第07讲 解三角形（大题）（10大题型+五年真题+限时作业）讲义-2026届高三数学第一轮复习（新高考地区适用）

第07讲 解三角形（大题） 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） ………………………2 02 题型突围 精准提分 ……………………………………………………………2 题型一 正（余）弦定理解三角形…………………………………………………………2 题型二 三角形的面积与周长………………………………………………………………9 题型三 判断三角形的形状 ………………………………………………………………16 题型四 与中线有关的解三角形 …………………………………………………………22 题型五 与角分线有关的解三角形 ………………………………………………………27 题型六 与高线有关的解三角形 …………………………………………………………33 题型七 多三角形或四边形的解三角形 …………………………………………………37 题型八 利用基本不等式求最值（范围）…………………………………………………48 题型九 转化为三角函数求最值（范围）…………………………………………………58 题型十 转化为其它函数求最值（范围）…………………………………………………65 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………71 04 真题呈现 把握考情 …………………………………………………………79 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年北京卷 正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 这一节的内容是高考数学的核心考点，主要以选择题、填空题和中档解答题呈现，解答题的考查内容主要体现在以下方面： ⑴正、余弦定理解三角形； ⑵三角形的面积和周长 ⑶解三角形中线、角分线和高线的问题 ⑷解三角形的最值或范围问题. 2024年全国Ⅰ卷 正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2024年全国Ⅱ卷 解三角形中的周长问题 2024年北京卷 正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2023年全国Ⅰ卷 解三角形中高线的问题 2023年全国Ⅱ卷 正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2023年全国乙卷（理） 余弦定理解三角形、三角形面积公式 2022年全国Ⅰ卷 解三角形中的范围问题 2022年全国Ⅱ卷 正弦定理、余弦定理解三角形 2022年北京卷 解三角形中的周长和面积 2022年全国乙卷（理） 解三角形中的周长 2021年全国Ⅰ卷 多三角形问题 2021年全国Ⅱ卷 求三角形的面积、由三角形的形状求参数 2021年北京卷 三角形的周长和面积 题型突围 题型一、正（余）弦定理解三角形 指点迷津 解三角形时，如果已知中涉及到一个角三条边或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果已知中涉及到两个或两个以上的角或两个角的正弦，则考虑用正弦定理. 例1．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习） 已知 的内角 的对边分别为 ，且 的面积为 . (1)求 . (2)若 ，求 . 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题可知  , 由余弦定理可知 , 所以 , 化简可得. （2）由 正弦定理,可得 , 所以, 因为，所以， 再由内角和定理得：， 即,则 ， 由( 1 )可知,所以 ， , 解得 . 例2．（2025·江苏连云港·模拟预测）在中，点在边上，，，． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）在中，， 由余弦定理， ， 得， 所以． 所以在中，． （2）设，，（），在中， 由正弦定理得，又因为， 代入上式有：，得． 由余弦定理得， 综上，． 【相似题1】（24-25高三下·海南·阶段练习）记的内角，，所对边分别为，，.已知，是边上一点，且. (1)求； (2)若，，求外接圆的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 由余弦定理得：， 整理得：，即， 又因为，所以. （2）因为，， 所以，， 在中，由余弦定理得，① 在与中，因为，所以， 由余弦定理得：， 化简得：② 由①，②解得，. 设外接圆的半径为，由正弦定理得，故， 所以外接圆的面积为. 【相似题2】（2025·河南信阳·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． (1)若为锐角三角形，，求c的取值范围； (2)若，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）根据正弦定理得， 因为，化简得， 即，． 因为是锐角三角形，C为锐角，， B为锐角，所以，由，得， 从而解得，于是． 因为，所以． （2）因为， 所以， 所以，所以， 即． 由正弦定理得， 所以都不为直角， 即． 【相似题3】（2025·辽宁盘锦·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)证明：． (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）由， 得， 因为，所以，所以， 故， 又，所以． （2）由，得， 得，， 所以 ， 故，又， 所以，，， 在中由余弦定理得， ， 则． 【相似题4】（2024·高三·山西运城·开学考试校考）在中，角的对边分别为，且. (1)证明：； (2)若，，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）由及正弦定理可得， ，(*) ， 即， 所以， 整理得， 即， 又A，B是的内角， 所以，， 所以或（舍去）， 即. （2）由及可知，. 由可知，，. 由(*)可得，. 在中，由正弦定理 可得，，解得， 【相似题5】（2025·浙江·二模）中，角对应的边分别为， (1)求角； (2)若点在边上，且，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由三角形内角和定理可知：， 再由，利用正弦定理边化角得： ， 因为，所以有，则； （2） 由，在中，可得， 再由正弦定理得：， 再由余弦定理可得：， 即， 解得或， 因为，所以为钝角， 故，所以的面积. 【相似题6】（24-25高三下·山西·开学考试）已知的内角A，，所对的边分别为，，，，且，，成等比数列． (1)求； (2)若点满足，的外接圆半径为，求的内切圆半径． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）∵， ∴，即． ∵在中由正弦定理得，，， 为外接圆半径．∴①． 又∵，，成等比数列，∴②． 由①②得，则， ∵，∴； （2）由（1）得． ∵，∴，∴． ∴在中，，，， ∴．∴． 设的内心为，内接圆半径为，如图 则， 即． ∴，． 题型二、三角形的面积与周长 指点迷津 ⑴对于面积公式,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. ⑵与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. ⑶与周长有关的问题，要用到余弦定理和完全平方公式的变形，即. 例1．（2025·全国·二模）的内角的对边分别为 (1)求A； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由得， 因为， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以，因为，所以； （2）因为三角形的面积为，所以，所以， 由余弦定理知，即， 所以，故， 所以三角形的周长为. 例2．（24-25高三上·陕西汉中·期末）在中，角所对的边分别为从下面三个条件中选择两个，使得存在，并回答下列问题：① ②③． (1)求的值； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)选择条件①③，存在，；(2) 【详解】（1）选择①②，由 ，可知或，因此 或， 结合，可知中有两个钝角，与三角形内角和定理矛盾，所以不存在； 选择②③，由，可得， 结合，可得，与矛盾，所以不存在； 若选择①③，根据正弦定理得，即，结合，解得，此时存在． 综上所述，选择①③，可得； （2）若，结合（1）的结论可得， 由，可得． 所以的面积. 【相似题1】（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）在中，内角的对边分别为，满足，. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 所以根据正弦定理得. 因为，所以等式可化简为， 即，又， 所以，解得. 又，所以. （2）由（1）知，所以. 根据正弦定理得. 根据余弦定理得. 解得或（舍去）. 所以的面积为. 【相似题2】（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)若的面积，求角A； (2)若，的面积，求的外接圆的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由余弦定理得， ∴，∴. 又， ∵，∴. （2）设边上的高为， 如图： 由（1）知，则， ∴，， ，解得， ∴，∴， 由，得， 设的外接圆半径为R， 则，得，故的外接圆的面积为. 【相似题3】（2025·福建福州·模拟预测）记的角的对边分别为分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知． (1)求角B； (2)若，求的周长． