精品解析：湖南省长沙市望城区长郡斑马湖中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025年上学期高二期末考试 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四位同学报名参加4项不同的趣味运动项目，每人只能报一项，则在乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同的条件下，四位同学所报项目各不相同的概率等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在同一个球的球面上，，，，若四面体的体积的最大值为，则这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. 6. 四面体的四个顶点都在球O上且，，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 下图揭示了一个由区间到实数集上的对应过程：区间内的任意实数与数轴上的线段（不包括端点）上的点一一对应（图一），将线段围成一个圆，使两端、恰好重合（图二），再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为（图三）.图三中直线与轴交于点，由此得到一个函数，则下列命题中正确的序号是 （ ） （1）；（2）是偶函数；（3）在其定义域上是增函数； （4）的图像关于点对称. A. （1）（3）（4）. B. （1）（2）（3）. C. （1）（2）（4）. D. （1）（2）（3）（4）. 8. 已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 关于函数的结论正确的是（ ） A. 在定义域内单调递减 B. 的值域为R C. 在定义域内有两个零点 D. 是奇函数 10. 已知正方体的棱长为分别是棱的中点，是棱上的一动点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 对任意的点 C. 存在点，使得直线与平面所成角的大小是 D. 对任意的点，三棱锥的体积是定值 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象 D. 函数的零点个数为7 三、填空题（共15分） 12. 如图，在长方体中，，则四棱锥的体积为______． 13. 的展开式中项的系数为__________.（用数字回答） 14. 已知图象上有一最低点，若图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位长度得的图象，又的所有根从小到大依次相差3个单位，则___________. 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，证明：是直角三角形. 16. 已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，，E为PD中点. （1）求证：平面PAB； （2）设平面EAC与平面DAC的夹角为，求三棱锥的体积. 17. 已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． （1）求双曲线的方程，并写出其离心率； （2）求的焦点到其渐近线的距离； （3）已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 18. 已知函数． （1）当时，若在处取得极值，求的值； （2）若，过点与曲线相切的直线与直线平行，求的值． 19. 表所示的是某班英语及数学成绩的分布列．学生共有50人，成绩分1～5五个档次.例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人.将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一枚，该卡片同学的英语成绩为，数学成绩为，设为随机变量.（注：没有相同姓名的学生） 数学 5 4 3 2 1 英语 5 1 3 1 0 1 4 1 0 7 5 1 3 2 1 0 9 3 2 1 6 0 1 0 0 1 1 3 （1）的概率为多少？且的概率为多少？ （2）等于多少？ （3）若的期望为，试求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期高二期末考试 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出两个不等式的解集，然后根据充分不必要条件的定义求出实数的取值范围. 【详解】由题意可得，且， 又 ， ， 则解得， 故选：D． 2. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入函数式，由对数的定义求解． 【详解】由题意，，． 故选：B． 【点睛】本题考查已知对数函数值求自变量的值，利用对数的定义可求解． 3. 设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，利用椭圆和双曲线的定义可得出，再利用余弦定理和基本不等式计算即可求得结果. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设， 由椭圆和双曲线的定义可得，得， 设，因为，由余弦定理得 ， 即， 整理得，故. 又，即， 所以，即的最小值为， 当且仅当即时等号成立. 故选：A. 4. 甲、乙、丙、丁四位同学报名参加4项不同的趣味运动项目，每人只能报一项，则在乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同的条件下，四位同学所报项目各不相同的概率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，可知所求事件概率在乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同的条件下，于是可求出四位同学所报项目各不相同的所有可能，即可求出所求事件的概率． 【详解】乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同有种可能． 四位同学所报项目各不相同有种可能． 在乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同的条件下， 四位同学所报项目各不相同的概率， 故选:B． 5. 已知点在同一个球的球面上，，，，若四面体的体积的最大值为，则这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得到为直角三角形，得到所以直角所在截面小圆的半径， 设点到平面的距离为，结合题意求得，设四面体的外接球半径为，球心到截面的距离为，当到底面距离最远时，即时，求得，进而求得球的表面积. 