专题 14.4 三角形全等几何模型（ 模型梳理 +题型精析 + 同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024）

专题 14.4 三角形全等几何模型 目录 一.模型梳理与题型分类精析 1 模型（一）共顶点等角模型 1 【题型1】共顶点等角模型 2 【题型2】双垂直等角模型 3 模型（二）共线段等边模型 4 【题型3】共线段等边模型 4 模型（三）8字模型 5 【题型4】平行8字模型 5 【题型5】斜8字模型 5 模型（四）一线三等角模型 7 【题型6】一线三直角模型 7 【题型7】一线三等角模型 8 模型（五）手拉手模型 9 【题型8】手拉手模型 10 模型（六）倍长中线模型 11 【题型9】倍长中线模型 11 模型（七）截长补短模型 12 【题型10】截长补短模型 13 模型（八）半角模型模型 14 【题型11】半角模型 14 二．同步练习 15 【基础巩固（16题）】 15 【能力提升（16题）】 19 一.模型梳理与题型分类精析 模型（一）共顶点等角模型 名称 基本图形 条件 结论 共顶点等角 双垂直等角模型 【题型1】共顶点等角模型 【例题 1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： （1） （2）． 【变式2】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，，且点C在上，，则 【题型2】双垂直等角模型 【例题 2】 （24-25六年级下·山东济南·期末）在中，，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，吗？请说明理由； （2）在（1）的结论下，试求：的度数； （3）设，，如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，已知在中，，，已知点D在边上，，，连结．试探究与的关系，并说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·江西萍乡·期末）在中，，点D是线段上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，若， ①试说明：； ②判断与的位置关系_______，并说明理由； （2）设，（如图2），则，之间有怎样的数量关系?请直接写出结论． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． （1）如图①，当，时，与的数量关系是______； （2）如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 模型（二）共线段等边模型 名称 基本图形 条件 结论 共线段等边同侧模型 共线段等边异侧模型 【题型3】共线段等边模型 【例题 3】 （24-25六年级下·山东济南·期末）如图，点A、D、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．与相等吗？为什么？ 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·期末）如图，已知点E，F是线段上的两点，且，，，试判断与的数量关系，并说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，在与中，，，，若则的度数为 ． 模型（三）8字模型 名称 基本图形 条件 结论 平行8字模型 斜8字模型 【题型4】平行8字模型 【例题 4】 （24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，，线段与相交于点． (1)添加一个条件： ，使； (2)说明（1）中结论成立的理由． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）在中，，为的中点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接求证：． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，某数学小组的同学为了测量湖宽，先在的延长线上选定点；再在的下方选一适当的点，分别连接，，延长至点，使得，延长至点，使得，连接；最后在的延长线上找一点，使得点在同一直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽，你能说明其中的道理吗？ 【题型5】斜8字模型 【例题 5】 （24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，，是高，点在的延长线上，，点在上，． （1）判断：_______；（用“”“”“”填空） （2）探究与之间的数量关系和位置关系； （3）若把图中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，（2）中的结论是否还成立？请画出图形并说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如图，是的高，点在的延长线上，，点在上，． （1）判断：______（用“”“”“”填空）； （2）探究与之间的数量关系和位置关系； （3）若把图中的改为钝角三角形，是钝角，其他条件不变，（2）中的结论是否还成立？请画出图形并说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）【问题情境】 将和按如图所示的位置摆放，，已知，． 【问题探究】 （1）如图1，试说明； （2）如图2，连接交于点F，且，过点A作于点M，连接，判断与之间的数量关系，并说明理由． 模型（四）一线三等角模型 名称 基本图形 条件 结论 一线三直角 一线三等角 【题型6】一线三直角模型 【例题 6】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，两根旗杆，之间相距（即），某人从点沿方向移动到点，此时他仰望旗杆的顶点和，两次视线与的夹角为（即），且．已知点、、在一条直线上，，若旗杆的高度为，求的长度． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，A是线段上一点，，，，． （1）求证：． （2）若点A在的延长线上，其余条件与（1）相同，如图2，线段之间又有怎样的数量关系？请说明理由． （3）在（2）的条件下，交于F，，，，求的面积． 【题型7】一线三等角模型 【例题 7】 （24-25六年级下·山东济南·期末）已知中，，D、A、E三点都在直线l上，且，其中． （1）模型：当时，如图1，猜想、、之间的数量关系为________； （2）拓展：当时，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； （3）应用：当时，如图3，若，延长，交直线l于点F，，，，求． 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，在中，，三点都在直线上，且，． （1）如图①，若，则与的数量关系为______； （2）如图②，直接写出线段与的数量关系：______； （3）如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． （1）已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    （2）如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    （3）如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    模型（五）手拉手模型 名称 基本图形 条件 结论 手拉手 、是等边三角形 【题型8】手拉手模型 【例题 8】（24-25七年级下·山西运城·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 【变式1】（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，，都是等腰三角形，，，且．