第06讲 解三角形（小题）（12大题型+五年真题+限时作业）讲义-2026届高三数学第一轮复习（新高考地区适用）

第06讲 解三角形（小题） 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） ………………………1 02 题型突围 精准提分 ……………………………………………………………2 题型一 正弦定理解三角形 …………………………………………………………………2 题型二 余弦定理解三角形 …………………………………………………………………5 题型三 正、余弦定理综合应用 ……………………………………………………………8 题型四 正弦定理解三角形解的个数问题…………………………………………………12 题型五 三角形面积公式及应用……………………………………………………………15 题型六 判断三角形形状……………………………………………………………………19 题型七 正弦定理、余弦定理边角互化……………………………………………………22 题型八 与中线有关的解三角形 ……………………………………………………………27 题型九 与角分线有关的解三角形…………………………………………………………31 题型十 与高线有关的解三角形……………………………………………………………37 题型十一 多三角形或四边形的解三角形…………………………………………………39 题型十二 解三角形的实际应用（距离、高度、角度）…………………………………44 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………57 04 真题呈现 把握考情 …………………………………………………………65 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅱ卷 余弦定理解三角形 这一节的内容是高考数学的核心考点，主要以选择题、填空题和中档解答题呈现，选填题考查内容主要体现在以下方面： ⑴正、余弦定理解三角形； ⑵三角形面积公式的应用 ⑶解三角形中线、角分线和高线的问题 ⑷解三角形的实际应用. 2024年全国甲卷（理） 正弦定理边角互化、余弦定理解三角形 2024年上海卷 测量角度问题 2023年北京卷 正弦定理边角互化、余弦定理解三角形 2023年全国甲卷（理） 解三角形中角分线问题 2022年全国甲卷（理） 余弦定理解三角形 2021年全国乙卷（理） 余弦定理解三角形、三角形面积公式 2021年全国乙卷（理） 测量高度问题 2021年全国甲卷（理） 测量高度问题 题型突围 题型一 正弦定理解三角形 指点迷津 1. 正弦定理及变形 公式： 变形：（1），，； ，，； 2. 正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： 3. 已知两边一对角解三角形： 例1.（已知两角及一边解三角形）（2025·江西景德镇·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以由正弦定理可得. 故选：C 例2.（已知两边及其一边所对的角解三角形）（24-25高一下·北京西城·期中）已知中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，则， 可得. 故选：B. 例3．（已知两边及两角的关系解三角形）（2024·山西太原·二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A．5 B．4或5 C．6 D．4或6 【答案】A 【详解】△ABC中，，，， 由正弦定理，有， 为△ABC的内角，则有，所以， ，， ， 由正弦定理，有. 故选：A 【相似题1】（22-23高三上·北京房山·期中）在中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】利用正弦定理可知，解之得， 因为，所以，则， 或，则. 根据大边对大角，以上两种情况都符合题意. 故选：C 【相似题2】（24-25高三·广东梅州·开学考试）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，由正弦定理可得， 所以，因为，则，所以，解得. 故选：C. 【相似题3】（2024·云南·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为由正弦定理得， 所以，， 故选：D． 【相似题4】（2025·浙江金华·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正弦定理可得， 由于,故或，故AB错误， 若时，则, 此时， 若时，则,此时为三角形中最小的内角，故，故C错误，D正确， 故选:D 【相似题5】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）记的内角的对边分别为.已知，外接圆直径为4，则边的长为 . 【答案】 【详解】，由正弦定理得， 因为，所以， 所以，由得， 因为， 所以，因为，所以，可得， 所以， 因为外接圆直径为4， 所以由正弦定理得， 则边的长为. 故答案为：. 题型二 余弦定理解三角形 指点迷津 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. 例1. （已知两边及一角解三角形）（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．3或5 【答案】C 【详解】由余弦定理:, 代入已知条件，即， 化简得， 解一元二次方程：， 解得：或（舍去）， 所以. 故选：C. 例2.（已知三边或三边的关系解三角形）（2025·安徽蚌埠·模拟预测）在中，是角所对的边长.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，设，则 由余弦定理知 ， 由正弦定理， . 故选：B. 【相似题1】（2026高三·全国·专题练习）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，设，，， 所以由余弦定理得， 因为为的内角，所以. 【相似题2】（多选）（24-25高一下·河南驻马店·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】在中，由余弦定理得， 即， 解得或． 故选：BC． 【相似题3】（2024·广东肇庆·一模）在中，，，分别是角，，的对边，，，，则的外接圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由余弦定理，得，所以舍负，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以． 故选：D． 【相似题4】（24-25高一下·北京房山·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：A. 【相似题5】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C 【相似题6】（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知，，且，则的周长为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 由余弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得，又，， 因为，又，所以，所以， 又，可得，所以， 所以，所以， 所以的周长为. 故答案为：. 题型三 正、余弦定理综合应用 例1．（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，，则边的长为 . 【答案】 【详解】由正弦定理可知：，所以，又， 所以， 又，所以， 故， 由余弦定理可得：，则（负值舍）. 故答案为： 例2.（2026高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 由正弦定理得：. 由余弦定理可得：，即， 所以， 所以， 又，， 所以. 故选：C. 【相似题1】（2025·云南玉溪·模拟预测）在中，是边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，， 在中，由余弦定理得， 因为，所以，， 在中，由正弦定理得，即. 故选：A. 【相似题2】（2025·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】利用正弦定理结合条件可知：，即， 由余弦定理即，故，， 在中由余弦定理可知：， 在中由余弦定理可知：， 整理得：即. 故选：D 【相似题3】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知的内角的对边分别为，，，若的面积为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 结合正弦定理得，所以，所以， 又因为，所以， 由余弦定理得，所以，所以 结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 得，解得， 则的外接圆的面积为． 故选：C. 【相似题4】（多选）（2025·河南许昌·三模）如图，在平面四边形中，，，，.则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．