5.3二元一次方程组的应用（第3课时借助线段图表示等量关系）（导学案）数学北师大版2024八年级上册

该初中数学导学案聚焦二元一次方程组的应用，重点引导学生借助线段图表示等量关系，解决行程问题和几何拼接问题。课堂导入通过温故知新联系一元一次方程解决行程问题的方法，结合墙砖拼接情境引入，搭建从旧知到新知的学习支架。 该资料注重几何直观与抽象能力培养，利用线段图、表格梳理数量关系，帮助学生用数学眼光观察实际问题。典例涵盖火车过隧道等复杂行程及几何拼接问题，训练推理意识与运算能力，分题型练习提升模型意识，助力学生用数学思维与语言解决实际问题。

5.3二元一次方程组的应用 导学案 第3课时 借助线段图表示等量关系 1.理解二元一次方程组解决实际问题的基本思路，能从行程问题、几何拼接问题中找出等量关系。 2.学会借助线段图、表格等工具梳理数量关系，能准确列出二元一次方程组并求解. 学习重点：借助线段图梳理复杂问题中的等量关系；列二元一次方程组解决行程问题和几何拼接问题. 学习难点：准确分析火车过隧道等复杂行程问题中的等量关系，掌握线段图的绘制与应用技巧. 第一环节 自主学习 新知自研：自研课本P123-P125页的内容，思考： 【学法指导】 温故知新 思考：学习一元一次方程时，我们用什么方法分析《追赶小明》中的行程问题？ 情境导入 下图中 8 块小长方形墙砖拼成大长方形的图片，思考：大长方形的长和宽与小长方形的长和宽有什么关系？能否用二元一次方程组解决这个问题？线段图还能发挥作用吗？ ●探究一：用二元一次方程组解决图表问题 上图中的墙砖问题如何解决呢： ◆1.这个问题涉及哪些量? ◆2.本题涉及的等量关系是什么？ ◆3.你能列方程组解决这个问题吗？ 【解答】设小长方形墙砖的长是x cm，宽是y cm.， 根据题意，得 解方程组， 得 答：小长方形墙砖的长是 cm，宽是 cm. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例 1（火车过隧道问题）： 火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s，其中火车全身都在隧道里的时间是20s，求隧道和火车的长度. 【分析】可以通过画图来说明火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间的数量关系. 【解答】解：设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m. 借线段图可以很直观的表示数量之间的等量关系. 根据题意，得 解方程组， 得 ∴隧道和火车的长度分别是 和 . 例 2 由甲地到乙地的公路全程为200km，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路.已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是60 km/h和100 km/h，从甲地到乙地用时3h，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米? 【分析】设 汽车在普通公路和高速公路上行驶的时间分别为 x h和 y h，完成下表. 路段 速度/（km/h） 时间/h 路程/km 普通公路 60 高速公路 100 【解答】设汽车在普通公路和高速公路上行驶的时间分别为 x h和 y h， 根据题意， 得 解方程组， 得 普通公路行程： 高速公路行程： 答：汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了 和 . 例 3 小明骑自行车去某景区，出发时，他先以8km/h 的速度走平路，而后又以4 km/h 的速度上坡到达景区，共用了1.5h; 返回时，他先以12 km/h的速度下坡，而后以9km/h 的速度走过平路，回到原出发点，共用了55min,求从出发点到景区的路程.100 60 【分析】等量关系： + =1.5h； + =h． 【解答】解：设平路为xkm, 坡路为ykm. 根据题意，得 , 解得： 从出发点到景区的路程.为： , 答：从出发点到景区的路程是 . ◆总结归纳： 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？ （1）[审]审题明确题中涉及的量，找到 ； （2）[设]用字母表示题目中的 未知量在（x、y ）； （3）[列]根据两个等量关系分别列出两个方程并组成 ； （4）[解]解方程组，求出 的值； （5）[验]根据应用题的 ，检查求得的结果是否合理； （6）[答]写出符合题意的答案并做答. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何利用画线段图解决行程问题； B.交流例题的解题思路和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为2.4m，则每一块长方形墙砖的面积为（ ） A. 0.36 m² B. 0.9 m² C. 0.4 m² D. 2.4 m² 2.已知某一铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用60s，整列火车完全在桥上的时间为40s，则火车长度为 ,速度为 。 3.甲、乙两人从相距36km的两地相向而行。如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先走2h，那么他们在甲出发3h时相遇。甲、乙两人的速度各是多少？ 4.如图，A,B两地由公路和铁路相连.在这条路上有一家食品厂，它到B 地的路程是到A 地路程的2倍.