第1章 因式分解（高效培优单元测试·提升卷）数学湘教版2024八年级上册

第1章 因式分解（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．把多项式因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 4．小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（     ） A．4xy B．2xy C． D． 5．对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 6．已知则代数式的值为（    ） A． B．30 C．5 D． 7．已知任意实数满足等式，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 下列回答错误的是（　　） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 9．小雯是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：美、我、宣、汉、丽、爱．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．宣汉美 B．爱宣汉 C．我爱宣汉 D．美丽宣汉 10．有n个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（   ） ①； ②若第三个整式与第二个整式的差为21，则； ③第2024个整式为； ④当时，． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解： ． 12．若多项式有一个因式为，则的值为 ． 13．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为 . 14．已知满足，，，则的值为 ． 15．一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 16．已知a，b，c分别是的边长，若，，则的周长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．因式分解： (1)； (2)． 18．对于题目“因式分解：”，佳佳的解答过程如下，请认真阅读并完如图成相应的任务． 佳佳的解法：     ①     ②     ③ 任务： (1)佳佳的解答是从第_____步开始出错的（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 19．数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式： ； ． (1)比较M，N的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 20．观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的__________倍； (2)设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除． 21．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一：设另一个因式为，得， 即， 解得， 另一个因式为，的值为． 解法二：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题． (1)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，则实数=______． (2)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式及的值． 22．材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 23．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到的数学等式为．请解答下列问题： (1)图2中所表示的数学等式为___________： (2)请利用第（1）小题中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； (3)小灵同学用2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽． 24．定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 25．我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 因式分解（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义， 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A．，右边是与的和，并非乘积形式，不属于因式分解． B．，右边为两个一次整式的乘积，且展开后等于左边，符合因式分解的定义． C．，是整式乘法运算，不符合要求． D．，右边为平方差形式，但未写成乘积形式，属于恒等变形而非因式分解． 综上，只有选项B满足因式分解的条件． 2．把多项式因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，先找出的公因式是，进行作答即可． 【详解】解：依题意，的公因式是， ∴把多项式因式分解，应提取的公因式是， 故选：C 3．多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解参数．通过将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比一次项系数即可确定p的值. 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C． 4．小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（     ） A．4xy B．2xy C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 墨迹覆盖的这一项是4xy， 故选：A． 5．对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解．多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断． 【详解】解： ， 无论为奇数或偶数，与必为一奇一偶，其乘积为偶数， 故． 该式恒为8的倍数，因此对任意整数，原式必被8整除． 故选：B． 6．已知则代数式的值为（    ） A． B．30 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，先求解，将代数式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选C． 7．已知任意实数满足等式，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，通过作差法可得，分解因式得到，再根据偶次方的非负性可得，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴ ∴，即， 故选：B． 8．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 下列回答错误的是（　　） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 首先利用提取公因式法进行因式分解，然后再用平方差公式法因式分解，即可解答． 【详解】解： 其中运用的方法是提取公因式法和平方差公式法， 所以， *代表，故选项A说法正确，不符合题意； ☆代表，故选项B说法正确，不符合题意； 在运算过程中运用了提取公因式法和平方差公式法，△和□分别代表了提公因式法和平方差公式法中的一种，没有运用到完全平方公式法，故选项C说法正确，不符合题意；选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 9．小雯是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：美、我、宣、汉、丽、爱．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．宣汉美 B．爱宣汉 C．我爱宣汉 D．美丽宣汉 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用．先运用提公因式法，再运用公式法进行因式分解即可． 【详解】解：∵ ， ∴结果呈现的密码信息可能是：美丽宣汉． 故选：D． 10．有n个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（   ） ①； ②若第三个整式与第二个整式的差为21，则； ③第2024个整式为； ④当时，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减的应用、因式分解，理解题意找到规律进行计算是解题的关键．根据题意，先求出、、……，找到规律表示出的代数式，再求出前几个整式，找到规律表示出第个整式，再对题目中的结论逐一分析判断即可． 【详解】解：由题意得，， ， ，故①正确； 以此类推，， ，故④正确； 第一个整式为， 第二个整式为， 第三个整式为， 第四个整式为，…… 以此类推，第个整式为， 第2024个整式为，故③正确； 第三个整式与第二个整式的差为， ， 解得：，故②错误； 综上所述，结论正确的有①③④，共3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接利用提公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．若多项式有一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的因式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．设另一个因式为，则，根据各项系数列式求出a和b的值． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∵， ∴， ， 解得：． 故答案为：3 13．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为 . 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，准确熟练地进行计算是解题的关键．设正方形Ⅰ的边长为 正方形Ⅱ的边长为 ，根据题意可得：，，然后进行计算即可解答． 【详解】解：设正方形Ⅰ的边长为 ，正方形Ⅱ的边长为 ， 由题意得：，， ，， 解得：， 这两个正方形的边长之和为， 故答案为：． 14．已知满足，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，代数式求值，由，，，可得，则，，，然后代入求值即可，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：． 15．一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用、因式分解，理解题意是解题的关键．根据题意用表示出和，计算可得，根据的值能被13整除，得出是13的倍数，列出方程求出的值即可． 【详解】解：，， 则． 因为的值能被13整除，且11与13互质， 所以是13的倍数， 所以， 解得：， 故答案为：6． 16．已知a，b，c分别是的边长，若，，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查因式分解的应用，将已知等式移项后因式分解是求解本题的关键．先把因式分解可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长是9． 故答案为： 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解； （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 18．对于题目“因式分解：”，佳佳的解答过程如下，请认真阅读并完如图成相应的任务． 佳佳的解法：     ①     ②     ③ 任务： (1)佳佳的解答是从第_____步开始出错的（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题主要考查了因式分解、整式的加减等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）根据整式的加减运算法则即可判断； （2）先根据平方差公式法因式分解，再根据整式的加减运算法则化简，最后提取公因式即可解答． 【详解】（1）解：佳佳在第②步因式分解时合并同类项出错． 故答案为：②． （2）解：正确的解答过程如下： 19．数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式： ； ． (1)比较M，N的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）利用作差法比较M，N的大小； （2）直接列式计算，并将结果化为完全平方形式进行判断． 本题主要考查了整式的运算．核心素养表现为运算能力和推理能力． 【详解】（1）解： ． ； （2）证明： ， 不可能小于0． 20．观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的__________倍； (2)设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了规律探究，找出规律是解题的关键． （1）由已知式子得，即可求解； （2）由题意得，即可得证． 【详解】（1）解：由题意得 ， 故答案为：； （2）证明： ， 能被5整除， 能被5整除， 故：比大5的数与的平方差能被5整除． 21．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一：设另一个因式为，得， 即， 解得， 另一个因式为，的值为． 解法二：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题． (1)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，则实数=______． (2)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果求参数，十字相乘法分解因式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握已知因式分解的结果求参数是解题的关键． （1）设另一个因式为，得，当时，，即，解方程即可求出的值； （2）设另一个因式为，得，当时，，即，解方程即可求出的值，然后利用十字相乘法分解因式，即可求出另一个因式． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 22．材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式． 23．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到的数学等式为．请解答下列问题： (1)图2中所表示的数学等式为___________： (2)请利用第（1）小题中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； (3)小灵同学用2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽． 【答案】(1) (2)19 (3)大长方形的长为，宽为 【分析】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． （1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积各矩形的面积之和求解即可； （2）将，，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可； （3）由题意得，再分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解：从总体看，大正方形的边长为，面积为； 从部分看，图形的面积为； ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴； （3）解：由题意可知：， ∴大长方形的长为，宽为． 24．定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】(1)是“双一次可分解式”，理由见解析 (2)是“双一次可分解式”，理由见解析 (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把多项式变形为，提公因式即可； （3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得． 【详解】（1）， 是“双一次可分解式”； （2）， 是“双一次可分解式”； （3）根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 25．我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 【答案】(1)①；② (2)7 【分析】本题考查了因式分解的方法，本题主要包括分组分解法、运用平方差公式进行分解、十字相乘法进行分解、运用完全平方公式进行分解，解题的关键是理解分组分解法、十字相乘法的实质． （1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②画十字交叉线，即可利用十字相乘法分解； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出、、的值，然后求和即可得到答案． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ②由图可得： 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 故的周长为：7． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$