第2章 分式（高效培优单元测试·强化卷）数学湘教版2024八年级上册

第2章 分式（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式:，，，，，．其中分式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义． 根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，逐一判断各式的分母是否含有字母即可． 【详解】解：∵，，的分母中含有字母，符合分式的定义， ∴，，是分式， ∵，，分母中不含字母，不符合分式的定义， ∴，，不是分式， ∴，，，，，中，共有个分式， 故选：． 2．清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法—表示较小的数，将原数转换为科学记数法时，需表示为（），通过移动小数点确定的值和指数． 【详解】解：原数为，将小数点向右移动7位至第一个非零数字8后，得到，因小数点向右移动了7位，指数为，因此，科学记数法表示为， 故选：C． 3．下列各式从左边到右边变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变， A选项中分子分母都乘以，分式的值不变，原变形正确，符合题意， B选项中分子分母除以整式不一致，原变形不正确，不符合题意， C选项分子分母同时加2不符合分式基本性质，原变形不正确，不符合题意， D选项分子分母同时乘以整式不一致，原变形不正确，不符合题意． 故选：A． 4．对于分式下列说法正确的是 （    ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式有意义 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式的值为零 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为零的条件，根据分式有意义要求分母不为零，分式的值为零要求分子为零且分母不为零，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：选项A：当时，分母，分式有意义，故A错误． 选项B：当时，分母，分式无意义，故B错误． 选项C：分式值为零需满足分子且分母． 由得或． 当时，分母，满足条件； 当时，分母，分式无意义，故C错误． 选项D：当时，分子，分母，分式值为零，故D正确． 故选：D． 5．如果，那么的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方，零指数幂和负整数指数幂的意义，有理数的大小比较，分别计算a、b、c的值，再比较大小． 【详解】解：∵ ∴． 故选B． 6．在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的定义，分母中含有未知数的方程即为分式方程．逐一分析各方程分母是否含未知数即可判断． 【详解】解：方程①：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 方程②：，无分母，为整式二次方程，不是分式方程． 方程③：，分母为常数3和2，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程． 方程④：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 综上，分式方程为①和④， 故选：D． 7．某市为应对人口老龄化，计划在老旧社区改建养老服务中心，让老人真正感觉到“老有所依，幸福常伴”．现有甲、乙两个施工队，已知甲队单独完成所需时间比规定时间多10天，乙队单独完成所需时间是规定时间的倍．若两队合作，恰好按规定时间完成．求规定时间是多少天？设规定时间是天，依题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键． 设规定时间为天，甲队单独完成需天，乙队单独完成需天．两队合作的工作效率之和应等于规定时间内的总效率，据此列出方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天，甲队单独完成需天，乙队单独完成需天． 由题意可得：． 对应选项B． 故选：B． 8．已知为正整数，求使得分式为整数的所有的值的和（    ） A．5 B．9 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简，分式的整数解的计算，理解分式的计算是关键． 根据分式的性质化简得到，结合分式的值为整数代入求值即可． 【详解】解：中，， ∴，且为正整数， ， ∴， ∴， 故选：C． 9．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根问题是解题的关键．先把分式方程化为整式方程，然后再根据增根可进行求解． 【详解】解：由化简可得：， ∵关于x的分式方程有增根， ∴增根为， ∴， 解得：； 故选：D． 10．已知则等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字的变化规律与分式的混合运算．先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出，据此得出其循环规律，再进一步求解可得． 【详解】解： 由此得到序列每3项重复一次， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母，根据最简公分母的定义可以找出题目中各个式子的最简公分母，本题得以解决． 【详解】解：分式的最简公分母是， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 14．若，且，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式化简求值，直接利用已知代入分式化简得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 15．关于的方程的解是负数，则的取值范围是 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法和利用分式方程的解的情况列式是解题的关键．先根据原方程解得方程的解，再根据分式方程的解是负数，以及分母不为0，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， ， ， ， 方程的解是负数， ， ，即， 的取值范围为且． 故答案为：且． 16．已知，则满足条件的所有x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查乘方运算，即非零数的零次幂的计算，的偶次幂的计算，理解并掌握零次幂的计算方法是解题的关键． 根据的偶次幂，非零数的零次幂的结果为1，分类讨论计算即可． 【详解】解：若，即，原式成立， 若，即，原式成立， 若，即，原式成立， 综上所述，或3，5． 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）去绝对值，进行零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）先算积的乘方，再根据单项式除以单项式，单项式乘以单项式的法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（1）解分式方程：； （2）计算：． 【答案】（1）无解；（2） 【分析】本题考查了解分式方程，分式的混合运算，掌握解分式方程的方法，分式的混合运算顺序和法则，是解题的关键． （1）先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可； （2）根据分式混合运算法则，先计算小括号的分式减法，然后再计算分式除法即可． 【详解】解：（1）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 是分式方程的增根， 分式方程无解； （2） ． 19．小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … (1)小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质    B．等式的基本性质    C．乘法结合律    D．乘法分配律 (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 【答案】(1)， (2)，当时，原式 【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式分式的基本性质，把所求式子化简． （1）观察小颖和小红的解法即可得到答案； （2）选择小颖的解法，先算出括号里的值，再运用分式的乘法运算计算，根据分式的性质得到，代入计算即可；选择小红解法，先用乘法分配律，约分后再相加，化简后将有意义的的值代入计算即可． 