（x，y）是“开心点”，求m的值． 【解答】解：（1）令解得， ∵a+b＝5﹣2＝3≠5， ∴点（6，﹣5）不是“理想点”． （2）， 由①+②，得2x＝6， 解得x＝3， 将x＝3代入②，得3﹣y＝﹣m， ∴y＝3+m， ∵点（x，y）是“开心点”， ∴x+y＝xy， ∴3+3+m＝3（3+m）， 解得． 答：m的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第五章 二元一次方程组 2. 二元一次方程组的解法 知识点预习 1. 核心思路：消元 目标：将“二元”转化为“一元”，通过解一元一次方程求解方程组。 方法分类： 代入消元法——用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程消元。 加减消元法——通过方程相加或相减直接消去一个未知数。 2. 代入消元法 适用场景：一个方程的未知数系数较简单（如系数为 1 或 -1）。 步骤： （1）变形：用一个未知数的代数式表示另一个未知数； （2）代入：将表达式代入另一方程； （3）求解：解一元一次方程； （4）回代：求另一未知数； （5）检验：验证解是否满足原方程组。 3. 加减消元法 适用场景：两个方程中某一未知数的系数相等或互为相反数。 步骤： （1）变形：调整系数使某一未知数系数相反或相等； （2）加减：两方程相加或相减消元； （3）求解：解一元一次方程； （4）回代：求另一未知数； （5）检验：验证解的正确性。 4. 总结 本节核心是掌握 代入消元法 和 加减消元法 解二元一次方程组： 代入法：变形→代入→求解→回代→检验（适合系数简单时）。 加减法：调整系数→加减消元→求解→回代→检验（适合系数对称时）。 需通过典型例题（如绿植问题、例 1-4）理解步骤本质，灵活选择方法，并养成检验习惯，为后续学习方程组应用奠定基础。 附：解题口诀 代入消元：一方程中解一元，代入另式消一员。 加减消元：看系数找同异，相加减消一元。 检验勿忘：回代原式验真假，解需成对写周全。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．用代入法解方程组时，将②代入①正确的是（　　） A．x﹣2x＝6 B．2y+y＝6 C．x+2x＝6 D．y+y＝6 2．若方程组可直接用加减消元法消去y，则a，b的关系为（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．绝对值相等 D．相等 3．用代入法解方程组正确的解法是（　　） A．先将①变形为x＝2+y，再代入② B．先将①变形为x＝2﹣y，再代入② C．先将②变形为y＝7﹣2x，再代入① D．先将②变形为x，再代入① 4．对于二元一次方程组，将①式代入②式，可以得：﹣5y+9＝14，则方程①是（　　） A．y＝x﹣3 B．x＝y﹣3 C．2x﹣3＝y D．2y+1＝x 5．关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去x后，得到的方程是（　　） A．6+2y﹣y＝5 B．6﹣2y﹣y＝5 C．﹣6+2y﹣y＝5 D．﹣6﹣2y﹣y＝5 6．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得方程正确的是（　　） A．9x﹣4x+20＝5 B．9x﹣4x﹣20＝5 C．9x﹣2x﹣10＝5 D．9x﹣2x+10＝5 7．亮亮在用“加减消元法”解二元一次方程组时，通过①xa+②xb消去y，则a，b的值可能是（　　） A．a＝3，b＝4 B．a＝﹣3，b＝4 C．a＝4，b＝3 D．a＝3，b＝﹣4 8．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去y，可以将①×5+② C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 9．已知关于a、b的二元一次方程组，则a+b的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 10．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（　　） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 二、填空题预习（24分） 11．已知x与y互为相反数，并且2x﹣y＝3，则xy＝　 　 ． 12．解二元一次方程组的最优方法是　 　 的方法．（选填“代入”或“加减”） 13．已知方程|x﹣2y+4|+（2x+5y﹣1）2＝0，则（x+y）2025＝　 　 ． 14．已知方程组，则x﹣y的值为　 　 ． 15．下面是解方程组的过程导图： 其中，“？”处为 　 　 ． 16．已知关于x，y的二元一次方程a1x+b1y＝c1的部分解如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … 关于x，y的二元一次方程a2x+b2y＝c2的部分解如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是　 　 ． 三、解答题预习（46分） 17．解方程组：． 18．用适当的方法解方程组： （1）； （2）． 19．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解决问题． 解：由①得y＝3x﹣4，③第一步 将③代入②，得6x﹣3（3x﹣4）＝﹣10，第二步 解得x．第三步 将x代入③，得y＝﹣6，第四步 ∴原方程组的解为．第五步 （1）①以上求解过程中，小明用了　 　 消元法（填“代入“或“加减“）； ②第　 　 步开始出现错误； （2）请用另一种消元法写出此题正确的解答过程． 21．已知关于x，y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若x﹣y＝1，求k的值； （2）若x+y＝5，求k的值． 22．阅读与思考． 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点（2，4）、（﹣3，6）． ①已知点（a+1，2b﹣1），且a、b为有理数． 当a、b满足a+b＝5时，就称点（a+1，2b﹣1）为“理想点”． 例如：点A（1，3），令，得． ∵a+b＝0+2≠5， ∴A（1，3）不是“理想点”； 点B（7，﹣3），令，得． ∵a+b＝6﹣1＝5， ∴B（7，﹣3）是“理想点”． ②已知点（a，b），且a、b为有理数．当a、b满足a+b＝ab时，就称点（a，b）为“开心点”．反之，当点（a，b）为“开心点”时，则a+b＝ab． 认真阅读上面材料，完成下面问题： （1）请仿照上述材料中①的方法判断点（6，﹣5）是否为“理想点”． （2）已知x、y是二元一次方程组的解，若点（x，y）是“开心点”，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$