现在该食品厂从A 地收购一批食材运回食品厂，全部加工成食品 (制作过程中有损耗)运到B 地销售，两次运输(第一次：A 地→食品厂，第二次：食品厂 →B地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元. 已知公路运费为1.5元/(t.km),铁路运费为1元/(t.km). (1)这家食品厂到A,B两地的路程分别是多少千米? (2)若这家食品厂此次收购的食材每吨花费5000元，要想该批食品销售完后 .工厂共获利863800元，则这批食品每吨的售价应为多少元? (利润=总售价 - 总成本 - 总运费) 题型一 几何图形问题 1．在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．则花圃的面积为（　　） A．16 B．8 C．32 D．24 2．如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度， 首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A．81cm B．83cm C．85cm D．87cm 3．（2024•永春县校级开学）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是　 　． 4．小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积． 5．如图所示的甲、乙、丙三种长方形木板可以用来制作无盖长方体木箱，其中甲木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成三块刚好能做箱底和两个短侧面，丙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面．设甲木板有块，乙木板有块． 已知丙木板有12块． （1）根据题意填写下表： 木板种类 长侧面 短侧面 箱底 甲 ______ / 乙 / ______ 丙 12 12 / 合计 ______ ______ （2）将三种木板锯成的木块全部用于制作无盖长方体木箱，材料恰好无剩余，求，的值． 题型二 行程问题 6．从甲地到乙地，需先走下坡路，后走平路，某人骑自行车下坡速度是，平路的速度是，上坡速度是，从甲地到达乙地时共用了，从乙地回到甲地时共用了，求甲、乙两地相距多少千米？ 7．一位俄罗斯外国朋友计划来中国旅行，体验中华优秀传统文化，感悟非遗魅力．他计划搭乘飞机前往中国．已知这趟国际飞机往返于A，B两城，顺风飞行需要2小时20分钟，逆风飞行需要2小时40分钟，当天天气状况一般，风速为每小时42千米．试求A，B两城之间的距离． 8．甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度． 9．为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，若两车上坡、下坡的速度分别相同． (1)求坡道的长度； (2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？ 10．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 题型三 商品销售问题 11．某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（　　） A．95元，180元 B．155元，200元 C．100元，120元 D．150元，125元 12．直播带货已经成为年轻人购物的新时尚．某网红为回馈粉丝，在直播间为某品牌带货促销：凡购买该品牌产品均享受13%的补贴（凭付款截屏到线上客服处返现）．某粉丝购买该品牌电视和空调各一台共花去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600元． （1）该粉丝可以到线上客服处返多少元现金？ （2）该粉丝所买的空调与电视的单价各是多少元？ 13．某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙种商品打七五折，已知打折前，买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元． （1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？ （2）某人购买甲种商品80件，乙种商品100件，问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？ 14．某文具店购进24色与48色两种型号的马克笔共50盒，这两种马克笔的进价与售价如下表： 型号 进价（元/盒） 售价（元/盒） 24色 25 35 48色 45 65 （1）如果进货款为1650元，那么24色和48色的马克笔分别进货多少盒？ （2）销售完这批马克笔共获利多少元？ 15．某商场第1次用390000元购进A、B两种商品，销售完后获得利润60000元，它们的进价和售价如下表：（总利润＝单件利润×销售量） 商品价格 进价（元/件） 售价（元/件） A 1000 1200 B 1200 1350 （1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？ （2）商场第2次以原进价购进A、B两种商品，购进B商品的件数不变，而购进A商品的件数是第1次的2倍，B商品按原售价销售，而A商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于18000元，则A种商品是打几折销售的？ ▲1．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？ （1）[审]审题明确题中涉及的量，找到 ； （2）[设]用字母表示题目中的 未知量在（x、y ）； （3）[列]根据两个等量关系分别列出两个方程并组成 ； （4）[解]解方程组，求出 的值； （5）[验]根据应用题的 ，检查求得的结果是否合理； （6）[答]写出符合题意的答案并做答. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3二元一次方程组的应用 导学案 第3课时 借助线段图表示等量关系 1.理解二元一次方程组解决实际问题的基本思路，能从行程问题、几何拼接问题中找出等量关系。 2.学会借助线段图、表格等工具梳理数量关系，能准确列出二元一次方程组并求解. 学习重点：借助线段图梳理复杂问题中的等量关系；列二元一次方程组解决行程问题和几何拼接问题. 学习难点：准确分析火车过隧道等复杂行程问题中的等量关系，掌握线段图的绘制与应用技巧. 第一环节 自主学习 新知自研：自研课本P123-P125页的内容，思考： 【学法指导】 温故知新 思考：学习一元一次方程时，我们用什么方法分析《追赶小明》中的行程问题？ 画线段图的方法来分析 情境导入 下图中 8 块小长方形墙砖拼成大长方形的图片，思考：大长方形的长和宽与小长方形的长和宽有什么关系？能否用二元一次方程组解决这个问题？线段图还能发挥作用吗？ ●探究一：用二元一次方程组解决图表问题 上图中的墙砖问题如何解决呢： ◆1.这个问题涉及哪些量? 大长方形的长和宽，小长方形的长和宽 ◆2.本题涉及的等量关系是什么？ 2×大长方形的长=3×小大长方形的宽+小长方形的长 大长方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽 ◆3.你能列方程组解决这个问题吗？ 【解答】设小长方形墙砖的长是x cm，宽是y cm.， 根据题意， 得 解方程组， 得 答：小长方形墙砖的长是30 cm，宽是10cm. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例 1（火车过隧道问题）： 火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s，其中火车全身都在隧道里的时间是20s，求隧道和火车的长度. 【分析】可以通过画图来说明火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间的数量关系. 【解答】解：设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m. 借线段图可以很直观的表示数量之间的等量关系. 根据题意，得 解得： ∴隧道和火车的长度分别是1000m和200m. 例 2 由甲地到乙地的公路全程为200km，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路.已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是60 km/h和100 km/h，从甲地到乙地用时3h，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米? 【分析】设 汽车在普通公路和高速公路上行驶的时间分别为 x h和 y h，完成下表. 路段 速度/（km/h） 时间/h 路程/km 普通公路 60 x 60x 高速公路 100 y 100y 【解答】设汽车在普通公路和高速公路上行驶的时间分别为 x h和 y h， 根据题意， 得 解方程组， 得 普通公路行程：2.5×60 = 150 km. 高速公路行程：200－150 = 50 km. 答：汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了150km和50km.. 例 3 小明骑自行车去某景区，出发时，他先以8km/h 的速度走平路，而后又以4 km/h 的速度上坡到达景区，共用了1.5h; 返回时，他先以12 km/h的速度下坡，而后以9km/h 的速度走过平路，回到原出发点，共用了55min,求从出发点到景区的路程.100 60 【分析】等量关系：走平路的时间+走上坡路的时间=1.5h； 走下坡路的时间+走平路的时间=h． 【解答】解：设平路为xkm, 坡路为ykm. 根据题意，得, 解得： 从出发点到景区的路程.为：x+y=6+3=9(km), 答：从出发点到景区的路程是9km. ◆总结归纳： 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？ （1）[审]审题明确题中涉及的量，找到等量关系； （2）[设]用字母表示题目中的两个未知量在（x、y ）； （3）[列]根据两个等量关系分别列出两个方程并组成方程组； （4）[解]解方程组，求出未知数的值； （5）[验]根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理； （6）[答]写出符合题意的答案并做答. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何利用画线段图解决行程问题； B.交流例题的解题思路和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为2.4m，则每一块长方形墙砖的面积为（ A ） A. 0.36 m² B. 0.9 m² C. 0.4 m² D. 2.4 m² 2.已知某一铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用60s，整列火车完全在桥上的时间为40s，则火车长度为 200m ,速度为 20m/s 。 解：设火车长xm,速度为ym/s.60y = 1000＋x, 40y = 1000－x。 由题意得 3.甲、乙两人从相距36km的两地相向而行。