【详解】由，可得，所以为直角三角形， 其面积为， 所以直角所在截面小圆的半径， 设点到平面的距离为， 因为四面体体积取得最大值为， 所以，解得， 设四面体的外接球半径为，球心到截面的距离为， 当到底面距离最远时，即时，四面体的体积取得最大值， 因为，所以，解得， 所以球的表面积为. 故选：D. 6. 四面体的四个顶点都在球O上且，，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，根据题中的数据证明平面平面，并找出球心的位置，列出等式求出外接球的半径，结合球的表面积公式可得出结果. 【详解】 取的中点，连接，设和的外心分别为，分别过点作平面和平面的垂线交于点，则点为外接球球心. 由题意可知，和都是边长为4的等边三角形. 为的中点，,且 平面 平面,平面平面 易得，， 平面,平面∥AM 同理可得∥DM，则四边形为菱形， ，菱形为正方形， 平面，平面 所以外接圆半径为， 因此，四面体的外接球的表面积为. 故选：B 【点睛】这个题目考查了外接球表面积的计算，找出球心位置，并计算外接球的半径是解答的关键，考查推理能力与计算能力. 7. 下图揭示了一个由区间到实数集上的对应过程：区间内的任意实数与数轴上的线段（不包括端点）上的点一一对应（图一），将线段围成一个圆，使两端、恰好重合（图二），再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为（图三）.图三中直线与轴交于点，由此得到一个函数，则下列命题中正确的序号是 （ ） （1）；（2）是偶函数；（3）在其定义域上是增函数； （4）的图像关于点对称. A. （1）（3）（4）. B. （1）（2）（3）. C. （1）（2）（4）. D. （1）（2）（3）（4）. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意得：对应点为，此时直线与轴交于坐标原点，所以（1）成立，由于函数定义区间为，所以（2）是偶函数不成立，由题意得：直线与轴的交点从左到右，因此（3）在其定义域上是增函数成立，根据直线与轴的交点关于原点对称，而由（1）知（4）的图像关于点对称成立. 考点：函数对应关系 8. 已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据与0关系分三种情况讨论，其中当时，再根据的最小值与0的关系分和两种情况讨论，当时，把在上恒成立，转化成在上恒成立，借助导数，求出在上的最大值，且即可求出m的取值范围. 【详解】函数的定义域为， ①当时，， 当时，，不符合题意； ②当时，取，则，不符合题意； ③当时，设，， 则，当且仅当时取等号. （i）若，即，取， ，，不满足题意； （ii）若，即， 若在上恒成立，则需在上恒成立， 又， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 故，解得，所以. 综上可知，. 故选：D. 二、多选题（共18分） 9. 关于函数的结论正确的是（ ） A. 在定义域内单调递减 B. 的值域为R C. 在定义域内有两个零点 D. 是奇函数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断， 即可得解. 【详解】的定义域为， 而和在各段定义域内均为减函数， 故在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A错误； 当 ，时，有， 当时，有， 所以的值域为R，故B正确； 令，可得， 所以在定义域内有一个零点，故C错误； ， 令，易知，此时定义域关于原点对称， 且，故为奇函数， 所以是奇函数，故D正确， 故选：BD. 10. 已知正方体的棱长为分别是棱的中点，是棱上的一动点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 对任意的点 C. 存在点，使得直线与平面所成角的大小是 D. 对任意的点，三棱锥的体积是定值 【答案】BD 【解析】 【分析】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，令，求解即可判断A；验证即可判断B；平面的法向量为,,由题意,求解即可判断C；可证得平面，则到平面的距离与到平面的距离相等且为定值，结合即可判断D. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设， 则, 令，则，此方程组无解，故A错误； ,则,又, 则, 则,故B正确； 平面的法向量为,, 由题意,即， 解得，均与矛盾，故C错误； ,平面，平面，则平面， 则到平面的距离与到平面的距离相等且为定值，设为，又为定值， 则为定值，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象 D. 函数的零点个数为7 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数的解析式，再分析判断ABC；换元并构造函数，利用导数结合图形判断D作答. 【详解】观察图象知，函数的周期，则，而， 即有，由知，，因此，A正确； 显然，当时，，因此单调递增，B正确； 将图象上各点横坐标变为原来的得，再将所得图象向右平移个单位长度，得， 而，C错误； 由，得，令，则， 令，显然当时，，即恒有，函数在上无零点， 当时，，令，， 函数在上都递减，即有在上递减，， ，因此存在，， 当时，，当时，，有在上递增，在递减， ，， 于是存在，，当时，，当时，， 则函数在上递减，在递增，，， 从而函数在上存在唯一零点，而函数周期为，在上单调递增，如图， ，，， 从而函数在上各有一个零点，又0是的零点，即函数在定义域上共有7个零点， 所以函数的零点个数为7，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 三、填空题（共15分） 12. 如图，在长方体中，，则四棱锥的体积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，结合柱体和锥体的体积公式，结合，即可求解. 【详解】在长方体中，， 则三棱柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以. 故答案为：. 13. 的展开式中项的系数为__________.（用数字回答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理的通式,写出所有能得到目标项的可能,求出结果. 【详解】由题意可知,通式为 当时,求中系数即可, 则通式为当时, 可得项的系数为, 故答案为: . 