若，则中边上高的长度为 【答案】ACD 【详解】在中，由余弦定理得， 即，即， 或（舍去），，故A正确； 在中，由正弦定理得， 即，解得，故B不正确； ，为锐角，， 又，.故C正确； 由， 在中，由余弦定理得： ， 解得， 又的面积为， 设中边上高的长度为，可得，可得， 的边上高的大小为.故D正确. 故选：ACD. 题型四 正弦定理解三角形解的个数问题 指点迷津 解三角形多解情况： 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 例1．（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】A：，，，为钝角且，有一解，故A错误； B：，，，为锐角，，则无解，故B错误； C：，，，为钝角且，则无解，故C错误； D：，，，为锐角，，因，故有两解，故D正确. 故选：D 例2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，由有两解，得， 即，解得，所以的取值范围为. 故选：D 【相似题1】（2025·四川达州·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使唯一确定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】对于选项A：因为三个内角确定，但三边不确定，可知不能确定，故A错误； 对于选项B：因为，可知， 所以满足条件的有2个，故B错误； 对于选项C：因为，所以满足条件的有1个，故C正确； 对于选项D：因为为最大角，但，不满足大角对大边， 所以不存在，故D错误； 故选：C. 【相似题2】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， 要使有两解，则，即， 即． 故选：D． 【相似题3】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若满足条件的恰有一解，如图 则，或， 当时，， 当时，， 所以AC的取值范围是. 故选：D 【相似题4】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则使得有两组解的的值为 .（写出满足条件的一个整数值即可） 【答案】6（答案不唯一，6,7,8,9任意一个均可） 【详解】由正弦定理，已知，，可得. 因为，，要使有两组解，则有两个值. 因为，当时，，此时. 要使有两个值，则且，即. 所以满足条件的一个整数值（答案不唯一，只要满足的整数均可）. 故答案为：6 （答案不唯一，6,7,8,9任意一个均可） 题型五 三角形面积公式及应用 指点迷津 ⑴对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. ⑵与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 例1．（2025·河北邯郸·模拟预测）在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，由正弦定理得，解得， ， 所以的面积为. 故选：D 例2．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知的内角的对边分别为，，，若的面积为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 结合正弦定理得，所以，所以， 又因为，所以， 由余弦定理得，所以，所以 结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 得，解得， 则的外接圆的面积为． 故选：C. 【相似题1】（2024·浙江·二模）已知，则△ABC的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由余弦定理得， 因为，所以， 可得. 故选：D. 【相似题2】（24-25高三·陕西安康·开学考试）已知△ABC的内角的对边分别为，若的面积为，则 ． 【答案】或 【详解】的面积为， 所以，解得， 因为，所以或， 当时，由余弦定理可得，即， 当时，由余弦定理可得，即， 综上或， 故答案为：或. 【相似题3】（24-25高一下·安徽安庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，可得，解得， 又因为，可得，， 因为，由余弦定理， 即，解得， 所以. 故选：B. 【相似题4】（2025·湖南邵阳·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（    ） A．176 B．88 C．44 D．22 【答案】B 【详解】由，则，易知为锐角， 由正弦定理知，而，即，故， 所以，故， 由， 由正弦定理知，可得，故. 故选：B 【相似题5】（多选）（2025·湖北·模拟预测）锐角三角形中，角所对的边分别是，已知，，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 【答案】AD 【详解】因为且为锐角三角形，所以. 根据三角形的内角和定理，得：，故A正确. 由余弦定理：得：. 整理得，又，所以，故B错误； 根据正弦定理：，故C错误； 因为，故D正确. 故选：AD 【相似题6】（24-25高一下·湖北武汉·期末）在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为. 所以 所以 所以. 由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为4，所以① 由余弦定理可得：, 所以：② ①②可得：，即. 所以. 故选：C 题型六 判断三角形形状 指点迷津 1.判断三角形形状的两种思路： ⑴先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； ⑵先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. 2.判断三角形形状时，常用到以下结论： ⑴为直角三角形或或； ⑵为锐角三角形且且； ⑶为钝角三角形或或； ⑷若，则或. 例1．（24-25高一下·广东惠州·阶段练习）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b=ccosA，则△ABC的形状为（ ）. A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】由余弦定理可得，化简得， 由勾股定理的逆定理可知是以角为直角的直角三角形. 故选：B. 【相似题1】（24-25高一下·河南郑州·期末）在 中，，，，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【详解】由余弦定理得， 又在 中，，则为钝角， 所以为钝角三角形． 故选：C． 【相似题2】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 【相似题3】（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 【答案】A 【详解】由，可得， 则， ， ， 即， 由，故只能为锐角，可得， 因为，所以，. 故选：A. 【相似题4】（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 故选：B 【相似题5】（多选）（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在△ABC中，角、、的对边分别为、、，且已知，则（    ） A．若，且△ABC有两解，则的取值范围是 B．若，且，则△ABC恰有一解. C．若，且△ABC为钝角三角形，则的取值范围是 D．若，且△ABC为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】AD 【详解】A选项：由正弦定理，，， 且，则，选项A正确； 选项B：，所以△ABC无解，故B错误； C选项：①为最大边：，且，此时； ②为最大边：，且，此时，选项C错误； D选项：，且，所以，选项D正确； 故选；AD. 【相似题6】（多选）（2024·江西·模拟预测）设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】解：对于A，由正弦定理可知，即， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不符合题意； 对于B，由正弦定理可知， 又因为，所以， 所以， 所以是等腰三角形，符合题意； 对于C，因为，解得， 所以，是直角三角形，不符合题意； 对于D，由正弦定理可知， 所以， 即， ， 即， 所以，是等腰三角形，符合题意. 故选：BD. 题型七 正弦定理、余弦定理边角互化 指点迷津 1. 正弦定理边角互化 （1），，； （2），，； （3）. 2. 余弦定理边角互化 ；；． 2. 变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 例1．（2025·山东青岛·模拟预测）已知三角形的三个内角A，，所对边为，，，若，且，，则三角形的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由正弦定理边角互化，， 得，又在三角形中，有，则. 