如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先走2h，那么他们在甲出发3h时相遇。甲、乙两人的速度各是多少？ 设 甲、乙两人的速度分别是 x km/h和 y km/h，填写下表并求x，y的值。 解析： 设 甲、乙两人的速度分别是 x km/h和 y km/h， 根据题意，得 解方程组，得 所以，甲的速度为 6km/h，乙的速度为 3.6km/h. 4.如图，A,B两地由公路和铁路相连.在这条路上有一家食品厂，它到B 地的路程是到A 地路程的2倍.现在该食品厂从A 地收购一批食材运回食品厂，全部加工成食品 (制作过程中有损耗)运到B 地销售，两次运输(第一次：A 地→食品厂，第二次：食品厂 →B地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元. 已知公路运费为1.5元/(t.km),铁路运费为1元/(t.km). (1)这家食品厂到A,B两地的路程分别是多少千米? 解：设这家食品厂到A地的路程是xkm,到B地的路程是ykm. 根据题意，得, 解 得 答：这家食品厂到A地的路程是50km,到B地的路程是100km. (2)若这家食品厂此次收购的食材每吨花费5000元，要想该批食品销售完后 .工厂共获利863800元，则这批食品每吨的售价应为多少元? (利润=总售价 - 总成本 - 总运费) 解：食品厂到A 地的铁路路程为50-20=30(km),到 B 地的铁路路程为100-30=70(km). 设这家食品厂此次收购食材mt, 销售食品nt. 根据题意，得解 方 程 组 ， 这批食品每吨的售价应为(863800-15600+20600+220×5000)÷200=10000(元) 答：这批食品每吨的售价应为10000元. 题型一 几何图形问题 1．在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．则花圃的面积为（　　） A．16 B．8 C．32 D．24 【分析】设每个小矩形花圃的长为xm，宽为ym，观察图形，根据矩形空地的长和宽，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每个矩形小花圃的长和宽，再将其代入3xy中即可求出花圃的面积． 【解答】解：设每个小矩形花圃的长为xm，宽为ym， 依题意得：， 解得：， ∴3xy＝3×4×2＝24． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度， 首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A．81cm B．83cm C．85cm D．87cm 【分析】设桌子的高度为xcm，长方形木块的长比宽长ycm，根据图中的数据，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设桌子的高度为xcm，长方形木块的长比宽长ycm， 根据题意得：， 解得：， ∴桌子的高度是85cm． 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2024•永春县校级开学）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是　 　． 【分析】设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米， 根据题意得：， 解得：， 则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米）， 故答案为：120厘米． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积． 【分析】设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题． 【解答】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm， 则图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，图2中大正方形的边长可以表示为（2x+y）cm或（2y+3）cm， 那么可得出方程组为：， 解得：， 则小长方形的面积为：9×15＝135（cm2）， 答：小长方形的面积为135cm2． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，观察图形得出等量关系，列出方程组是解题的关键． 5．如图所示的甲、乙、丙三种长方形木板可以用来制作无盖长方体木箱，其中甲木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成三块刚好能做箱底和两个短侧面，丙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面．设甲木板有块，乙木板有块． 已知丙木板有12块． （1）根据题意填写下表： 木板种类 长侧面 短侧面 箱底 甲 ______ / 乙 / ______ 丙 12 12 / 合计 ______ ______ （2）将三种木板锯成的木块全部用于制作无盖长方体木箱，材料恰好无剩余，求，的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)能做45个或48个或51个长方体木箱 【分析】（1）通过分析三种木板制作木箱各部分（长侧面、短侧面、箱底 ）的数量关系，完成表格填写；（2）根据长侧面、短侧面数量关系列方程组，求解、 ． 【解答】（1）解： 木板种类 长侧面 短侧面 箱底 甲 / 乙 / 丙 12 12 / 合计 ②解： 解得 【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，观察图形得出等量关系，列出方程组是解题的关键． 