求证． 【变式2】（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，连接，交于点，连接．求证： （1）； （2）平分． 模型（六）倍长中线模型 名称 基本图形 条件 结论 倍长中线 是中线，延长至，使，连接. 倍长中线 作垂直 是中线，过点、作，垂足分别为、. 【题型9】倍长中线模型 【例题 9】 （24-25七年级下·上海·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．宁宁同学提示她可以延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决． （1）请说明理由； （2）求的长，并根据的长，求出的取值范围； （3）请根据与的数量关系，直接写出的取值范围； （4）过点D作直线，分别交边于点F、G，画图并求证：． 【变式1】（24-25七年级下·河北保定·期末）方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【变式2】（24-25七年级下·山东威海·期中）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ． （2）如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 模型（七）截长补短模型 名称 基本图形 条件 结论 截长法 已知：在中，，. 在上截取连接. （1）； （2）是等腰三角形 （3） 补短法 已知：在中，，. 在延长线上截取连接. （1） （2）是等腰三角形； （3） 【题型10】截长补短模型 【例题 10】 （2021七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期中）中，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． （1）若，，如图，试说明； （2）若平分，平分，如图所示，若，则 ，并证明：． 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为 ． 模型（八）半角模型模型 名称 基本图形 条件 结论 半角 , 【题型11】半角模型 【例题 11】 （24-25七年级下·四川雅安·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）如图，正方形中，点、分别在边、上，连接、、，且，下列结论：①；②；③正方形的周长的周长；④，其中正确的是（    ）    A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④ 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④平分； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，已知，添加下列哪个条件不一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·山东济南·期末）如图，已知，，欲说明，需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）已知：如图，，，，则不正确的结论（  ） A．与互为余角 B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，点A在上，，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点是平分线上一点，，，，则长可能是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，且点在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在同一直线上，，且，已知，，则的长为 ． 8．（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B 恰好落在左侧书籍的上方边沿，点A、B、C、D、E在同一平面内． 已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 9．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，则 ． 10．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，、是外两点，连接、，有、，．连接、交于点． （1）当时，的度数为 ． （2）用含的式子表示的度数为 ． 11．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，点E在外部，点D在边上，，，．若，则的度数为 ． 12．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）把三个正方形按如图位置摆放，其中两个小正方形的面积分别为，，则大正方形的面积 ． 三、解答题 13．（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图，已知．求证：． 14．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 15．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，C，E，F分别是直线上的三点，且，请提出对三条线段之间数量关系的合理猜想，并说明理由． 16．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小华和爸妈在五一假期期间去方特游乐园乘坐了海盗船，如图，已知海盗船的转轴B到地面的距离，小华在乘坐的过程中，当海盗船的船头摆动到最高点A处时，于点C，此时点C到地面的距离，当船头从A处摆动到处时，，求点到的距离． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，点在线段上，，且，连接、、、，与交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在和中，，，，，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（    ）    A．6 B．15 C．12 D．30 5．（20-21八年级下·贵州毕节·期中）如图，在正方形中，点 分别在上，且，将绕点顺时针旋转 90°，使点落在点处，则下列判断不正确的是（        ） A．是等腰直角三角形 B．垂直平分 C． D．是等腰三角形 6．（20-21七年级下·山东烟台·期末）如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 二、填空题 7．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ． 8．（24-25七年级下·河北张家口·期末）在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ． 9．（2025九年级下·内蒙古·专题练习）如图，，，的延长线交于点F，若，，则的长为 ． 10．（24-25七年级下·河南·期中）如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为 s． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在一个支架的横杆上点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小华用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．已知，细绳的长为，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在四边形中，，连接，若P是边上一动点，连接，则长的最小值为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，，，，点在边上，与相交于点． （1）试说明：． （2）若，，，求与的周长之和． 14．（24-25七年级下·广东梅州·期末）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． 【问题应用】 （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系和位置关系，并加以说明． 15．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 16．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． （1）图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 14.4 三角形全等几何模型 目录 一.模型梳理与题型分类精析 1 模型（一）共顶点等角模型 1 【题型1】共顶点等角模型 2 【题型2】双垂直等角模型 4 模型（二）共线段等边模型 10 【题型3】共线段等边模型 10 模型（三）8字模型 12 【题型4】平行8字模型 12 【题型5】斜8字模型 12 模型（四）一线三等角模型 18 【题型6】一线三直角模型 18 【题型7】一线三等角模型 21 模型（五）手拉手模型 27 【题型8】手拉手模型 28 模型（六）倍长中线模型 31 【题型9】倍长中线模型 32 模型（七）截长补短模型 38 【题型10】截长补短模型 38 模型（八）半角模型模型 43 【题型11】半角模型 43 二．同步练习 49 【基础巩固（16题）】 49 【能力提升（16题）】 62 一.模型梳理与题型分类精析 模型（一）共顶点等角模型 名称 基本图形 条件 结论 共顶点等角 双垂直等角模型 【题型1】共顶点等角模型 【例题 1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 证明，得到，进而可知，即可得到的度数． 解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： （1） （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）利用公共边，结合证明即可． （2）利用证明即可得到结论． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 解：（1）证明：∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，，且点C在上，，则 【答案】/50度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明． 先根据角的和差证明．利用证明，可得，再求解即可． 解：． ． ． 在和中， ， ， ． 对顶角相等， ∴， ． 故答案为： 【题型2】双垂直等角模型 【例题 2】 （24-25六年级下·山东济南·期末）在中，，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，吗？请说明理由； （2）在（1）的结论下，试求：的度数； （3）设，，如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1），理由见分析；（2）；（3），理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由可得，即可证明； （2）由可得，推出，结合，即可求解； （3）由可得，证明，得到，则，即可求解． 解：（1）解：，理由如下： ， ， 即， 在与中， ， ； （2）， ， ， ， 又， ， 即； （3）， 理由：， 即． 在与中， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，已知在中，，，已知点D在边上，，，连结．试探究与的关系，并说明理由． 【答案】且，理由见分析 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．根据题中条件证明，得，，由，推出，得． 解：且，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 且． 【变式2】（24-25七年级下·江西萍乡·期末）在中，，点D是线段上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，若， ①试说明：； ②判断与的位置关系_______，并说明理由； （2）设，（如图2），则，之间有怎样的数量关系?请直接写出结论． 【答案】（1）①见分析；②垂直（或），理由见分析；（2） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂直的定义，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）①由得出，根据可证；②由可得，进而可得，结合，可得； （2）同（1）可证，推出，结合可得． 解：（1）解：①∵， ∴，即， 又∵，， ∴； ②， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即； 故答案为：垂直（或）； （2）解：， 理由：∵ ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． （1）如图①，当，时，与的数量关系是______； （2）如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，理由见分析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； （1）根据角平分线的性质定理即可作出判断； （2）过点P作于E，于F，如图，可得，根据补角的性质得出，证明，进而得到结论． 解：（1）解：是的平分线， ； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 如图，过点P作于E，于F， ， ∵是的平分线， ， ，， ， 在和中 ， ． 模型（二）共线段等边模型 名称 基本图形 条件 结论 共线段等边同侧模型 共线段等边异侧模型 【题型3】共线段等边模型 【例题 3】 （24-25六年级下·山东济南·期末）如图，点A、D、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．与相等吗？为什么？ 【答案】，见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据证明，可得． 解：．理由如下： ， ， ， ，即， 在和中 ， ． 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·期末）如图，已知点E，F是线段上的两点，且，，，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，见分析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 解：，理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，在与中，，，，若则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先证明，则有，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 模型（三）8字模型 名称 基本图形 条件 结论 平行8字模型 斜8字模型 【题型4】平行8字模型 【例题 4】 （24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，，线段与相交于点． (1)添加一个条件： ，使； (2)说明（1）中结论成立的理由． 【答案】(1)或或（答案不唯一）(2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法、、、，结合已知条件添加即可； （2）由平行线的性质得，，结合所添加条件证明即可． 