14. 已知图象上有一最低点，若图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位长度得的图象，又的所有根从小到大依次相差3个单位，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角恒等变换、三角函数的最值、图像变换、周期和方程的根等知识来求得的解析式. 【详解】由题意得， 其中， 因为是图象的最低点， 所以，所以， 所以， 横坐标缩为原来的得， 向左移动1个单位长度得， 所以. 由的所有根从小到大依次相差3个单位， 可知与的相邻交点间的距离相等， 所以过曲线的最高点或最低点， 或经过所有的对称中心. ①当过曲线的最高点或最低点时， 每两个根之间相差一个周期，即相差6，不合题意； ②当过曲线所有的对称中心时， 则，所以， 所以， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数的恒等变形，对于的化简，主要利用的是两角和与差的正余弦公式，化为，也可化为，也可根据题意选择合适的一个来对问题进行求解，属于中档题. 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，证明：是直角三角形. 【答案】（1）； （2）证明：解法一：由及正弦定理可得， 由余弦定理得，即， 化简得，所以， 因此， 所以是直角三角形. 解法二：因为，所以. 所以， 所以，又，故， 即是直角三角形. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式化简即可得解； （2）法一：利用正弦定理角化边得，代入余弦定理求出关系，然后由勾股定理即可得证；法二：利用内角和消去，结合和差公式展开直接求出即可得证. 【小问1详解】 由条件及正弦定理得， 即，得， 又，所以，所以，解得， 又，所以. 【小问2详解】 略 16. 已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，，E为PD中点. （1）求证：平面PAB； （2）设平面EAC与平面DAC的夹角为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明：     取中点,连, 是中点,∴且, 又∵且.∵且, ∴四边形为平行四边形，, 又∵平面，⊂平面，∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：利用线面平行的判定定理直接证明；方法二：利用空间向量的坐标运算证明线线垂直即可证明； （2）方法一：利用二面角的定义以及三棱锥的定义求解；方法二：利用空间向量的坐标运算求出三棱锥的高，进而求体积. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取中点，连，过作交于，连, ∵分别是中点，∴，又∵平面． ∴⊥平面,平面, ∴，又∵，平面， ∴⊥平面，平面， ∴，∴是平面与平面的夹角的平面角. ∴. , ∴. ∴, 解法二： （1）∵⊥平面，，∴两两垂直， 以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系. 设，则有 则， 又⊥平面，平面，所以， 又∵平面， ∴⊥平面，∴是平面的一个法向量, ∵， 又∵平面，∴平面. （2）⊥平面，∴平面的一个法向量, 设平面的一个法向量为, 则有， 不妨设，则，即, , ∴到平面的距离, ∴. 17. 已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． （1）求双曲线的方程，并写出其离心率； （2）求的焦点到其渐近线的距离； （3）已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】(1)可设双曲线的方程为,代入可得标准方程，即可求离心率； 注：常见双曲线方程的设法 渐近线为的双曲线方程可设为；如果两条渐近线的方程为，那么双曲线的方程可设为． 与双曲线或共渐近线的双曲线方程可设为或． 与双曲线离心率相等的双曲线方程可设为或，这是因为由离心率不能确定焦点位置． 与椭圆共焦点的双曲线方程可设为． (2)由(1)的结果可得焦点与渐近线方程，由点到直线的距离公式可得结果； (3)联立直线与曲线方程，结合韦达定理可求. 【小问1详解】 因为双曲线与有相同的渐近线， 所以可设双曲线的方程为， 将代入，得，得， 故双曲线的方程为，所以，故离心率． 【小问2详解】 由（1）可知，的焦点为，渐近线方程为， 故的焦点到其渐近线的距离． 【小问3详解】 联立直线AB与双曲线的方程，得 整理得，． 设，则AB的中点坐标为， 由根与系数的关系得，， 所以AB的中点坐标为． 又点在圆上，所以，所以． 18. 已知函数． （1）当时，若在处取得极值，求的值； （2）若，过点与曲线相切的直线与直线平行，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，根据极值点的含义列式求得，再根据极值点的概念检验即可. （2）求导函数，设切点为，利用导数的几何意义及两点式的斜率列方程求解即可. 【小问1详解】 当时，，则． 因为在处取得极值，所以， 即，解得． 当时，，令得，令得， 所以的减区间为，增区间为， 所以在处取得极小值，符合题意，所以． 【小问2详解】 由题意，当时，，设切点为， 则， 所以，①，②，③ 将①代入②得，④ 再将④代入③中，化简得，解得舍去），所以． 19. 表所示的是某班英语及数学成绩的分布列．学生共有50人，成绩分1～5五个档次.例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人.将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一枚，该卡片同学的英语成绩为，数学成绩为，设为随机变量.（注：没有相同姓名的学生） 数学 5 4 3 2 1 英语 5 1 3 1 0 1 4 1 0 7 5 1 3 2 1 0 9 3 2 1 6 0 1 0 0 1 1 3 （1）的概率为多少？且的概率为多少？ （2）等于多少？ （3）若的期望为，试求的值． 【答案】（1）， （2） （3），． 【解析】 【分析】（1）根据表中数据，利用古典概型概率公式求解即可； （2）根据表中人数和为50列式求解即可； （3）根据分布列求期望即可. 【小问1详解】 由表中数据可知英语成绩为的共有人， 数学成绩为且英语成绩大于等于的有人， 所以，. 【小问2详解】 因为该班学生共有50人， 所以， 解得. 【小问3详解】 若的期望为， 则 ， 解得， 结合解得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $