专题02 不等式的求解（含参、恒成立、有解等问题）（压轴题专项训练）数学高一沪教版2020必修第一册

专题02 不等式的求解（含参、恒成立、有解等问题） 目录 典例详解 类型一、不等式的解法 考向1、分式不等式的解法 考向2、高次不等式的解法 考向3、绝对值不等式的解法 考向3、含参一元二次不等式的解法 类型二、不等式的恒成立和有解问题 考向1、在R上的恒成立问题 考向2、限定范围的恒成立问题 考向3、限定范围的有解问题 考向4、更换主元问题 压轴专练 类型一、不等式的解法 考向1、分式不等式的解法 分式不等式的解法； 1、常见的形式有： （1）； （2）； （3）； （4）. 2、解题步骤： （1）； （2）移项、通分； （3）分子、分母同时乘以分母； （4）解一元二次不等式； （5）写出解集. 【注意】当遇到分式不等式右侧不是0时，比如，通过移项使得右侧为0，对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要产生一个划分参数的标准。 例1．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式1-1.不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 考向2、高次不等式的解法 解一元高次不等式一般采取“穿针引线法”， 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数. 例如，解，如图所示，解集为. 解，如图所示，解集为. 【注意】尽量使得每个的系数都为正。 例2．不等式的解集为 . A. B． C． D． 考向3、绝对值不等式的解法 1 对于含绝对值的不等式，要去掉绝对值可平方或利用; 2 含绝对值不等式与型的解法。 当时，不等式的解集是或, 不等式的解集是; 当时，不等式的解集是;不等式的解集是; 3 当绝对值里是个含的式子，把它看成个整体再求解便可。 例3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式3-1. 不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 考向4、含参一元二次不等式的解法 对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要产生一个划分参数的标准。 （1）二次项系数a>0,a=0,a<0 （2）判别式△>0,△=0,△<0 （3）一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大小， x1>x2 ，x1=x2，x1<x2 例4．解关于x的不等式： 变式4-1．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为 ，则a＋b的值为(　　) A. －14 B.－15 C.－16 D.－17 B. 变式4-2．求不等式 ax2 - 2 ≥ 2x- ax 的解集. 类型二、不等式的恒成立和有解问题 考向1、在R上的恒成立问题 一元二次不等式在R上的恒成立问题 （1）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则一定满足a>0且∆<0； （2）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅，则一定满足a<0且∆≤0； （3）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R，则一定满足a<0且∆<0； （4）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为∅，则一定满足a>0且∆≤0. 例5．若不等式 ax2 - x + 1 > 0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为________． 变式5-1．对任意实数x，不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 恒成立，则a的取值范围是 __________ . 考向2、限定范围的恒成立问题 限定范围的恒成立问题 (1)参变分离． (2)构建新函数，根据题意求新函数的最值． (3)恒成立问题：“>、”最大值，“<、”最小值 (4)有解问题：“>、”最小值，“<、”最大值 例6．若不等式 x 2 + ax + 1 ≥ 0对于一切 x ∈恒成立，则 a的最小值是 . 考向3、限定范围的有解问题 限定范围的有解问题 (1)参变分离． (2)构建新函数，根据题意求新函数的最值． (3)有解问题：“>、”最小值，“<、”最大值 例7．若关于x的不等式 2x2 - 8x - 4 + a ≤ 0在1 ≤ x ≤ 3 内有解，则实数 a的取值范围是 __________ . 考向4、更换主元问题 已知谁的范围，谁就是主元。 例8．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.若关于的不等式的解集为，则（    ） A．或1 B．1 C．或1 D．或或1 2.若不等式的解集为，则等于（    ） A．-18 B．8 C．-13 D．1 3.不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（ ） A．(-3 ，1] B．(-3 ，1) C．(-1 ，3] D．(-1 ，3) 4.已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 5.不等式的解集为 . 6.若，不等式恒成立，则的取值范围为 . 7.（24-25高二上·甘肃张掖·期中）不等式的解集为 . 8.（2025高三·全国·专题练习）求不等式的解集． 9.解关于的不等式： 10.（2025高一·上海·专题练习）已知不等式的解集为．设实数，证明：． 11.（24-25高二上·天津和平·期中）已知函数， （1）解关于a的不等式； （2）若不等式的解集为，求实数a，b的值； （3）对任意的，不等式恒成立，求实数a的取直范围． 12.（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，关于的不等式． (1)若，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式（解集用表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式的求解（含参、恒成立、有解等问题） 目录 典例详解 类型一、不等式的解法 考向1、分式不等式的解法 考向2、高次不等式的解法 考向3、绝对值不等式的解法 考向3、含参一元二次不等式的解法 类型二、不等式的恒成立和有解问题 考向1、在R上的恒成立问题 考向2、限定范围的恒成立问题 考向3、限定范围的有解问题 考向4、更换主元问题 压轴专练 类型一、不等式的解法 考向1、分式不等式的解法 分式不等式的解法； 1、常见的形式有： （1）； （2）； （3）； （4）. 2、解题步骤： （1）； （2）移项、通分； （3）分子、分母同时乘以分母； （4）解一元二次不等式； （5）写出解集. 【注意】当遇到分式不等式右侧不是0时，比如，通过移项使得右侧为0，对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要产生一个划分参数的标准。 例1．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可. 【详解】由题可知的根为1和2， 代入方程可得，， 不等式等价于， 则解集为， 故选：D. 变式1-1.不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后再转化为求一元二次不等式的解即可 【详解】由，得 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 考向2、高次不等式的解法 解一元高次不等式一般采取“穿针引线法”， 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数. 例如，解，如图所示，解集为. 解，如图所示，解集为. 【注意】尽量使得每个的系数都为正。 例2．不等式的解集为 . A. B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式转化为或，再根据集合交集即可求解. 【详解】根据题意原不等式可转化为或， 则即， 则即， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： 考向3、绝对值不等式的解法 1 对于含绝对值的不等式，要去掉绝对值可平方或利用; 2 含绝对值不等式与型的解法。 当时，不等式的解集是或, 不等式的解集是; 当时，不等式的解集是;不等式的解集是; 3 当绝对值里是个含的式子，把它看成个整体再求解便可。 例3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直接利用绝对值不等式的公式求解即可. 【详解】解：因为， ， 解得， 故选：B. 变式3-1. 不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】(1)利用绝对值的意义，分和两种情况， (2)再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】当时，原不等式等价于， 解得，所以， 当时，原不等式等价于， 解得，所以， 综上，原不等式的解为， 故选：A. 考向4、含参一元二次不等式的解法 对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要产生一个划分参数的标准。 （1）二次项系数a>0,a=0,a<0 （2）判别式△>0,△=0,△<0 （3）一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大小， x1>x2 ，x1=x2，x1<x2 例4．解关于x的不等式： 【答案】见解析 【分析】讨论一元二次方程两根x1,x2的大小 【详解】 解：原不等式可化为： 相应方程 的两根为， (1) 当 ，即时，原不等式解集为 (2) 当，即时，原不等式解集为 (3) 当，即时，原不等式解集为 综上所述： 时，原不等式解集为 时，原不等式解集为 时，原不等式解集为 变式4-1．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为 ，则a＋b的值为(　　) A.－14 B.－15 C.－16 D.－17 【答案】A 【分析】一元二次方程的解与一元二次不等式端点值的关系 【详解】方程ax2＋bx＋2=0的两根为x1＝，x2＝ ， 根据韦达定理： ， 解得a=−12，b=−2,则a+b=−14 变式4-2．求不等式 ax2 - 2 ≥ 2x- ax 的解集. 【答案】见解析 【分析】（1）讨论二次项系数和0的关系； （2）讨论一元二次方程两根x1,x2的大小 【详解】 解：原不等式可化为：ax2 +(a-2)x-2 ≥0 1 a = 0 时， 2x + 2 ≥ 0，可得 {x | x≤- 1} ； 2 a ≠ 0时，可得 若 a > 0 ，解可得 ； 若 a < 0 ，则可得 (i) 当 > - 1 即 a < - 2时，解集为[- 1 ， ] ； (ii) 当 < - 1 即- 2 < a < 0时，解集为[ ， - 1] ； (iii) 当 = - 1 即 a = - 2 时，解集为 8 学科网（北京）股份有限公司 类型二、不等式的恒成立和有解问题 考向1、在R上的恒成立问题 一元二次不等式在R上的恒成立问题 （1）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则一定满足a>0且∆<0； （2）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅，则一定满足a<0且∆≤0； （3）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R，则一定满足a<0且∆<0； （4）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为∅，则一定满足a>0且∆≤0. 例5．若不等式 ax2 - x + 1 > 0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】{a|} 【分析】考虑开口和 【详解】 分析可知　，解得 ，故实数 的取值范围为{a|} 变式5-1．对任意实数x，不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 恒成立，则a的取值范围是 __________ . 【答案】{a|} 【分析】考虑开口和 【详解】①当a=2时，原不等式可化为-4<0 ，显然恒成立 ②当a≠2时，分析可知　，解得 ，故实数 a的取值范围为{a|} 考向2、限定范围的恒成立问题 限定范围的恒成立问题 (1)参变分离． (2)构建新函数，根据题意求新函数的最值． (3)恒成立问题：“>、”最大值，“<、”最小值 (4)有解问题：“>、”最小值，“<、”最大值 例6．若不等式 x 2 + ax + 1 ≥ 0对于一切 x ∈恒成立，则 a的最小值是 . 