【详解】（1）解：观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律； 故答案为：，； （2）解：选择小颖的解法： ， ∵， ∴， ∴，则原式； 选择小红的解法， ， ， ； ∵当为，时，原式无意义， ∴当时，原式． 20．观察下面的等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接作答即可； （2）认真理解题干的式子过程，总结得第n个等式为，再把进行通分化简，得出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式： …… ∴第n个等式为 证明过程如下： 故． 21．已知分式 (1)化简此分式； (2)x也为整数，的值也是整数，求出符合条件的的值； (3)分式，当时，比较分式和的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算． （1）先计算括号里的，再计算除法即可； （2）根据A的结果求出符合要求的值即可； （3）计算，根据值的正负判断即可． 【详解】（1） ； （2）为整数，的值也是整数， 或（此时分式无意义，舍去） 即； （3）， ， ． 22．已知． (1)化简分式A； (2)若关于x的分式方程：的解是非负数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题考查了分式的除法运算法则，完全平方公式和平方差公式，解分式方程，正确掌握分式的分解，运算法则，是解题的关键． （1）将分式的分子、分母分解因式，将除法化为乘法，约分计算即可； （2）将A、B的值代入解方程，根据解是非负数及分式有意义的条件，计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵分式方程的解是非负数， ∴，且， ∴且 解得且，， ∴m的取值范围且． 23．如果分式与分式的差为常数，且为正整数，则称为的“差整分式”，常数称为“差整值”．如分式，，，故为的“差整分式”，“差整值”． (1)以下各组分式中，为的“差整分式”的是______（填序号）； ①，    ②，    ③； (2)已知分式为的“差整分式”，且“差整值”为2，求所代表的代数式； 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解题意是解本题的关键． （1）分别计算出，然后根据“差整分式”定义判断即可； （2）根据“差整分式”定义列出关于G的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：， A不是B的“差整分式”， ②， ； A是B的“差整分式”， ③ ； A不是B的“差整分式”， 故答案为：② （2）分式 ， ，C为D的“差整分式”，且“差整值”为， ， ∴， 解得：． 24．为推进新质生产力发展，某市出台补贴政策：企业更新套甲类设备，可获万元补贴；更新套乙类设备，可获万元补贴．某企业对现有的甲、乙两类共套设备进行更新，共获得万元补贴． (1)该企业甲、乙两类设备各有多少套？ (2)经测算，更新套甲类设备的费用，比更新套乙类设备费用的倍少万元，若用万元更新甲类设备与用万元更新乙类设备的数量相等． 求更新套乙类设备的费用： 该企业在获得万元补贴后，还需投入多少万元资金用于更新设备？ 【答案】(1)该企业甲类设备有套，乙类设备有套； (2)更新套乙类设备的费用为万元；还需投入万元资金用于更新设备． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组或分式方程． （）设该企业甲类设备有套，乙类设备有套，由题意得，然后解方程组即可； （）设更新套乙类设备的费用为万元，则更新套甲类设备的费用为万元，由题意得，然后解分式方程并检验即可； 计算出更新套甲类设备的费用为万元，进行计算即可． 【详解】（1）解：设该企业甲类设备有套，乙类设备有套， 由题意得：， 解得：， 答：该企业甲类设备有套，乙类设备有套； （2）解：设更新套乙类设备的费用为万元，则更新套甲类设备的费用为万元， 由题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：更新套乙类设备的费用为万元； 更新套甲类设备的费用为：（万元）， ∴（万元）， 答：还需投入万元资金用于更新设备． 25．新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有 ，（填字母） A：               B： (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 故答案为：A； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得； （3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，， ，， ， ， 当时，解得， 将化简得：， 解得， 关于的方程有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ， ． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 分式（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式:，，，，，．其中分式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列各式从左边到右边变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．对于分式下列说法正确的是 （    ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式有意义 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式的值为零 5．如果，那么的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 7．某市为应对人口老龄化，计划在老旧社区改建养老服务中心，让老人真正感觉到“老有所依，幸福常伴”．现有甲、乙两个施工队，已知甲队单独完成所需时间比规定时间多10天，乙队单独完成所需时间是规定时间的倍．若两队合作，恰好按规定时间完成．求规定时间是多少天？设规定时间是天，依题意列方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知为正整数，求使得分式为整数的所有的值的和（    ） A．5 B．9 C．16 D．20 9．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．1 C． D．3 10．已知则等于（   ） A． B． C． D．1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．分式，，的最简公分母是 ． 12．计算： ． 13．若，，则 ． 14．若，且，则分式的值为 ． 15．关于的方程的解是负数，则的取值范围是 16．已知，则满足条件的所有x的值为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．（1）解分式方程：； （2）计算：． 19．小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … (1)小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质    B．等式的基本性质    C．乘法结合律    D．乘法分配律 (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 20．观察下面的等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 21．已知分式 (1)化简此分式； (2)x也为整数，的值也是整数，求出符合条件的的值； (3)分式，当时，比较分式和的大小关系． 22．已知． (1)化简分式A； (2)若关于x的分式方程：的解是非负数，求m的取值范围． 23．如果分式与分式的差为常数，且为正整数，则称为的“差整分式”，常数称为“差整值”．如分式，，，故为的“差整分式”，“差整值”． (1)以下各组分式中，为的“差整分式”的是______（填序号）； ①，    ②，    ③； (2)已知分式为的“差整分式”，且“差整值”为2，求所代表的代数式； 24．为推进新质生产力发展，某市出台补贴政策：企业更新套甲类设备，可获万元补贴；更新套乙类设备，可获万元补贴．某企业对现有的甲、乙两类共套设备进行更新，共获得万元补贴． (1)该企业甲、乙两类设备各有多少套？ (2)经测算，更新套甲类设备的费用，比更新套乙类设备费用的倍少万元，若用万元更新甲类设备与用万元更新乙类设备的数量相等． 求更新套乙类设备的费用： 该企业在获得万元补贴后，还需投入多少万元资金用于更新设备？ 25．新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有 ，（填字母） A：               B： (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$