题型二 行程问题 6．从甲地到乙地，需先走下坡路，后走平路，某人骑自行车下坡速度是，平路的速度是，上坡速度是，从甲地到达乙地时共用了，从乙地回到甲地时共用了，求甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】甲、乙两地相距千米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设从甲地到乙地的坡路长为x km，平路长为y km，利用时间路程速度，结合往返两地所需时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：设从甲地到乙地的坡路长为x km，平路长为y km， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两地相距千米． 7．一位俄罗斯外国朋友计划来中国旅行，体验中华优秀传统文化，感悟非遗魅力．他计划搭乘飞机前往中国．已知这趟国际飞机往返于A，B两城，顺风飞行需要2小时20分钟，逆风飞行需要2小时40分钟，当天天气状况一般，风速为每小时42千米．试求A，B两城之间的距离． 【答案】1568千米 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设两城之间的距离为x千米，飞机的飞行速度为y千米/小时，根据路程、时间、飞行速度、风速的关系列二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：2小时40分钟小时，2小时20分钟小时， 设两城之间的距离为x千米，无风时飞机的飞行速度为y千米/小时， 由题意得， 解得． 故A，B两城之间的距离为1568千米． 8．甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度是，乙的速度是． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的速度为，乙的速度为，根据乙先走，甲用就能追上乙，列出方程；根据乙先走，甲只用就能追上乙，可以列出方程，联立方程组求解即可. 【解答】解：设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意，得， 解得， 答：甲的速度为，乙的速度为． 9．为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，若两车上坡、下坡的速度分别相同． (1)求坡道的长度； (2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？ 【答案】(1)坡道的长度为1800米 (2)经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——上下坡问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系列方程，是解题的关键． （1）设上坡时的速度为米／分钟，坡道长度为米，则下坡时的速度为米／分钟．根据从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，列二元一次方程组解答； （2）利用第（1）问求出的速度，设经过分钟后两车相距300米，分①相遇之前，②相遇之后，列方程解答. 【解答】（1）解：设上坡时的速度为米／分钟，坡道长度为米，则下坡时的速度为米／分钟． 根据题意，得解得 答：坡道的长度为1800米． （2）解：由（1）可知甲、乙两车上坡的速度为600米／分钟，下坡的速度为（米／分钟）． 设经过t分钟后两车相距300米， ①相遇之前：，解得； ②相遇之后：，解得． 答：经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米． 10．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹 (2)快递车的总配送路程是千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键； （1）设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【解答】（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得， 解得： 答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹； （2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得 解得： 答：快递车的总配送路程是千米 题型三 商品销售问题 11．某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（　　） A．95元，180元 B．155元，200元 C．100元，120元 D．150元，125元 【分析】设每件商品定价x元，进价y元，由题意表示出销售8件和销售12件的利润，进而列出方程组，求出方程组的解即可． 【解答】解：设每件商品定价x元，进价y元， 根据题意得：， 解得：， 即该商品每件进价155元，定价每件200元， 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找出正确等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 12．直播带货已经成为年轻人购物的新时尚．某网红为回馈粉丝，在直播间为某品牌带货促销：凡购买该品牌产品均享受13%的补贴（凭付款截屏到线上客服处返现）．某粉丝购买该品牌电视和空调各一台共花去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600元． （1）该粉丝可以到线上客服处返多少元现金？ （2）该粉丝所买的空调与电视的单价各是多少元？ 【分析】（1）利用返的现金＝付款金额×13%，即可求出结论； （2）设该粉丝所买的空调的单价是x元，电视的单价是y元，根据“购买该品牌电视和空调各一台共花去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）6000×13%＝780（元）． 答：该粉丝可以到线上客服处返780元现金． （2）设该粉丝所买的空调的单价是x元，电视的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：该粉丝所买的空调的单价是4200元，电视的单价是1800元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 13．某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙种商品打七五折，已知打折前，买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元． （1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？ （2）某人购买甲种商品80件，乙种商品100件，问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？ 【分析】（1）设打折前甲种商品每件x元，乙种商品每件y元，根据“打折前，买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据节省的钱数＝打折前购买所需费用﹣打折后购买所需费用，即可求出结论． 【解答】解：（1）设打折前甲种商品每件x元，乙种商品每件y元， 依题意，得：， 解得：． 答：打折前甲种商品每件40元，乙种商品每件120元． （2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120＝3640（元）． 答：打折后购买这些商品比不打折可节省3640元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 14．某文具店购进24色与48色两种型号的马克笔共50盒，这两种马克笔的进价与售价如下表： 型号 进价（元/盒） 售价（元/盒） 24色 25 35 48色 45 65 （1）如果进货款为1650元，那么24色和48色的马克笔分别进货多少盒？ （2）销售完这批马克笔共获利多少元？ 【分析】（1）设24色的马克笔进了x盒，48色的马克笔进了y盒，根据购进24色与48色两种型号的马克笔共50盒，进货款为1650元，列出方程组求解即可； （2）根据每盒的利润乘销售量可得结论 【解答】解：（1）设24色的马克笔进了x盒，48色的马克笔进了y盒，根据题意得， ， 解得，， 答：24色的马克笔进了30盒，48色的马克笔进了20盒； （2）销售完这批马克笔共获利：（35﹣25）×30+（65﹣45）×20 ＝10×30+20×20 ＝300+400 ＝700（元）． 答：销售完这批马克笔共获利700元． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 15．某商场第1次用390000元购进A、B两种商品，销售完后获得利润60000元，它们的进价和售价如下表：（总利润＝单件利润×销售量） 商品价格 进价（元/件） 售价（元/件） A 1000 1200 B 1200 1350 （1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？ （2）商场第2次以原进价购进A、B两种商品，购进B商品的件数不变，而购进A商品的件数是第1次的2倍，B商品按原售价销售，而A商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于18000元，则A种商品是打几折销售的？ 【分析】（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件，列出方程组可求解； （2）设A商品打m折销售，由（1）得A、B商品购进的数量，结合（2）中数量的变化，再根据第2次经营活动获得利润等于18000元，得出方程即可． 【解答】解：（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件， 根据题意得：， 解得：， 答：商场第1次购进A商品150件，B商品200件； （2）设A商品打m折销售， 根据题意得：购进A商品的件数为：150×2＝300（件）， 则：， 解得：m＝8， 答：A商品打8折销售． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次方程． ▲1．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？ （1）[审]审题明确题中涉及的量，找到等量关系； （2）[设]用字母表示题目中的两个未知量在（x、y ）； （3）[列]根据两个等量关系分别列出两个方程并组成方程组； （4）[解]解方程组，求出未知数的值； （5）[验]根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理； （6）[答]写出符合题意的答案并做答. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $