第2章 分式（高效培优单元测试·提升卷）数学湘教版2024八年级上册

第2章 分式（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子，，，，， 中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．2025年中国航天取得诸多成果，天问二号任务在小行星探测中，其搭载的高分辨率相机能清晰拍摄到小行星表面细节．经测算，该相机可分辨出小行星表面上最小宽度仅为0.000012米的纹理．将0.000012用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．扩大为原来的2倍 5．若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（   ） A． B．x C． D． 6．若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 7．现有A，B两种型号的打印机，已知A型号的打印机每小时比B型号的打印机多打印个产品，A型号打印机打印个产品所用时间与B型号打印机打印180个产品所用时间相等，求A，B两种型号的打印机每小时各打印产品多少个．设B型号的打印机每小时打印x个产品，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．关于x的分式方程无解，则m的值为（ ） A．3 B．2 C．或 D． 9．给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 10．已知，下列结论正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为负数 D．若为正整数，则可能为3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 12．化简： ． 13．计算的结果是一个整数，写出一个符合条件的实数a的值为 ． 14．对于实数，，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 15．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为 16．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次的运算结果是 (用含字母x和n的代数式表示)． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19．先化简，然后在范围内选择一个你喜欢的整数代入求值． 20．下面是小华同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成任务： 解：方程两边同乘，得  第一步     第二步     第三步 检验，当时， 所以，是分式方程的解   第四步 任务一：上述解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请写出该题的正确解题过程． 21．某航模专卖店为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进两款热销的航模玩具．下面是该专卖店店员小星与小红的对话： 小星：款航模的进价比款航模的进价贵元． 小红：花费元购进款航模的数量比花费元购进款航模数量少． 若设款航模玩具的进价为元，解答下列问题： (1)款航模玩具的进价为_______元（用含的式子表示）； (2)求两款航模玩具的进价． 22．已知，． (1)当时，比较A与B的大小，并说明理由： (2)设，若m为整数，则正整数y的值为______． 23．观察以下等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示），并证明． 24．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 25．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和雅式”，这个常数称为关于的“和雅值”． 如分式，，，则是的“和雅式”，关于的“和雅值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“和雅式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“和雅值”； (2)已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，求的值； (3)已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，为整数，且“和雅式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 分式（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子，，，，， 中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，掌握分母中含有字母的式子即为分式成为解题的关键． 根据分式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：：分母为常数3，不含字母，不是分式； ：分母为，是常数，不含字母，不是分式； ：分母为，含字母，是分式； ：分母为，含字母，是分式； ：的分母为常数2，不含字母，整体为整式，不是分式； ：分母为，含字母和，是分式． 综上，分式共有3个． 故选B． 2．2025年中国航天取得诸多成果，天问二号任务在小行星探测中，其搭载的高分辨率相机能清晰拍摄到小行星表面细节．经测算，该相机可分辨出小行星表面上最小宽度仅为0.000012米的纹理．将0.000012用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：A． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了负整数指数幂、同底数幂乘法、零指数幂、同底数幂除法，根据运算法则计算即可得到答案. 【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C 4．把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．扩大为原来的2倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 把分式中的a、b分别用代替，再利用分式的基本性质化简即可解答． 【详解】解：，即分式的值不变． 故选：A． 5．若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（   ） A． B．x C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的约分，因式分解是本题的关键． 对分子进行分解因式，根据是的因式判断即可， 【详解】解：∵化简后可以得到一个整式， ∴是的因式， ∵选项中BCD都是的因式，A不是的因式， ∴整式A不可能是， 故选：A． 6．若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 7．现有A，B两种型号的打印机，已知A型号的打印机每小时比B型号的打印机多打印个产品，A型号打印机打印个产品所用时间与B型号打印机打印180个产品所用时间相等，求A，B两种型号的打印机每小时各打印产品多少个．设B型号的打印机每小时打印x个产品，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，熟练根据题意找出等量关系是解题的关键，设型号打印机每小时打印个产品，则型号每小时打印个，根据时间相等建立方程即可得到答案． 【详解】解：由题意知，设型号打印机每小时打印个产品，则型号每小时打印个， ∵A型号打印机打印个产品所用时间与B型号打印机打印180个产品所用时间相等， ∴， 故选：B． 8．关于x的分式方程无解，则m的值为（ ） A．3 B．2 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程，接着根据分式方程无解的情况有两种：1. 化简后的整式方程无解；2. 解为增根（使分母为零）．需分别分析这两种情况对应的m值．注意分两种情况分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由， 得， 两边同乘 （注意 ），得： ， ∴， ∴， 解得 ． 情况一：整式方程无解 当 （即 ）时，方程变为 ，显然无解，此时 ； 情况二：解为增根 若解 是增根（即 ），代入得： ， ， ， 此时解 使分母为零，原方程无解，此时 ． 综上，当 或 时，方程无解． 故选：C． 9．给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案． 【详解】解：第一个分式为：， 第二个分式为：， 第三个分式为：， 第四个分式为：， 第五个分式为：， ， 按此规律，那么这列分式中的第n个分式为， 故选：C． 10．已知，下列结论正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为负数 D．若为正整数，则可能为3 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件、分式的化简、通过分式计算即可判断A；根据分式有意义的条件可判断B；通过不等式的性质可判断C，通过分式求值可判断D． 【详解】解：，故A选项错误，不符合题意； 当时，，分式无意义，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； 当时，，不是正整数，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 12．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了异分母分式加法运算，约分，因式分解，根据异分母分式加法运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．计算的结果是一个整数，写出一个符合条件的实数a的值为 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简与整数条件的应用，将分式化简后，分析分式结果为整数的条件是解题的关键．先将原式进行化简，结果为，要是其为整数，需满足为或分数形式（为非零整数）． 【详解】解：由， 要是其为整数，需满足为或分数形式（为非零整数）， a可以为3或1或分数形式（为非零整数），答案不唯一， 故答案为：1（答案不唯一）． 14．对于实数，，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题是新定义题型，主要考查了解分式方程，正确理解新定义法则是关键． 根据新定义的法则可得关于x的方程，解方程并检验后即得答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 当时，， ∴原方程的解为． 故答案为： 15．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程及分式方程的解，先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”及分式方程有解建立不等式求m的取值范围． 【详解】解：去分母得， 解得：， ∵方程的解为正数， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 16．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次的运算结果是 (用含字母x和n的代数式表示)． 【答案】 【分析】此题考查了分式的规律题，根据分式的除法法则逐项计算，得到规律即可． 【详解】解：根据题意得； ； ； …… 根据以上规律可得：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】此题考查了分式的混合运算，按照分子混合运算法则计算即可． （1）先把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可， （2）分母相同，分子相减，得到结果再与分母进行约分即可． 【详解】（1）解： （2） 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，零指数幂，负整数指数幂，整式的乘除混合运算，熟练掌握运算顺序和相关运算法则是解题的关键． （1）先根据有理数乘方，零指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减，即可求解； （2）先计算积的乘方，再计算乘除法，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．先化简，然后在范围内选择一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】；当时，原式或当时，原式 【分析】此题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算先化简，再代入字母的值计算求出结果． 【详解】解： ∵， ∴， ∴取时，原式； 取时，原式． 20．下面是小华同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成任务： 解：方程两边同乘，得  第一步     第二步     第三步 检验，当时， 所以，是分式方程的解   第四步 任务一：上述解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请写出该题的正确解题过程． 【答案】任务一：一，漏乘了；任务二：正确解题过程见解析 【分析】本题考查解分式方程，涉及分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据分式方程的解法步骤即可确定解题步骤错误之处及原因，最后根据分式方程解法步骤求解即可得到答案．熟记分式方程的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：任务一：上述解题过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是漏乘了， 故答案为：一，漏乘了； 任务二：该题的正确解题过程如下： ， 去分母得， ， 去括号得， 移项、合并同类项得， ， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 21．某航模专卖店为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进两款热销的航模玩具．下面是该专卖店店员小星与小红的对话： 小星：款航模的进价比款航模的进价贵元． 小红：花费元购进款航模的数量比花费元购进款航模数量少． 若设款航模玩具的进价为元，解答下列问题： (1)款航模玩具的进价为_______元（用含的式子表示）； (2)求两款航模玩具的进价． 【答案】(1) (2)款航模玩具的进价为110元，款航模玩具的进价为80元 【分析】本题考查了列代数式，分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）根据题意了“款航模的进价比款航模的进价贵30元”，即可求解． （2）根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】（1）解：设款航模玩具的进价为元，依题意，款航模玩具的进价为元； 故答案为：． （2）由题意得．解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际，则（元）， 答：款航模玩具的进价为110元，款航模玩具的进价为80元． 22．已知，． (1)当时，比较A与B的大小，并说明理由： (2)设，若m为整数，则正整数y的值为______． 【答案】(1)，理由见详解 (2)y的值为4或3或1 【分析】本题考查了分式的求值，分式的加减计算： （1）利用作差法得到，由，可得出； （2）先求出，再由y为正整数，得到或或，解之即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， 又， ， 即， （2）， m为整数，y为正整数， 或或， 或或， y的值为4或3或1． 23．观察以下等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查分式的规律性问题，异分母分式的加减法： （1）根据上述等式可知，第一个乘数的分子是1，分母是等式的个数，第二个乘数的分子是分母的平方与1的差，等式右边被减数分子比分母大1，减数分子是1，分母是被减数分母与分子的积，据此写出第5个等式即可； （2）根据上述等式的规律，写出第个等式，并证明即可 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为：， 故答案为： （2）解：猜想：， 证明如下： 等式左边， 等式右边， ∴等式左边=等式右边， ∴猜想成立 24．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 25．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和雅式”，这个常数称为关于的“和雅值”． 如分式，，，则是的“和雅式”，关于的“和雅值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“和雅式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“和雅值”； (2)已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，求的值； (3)已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，为整数，且“和雅式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】（1）根据新定义进行判断； （2）根据新定义，列出方程求解； （3）根据新定义列出方程，再根据整除的意义求解． 【详解】（1）解：不是的“和雅式”； 理由： ， 不是的“和雅式”； （2）由题意得：， ， ， ， 解得：，， ； （3）由题意得：， ， ， 为整数，为整数， 的值为：或， 的值为：，，，， ， 所以所有符合条件的的值之和为． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$