解：（1）添加一个条件：或或（答案不唯一）． 故答案为：或或（答案不唯一）； （2）∵ ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）在中，，为的中点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接求证：． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟记判定方法是解本题的关键．先证明，再根据证明两个三角形全等，得出，可得． 证明：为的中点， ， 在和中， ， ， ∴， ∴， 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，某数学小组的同学为了测量湖宽，先在的延长线上选定点；再在的下方选一适当的点，分别连接，，延长至点，使得，延长至点，使得，连接；最后在的延长线上找一点，使得点在同一直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽，你能说明其中的道理吗？ 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得． 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即只要测出线段的长度就可知湖宽． 【题型5】斜8字模型 【例题 5】 （24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，，是高，点在的延长线上，，点在上，． （1）判断：_______；（用“”“”“”填空） （2）探究与之间的数量关系和位置关系； （3）若把图中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，（2）中的结论是否还成立？请画出图形并说明理由． 【答案】（1）；（2）且，证明见分析；（3）成立，理由见分析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和余角的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，证明是解此题的关键． （1）根据三角形内角和定理和余角的性质即可得出答案； （2）证明，可得，再证明，得； （3）先画图，证明，可得，再证明，得； 解：（1）如图1，设，交于， ，是的高， ， ， 又， ． （2）且，理由如下： 由（1）知， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 且． （3）如图2， ，是的高， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 且． 【变式1】（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如图，是的高，点在的延长线上，，点在上，． （1）判断：______（用“”“”“”填空）； （2）探究与之间的数量关系和位置关系； （3）若把图中的改为钝角三角形，是钝角，其他条件不变，（2）中的结论是否还成立？请画出图形并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）成立，理由见分析 【分析】本题考查垂直定义、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）根据垂直定义、直角三角形的两个锐角互余，结合等角的余角相等可得结论； （2）先证明得到，再根据直角三角形的两个锐角互余可得到，进而可求解； （3）同（2）方法可得结论． 解：（1）解：因为是的高，所以． 所以， 因为， 所以． 故答案为：； （2）解：．证明如下： 由（1）知， 在和中，， 所以， 所以， 而，所以， 即，所以， 即； （3）解：成立，理由如下： 如图， 因为是的高，所以， 所以，， 因为，所以． 在和中，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 即． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）【问题情境】 将和按如图所示的位置摆放，，已知，． 【问题探究】 （1）如图1，试说明； （2）如图2，连接交于点F，且，过点A作于点M，连接，判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； （1）先求出，再利用即可证明； （2）由可得，然后证明，求出，，再证明，即可得出结论． 解：（1）解：因为， 所以， 又因为， 所以， 在和中，， 所以； （2）； 理由：由（1）知：， 所以， 因为，， 所以， 在和中， 所以， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 在和中，， 所以， 所以． 模型（四）一线三等角模型 名称 基本图形 条件 结论 一线三直角 一线三等角 【题型6】一线三直角模型 【例题 6】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，两根旗杆，之间相距（即），某人从点沿方向移动到点，此时他仰望旗杆的顶点和，两次视线与的夹角为（即），且．已知点、、在一条直线上，，若旗杆的高度为，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，先根据直角三角形两锐角互余，求出，结合题意可证明，从而得到，进而求出结果． 解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，A是线段上一点，，，，． （1）求证：． （2）若点A在的延长线上，其余条件与（1）相同，如图2，线段之间又有怎样的数量关系？请说明理由． （3）在（2）的条件下，交于F，，，，求的面积． 【答案】（1）详见分析；（2），详见分析；（3），详见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识； （1）由“”可证，由全等三角形的性质可得，，从而得出； （2）先证，得出，，从而得出； （3）由（2）知，，然后求出，的长，进而即可得解； 熟练掌握三角形全等的判定是解决此题的关键． 解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）如图，连接， 由（2）知，， ∵，， ∴， ∴． 【题型7】一线三等角模型 【例题 7】 （24-25六年级下·山东济南·期末）已知中，，D、A、E三点都在直线l上，且，其中． （1）模型：当时，如图1，猜想、、之间的数量关系为________； （2）拓展：当时，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； （3）应用：当时，如图3，若，延长，交直线l于点F，，，，求． 【答案】（1）；（2）成立，见分析；（3）9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意可得可得出，证可得，可得； （2）同（1）证可得，可得出结论； （3）由，得到，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 解：（1）解：的数量关系为：，理由如下： ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： ∵， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，在中，，三点都在直线上，且，． （1）如图①，若，则与的数量关系为______； （2）如图②，直接写出线段与的数量关系：______； （3）如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【分析】（）由余角性质可得，进而可证明，即可求解； （）同理（）可得，得，，进而可得； （）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质解答即可求解； 本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （3）解：①∵点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，，， ，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，， ， 当时，，， ，， ，， 当，，满足，， 故，符合题意； ②∵点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，，， 当时，，， ，， ，， ，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，， ， 当，时，满足，， 故，符合题意； 综上，，或，． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． （1）已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    （2）如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    （3）如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    【答案】（1）见分析；（2）成立，见分析；（3）不成立，见分析 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （3）证明，由全等三角形的性质得出，，进而可以解决问题． 解：（1）证明：直线直线， ． ． ， ． ． 在和中， ． ． （2）成立． 证明：， 在和中， ． ． ． （3）不成立． 理由：， ． ， ． 在和中， ． ． ． 【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质的综合应用，证明是解题的关键． 模型（五）手拉手模型 名称 基本图形 条件 结论 手拉手 、是等边三角形 【题型8】手拉手模型 【例题 8】（24-25七年级下·山西运城·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 【答案】（1），理由见分析；（2）；（3）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可得； （2）设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 解：（1），理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）设与的交点为Q． ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）证明：∵， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， 即， ∴， 即 ∴． 【变式1】（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，，都是等腰三角形，，，且．求证． 【答案】证明见分析 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后证明出，即可得到． 解：证明：⸪ ⸫ ⸫ 在和中 ⸫ ⸫． 【变式2】（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，连接，交于点，连接．求证： （1）； （2）平分． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解； 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的判定： （1）证明即可得到答案； （2）过C作，，证明，得到，结合角平分线的判定直接证明即可得到答案； 解：（1）证明：∵，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过C作，， ∵， ∴ ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 模型（六）倍长中线模型 名称 基本图形 条件 结论 倍长中线 是中线，延长至，使，连接. 倍长中线 作垂直 是中线，过点、作，垂足分别为、. 【题型9】倍长中线模型 【例题 9】 （24-25七年级下·上海·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．宁宁同学提示她可以延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决． （1）请说明理由； （2）求的长，并根据的长，求出的取值范围； （3）请根据与的数量关系，直接写出的取值范围； （4）过点D作直线，分别交边于点F、G，画图并求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）；；（3）；（4）作图见分析，证明见分析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，三角形三边关系． （1）延长到E，使，连接，根据中线，得出，根据“边角边”即可证明． （2）根据，，，得出，在中，根据三角形三边之间的关系得：，即可得的取值范围； （3）根据，得出，结合，即可解答； （4）根据，得出，证明，即可得出． 解：（1）证明：延长到E，使，连接，如图1所示： 是中线， ， 在和中， ， ； （2）解：，，， ， 在中，根据三角形三边之间的关系得：， ； （3）解：， ， 又， ， ； （4）证明：如图2所示： ， ， 即， 在和中， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·河北保定·期末）方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围， （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 解：（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 中线的取值范围是：； （2）证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即平分． 【变式2】（24-25七年级下·山东威海·期中）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ． （2）如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 【答案】（1）；（2）①．理由见分析；②2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线模型，平方差公式的计算； （1）证明，得到，即可求解； （2）①延长到点G，使，连接，先证明，得到，，再由平分和，得到，即可得到； ②由，得到，设，则，由①得，得到，最后由，求解方程即可． 解：（1）解：在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故答案为：； （2）①．理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 模型（七）截长补短模型 名称 基本图形 条件 结论 截长法 已知：在中，，. 在上截取连接. （1）； （2）是等腰三角形 （3） 补短法 已知：在中，，. 在延长线上截取连接. （1） （2）是等腰三角形； （3） 【题型10】截长补短模型 【例题 10】 （2021七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【答案】见分析 【分析】法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解． 解：证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME， 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG， 同理可证得△ABM≌△AGM（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期中）中，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． （1）若，，如图，试说明； （2）若平分，平分，如图所示，若，则 ，并证明：． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析 【分析】（1）根据余角的性质得到，由于，即可得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，，于是得到结论；作的平分线交于，由，得到，求得，根据角平分线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，即可得到结论． 解：（1）解：，， ， ，， ； （2）平分，平分， ，， ； ， ； 作的平分线交于， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， 同理， ． 故答案为： 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可． 解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 模型（八）半角模型模型 名称 基本图形 条件 结论 半角 , 【题型11】半角模型 【例题 11】 （24-25七年级下·四川雅安·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1），见分析；（2）成立，理由见分析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至G，使，由可直接证明，即得出，．结合题意又易证，得出，进而得出； （2）延长到，使，连接，证明，可得，再证明，可得，即可解题． 解：（1）延长线段到点，使，连接，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到，使，连接，        ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， 【变式1】（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）如图，正方形中，点、分别在边、上，连接、、，且，下列结论：①；②；③正方形的周长的周长；④，其中正确的是（    ）    A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】当E、F不是和的中点时，，则和的边对应不相等，由此判断①；延长至G，使得，证明和，即可判断②；通过周长公式计算，再由，即可判断③；证明，再由三角形的底与高的数量关系得，进而判断④． 解：①当E、F不是和的中点时，， 则不成立，故①错误； ②延长至G，使得，连接，如图1，    ∵四边形为正方形 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴的周长， ∵正方形的周长， ∴正方形的周长的周长，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故④错误； 故选：C． 【点拨】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积关系，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积公式是解决此题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④平分； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质（和）等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接，由、可得，进而可证得，于是可得，故结论①正确；根据已知条件不能推出，故结论②错误；延长到，使，连接，利用可证得，于是可得，，，根据角的和差关系可得，进而可证得，于是可得，故结论③正确，可得，即平分，故结论④正确；综上所述，即可得出答案． 解：如图，连接， ，， ， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； 根据已知条件不能推出， 故结论②错误； 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，故结论③正确； ，即平分，故结论④正确； 综上所述，正确的结论有，共个， 故选：． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，已知，添加下列哪个条件不一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．根据三角形全等的判定条件可直接排除选项． 解：∵， ∴，， ∴， A、添加，满足边边角，无法得到，故本选项不符合题意； B、添加，则，因而，满足角边角，可以证明，故本选项符合题意； C、添加，满足角角边，可以证明，故本选项符合题意； D、添加，满足边角边，可以证明，故本选项符合题意； 故选：A 2．（24-25六年级下·山东济南·期末）如图，已知，，欲说明，需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，逐个选项判断即可求解． 解：A、补充，不能证明，故本选项不符合题意； B、补充，不能证明，故本选项不符合题意； C、补充，则，可利用边角边证明，故本选项符合题意； D、补充，不能证明，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）已知：如图，，，，则不正确的结论（  ） A．与互为余角 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，先证明三角形全等是解题的关键． 先根据角角边证明与全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故选项正确； ∵， ∴， 故选项正确； ∵， ∴，， 无法证明，故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，点A在上，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 设与交于点，由等式的性质及三角形的内角和定理可得，由等式的性质可得，利用可证得，于是可得，据此即可得出答案． 解：如图，设与交于点， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点是平分线上一点，，，，则长可能是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键﹒ 在取，求出，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边即可求解． 解：在取，连接， ∵， ， 点是平分线上一点， ， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴长可能是7． 故选：A． 6．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，且点在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明得到，进而求得壁虎所走的路程即可． 解：∵， ∴， ∴，又 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴壁虎爬到点所用的时间为， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在同一直线上，，且，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，线段的和与差．