又，由正弦定理，，则三角形面积为： . 故选：B 例2．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的内角，，所对的边分别是，，，已知， 则，整理得． 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 所以，又，故，即的取值范围是. 故选：A 【相似题1】（24-25高一下·广东河源·期末）在中，内角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 因为，所以， 代入得， 化简得， 化简得，得， 得， 因为，所以， 所以，解得. 故选：C. 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 【相似题3】（2026高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 由正弦定理得：. 由余弦定理可得：，即， 所以， 所以， 又，， 所以. 故选：C. 【相似题4】（24-25高一下·广东·阶段练习）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，即， 得到，即， 则，即， 由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确. 故选：B 【相似题5】（24-25高三上·湖南·期中）中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的内切圆半径为，由题意可得， 由余弦定理可得， 而，故， 由余弦定理可得，则，当且仅当时等号成立， 而，则，其中， 故， 令，故. 故选：B 【相似题6】（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由正弦定理得， ， ，即， ，，， ，，. 故选：A. 【相似题7】（多选）（2025高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，已知，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则的面积为 【答案】ABC 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为， 所以， 即，因为， 所以，所以，即， 又，所以， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以， 则，解得，故选项AB正确； 因为， 所以，故选项C正确； 若，则由正弦定理，可得， 所以，故选项D错误． 故选：ABC 题型八 与中线有关的解三角形 指点迷津 在中，内角所对的边分别为，若是中点，则解题思路一般有两种： ⑴利用向量：，所以； ⑵利用余弦定理：利用找到中线与边的关系. 例1．（2024·山西·三模）在中，内角所对的边分别为已知的外接圆半径是边的中点，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的外接圆半径，得， 由和得， 又，解得，所以. 因为中，是边的中点，所以, 于是 . 故选：D. 例2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为，则最大值为（　　） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 所以，， 又，且是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 所以最大值为. 故选：C. 【相似题1】（2025·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】利用正弦定理结合条件可知：，即， 由余弦定理即，故，， 在中由余弦定理可知：， 在中由余弦定理可知：， 整理得：即. 故选：D 【相似题2】2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 【相似题3】（2024·山西太原·一模）在△ABC中，内角，，所对的边分别是，，，已知，那么 ，设边的中点为，若，且△ABC的面积为，则的长是 . 【答案】 ； 【详解】在△ABC中，由正弦定理得，， 因为，所以， 化简得，， 在△ABC中，由余弦定理得，， 又因为，所以 由，得， 由，得，所以. 又因为边的中点为，所以， 所以 故答案为：，. 【相似题4】（2024·陕西铜川·三模）已知△ABC的内角所对的边分别是，点是的中点.若，且，则 . 【答案】 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，可得，所以 又因为为△ABC的一条中线，可得， 所以， 即，解得或（舍）. 由余弦定理得. 故答案为：. 【相似题5】（24-25高一下·山东淄博·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的中线的最大值为 . 【答案】 【详解】   ， 即，即，又，所以， 又的中线，所以， ， 又为锐角三角形，所以，， 即时，. 故答案为： 题型九 与角分线有关的解三角形 指点迷津 在中，内角所对的边分别为，若是内角的平分线，则解题思路一般有两种： ⑴利用内角平分线定理：； ⑵利用等面积法：. 例1．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角，的对边分别为，，，内角的平分线交边于点.若，，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 即， 由余弦定理得：， 又，所以， 在中，因为为角的平分线，， 由角平分线定理得：， 设，则， 由余弦定理：， 即 ，解得：， 所以，即， 故选：A. 例2．（24-25高三·四川达州·开学考试）在中，内角的对边分别为，且△ABC的面积，若的平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可知，，所以，所以． 在中，由等面积法得， 即， 即，解得，故正确. 故选:A. 【相似题1】（24-25高三·广东·开学考试）在中，内角的对边分别为，且，若点在边上，且平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以由正弦定理，得， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为0，所以， 所以， 由，得， 所以． 故选：C． 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）在中，已知，，，的面积，是边上的点且平分，则 ． 【答案】 【详解】因为，的面积， 所以由，得． 由余弦定理得， 解得， 有或（由于，舍去）， 所以． 由角平分线定理得， 且，所以． 在中，由余弦定理， 得． 故答案为：. 【相似题3】（2024·河北·三模）中，，．则的角平分线的长为 ． 【答案】2 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 由余弦定理得， 由题意可得，，， 在中，由正弦定理得，① 在中，由正弦定理得，② ①②得，，则， 在中，由余弦定理得. 故答案为：. 【相似题4】（2024·四川内江·三模）在△ABC中，角A的平分线AD与BC边相交于点D，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】依题意，，设， 依题意是角A的角平分线，， 所以，，    由三角形的面积公式得， 整理得，则， 所以 . 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【相似题5】（2024·四川绵阳·三模）在△ABC中，是边上一点，，若，且的面积为，则 . 【答案】 【详解】作的角平分线, 由得, 故是的角平分线， 根据等面积法可得, 由于, 所以， 又，所以， ， 所以，所以， 因此，故为等边三角形， 所以， ， 故答案为： 题型十 与高线有关的解三角形 指点迷津 在中，内角所对的边分别为，若是边上的高，则解题思路一般利用等面积法：. 例1．（2024·陕西·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若△ABC的面积为，周长为，则AC边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在△ABC中，由正弦定理及， 得，即，由余弦定理得， 则，由△ABC的面积为，得，解得， 由，得，又，因此， 令AC边上的高为，则，所以. 故选：B [【相似题1】（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，边上高，且，可得． 设，代入、， 由余弦定理可是得，即． 所以． 故选：A. 【相似题2】（2025·江苏·模拟预测）锐角△ABC中，，，，则AB边上的高CD长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为且△ABC为锐角三角形，可得， 所以， 因为△ABC为锐角三角形，所以，又， 所以，解得， 由正弦定理可得，所认， 设边上的高长为，所以， . 故选：D. 【相似题3】（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，设是的高，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以由余弦定理得， 当且仅当取等号， 所以，当且仅当取等号， 因为是的高，所以， 所以，当且仅当取等号， 所以的最大值为. 故选：D 【相似题4】（24-25高三下·山西大同·期末）在中，已知，若边上的高为，则 ． 【答案】 【详解】设角所对的边为c，依题意得边上的高，而， 所以，，在中，， 在中，； 在中，． 故答案为： 题型十一 多三角形或四边形的解三角形 例1．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】在△ABC中，由余弦定理， 得，所以， 因为，所以， 在中，， 由正弦定理，得，所以． 故选:D． 例2．（2024·四川乐山·三模）在△ABC中，点是边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， ， 由余弦定理得， ，解得，， 所以，， . 故选：C. 【相似题1】（2024·江西九江·二模）已知在四边形中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由，且，可得， 由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得， 所以． 故选：D. 【相似题2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知梯形的外接圆直径为，，，，则梯形的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】如图：    若梯形有外接圆，则梯形为等腰梯形. 设梯形的外接圆半径为， 则由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理可得： ，且， 解得， 则梯形的高为：；； . 设梯形的内切圆半径为， 根据等面积法，有，解得. 故选：B. 【相似题3】24-25高一下·广东汕尾·期末）已知平行四边形，对角线，，，则边 . 【答案】2 【详解】如图： 取与的交点为，则为平行四边形的对角线与的中点. 在中，由. 所以. 在中，， 所以. 故答案为：2 【相似题4】（2024·广东佛山·模拟预测）在△ABC中，，点在线段上，且，则△ABC的面积为 ． 【答案】 【详解】设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ，    又因为，所以， 所以，解得， 又，所以△ABC是直角三角形且， 所以. 故答案为：. 【相似题5】（2024·广东佛山·模拟预测）在△ABC中，，点在线段上，且，则△ABC的面积为 ． 【答案】 【详解】设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ，    又因为，所以， 所以，解得， 又，所以△ABC是直角三角形且， 所以. 故答案为：. 【相似题6】（24-25高一下·山东菏泽·期末）如图，平面凸四边形中，，，平分．，则 ． 【答案】 【详解】不妨设，由题意可得在直角三角形中，，， 所以有， 而在直角三角形中，，，， 所以， 在三角形中，，， 由余弦定理有， 所以由余弦定理有， 故所求为. 故答案为：. 题型十二 解三角形的实际应用（距离、高度、角度） 方向1 测量距离问题 指点迷津 距离测量的解题思路： 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符号题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解. 注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当. 例1．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（    ） A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里 【答案】D 【详解】依题意设炮弹第一次命中点为，则，， ，， 在△ABC中， 即，解得， 所以，又为锐角，解得（负值舍去）， 在中 ， 所以，即炮台与弹着点的距离为公里. 故选：D 【相似题1】（2024·吉林·二模）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东 方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，， 由正弦定理得， 所以. 故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为. 故选：B. 【相似题2】（2025·湖北荆州·模拟预测）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（    ）的值. A．和 B．和 C．和 D．三者 【答案】D 【详解】在中， 由正弦定理有：，所以， 在中， 由正弦定理有：， 所以， 因为， 所以为了测出隧道的长度，还需直接测出三者的值. 故选：D 【相似题3】（24-25高二下·云南玉溪·期中）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（   ）    A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 【答案】B 【详解】由题意，在中，，，，所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：B. 【相似题4】24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知：， 所以， 所以在中，, 在中， 在中，. 故选：C 方向2 测量高度问题 指点迷津 高度问题的易错点： ①图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错； ②对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错. 例2．（24-25高三·福建·阶段练习）“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑．这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色．如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部在同一平面内的两个测量基点与．现测得，，在点测得雕塑顶端的仰角为，在点测得雕塑顶端的仰角为，则雕塑的高度（    ） A．47.6m B．35.7m C．23.8m D．11.9m 【答案】C 【详解】设，在中，因,则， 在中，因,则， 在中，由余弦定理得，， 即，解得 故选：C. 【相似题1】（2024·广东湛江·二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得米，，在点B处测得点A的仰角为（），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度 米. 【答案】204 【详解】设米，因为在点B处测得点A的仰角为，所以，所以. 因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以米. 由余弦定理，可得， 即，解得. 故答案为：204 【相似题2】（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为 米． 【答案】 【详解】中，，，， 中，，，， 因为米，所以， 解得： 故答案为： 【相似题3】（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（   ） A．m B．15m C．m D．30m 【答案】D 【详解】设，由得， 又，，由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 故选：D． 【相似题4】（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）贵阳花果园双子塔，是中国目前最高的双子塔．如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为，底部A的俯角为，则双子塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，， 则在中，，即， 在中，， 由正弦定理得，即， 所以. 故选：A. 【相似题5】（24-25高一下·福建厦门·期中）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，其中B是AC的中点.如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．10米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】设米，在中， 已知所以在 中 已知所以在 中 已知所以因为B是的中点，且米， 所以米．又因为所以 在中，由余弦定理可得： 解得所以米． 