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）由题意得， 则，即， 由余弦定理得，整理得， 又因为，所以， 可得，因为，所以 （2）由可得， 由正弦定理得：，则． 则，故， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的周长为． 【相似题4】（24-25高三上·江苏·期末）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若b＝3，，求△ABC的面积S． 【答案】(1)；(2). 【难度】0.65 【详解】（1） 因为， 所以， 即， 由正弦定理可得， 即，所以，所以. 又，所以. （2）由(1)知，由，得， 所以， 即， 所以．则，因为，所以. 又，，所以. 又， 所以. 【相似题5】（2025·广东揭阳·模拟预测）在中，内角A,B,C所对的边分别为．，角的平分线交AC于 (1)求 (2)若，求的面积． 【答案】(1)或；(2) 【详解】（1）由及正弦定理得， 由余弦定理得． ，即， 或 或 或； （2）由（1）知， ，由角平分线定理得， ， ， ，，， . 【相似题6】（2025·湖南长沙·三模）记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知的面积为． (1)求． (2)若为BC上一点，满足，且为钝角，求的面积． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）由题知， 所以，由正弦定理得， 所以， 因为，所以． （2）中，由余弦定理得， 所以． 由正弦定理得，所以， 因为为锐角，所以， 中，由正弦定理得，所以， 所以，即， 因为，所以， 则，所以， ， 所以的面积为． 【相似题7】（2025·辽宁·三模）已知的内角的对边分别为，若. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）对进行因式分解得到， 由于边长为非负数，则，即. 由正弦定理得到. 又，且,则为锐角，可以锐角也可以钝角. 当可以锐角，则. 当可以钝角，则. 综上说得，. （2）由（1）知道为锐角，则， 当，则，，则，此时 当，则，，则，此时. 则的面积为或. 题型三 判断三角形的形状 指点迷津 1.判断三角形形状的两种思路： ⑴先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； ⑵先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. 2.判断三角形形状时，常用到以下结论： ⑴为直角三角形或或； ⑵为锐角三角形且且； ⑶为钝角三角形或或； ⑷若，则或. 例1．（2025·内蒙古包头·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为，且． (1)证明：： (2)若的面积为，求角A的值并判断的形状． 【答案】(1)证明见解析；(2)，等边三角形 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 即， 所以， 所以， 因为 所以， 由正弦定理得． （2）因为，所以， 因为，所以A为锐角，所以． 由余弦定理得， 又，代入化简得， 所以， 所以为等边三角形． 【相似题1】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)判断的形状； (2)若，且的面积为，求角． 【答案】(1)等腰三角形；(2) 【详解】（1）由正弦定理， ， 因，则，，则为等腰三角形； （2）由（1）设等腰三角形两腰，即c，a为x， 则由图结合勾股定理可得，边b对应的高为， 则，即为等边三角形，则角为. 【相似题2】（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角 (2)若，的面积为，判断的形状. 【答案】(1)；(2)为正三角形 【详解】（1）由正弦定理知：，而， ∴，即， 又，∴，∴，即， 又，∴，∴，则. （2）因为，所以， 将代入，整理得：， 则，即（舍去），故，所以， 所以为正三角形. 【相似题3】（2024·内蒙古·三模）在中，内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，证明：为直角三角形. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）由， 可得， 所以， 所以， 则，即. （2）证明：由（1）可得. 又，所以， 即， 故， 所以， 即， 因为，所以为锐角， 解得（负值舍去），即， 所以为直角三角形. 【相似题4】（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，求，并判断的形状． 【答案】(1)；(2)，是钝角三角形 【详解】（1）（1）由正弦定理得，得， 由余弦定理得，而， 所以． （2）由（1）知，，在中，， 所以， 因此，即． 又因为，所以，而， 所以，故． 由正弦定理得，可知角B最大， 因为， 所以，所以，故是钝角三角形． 【相似题5】（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且，，． (1)求的面积； (2)证明：是钝角三角形． 【答案】(1)2；(2)证明见解析 【详解】（1）在中，， 由正弦定理可得， 即． ，，， ， 的面积为； （2）由（1）知， ． 又，或 当时，， 为钝角，此时是钝角三角形； 当时，同理可得为钝角，此时是钝角三角形． 综上，是钝角三角形． 【相似题6】（24-25高三上·河南·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)设的平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以. 由余弦定理，得， 又因为，所以. （2）因为是的平分线，所以， 设的边上的高为，则由， 得，即， 由余弦定理，得， 所以，从而，故为直角三角形. 题型四 与中线有关的解三角形 指点迷津 在中，内角所对的边分别为，若是中点，则解题思路一般有两种： ⑴利用向量：，所以； ⑵利用余弦定理：利用找到中线与边的关系. 例1．（2024·河北·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，求边上的中线的长. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 代入数值得，解得（舍去）或， 因为是的中点，所以， 所以， 所以，即边上的中线的长为. 【相似题1】（2025·陕西商洛·模拟预测）记的内角所对的边分别为，已知． (1)若，求外接圆的半径； (2)若为边的中点，求线段的长． 【答案】(1)2；(2) 【详解】（1）由及正弦定理可得到， ，化简得，由余弦定理， 故. 设的外接圆半径为，由正弦定理， 故. （2）由为边的中点，可得， 平方得， 故. 【相似题2】（2025·全国·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由正弦定理可得， 即. 在中，由，得， 所以，又，，所以，所以. （2）因为，，所以， 所以， 所以，即， 因为，即，所以， 在三角形中，由余弦定理可得 ， 所以. 【相似题3】（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）在中，角所对的边分别为，． (1)求； (2)已知的面积为，为的中点，，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 由余弦定理，得 化简得，所以， 又，所以. （2）由的面积为，可得，则， 在中，，， 则，化简为 又，所以 即，解得. 【相似题4】（2025·海南海口·模拟预测）已知，其内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，为边上的中点，求的长． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为，即， 且， 即， 得，且，则， 可得，且，所以． （2）如图： 因为，， 由，所以，解得， 在中，由余弦定理得，则， 又D为BC边上的中点，所以， 在中，由余弦定理得，则， 在中，由余弦定理得， 所以． 【相似题5】（2025·湖南长沙·模拟预测）记中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，边上的中线长为，求的面积. 【答案】(1)；(2)4 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 因为，，所以， 又因为，，所以，. （2）在中，因为，， ，由余弦定理可得：， 即，解得，所以， 所以. 题型五 与角分线有关的解三角形 指点迷津 在中，内角所对的边分别为，若是内角的平分线，则解题思路一般有两种： ⑴利用内角平分线定理：； ⑵利用等面积法：. 例1．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由已知， 又由正弦定理可得， 又，所以， 则，又，即， 又，，即， 则，所以，； （2）由已知，所以， 因为为角的角分线， 故， 所以， 即， 解得. 例2．（2025·湖北武汉·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以，所以， 所以 （2）因为，所以， 则， 所以， 又由余弦定理得，可得， 联立方程解得， 由角平线定理得 【相似题1】（2025·广西柳州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)若的面积为为BC上一点，AD为的平分线，求AD. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）根据题意， 则由正弦定理得， 即， 即， 化简得， 因为，所以， ∴，由于， 则； （2）根据题意，的面积为即， 则， 又根据余弦定理，，则， 所以，即， 又由的面积， 所以. 【相似题2】（2025·河南·模拟预测）如图，的内角的对边分别为为的角平分线，且交于点，且. (1)求； (2)若的内切圆的半径为，求的周长. 【答案】(1)；(2)15 【详解】（1）设，， 由， 得， 解得， 又，即， 故. （2）设的内切圆的半径为， 而，可得， 故， 故由， 解得，故， 所以的周长为15. 【相似题3】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知锐角中，角所对的边分别为． (1)求角； (2)若为的平分线，且与交于点，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由及正弦定理， 得. ， ． ， 即， ． 为锐角三角形，， ． ． （2）在中，， 由正弦定理得， ． 为锐角，， . ， ， 在中，． 在中，由余弦定理， 得， ． 【相似题4】（2025·湖北·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)设， （ⅰ）求； （ⅱ）若，角的平分线与AB交于点，求CD的长. 【答案】(1)证明见解析；(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）证明：因为， 所以，整理得， 由正弦定理可得； （2）（ⅰ）因为，，所以， 由于，所以，即，则，即， 由余弦定理得； （ⅱ）若，又，则， 又，因为，所以， 由于，则， 所以. 【相似题5】（2025·海南·模拟预测）在中，角所对应的边分别为且满足． (1)求的大小； (2)角的平分线与边相交于点，且，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由得， 由正弦定理得， 因为，所以， 即， 即， 因为，所以， 若，则矛盾，故，所以， 而，所以． （2）因角的平分线为，则， 因，且，则， ∴，∴， 则， 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为． 题型六 与高线有关的解三角形 指点迷津 在中，内角所对的边分别为，若是边上的高，则解题思路一般利用等面积法：. 例1．（2025·海南三亚·一模）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求边上的高的长. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由正弦定理可得， 因为，所以， 又因为锐角三角形，，所以. （2）由余弦定理 可知 又因即代入上式可得 则的面积为 则 解得：. 例2．（2025·浙江·三模）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且. (1)求； (2)若边上的高为，且的周长为6，求. 【答案】(1)；(2)2 【详解】（1），由正弦定理得 ， 又， ∴， 即， ∵，∴， ，， 又，所以， ∴，； （2），， 由（1）知，， 由余弦定理得，即， 即， 又， ， . 【相似题1】（2025·广东汕头·一模）已知向量，，，且角A、B、C分别为三边a、b、c的对角． (1)求角C的大小； (2)若、、成等比数列，且，求边c上的高h． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）依题意，， 即，所以， 由知，，从而，故； （2）依题意，， 由正弦定理得：，即 又，则，所以，从而， 由三角形面积公式得：，即 故． 【相似题2】（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)若的面积，求角A； (2)若，的面积，求的外接圆的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由余弦定理得， ∴，∴. 又， ∵，∴. （2）设边上的高为， 如图： 由（1）知，则， ∴，， ，解得， ∴，∴， 由，得， 设的外接圆半径为R， 则，得，故的外接圆的面积为. 【相似题3】（2025·山东聊城·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且边上的高为，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 又因为，可得，所以， 即， 因为，可得，所以， 又因为，所以. （2）解：由边上的高为，可得， 又由且，可得的面积为， 所以，解得，即， 在中，由余弦定理得， 可得，整理得， 解得或（舍去），此时， 所以的周长为. 题型七 多三角形或四边形的解三角形 指点迷津 求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系. 具体解题思路如下： ⑴把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后再各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； ⑵寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 做题过程中，要用到平面几何的一些知识点，如相似三角形的边角关系，平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题. 例1．（2025·全国·二模）记的内角的对边分别为，. (1)求A； (2)延长至，使，求的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由得， 所以根据余弦定理得，，则. （2）如图： 因为，所以，则是正三角形，所以， 在中，根据正弦定理，由题意， 得，所以. 例2．（2025·山东·模拟预测）在四边形中，，，，． (1)求的周长 (2)求四边形的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 所以  因为，所以． 又因为，所以， 所以， 因为，故，所以，， 且 ， 由正弦定理，所以， 则， 故， 所以的周长为. （2）连接， 因为，，， 所以，，所以，且， 所以四边形为等腰梯形，所以，， 则， 又因为，即，设， 所以四边形的面积 . 【相似题1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)求的长； (2)求四边形的面积. 【答案】(1)3；(2) 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即，所以. （2）在中，由正弦定理，得，则. 而，于是， 又，则，，， 因此， 所以四边形的面积 . 【相似题2】（2025·福建福州·一模）在中，，为的中点，. (1)若，求的长； (2)若，求的长. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）如图，在中，，，， 根据余弦定理，得， 又在中，，，， 根据余弦定理，得， 解得； （2）如图，延长，使，则为等腰三角形，， ， 又，所以，所以， 所以，则，即， 所以，则， 又，， 所以， ， 所以， 所以，即，解得或（舍）. 【相似题3】（2025·福建泉州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)如图所示，为外一点，，，，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）， 在中，由正弦定理得，， 由， ， 即， ，，， 即，             又， ，即. （2）因为，令，， 在中，由正弦定理得， ，， 在中，由正弦定理得，， 因为，， ，            ， 解得，即． 【相似题4】（2025·山东烟台·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若点D满足，且，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由和正弦定理可得： ， 即， 在中，，代入整理得：， 因，则，故， 因为，所以． （2） 由（1）知，则， 设，依题意，， 在中，由正弦定理，，得， 因为角是锐角，则， 在中，，因， 故，即， 也即，解得，故， 则，所以， 因，则， 所以， 即的面积为． 【相似题5】（2025·广东·模拟预测）记的内角，，所对边分别为，，，且，. (1)求； (2)若，点在边上且，求的面积. 【答案】(1)；(2)3 【详解】（1）在中，，化简得：. ∵，∴. 又，∴，即，，即. 又，∴. （2）法一：利用正、余弦定理解三角形 在中，∵，∴，∴. 又∵，∴，，. 由正弦定理可得. ∵，∴. 设，在中，由余弦定理可得：， 将，，代入化简得：，解得：，∴的面积. 法二：利用平面几何 过作，垂足为. 在中，∵，∴，∴. 又∵，∴，，. 由正弦定理可得. ∵，∴. 则在中，. 在中，，∴， ∴. 【相似题6】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，，，，求： (1)四边形的面积； (2)的值； (3)的面积. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为，在中，， 在中，，，则，所以， 所以. （2）以为原点，分别以、的方向为、轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示， 所以、、、， 所以，， 所以. （3）因为，解得， 故. 【相似题7】（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求； (3)若为上一点，且的面积为，求． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）在中， 由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得 ，② 又， 所以，③ 由①②③得， 所以， 又，所以； （2）由（1）可知， 又，所以， 在中，由正弦定理得，即， 解得，所以， 所以． （3）由的面积为，得， 解得． 【相似题8】（2025·湖北黄石·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求的大小. (2)如图所示，为△ABC外一点，，，，求角D． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）， 在△ABC中，由正弦定理得， ， 由三角形内角和为可得， ，即， ，，，即， 又，，即,. （2）设，令，， 在中，由正弦定理得，，，. 在中，由正弦定理得，，，，， ，解得. 题型八 利用基本不等式求最值（范围） 指点迷津 在中，如果已知一个角及其对边，假设已知，根据余弦定理，即可得到与的等量关系. ⑴求面积最值时，，即求最值. 在等量关系中利用基本不等式，即可得到的最值. ⑵求周长的最值时，即求的最值. 在等量关系中，把换成，再利用基本不等式，即可求得的最值. 例1．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）在中，已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）因为，所以 又因为. 所以，故. （2）由余弦定理，，所以． 又因为，所以，即. 当且仅当时取等号． 所以面积. 所以面积的最大值为. 例2．（2025·河北保定·模拟预测）记的内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求周长的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3)3 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，所以，又，所以， 因为，所以. （2）若，则，故. （3）因为，由余弦定理得， 化简得，即， 当且仅当时等号成立， 故周长的最大值为3. 【相似题1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知的角对边分别为，. (1)求角的大小. (2)设点是的中点，若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1），， 由正弦定理可得：， ，, 即， ，． （2）如图，延长到，满足，连接， 则为平行四边形，且， 在中，由余弦定理得， 即，可得，即， 由基本不等式得：， 即，即，可得， （当且仅当取等号号）， 又由，即， 故的取值范围是. 【相似题2】（2025·海南·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)当角最大时，求角的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1），所以， 由正弦定理得： 由正弦定理得 . （2）由余弦定理得 当且仅当，即时等号成立，此时取到最大值为； 因为，所以，又因为正弦定理得出， 所以此时. 【相似题3】（2025·湖北黄冈·三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，且. (1)若，求； (2)求△ABC面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）若 ，则，所以， 所以，即 ， 因为，所以 . 则 ， 解得； （2） ，   有， 故     有， 即，  .    当且仅当 时等号成立 . 所以面积的最大值为. 【相似题4】（24-25高三上·天津·期中）已知的内角所对应的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． (3)若，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）， 因此，根据题意，， 由正弦定理可得，即， 在中，， 所以， 即，， ，故. （2）依题意，，，根据余弦定理可得： ， 即，，， 解得， 根据三角形面积公式得. （3）依题意，，，根据余弦定理可得： ， 即，， 由基本不等式可知，当且仅当时取等， 即，解得，当且仅当时取等， 综上，， 即当时，取最大值. 【相似题5】（24-25高三下·广东清远·开学考试）中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且. (1)求角A； (2)点D在BC边上，且，，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）中， 由余弦定理，，又， 故又 （2）如图，由题， 记，则， 中，…..① 中，……② 由①得：……③， 由（1）知，代入③中整理得： ，当且仅当时取“=”， 解得， ， 故面积的最大值为. 【相似题6】（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，已知角、、的对边分别为、、，的平分线交于点，，. (1)证明：； (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1），设， 故， 平分，， 在中，，在中，， 则， 在中，即， 由正弦定理得. （2）在中，由正弦定理得，，则， 同理在中，， 由（1）， 则， 故 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为 【相似题7】（2025·湖北十堰·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且． (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，当最大时，求的面积． 【答案】(1)为等腰三角形；(2) 【详解】（1）因为，所以，即， 整理得，所以．                因为，则，所以， 即，则为等腰三角形． （2）由（1）及题设，有， 所以 ，当且仅当时，等号成立．      又为三角形内角，所以，即的最大值为，      此时，又，所以， 故，可得三角形ACD为直角三角形且．      可得为正三角形， 又，所以当最大时，的面积． 【相似题8】（2025·甘肃·模拟预测）的内角的对边分别为，已知. (1)若，求的值； (2)求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由， 可得. 因为，所以， 则. 又，所以. 因为，且， 所以. 由，可得. （2）因为 所以由， 可得，则. 根据余弦定理，,可得. ， 当且仅当时，等号成立， 由，可得，故的最大值为. 【相似题9】（2025·福建泉州·模拟预测）的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的面积与周长的比值的最大值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 所以. 化简得： 根据正弦定理得：. 因为，所以， 所以.解得，又，所以. （2）由（1）知又， 则的面积为，的周长为， 所以. 由余弦定理得：，化简得， 所以. 又，所以， 化简得，所以， 所以. 令，则， 所以， 所以当时，取最大值为. 题型九 转化为三角函数求最值（范围） 指点迷津 三角形中最值（范围）问题，如果三角形为锐角三角形，或其它的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. 例1．（24-25高一下·四川成都·期末）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知. (1)求B的值； (2)若b=2，求面积的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 即，由余弦定理得， 因为，所以． （2）在锐角中，，记的面积为． 由正弦定理得，即． 所以 ． 因为在锐角中，，所以，， 解得，则，所以， 所以，所以面积的． 【相似题1】（24-25高三下·河南·阶段练习）在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为为锐角三角形，则，， 所以，，即，所以，. （2）因为为锐角三角形，可得，解得， 则， 因为，则,所以，可得， 即，所以的取值范围为. 【相似题2】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， ∴， ∵，则，∴，又，∴； （2）因为，， 由余弦定理，即， ∴，解得， ∴； （3）在中，由正弦定理， ∴， ∴ ， 又为锐角三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， 故周长的取值范围为 【相似题3】（2025·湖北荆州·模拟预测）在圆内接四边形中，. (1)求的大小； (2)若，求的面积最大值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）在中，， 由正弦定理得，所以， 所以，所以， 所以； （2）由（1）可知，所以是四边形外接圆直径，， 设，则， 在中，，由正弦定理得，即， 在中，，， 当且仅当时取等号，所以面积的最大值为. 【相似题4】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）. 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得： 因为，所以，即 为锐角，. （2）由正弦定理得 所以 ， 是锐角三角形，， ， 即， 所以周长的取值范围为. 【相似题5】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形且，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，则， 则， 根据正弦定理得，， 因为，所以，则， 又，所以. （2）由正弦定理得，， 则，， 所以，， 则 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，所以， 设，， 则， 所以时，． 【相似题6】（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知的内角，，的对边分别是 ，，，已知 ． (1)求角; (2)若为外一点，在四边形中，边长 ， 求边的最小值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 由余弦定理， 所以，即， 由正弦定理可得， 即，所以， 又，所以，所以，即， 又，所以； （2）在和中，由正弦定理可得，， 设，，则，，， 故两式相除可得， 即， 因此， 故当时，即时，此时取最大值1，故取最小值. 题型十 转化为其它函数求最值（范围） 指点迷津 解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解. 【练习1】（2025·江苏·模拟预测）在中，角的对边分别为，． (1)若，求的周长； (2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1），，由余弦定理得，， ，解得，或（舍去） ， 的周长为. （2）由余弦定理得，，整理得，， ， ，即， 由正弦定理得，，， ，， ， 令，，， 函数在上单调递增，，即的取值范围是. 【练习2】（2025·江苏南通·三模）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，面积为，满足． (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）由得，即， 由余弦定理得：，即， 化简得：， 由正弦定理有：， 即，化简得：， 因为，，所以， 因为正弦函数在上单调递增，故，即. （2）由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形，则，解得，则， 令，则目标式为，其中， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，，故， 故当时，. 因此，的取值范围是. 【练习3】（2025·江苏镇江·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P满足． (1)若，求； (2)若，的周长为4， ①求证：； ②求面积的最大值． 【答案】(1)；(2)①证明见解析 ；② 【详解】（1）方法一：因为，所以为等边三角形， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以．               方法二：在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 所以，又，所以，故． （2）①证明：因为，所以． 在中，，在中，，                    所以，即， 从而，故．                      ②因为，所以， 解得，当且仅当时，取等号， 又，则，即，即， 整理得，解得，故．                  在中，由余弦定理，得 ，       ，         令，则，所以单调递增， 所以的最大值为．故最大值为． 【练习4】（2024高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，，且． (1)当时，试判断的形状； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)为等腰三角形或直角三角形；(2)． 【详解】（1）由正弦定理得， ， 所以， 即，又，，， 所以或． 若，则，与矛盾， 所以，此时或． 当时，，当时，， 即为等腰三角形或直角三角形． （2）由（1）得， 所以或． 当时，，而为锐角三角形， 所以，，，即． 当时，，此时为钝角，不符合题意． 由余弦定理的推论得， 由正弦定理得 ． 因为，所以， 所以， 即，所以的取值范围是． 【练习5】（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）设的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的周长； (3)如图，点是外一点，设，且，记的面积S，求S关于的关系式，并求S的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3)， 【详解】（1）由可得； 由正弦定理可知， 所以， 所以，即. 由余弦定理， 因此. （2）因为，所以等号两边同时平方可得； 即. 又，由（1）知， 所以，可得，所以， 因此的周长为. （3）由正弦定理可得，即， 且，即. 因为四边形的内角和为，且， 所以 所以. ， 记， 令， 则. 因为在中，所以，所以， 所以当时，单调递增. 当，即时，； 当，即时，， 则， 所以. 限时作业 （建议用时90分钟） 1．（24-25高三下·北京大学附属中学阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解法1：因为，由正弦定理得， 即， 因为，则，故； 解法2：因为，由余弦定理得， 整理得，可得， 由余弦定理可得. （2）因为，且，则， ，所以， 因为由余弦定理得， 于是， 因为，则，所以， 因此，于是的周长. 2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为，的平分线交于点，且1，求的值. 【答案】(1)；(2)当时，； 当时，. 【详解】（1）由正弦定理知，， 因为 所以， 又， 所以， 因为，，故，， 所以，故， 所以. （2）因为， 即， 所以， 解得或， 当时，； 当时，. 3．（2025·江西·二模）已知钝角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)若 ，证明：是等腰三角形. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）由和正弦定理， 可得 因为， 所以， 即得，即. 又因是钝角三角形，，故， 因，即. （2）由，及余弦定理得： 解得， 又，解得， 所以是等腰三角形. 4．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）设的内角所对的边分别为. (1)求； (2)若，求边上的高. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由余弦定理可知：，即. 因为， 所以，整理可得：. 又因为， 所以. （2） 因为，， 所以， 又因为， 所以. 所以. 由正弦定理，可得， 设边上的高为， 所以. 5．（2025·江西南昌·模拟预测）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，. (1)求b； (2)如图延长AB，若时，，求c. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）∵， ∴，得：， 由正弦定理得：，又因为， ∴； （2）因为，所以 所以在中，，，且，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 得． 6．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知中，角的对边分别是，. (1)证明：成等差数列； (2)若，内切圆半径为r，求r的最大值. 【答案】(1)证明见详解；(2) 【详解】（1）， ， ， ， ， ，，，即， ，， ，， 成等差数列； （2）由余弦定理可得，即， ，当且仅当时等号成立， 因为，， ， 当且仅当，即时等号成立， 即 ， 的取大值为 ． 7．（24-25高三上·湖南常德·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求边； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）法一：因为， 可得， 由正弦定理可得：  所以； 法二：因为，由正弦定理可得， 由余弦定理得： 化简得：，即，所以. （2）法一：因为，即，则， 可得 由正弦定理可得：， 又因为，所以， 所以面积为：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为； 法二：因为，则， 可得 又因为 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为； 法三：因为，可知，都为锐角， 如图，作边上的高， 则， 因为  则，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为； 法四：因为，则， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得，即， 由余弦定理可得：， 则，化简可得，即， 可得 当时，面积的取到最大值为； 法五：因为，则， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得，即， 如图过点作底边的高， 不妨设，，， 则有，， 则， 整理可得，则，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为. 8．（24-25高三上·福建泉州·期末）在中，点是边上一点，且． (1)若，，且，求的值； (2)若，，且的面积为12，求的值． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）依题意，， 则， 又，则， 由正弦定理，得，， 所以. （2）设，，则，，， 在中，由正弦定理，得，则， 在中，，即，则，， 因此，即， 又，，解得，， 于是，， 则， 由，，得，即，解得， 所以. 真题呈现 1．（2025年北京卷）在中，． (1)求c； (2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC的高． ①；②；③面积为． 【答案】(1)6;(2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由正弦定理有，解得， 此时，， 而，，， 所以，可以唯一确定， 所以此时也可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 2．（2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题）记的内角的对边分别为，已知， (1)求； (2)若的面积为，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 3．（2024·年全国Ⅱ卷高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式，， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 4．（2024年北京高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 5.（2023年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1)；(2)6 【详解】（1），，即， 又， ， ，， 即，所以，. （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ，. 6．（2023年新课标全国Ⅱ卷高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）（方法1）：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. （方法2）：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）（方法1）：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. （方法2）：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 7．（2023年全国乙卷（理）高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 8．（2022年新高考全国Ⅰ卷高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）因为，即， 而，所以； （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 9．（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2） 由正弦定理得：，则，则，. 10．（2022年北京高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. （2）解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 11．（2022年全国乙卷（理）高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析；(2)14 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； （2）解：因为， 由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. 12．（2021年全国新高考Ⅰ卷高考真题）记是内角的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）（方法一） 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． （方法二）如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． 13．（2021年全国新高考Ⅱ卷高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，且. 【详解】（1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 14．（2021年北京高考真题）在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析． 【详解】（1），则由正弦定理可得， ，，，， ，解得； （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得， 与矛盾，故这样的不存在； 若选择②：由（1）可得， 设的外接圆半径为， 则由正弦定理可得， ， 则周长， 解得，则， 由余弦定理可得边上的中线的长度为： ； 若选择③：由（1）可得，即， 则，解得， 则由余弦定理可得边上的中线的长度为： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 解三角形（大题） 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） ………………………2 02 题型突围 精准提分 ……………………………………………………………2 题型一 正（余）弦定理解三角形…………………………………………………………2 题型二 三角形的面积与周长………………………………………………………………3 题型三 判断三角形的形状 ………………………………………………………………5 题型四 与中线有关的解三角形 …………………………………………………………6 题型五 与角分线有关的解三角形 ………………………………………………………7 题型六 与高线有关的解三角形 …………………………………………………………9 题型七 多三角形或四边形的解三角形 …………………………………………………10 题型八 利用基本不等式求最值（范围）…………………………………………………13 题型九 转化为三角函数求最值（范围）…………………………………………………15 题型十 转化为其它函数求最值（范围）…………………………………………………16 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………18 04 真题呈现 把握考情 …………………………………………………………19 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年北京卷 正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 这一节的内容是高考数学的核心考点，主要以选择题、填空题和中档解答题呈现，解答题的考查内容主要体现在以下方面： ⑴正、余弦定理解三角形； ⑵三角形的面积和周长 ⑶解三角形中线、角分线和高线的问题 ⑷解三角形的最值或范围问题. 2024年全国Ⅰ卷 正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2024年全国Ⅱ卷 解三角形中的周长问题 2024年北京卷 正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2023年全国Ⅰ卷 解三角形中高线的问题 2023年全国Ⅱ卷 正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2023年全国乙卷（理） 余弦定理解三角形、三角形面积公式 2022年全国Ⅰ卷 解三角形中的范围问题 2022年全国Ⅱ卷 正弦定理、余弦定理解三角形 2022年北京卷 解三角形中的周长和面积 2022年全国乙卷（理） 解三角形中的周长 2021年全国Ⅰ卷 多三角形问题 2021年全国Ⅱ卷 求三角形的面积、由三角形的形状求参数 2021年北京卷 三角形的周长和面积 题型突围 题型一、正（余）弦定理解三角形 指点迷津 解三角形时，如果已知中涉及到一个角三条边或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果已知中涉及到两个或两个以上的角或两个角的正弦，则考虑用正弦定理. 例1．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习） 已知 的内角 的对边分别为 ，且 的面积为 . (1)求 . (2)若 ，求 . 例2．（2025·江苏连云港·模拟预测）在中，点在边上，，，． (1)若，求； (2)若，求． 【相似题1】（24-25高三下·海南·阶段练习）记的内角，，所对边分别为，，.已知，是边上一点，且. (1)求； (2)若，，求外接圆的面积. 【相似题2】（2025·河南信阳·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． (1)若为锐角三角形，，求c的取值范围； (2)若，求证：． 【相似题3】（2025·辽宁盘锦·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)证明：． (2)若，，求的值． 【相似题4】（2024·高三·山西运城·开学考试校考）在中，角的对边分别为，且. (1)证明：； (2)若，，求的值. 【相似题5】（2025·浙江·二模）中，角对应的边分别为， (1)求角； (2)若点在边上，且，求的面积. 【相似题6】（24-25高三下·山西·开学考试）已知的内角A，，所对的边分别为，，，，且，，成等比数列． (1)求； (2)若点满足，的外接圆半径为，求的内切圆半径． 题型二、三角形的面积与周长 指点迷津 ⑴对于面积公式,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. ⑵与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. ⑶与周长有关的问题，要用到余弦定理和完全平方公式的变形，即. 例1．（2025·全国·二模）的内角的对边分别为 (1)求A； (2)若的面积为，求的周长. 例2．（24-25高三上·陕西汉中·期末）在中，角所对的边分别为从下面三个条件中选择两个，使得存在，并回答下列问题：① ②③． (1)求的值； (2)当时，求的面积． 【相似题1】（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）在中，内角的对边分别为，满足，. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【相似题2】（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)若的面积，求角A； (2)若，的面积，求的外接圆的面积. 【相似题3】（2025·福建福州·模拟预测）记的角的对边分别为分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知． (1)求角B； (2)若，求的周长． 【相似题4】（24-25高三上·江苏·期末）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若b＝3，，求△ABC的面积S． 【相似题5】（2025·广东揭阳·模拟预测）在中，内角A,B,C所对的边分别为．，角的平分线交AC于 (1)求 (2)若，求的面积． 【相似题6】（2025·湖南长沙·三模）记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知的面积为． (1)求． (2)若为BC上一点，满足，且为钝角，求的面积． 【相似题7】（2025·辽宁·三模）已知的内角的对边分别为，若. (1)求； (2)求的面积. 题型三 判断三角形的形状 指点迷津 1.判断三角形形状的两种思路： ⑴先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； ⑵先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. 2.判断三角形形状时，常用到以下结论： ⑴为直角三角形或或； ⑵为锐角三角形且且； ⑶为钝角三角形或或； ⑷若，则或. 例1．（2025·内蒙古包头·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为，且． (1)证明：： (2)若的面积为，求角A的值并判断的形状． 【相似题1】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)判断的形状； (2)若，且的面积为，求角． 【相似题2】（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角 (2)若，的面积为，判断的形状. 【相似题3】（2024·内蒙古·三模）在中，内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，证明：为直角三角形. 【相似题4】（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，求，并判断的形状． 【相似题5】（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且，，． (1)求的面积； (2)证明：是钝角三角形． 【相似题6】（24-25高三上·河南·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)设的平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形. 题型四 与中线有关的解三角形 指点迷津 在中，内角所对的边分别为，若是中点，则解题思路一般有两种： ⑴利用向量：，所以； ⑵利用余弦定理：利用找到中线与边的关系. 例1．（2024·河北·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，求边上的中线的长. 【相似题1】（2025·陕西商洛·模拟预测）记的内角所对的边分别为，已知． (1)若，求外接圆的半径； (2)若为边的中点，求线段的长． 【相似题2】（2025·全国·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 【相似题3】（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）在中，角所对的边分别为，． (1)求； (2)已知的面积为，为的中点，，求． 【相似题4】（2025·海南海口·模拟预测）已知，其内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，为边上的中点，求的长． 【相似题5】（2025·湖南长沙·模拟预测）记中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，边上的中线长为，求的面积. 题型五 与角分线有关的解三角形 指点迷津 在中，内角所对的边分别为，若是内角的平分线，则解题思路一般有两种： ⑴利用内角平分线定理：； ⑵利用等面积法：. 例1．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 例2．（2025·湖北武汉·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值． 【相似题1】（2025·广西柳州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)若的面积为为BC上一点，AD为的平分线，求AD. 【相似题2】（2025·河南·模拟预测）如图，的内角的对边分别为为的角平分线，且交于点，且. (1)求； (2)若的内切圆的半径为，求的周长. 【相似题3】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知锐角中，角所对的边分别为． (1)求角； (2)若为的平分线，且与交于点，求的面积． 【相似题4】（2025·湖北·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)设， （ⅰ）求； （ⅱ）若，角的平分线与AB交于点，求CD的长. 【相似题5】（2025·海南·模拟预测）在中，角所对应的边分别为且满足． (1)求的大小； (2)角的平分线与边相交于点，且，求的最小值． 题型六 与高线有关的解三角形 指点迷津 在中，内角所对的边分别为，若是边上的高，则解题思路一般利用等面积法：. 例1．（2025·海南三亚·一模）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求边上的高的长. 例2．（2025·浙江·三模）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且. (1)求； (2)若边上的高为，且的周长为6，求. 【相似题1】（2025·广东汕头·一模）已知向量，，，且角A、B、C分别为三边a、b、c的对角． (1)求角C的大小； (2)若、、成等比数列，且，求边c上的高h． 【相似题2】（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)若的面积，求角A； (2)若，的面积，求的外接圆的面积. 【相似题3】（2025·山东聊城·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且边上的高为，求的周长． 题型七 多三角形或四边形的解三角形 指点迷津 求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系. 具体解题思路如下： ⑴把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后再各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； ⑵寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 做题过程中，要用到平面几何的一些知识点，如相似三角形的边角关系，平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题. 例1．（2025·全国·二模）记的内角的对边分别为，. (1)求A； (2)延长至，使，求的值. 例2．（2025·山东·模拟预测）在四边形中，，，，． (1)求的周长 (2)求四边形的面积． 【相似题1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)求的长； (2)求四边形的面积. 【相似题2】（2025·福建福州·一模）在中，，为的中点，. (1)若，求的长； (2)若，求的长. 【相似题3】（2025·福建泉州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)如图所示，为外一点，，，，求． 【相似题4】（2025·山东烟台·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若点D满足，且，求的面积． 【相似题5】（2025·广东·模拟预测）记的内角，，所对边分别为，，，且，. (1)求； (2)若，点在边上且，求的面积. 【相似题6】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，，，，求： (1)四边形的面积； (2)的值； (3)的面积. 【相似题7】（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求； (3)若为上一点，且的面积为，求． 