【答案】- 【分析】参变分离 【详解】原不等式 x 2 + ax + 1 ≥ 0对于一切 x ∈恒成立等价于 a≥-x- 对于一切 x ∈恒成立， 所以原问题等价于 a f (x )max 因为在上是增函数，所以 f (x )max = - ∴a≥- 考向3、限定范围的有解问题 限定范围的有解问题 (1)参变分离． (2)构建新函数，根据题意求新函数的最值． (3)有解问题：“>、”最小值，“<、”最大值 例7．若关于x的不等式 2x2 - 8x - 4 + a ≤ 0在1 ≤ x ≤ 3 内有解，则实数 a的取值范围是 __________ . 【答案】{a|} 【分析】参变分离 【详解】因为原不等式 2x2 - 8x - 4 + a ≤ 0在1 ≤ x ≤ 3 内有解 所以 a ≤ - 2x2 + 8x + 4在1 ≤ x ≤ 3 内有解， 设函数 f (x ) = - 2x2 + 8x + 4, x ∈ [1, 3]， 所以原问题等价于 a ≤ f (x )max 又当x = 2 时， f (x )max = 12 ， 所以 a ≤ 12 . 则实数 a的取值范围是{a|} 考向4、更换主元问题 已知谁的范围，谁就是主元。 例8．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】更换主元 【详解】原不等式可转化为 令，分析可知，解得，故选D. 1.若关于的不等式的解集为，则（    ） A．或1 B．1 C．或1 D．或或1 【答案】B 【分析】将和5代入方程，求解即可. 【详解】由题意知方程的实数根为和5， 代入得，解得. 故选：B. 2.若不等式的解集为，则等于（    ） A．-18 B．8 C．-13 D．1 【答案】C 【分析】由题可得为方程的两根，代入列方程解出即可. 【详解】不等式的解集为， 为方程的两根， 则根据根与系数关系可得 ， ，则. 故选：C 3.不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（ ） A．(-3 ，1] B．(-3 ，1) C．(-1 ，3] D．(-1 ，3) 【答案】A 【分析】一元二次不等式在实数集上恒成立问题，先根据不等式恒成立得出.比较，即可得出答案. 【详解】当时，对任意的恒成立； 当时，要使不等式对任意的恒成立， 则应有，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 4.已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】更换主元 【详解】原不等式可转化为 令，分析可知， 解得， 故实数的取值范围是 5.不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由，可得或，从而可得答案. 【详解】解：由， 可得或， 解得且， 所以不等式的解集为. 故答案为： 6.若，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】一元二次不等式在限定区间上恒成立问题，分离参数法 【详解】由时，恒成立， 可得恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 7.（24-25高二上·甘肃张掖·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】把不等式化为，解得，再结合绝对值的定义，即可求解. 【详解】由题意，不等式可化为，解得， 所以或， 即不等式的解集为. 故答案为：. 8.（2025高三·全国·专题练习）求不等式的解集． 【答案】或或. 【分析】将给定不等式移项通分，再转化为不等式组，结合数轴标根法求解. 【详解】不等式， ， 借助数轴，讨论各个因式之积的符号，如图所示（数轴标根法）： 由此得到原不等式的解集是：或或． 9.解关于的不等式： 【答案】见解析 【分析】讨论二次项系数和0的关系：讨论一元二次方程两根x1,x2的大小 【详解】原不等式可化为， ①若，则不等式化为，即， 此时原不等式解集为； ②若，则，且， 所以原不等式解集为； ③若，则， i），即，原不等式解集为； ii），即，原不等式解集为； iii），即，原不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. 10.（2025高一·上海·专题练习）已知不等式的解集为．设实数，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】首先求得，则有，，证法一：作差法证明即可；证法二：根据不等式性质分析证明即可. 【详解】当时，原不等式可化为，即，所以； 当时，原不等式可化为，即，所以； 当时，原不等式可化为，即，所以； 综上可知； 证法一：因为，，所以，. 而，所以； 证法二：要证，只需证：， 只需证：， 因为，，所以，. 所以成立，所以成立. 11.（24-25高二上·天津和平·期中）已知函数， （1）解关于a的不等式； （2）若不等式的解集为，求实数a，b的值； （3）对任意的，不等式恒成立，求实数a的取直范围． 【答案】（1）（2）或（3）或 【分析】（1）由得：，解一元二次不等式即可； （2）根据一元二次不等式与对应一元二次方程之间的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值 （3）对，恒成立等价于，转求最值即可． 【详解】（1）由得：. ∴ 解集为 （2）由即， 可知1与3是方程两实根 故或 （3）对，恒成立等价于 即，满足 设，， ， 当且仅当 即时“=”成立 故， 或 【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程和函数的关系以及根与系数的应用问题，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与计算能力，是中档题． 12.（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，关于的不等式． (1)若，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式（解集用表示）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由恒成立，转化为恒成立，结合二次函数的性质对的范围进行分类讨论即可求解； （2）由恒成立，不等式可化为，然后结合二次不等式的求法对的范围进行分类讨论即可求． 【详解】（1）若，且不等式对一切恒成立， 又恒成立， 所以恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为； （2）当时，又恒成立， 不等式可化为， 即， 当时，， 当时，不等式可化为， 解得， 当时，不等式可化为， 当时，解得或； 当时，； 当时，解得或， 故当时，解集为； 当时，解集为， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$