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据平行线的性质结合题意易证明，得出，从而可证，结合，，即可求出，从而可求出． 解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即 ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8.5． 8．（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B 恰好落在左侧书籍的上方边沿，点A、B、C、D、E在同一平面内． 已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键．根据题意证明出即可求解． 解：每本书长，厚度为， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：24． 9．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，则 ． 【答案】/55度 【分析】先证明，可得，再根据题意即可求出结果． 本题考查全等三角形的判定与性质，掌握证明三角形全等的方法是解题的关键． 解：在和中， ∴， ∴， ∵， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，、是外两点，连接、，有、，．连接、交于点． （1）当时，的度数为 ． （2）用含的式子表示的度数为 ． 【答案】 /140度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. 设相交于点,可证明,得到,继而得到,根据三角形内角和定理得到,当时即可得到. 解：如图，设相交于点, , , , , , ,, , , 当时,, 故答案为：；. 11．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，点E在外部，点D在边上，，，．若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明得到，利用外角得到，即可得到． 解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 12．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）把三个正方形按如图位置摆放，其中两个小正方形的面积分别为，，则大正方形的面积 ． 【答案】35 【分析】本题考查了勾股定理的运用，全等三角形的判定和性质，证得是解决问题的关键． 根据题意，可以证得，得到，再根据勾股定理，即可得出答案． 解：如图所示： 三个四边形均为正方形， ，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 即． 故答案为：35． 三、解答题 13．（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图，已知．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． 由角的和差可得，再运用证得，然后根据全等三角形的性质即可证明结论． 解：证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 解：（1）证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. （2）证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ． 15．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，C，E，F分别是直线上的三点，且，请提出对三条线段之间数量关系的合理猜想，并说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】本题考查平角，三角形的内角和，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 由题意推出，再证，继而得答案． 解：．理由： ，， ，， ． 在和中， ． ，． ． 16．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小华和爸妈在五一假期期间去方特游乐园乘坐了海盗船，如图，已知海盗船的转轴B到地面的距离，小华在乘坐的过程中，当海盗船的船头摆动到最高点A处时，于点C，此时点C到地面的距离，当船头从A处摆动到处时，，求点到的距离． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，实际问题中，构造需要的全等三角形是解本题的关键．先过点作于点，再证明，可得从而可得答案． 解：如图，过点作于点， ， ， ， 在与中 ， ， ， ， ． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系．作出图形，延长到E，使，连接，证明，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，即可求解． 解：延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，点在线段上，，且，连接、、、，与交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明，，得出，，再结合，利用三角形内角和定理即可解答． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 同理：， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在和中，，，，，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和邻补角的定义，三角形内角和定理，设与相交于点，根据题意得，可利用证明，有，结合三角形得内角和定理得，结合邻补角的定义即可得． 解：设与相交于点，如图所示： ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， 则 ∴， ∴， 故选：A． 4．（23-24九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（    ）    A．6 B．15 C．12 D．30 【答案】B 【分析】作交的延长线于点，证、即可求解． 解：作交的延长线于点，如图：    设，则 ∵ 解得： ∴ 故选：B 【点拨】本题考查了“半角模型”，熟记相关模型的构成、求解及结论是解题关键． 5．（20-21八年级下·贵州毕节·期中）如图，在正方形中，点 分别在上，且，将绕点顺时针旋转 90°，使点落在点处，则下列判断不正确的是（        ） A．是等腰直角三角形 B．垂直平分 C． D．是等腰三角形 【答案】D 【分析】由旋转的性质得到，于是得到是等腰直角三角形，故A不符合题意；由旋转的性质得到，由正方形的性质得到∠DAB=90°，推出，证明于是得到AF垂直平分EE'，故B不符合题意；证明，故C不符合题意；由于，但不一定等于DF，于是得到不一定是等腰三角形，故D符合题意． 解：∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处， ∴， ∴是等腰直角三角形，故A不符合题意； 如图，连接FE， ∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB=90°， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴+∠FAD=45°， ∴， ∵，AF=AF，    ∴AF垂直平分EE'，故B不符合题意； ∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处， 故C不符合题意； ∵，但不一定等于DF， 不一定相等， ∴不一定是等腰三角形，故D符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定，正确的识别图形是解题的关键． 