【相似题8】（2025·湖北黄石·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求的大小. (2)如图所示，为△ABC外一点，，，，求角D． 题型八 利用基本不等式求最值（范围） 指点迷津 在中，如果已知一个角及其对边，假设已知，根据余弦定理，即可得到与的等量关系. ⑴求面积最值时，，即求最值. 在等量关系中利用基本不等式，即可得到的最值. ⑵求周长的最值时，即求的最值. 在等量关系中，把换成，再利用基本不等式，即可求得的最值. 例1．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）在中，已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 例2．（2025·河北保定·模拟预测）记的内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求周长的最大值. 【相似题1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知的角对边分别为，. (1)求角的大小. (2)设点是的中点，若，求的取值范围. 【相似题2】（2025·海南·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)当角最大时，求角的大小． 【相似题3】（2025·湖北黄冈·三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，且. (1)若，求； (2)求△ABC面积的最大值. 【相似题4】（24-25高三上·天津·期中）已知的内角所对应的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． (3)若，的面积为，求的最大值． 【相似题5】（24-25高三下·广东清远·开学考试）中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且. (1)求角A； (2)点D在BC边上，且，，求面积的最大值. 【相似题6】（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，已知角、、的对边分别为、、，的平分线交于点，，. (1)证明：； (2)求的最小值. 【相似题7】（2025·湖北十堰·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且． (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，当最大时，求的面积． 【相似题8】（2025·甘肃·模拟预测）的内角的对边分别为，已知. (1)若，求的值； (2)求的最大值. 【相似题9】（2025·福建泉州·模拟预测）的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的面积与周长的比值的最大值. 题型九 转化为三角函数求最值（范围） 指点迷津 三角形中最值（范围）问题，如果三角形为锐角三角形，或其它的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. 例1．（24-25高一下·四川成都·期末）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知. (1)求B的值； (2)若b=2，求面积的取值范围. 【相似题1】（24-25高三下·河南·阶段练习）在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 【相似题2】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【相似题3】（2025·湖北荆州·模拟预测）在圆内接四边形中，. (1)求的大小； (2)若，求的面积最大值. 【相似题4】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 【相似题5】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形且，求的取值范围． 【相似题6】（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知的内角，，的对边分别是 ，，，已知 ． (1)求角; (2)若为外一点，在四边形中，边长 ， 求边的最小值． 题型十 转化为其它函数求最值（范围） 指点迷津 解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解. 【练习1】（2025·江苏·模拟预测）在中，角的对边分别为，． (1)若，求的周长； (2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围． 【练习2】（2025·江苏南通·三模）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，面积为，满足． (1)求证：； (2)求的取值范围． 【练习3】（2025·江苏镇江·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P满足． (1)若，求； (2)若，的周长为4， ①求证：； ②求面积的最大值． 【练习4】（2024高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，，且． (1)当时，试判断的形状； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【练习5】（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）设的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的周长； (3)如图，点是外一点，设，且，记的面积S，求S关于的关系式，并求S的取值范围. 限时作业 （建议用时90分钟） 1．（24-25高三下·北京大学附属中学阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长． 2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为，的平分线交于点，且1，求的值. 3．（2025·江西·二模）已知钝角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)若 ，证明：是等腰三角形. 4．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）设的内角所对的边分别为. (1)求； (2)若，求边上的高. 5．（2025·江西南昌·模拟预测）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，. (1)求b； (2)如图延长AB，若时，，求c. 6．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知中，角的对边分别是，. (1)证明：成等差数列； (2)若，内切圆半径为r，求r的最大值. 7．（24-25高三上·湖南常德·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求边； (2)若，求面积的最大值． 8．（24-25高三上·福建泉州·期末）在中，点是边上一点，且． (1)若，，且，求的值； (2)若，，且的面积为12，求的值． 真题呈现 1．（2025年北京卷）在中，． (1)求c； (2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC的高． ①；②；③面积为． 2．（2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题）记的内角的对边分别为，已知， (1)求； (2)若的面积为，求． 3．（2024·年全国Ⅱ卷高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 4．（2024年北京高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 5.（2023年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 6．（2023年新课标全国Ⅱ卷高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 7．（2023年全国乙卷（理）高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 8．（2022年新高考全国Ⅰ卷高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 9．（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 10．（2022年北京高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 11．（2022年全国乙卷（理）高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 12．（2021年全国新高考Ⅰ卷高考真题）记是内角的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 13．（2021年全国新高考Ⅱ卷高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 14．（2021年北京高考真题）在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 学科网（北京）股份有限公司 $$