故选： 【相似题6】（24-25高一下·福建福州·期末）由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（    ）（单位：m) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设长方体建筑物的上底面与点的高度差为， 可得，， 在直角三角形中，，即， 解得， 所以， 所以. 故选：D. 方向3 测量角度问题 指点迷津 角度问题的解题方法： 首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键，最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点. 例3．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（    ） A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里 【答案】D 【详解】依题意设炮弹第一次命中点为，则，， ，， 在中， 即，解得， 所以，又为锐角，解得（负值舍去）， 在中 ， 所以，即炮台与弹着点的距离为公里. 故选：D 【相似题1】（24-25高三上·天津北辰·期中）在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．南偏西 【答案】A 【详解】如下图所示：    因为点在点的南偏东，点在点的北偏西， 故选：A. 【相似题2】（24-25高三上·陕西商洛·期末）位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，由题意可得．在中，由余弦定理可得 海里， 故甲船至少需要航行的海里数为． 故选：C.    【相似题3】（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（    ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 43.13° 08:30 68.53° 10:30 49.53° 09:00 74.49° 11:00 55.93° 09:30 79.60° 11:30 62.29° 10:00 82.00° 12:00 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示， 设两竖直墙面的交线为，点被太阳光照射在地面上的影子为点， 点分别是点在两条墙脚线上的射影，连接 ，，， 由题意可知就是太阳高度角. ∵四边形中，，， ∴ ， ∴中，， 可得， ∵四边形是圆内接四边形，是其外接圆直径， ∴设的外接圆半径为，则， 在中，， 所以， 对照题中表格，可知时刻时，太阳高度角为，与最接近. 故选：B. 限时作业 （建议用时45分钟） 1．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知中，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】根据正弦定理可得：， ，解得. 因为，所以，所以. 故选：A. 2．（2024·宁夏银川·三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若△ABC有两解，则c的取值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由题意可得，即. 故选：A. 3.（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 4．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 【答案】D 【详解】在中，，则， 由图，可知，， 则， 在中，由正弦定理，得， 在中，. 故选：D. 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 得，所以． 又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 所以，解得， 则的外接圆的面积为． 故选：B 6．（2025·云南玉溪·模拟预测）在中，是边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，， 在中，由余弦定理得， 因为，所以，， 在中，由正弦定理得，即. 故选：A. 7．（2024·四川乐山·三模）在△ABC中，点是边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， ， 由余弦定理得， ，解得，， 所以，， . 故选：C. 8．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由和正弦定理，可得， 由和余弦定理，可得， 整理化简得：，代入化简得， 又由余弦定理得， 又，所以， 所以， 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由余弦定理可得， 故，A对； 对于B选项，由余弦定理可得， 因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，设边上的高为，则，解得，D对. 故选：ACD. 10．（2025高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，已知，，的平分线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．外接圆的半径为 B．若与的面积相等，则为的中点 C．若，则为直角三角形 D．的最小值为6 【答案】BC 【详解】选项A：设外接圆的半径为，则由正弦定理得，得，A错误. 选项B：设的边上的高为，由与的面积相等可得，故，从而为的中点，B正确. 选项C：因为，所以，（因为，的边上的高与的边上的高相等，所以） 又，所以，（也可以用角平分线定理直接得到） 所以，在中，由余弦定理得，得，故， 所以，所以为直角三角形，C正确. 选项D：解法一  因为，，所以在中，由余弦定理得，从而，即. 由基本不等式，得，从而，化简得，当且仅当时等号成立，D错误. 解法二  由正弦定理得，得，， 则，故， 当且仅当时等号成立，取得最大值6，D错误. 故选：BC. 11．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）在中，为边上一点，，则（   ） A．和的面积之比为 B． C． D．的面积为 【答案】ABD 【详解】 设点A到直线的距离为，所以，A选项正确； 在中， 由正弦定理可得：， 可得：， 在中，，则， 由于， 所以， 即，B选项正确； 在中，， 由余弦定理得， 所以， 所以的面积为，D选项正确； 因为，所以， 所以，所以，C选项错误； 故选：ABD. 3、 解答题 12．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 . 【答案】或2 【详解】由余弦定理有，所以， 解得或2. 故答案为：或2. 13．（2025·北京·三模）在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 【答案】 2 【详解】 如图所示，在根据正弦定理可得，即，解得， 因为为锐角三角形，所以，可知， 已知是的角平分线，所以,根据三角形外角性质得, 所以是等腰三角形，. 故答案为：；2. 14．（2024·河北·三模）已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，且，则△ABC面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理，所以， 又，所以， 因为是中边上中线，则， 即，所以， 所以，可得，当且仅当时等号成立， 故， 即△ABC面积的最大值为． 故答案为： 真题呈现 1．（2025年全国Ⅱ卷）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 2．（2024年全国甲卷高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 3.（2024年上海高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【答案】 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 4．（2023年北京高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 5．（2023年全国甲卷（理）高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【答案】 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 6．（2022年全国甲卷（理）高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 【答案】/ 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. 7．（2021年全国乙卷（理）高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则 ． 【答案】 【详解】由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 8．（2021年全国乙卷（理）高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 【答案】A 【详解】如图所示： 由平面相似可知，，而 ，所以 ，而 ， 即＝ ． 故选：A. 9．（2021年全国甲卷（理）高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ） A．346 B．373 C．446 D．473 【答案】B 【详解】 过作，过作， 故， 由题，易知为等腰直角三角形，所以． 所以． 因为，所以 在中，由正弦定理得： ， 而， 所以 所以． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 解三角形（小题） 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） ………………………1 02 题型突围 精准提分 ……………………………………………………………2 题型一 正弦定理解三角形 …………………………………………………………………2 题型二 余弦定理解三角形 …………………………………………………………………3 题型三 正、余弦定理综合应用 ……………………………………………………………4 题型四 正弦定理解三角形解的个数问题 …………………………………………………5 题型五 三角形面积公式及应用 ……………………………………………………………6 题型六 判断三角形形状 ……………………………………………………………………7 题型七 正弦定理、余弦定理边角互化 ……………………………………………………9 题型八 与中线有关的解三角形 ……………………………………………………………10 题型九 与角分线有关的解三角形…………………………………………………………11 题型十 与高线有关的解三角形……………………………………………………………13 题型十一 多三角形或四边形的解三角形…………………………………………………13 题型十二 解三角形的实际应用（距离、高度、角度）…………………………………15 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………21 04 真题呈现 把握考情 …………………………………………………………23 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅱ卷 余弦定理解三角形 这一节的内容是高考数学的核心考点，主要以选择题、填空题和中档解答题呈现，选填题考查内容主要体现在以下方面： ⑴正、余弦定理解三角形； ⑵三角形面积公式的应用 ⑶解三角形中线、角分线和高线的问题 ⑷解三角形的实际应用. 2024年全国甲卷（理） 正弦定理边角互化、余弦定理解三角形 2024年上海卷 测量角度问题 2023年北京卷 正弦定理边角互化、余弦定理解三角形 2023年全国甲卷（理） 解三角形中角分线问题 2022年全国甲卷（理） 余弦定理解三角形 2021年全国乙卷（理） 余弦定理解三角形、三角形面积公式 2021年全国乙卷（理） 测量高度问题 2021年全国甲卷（理） 测量高度问题 题型突围 题型一 正弦定理解三角形 指点迷津 1. 正弦定理及变形 公式： 变形：（1），，； ，，； 2. 正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： 3. 已知两边一对角解三角形： 例1.（已知两角及一边解三角形）（2025·江西景德镇·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 例2.（已知两边及其一边所对的角解三角形）（24-25高一下·北京西城·期中）已知中，，，，则（   ） A． B． C． D． 例3．（已知两边及两角的关系解三角形）（2024·山西太原·二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A．5 B．4或5 C．6 D．4或6 【相似题1】（22-23高三上·北京房山·期中）在中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【相似题2】（24-25高三·广东梅州·开学考试）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2024·云南·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【相似题4】（2025·浙江金华·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【相似题5】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）记的内角的对边分别为.已知，外接圆直径为4，则边的长为 . 题型二 余弦定理解三角形 指点迷津 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. 例1. （已知两边及一角解三角形）（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．3或5 例2.（已知三边或三边的关系解三角形）（2025·安徽蚌埠·模拟预测）在中，是角所对的边长.若，则（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（2026高三·全国·专题练习）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（多选）（24-25高一下·河南驻马店·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2024·广东肇庆·一模）在中，，，分别是角，，的对边，，，，则的外接圆半径是（    ） A． B． C． D． 【相似题4】（24-25高一下·北京房山·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【相似题5】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【相似题6】（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知，，且，则的周长为 ． 题型三 正、余弦定理综合应用 例1．（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，，则边的长为 . 例2.（2026高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（2025·云南玉溪·模拟预测）在中，是边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 【相似题3】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知的内角的对边分别为，，，若的面积为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【相似题4】（多选）（2025·河南许昌·三模）如图，在平面四边形中，，，，.则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．若，则中边上高的长度为 题型四 正弦定理解三角形解的个数问题 指点迷津 解三角形多解情况： 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 例1．（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 例2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（2025·四川达州·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使唯一确定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【相似题2】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题4】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则使得有两组解的的值为 .（写出满足条件的一个整数值即可） 题型五 三角形面积公式及应用 指点迷津 ⑴对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. ⑵与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 例1．（2025·河北邯郸·模拟预测）在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知的内角的对边分别为，，，若的面积为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（2024·浙江·二模）已知，则△ABC的面积是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高三·陕西安康·开学考试）已知△ABC的内角的对边分别为，若的面积为，则 ． 【相似题3】（24-25高一下·安徽安庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【相似题4】（2025·湖南邵阳·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（    ） A．176 B．88 C．44 D．22 【相似题5】（多选）（2025·湖北·模拟预测）锐角三角形中，角所对的边分别是，已知，，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 【相似题6】（24-25高一下·湖北武汉·期末）在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A．2 B． C． D． 题型六 判断三角形形状 指点迷津 1.判断三角形形状的两种思路： ⑴先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； ⑵先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. 2.判断三角形形状时，常用到以下结论： ⑴为直角三角形或或； ⑵为锐角三角形且且； ⑶为钝角三角形或或； ⑷若，则或. 例1．（24-25高一下·广东惠州·阶段练习）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b=ccosA，则△ABC的形状为（ ）. A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【相似题1】（24-25高一下·河南郑州·期末）在 中，，，，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【相似题2】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【相似题3】（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 【相似题4】（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【相似题5】（多选）（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在△ABC中，角、、的对边分别为、、，且已知，则（    ） A．若，且△ABC有两解，则的取值范围是 B．若，且，则△ABC恰有一解. C．若，且△ABC为钝角三角形，则的取值范围是 D．若，且△ABC为锐角三角形，则的取值范围是 【相似题6】（多选）（2024·江西·模拟预测）设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 题型七 正弦定理、余弦定理边角互化 指点迷津 1. 正弦定理边角互化 （1），，； （2），，； （3）. 2. 余弦定理边角互化 ；；． 2. 变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 例1．（2025·山东青岛·模拟预测）已知三角形的三个内角A，，所对边为，，，若，且，，则三角形的面积为（   ） A． B． C． D．1 例2．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（24-25高一下·广东河源·期末）在中，内角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【相似题3】（2026高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（   ） A． B． C． D． 【相似题4】（24-25高一下·广东·阶段练习）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【相似题5】（24-25高三上·湖南·期中）中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【相似题6】（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【相似题7】（多选）（2025高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，已知，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则的面积为 题型八 与中线有关的解三角形 指点迷津 在中，内角所对的边分别为，若是中点，则解题思路一般有两种： ⑴利用向量：，所以； ⑵利用余弦定理：利用找到中线与边的关系. 例1．（2024·山西·三模）在中，内角所对的边分别为已知的外接圆半径是边的中点，则长为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为，则最大值为（　　） A．3 B． C．2 D． 【相似题1】（2025·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 【相似题2】2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2024·山西太原·一模）在△ABC中，内角，，所对的边分别是，，，已知，那么 ，设边的中点为，若，且△ABC的面积为，则的长是 . 【相似题4】（2024·陕西铜川·三模）已知△ABC的内角所对的边分别是，点是的中点.若，且，则 . 【相似题5】（24-25高一下·山东淄博·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的中线的最大值为 . 题型九 与角分线有关的解三角形 指点迷津 在中，内角所对的边分别为，若是内角的平分线，则解题思路一般有两种： ⑴利用内角平分线定理：； ⑵利用等面积法：. 例1．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角，的对边分别为，，，内角的平分线交边于点.若，，，则（   ） A． B． C．2 D． 例2．（24-25高三·四川达州·开学考试）在中，内角的对边分别为，且△ABC的面积，若的平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（24-25高三·广东·开学考试）在中，内角的对边分别为，且，若点在边上，且平分，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）在中，已知，，，的面积，是边上的点且平分，则 ． 【相似题3】（2024·河北·三模）中，，．则的角平分线的长为 ． 【相似题4】（2024·四川内江·三模）在△ABC中，角A的平分线AD与BC边相交于点D，若，则的最小值为 ． 【相似题5】（2024·四川绵阳·三模）在△ABC中，是边上一点，，若，且的面积为，则 . 题型十 与高线有关的解三角形 指点迷津 在中，内角所对的边分别为，若是边上的高，则解题思路一般利用等面积法：. 例1．（2024·陕西·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若△ABC的面积为，周长为，则AC边上的高为（    ） A． B． C． D． [【相似题1】（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·江苏·模拟预测）锐角△ABC中，，，，则AB边上的高CD长为（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，设是的高，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【相似题4】（24-25高三下·山西大同·期末）在中，已知，若边上的高为，则 ． 题型十一 多三角形或四边形的解三角形 指点迷津 求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系. 具体解题思路如下： ⑴把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后再各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； ⑵寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 做题过程中，要用到平面几何的一些知识点，如相似三角形的边角关系，平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题. 例1．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 例2．（2024·四川乐山·三模）在△ABC中，点是边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（2024·江西九江·二模）已知在四边形中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知梯形的外接圆直径为，，，，则梯形的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D． 【相似题3】24-25高一下·广东汕尾·期末）已知平行四边形，对角线，，，则边 . 【相似题4】（2024·广东佛山·模拟预测）在△ABC中，，点在线段上，且，则△ABC的面积为 ． 【相似题5】（2024·广东佛山·模拟预测）在△ABC中，，点在线段上，且，则△ABC的面积为 ． 【相似题6】（24-25高一下·山东菏泽·期末）如图，平面凸四边形中，，，平分．，则 ． 题型十二 解三角形的实际应用（距离、高度、角度） 方向1 测量距离问题 指点迷津 距离测量的解题思路： 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符号题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解. 注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当. 例1．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（    ） A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里 【相似题1】（2024·吉林·二模）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东 方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·湖北荆州·模拟预测）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（    ）的值. A．和 B．和 C．和 D．三者 【相似题3】（24-25高二下·云南玉溪·期中）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（   ）    A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 【相似题4】24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 方向2 测量高度问题 指点迷津 高度问题的易错点： ①图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错； ②对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错. 例2．（24-25高三·福建·阶段练习）“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑．这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色．如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部在同一平面内的两个测量基点与．现测得，，在点测得雕塑顶端的仰角为，在点测得雕塑顶端的仰角为，则雕塑的高度（    ） A．47.6m B．35.7m C．23.8m D．11.9m 【相似题1】（2024·广东湛江·二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得米，，在点B处测得点A的仰角为（），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度 米. 【相似题2】（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为 米． 【相似题3】（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（   ） A．m B．15m C．m D．30m 【相似题4】（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）贵阳花果园双子塔，是中国目前最高的双子塔．如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为，底部A的俯角为，则双子塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【相似题5】（24-25高一下·福建厦门·期中）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，其中B是AC的中点.如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．10米 C．米 D．米 【相似题6】（24-25高一下·福建福州·期末）由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（    ）（单位：m) A． B． C． D． 方向3 测量角度问题 指点迷津 角度问题的解题方法： 首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键，最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点. 例3．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（    ） A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里 【相似题1】（24-25高三上·天津北辰·期中）在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．南偏西 【相似题2】（24-25高三上·陕西商洛·期末）位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（    ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 43.13° 08:30 68.53° 10:30 49.53° 09:00 74.49° 11:00 55.93° 09:30 79.60° 11:30 62.29° 10:00 82.00° 12:00 A． B． C． D． 限时作业 （建议用时45分钟） 1．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知中，，则（    ） A． B．或 C． D．或 2．（2024·宁夏银川·三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若△ABC有两解，则c的取值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3.（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·云南玉溪·模拟预测）在中，是边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·四川乐山·三模）在△ABC中，点是边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 10．（2025高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，已知，，的平分线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．外接圆的半径为 B．若与的面积相等，则为的中点 C．若，则为直角三角形 D．的最小值为6 11．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）在中，为边上一点，，则（   ） A．和的面积之比为 B． C． D．的面积为 3、 解答题 12．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 . 13．（2025·北京·三模）在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 14．（2024·河北·三模）已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，且，则△ABC面积的最大值为 ． 真题呈现 1．（2025年全国Ⅱ卷）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024年全国甲卷高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 3.（2024年上海高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 4．（2023年北京高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023年全国甲卷（理）高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 6．（2022年全国甲卷（理）高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 7．（2021年全国乙卷（理）高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则 ． 8．（2021年全国乙卷（理）高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 9．（2021年全国甲卷（理）高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ） A．346 B．373 C．446 D．473 学科网（北京）股份有限公司 $$