6．（20-21七年级下·山东烟台·期末）如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N；结合题意，利用等边三角形、全等三角形的性质，推导得AE＝CD，∠AHD＝∠ABG＝60°；再根据等边三角形、角平分线的性质分析，即可得到答案． 解：连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N ∵△ABD，△BCE都是等边三角形， ∴∠ABD＝∠EBC＝60°，BA＝BE，BE＝BC， ∴∠ABE＝∠DBC， 在△ABE和△DBC中， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴AE＝CD，故①正确； ∵△ABE≌△DBC， ∴∠BAE＝∠BDC， ∵∠AGB＝∠DGH， ∴∠AHD＝∠ABG＝60°，故②正确； 在△AGB和△DFB中， ∴△AGB≌△DFB（ASA），故③正确； ∵△AGB≌△DFB， ∴BG＝BF， ∵∠GBF＝60°， ∴△BGF是等边三角形， ∴∠FGB＝∠ABD＝60°， ∴FG∥AC，故⑤正确； ∵△ABE≌△DBC，BM⊥AE，BN⊥CD， ∴BM＝BN， ∴BH平分∠AHC，但不一定平分∠GBF，故④错误； 根据题意，无法判断DH＝CH，故⑥错误． 故选：C． 【点拨】本题考查了等边三角形、全等三角形、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等边三角形、角平分线的性质，从而完成求解． 二、填空题 7．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，过点作交延长线于点，构造一线三垂直全等三角形是解决本题的关键，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 解：如图，过点作交延长线于点， ∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 故答案为：． 8．（24-25七年级下·河北张家口·期末）在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 解：∵点是边的中点，， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025九年级下·内蒙古·专题练习）如图，，，的延长线交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点A作交的延长线于点H，证明，得到，再证明，得到，则． 解：过点A作交的延长线于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．（24-25七年级下·河南·期中）如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为 s． 【答案】2或4 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论． 先证，可得；当线段经过点C时，证明，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 解：∵， ∴， 在和中， ， ， ， 当线段经过点C时，如下图所示： 在和中， ， ， ， 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得 综上可知，t的值为或， 故答案为：2或4． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在一个支架的横杆上点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小华用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．已知，细绳的长为，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 证明，结合，，得，得，即得． 解：由条件可知， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：2． 12．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在四边形中，，连接，若P是边上一动点，连接，则长的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点．过点D作于点E，根据垂线段最短得出当时，最小，求出，可证明，从而得到得出，即可得出选项． 解：如图，过点D作于点E，则当时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在和中 ， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为5． 故答案为：5． 三、解答题 13．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，，，，点在边上，与相交于点． （1）试说明：． （2）若，，，求与的周长之和． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（）由得，进而由即可求证； （）由已知可得，由全等三角形的性质得，，又由三角形的周长公式可得与的周长之和，代入计算即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴与的周长之和 ． 14．（24-25七年级下·广东梅州·期末）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． 【问题应用】 （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系和位置关系，并加以说明． 【答案】（1）；（2），证明见分析；（3），，证明见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系； （3）过点C作于点H，证明和全等得，，则，证明，进而依据“”判定和全等得，，据此即可得出线段与的数量关系和位置关系． 解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）线段与的数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 过点C作于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，． 15．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）．理由见解答过程．证明见分析 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点，使，连接， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ； 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ； （3）． 证明：如图3，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 16．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． （1）图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析；（3）21 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 解：（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$