第一章 反比例函数（举一反三单元测试·拔尖卷）数学湘教版九年级上册

第一章 反比例函数·拔尖卷 【湘教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级上·陕西渭南·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点，在反比例函数（，k为常数）的图象上，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（3分）（2024九年级上·全国·专题练习）在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（2024九年级上·全国·专题练习）已知P为函数的图象上一点，且点P到原点的距离为2，则符合条件的点P的个数为（   ） A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 6．（3分）（24-25九年级上·四川广元·期末）定义运算“※”为：，如：，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．（3分）（2024·河北沧州·二模）设函数 ，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，和的值正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 8．（3分）（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 9．（3分）如图，正方形在平面直角坐标系中的点和点的坐标为、，点在双曲线上.若正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该双曲线上，则的值是(  ) A．1 B．2 C．3 D．4 10．（3分）（23-24九年级上·陕西商洛·期末）反比例函数的图像如图所示，若二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）如图是台阶状的折线示意图，每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，若反比例函数的图象与该折线有公共点，则k的整数值有 个． 12．（3分）（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ． 13．（3分）（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为 ． 14．（3分）（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）已知点都在反比例函数（a为常数）的图象上，且，则的大小关系为 ．（用“”连接） 15．（3分）（2022·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过点的直线轴，分别交反比例函数和的图象于点，，且，．    （1）的值为 ； （2）若直线与直线交于点，当点，，中其中两点关于第三点对称时，的值为 ． 16．（3分）（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把点称为点P的“和差点”．若直线上有两个点A和B，它们的和差点和均在反比例函数上，则的面积为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点，都在该反比例函数图象上； ①当，且点和点关于原点成中心对称，求点的坐标； ②当，时，求的取值范围． 18．（6分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是． (1)求k的值． (2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围． (3)一次函数与函数的图象在第一象限的交点为点A，且与x轴交于点B，点C在函数位于第一象限的图象上，若，直接写出点C的横坐标． 19．（8分）（2025·云南玉溪·一模）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 20．（8分）（2025·浙江·模拟预测）如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动且托盘上放置了一个空牛奶盒．已知，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下 表中的实验数据． 实验次数 第次 第次 第次 第次 第次 总质量（牛奶盒+水） 的距离 (1)你认为表中哪次数据是明显错误的； (2)你认为与满足怎样的函数关系___________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），求出关于的函数表达式； (3)某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量． 21．（10分）（24-25八年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分． 问题解决： (1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围． (2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中． (3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完） 22．（10分）（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过点，点的坐标为． (1)的值为 ； (2)若将菱形沿轴正方向平移个单位． ①当菱形的顶点落在反比例函数的图像上时，求的值； ②在平移过程中，若反比例函数的图像与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 23．（12分）（2025·广东珠海·一模）如图1，已知反比例函数，点A，B在x轴正半轴上（点A在点B的左侧），过点A，B分别作．轴，轴，交反比例函数图象于点D，C，连接． (1)填空：_______； (2)求证：； (3)如图2，直线交于点F，交延长线于点G．点在线段上． ①若点E是的中点．证明：四边形为平行四边形．并求出此时的值； ②如图3，连接．试判断的形状，并说明理由． 24．（12分）（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，点B的横坐标为5，一次函数与x轴交于点C． (1)求a，b，k的值； (2)如图1，点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接．当时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点E，F均为x轴上的动点，且点E在点F的左侧，．求的最小值； (4)如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 反比例函数·拔尖卷 【湘教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级上·陕西渭南·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题侧重考查反比例函数的图象与性质、正比例函数的图象和性质，掌握其性质是解决此题的关键． 已知两函数的图象分别关于坐标原点对称，则点A与点B的坐标关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点A与点B的坐标关于原点对称， ∵点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：A． 2．（3分）（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 3．（3分）（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点，在反比例函数（，k为常数）的图象上，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，分和两种情况，根据反比例函数的图象和性质解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当，反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时， ∵，且， ∴当时，，则； 当时，，则， ∴，则， ∴； 当，反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时， ∵，且， ∴当时，，则， 当时，，则， ∴，则； ∴； 综上，， 故选：． 4．（3分）（2024九年级上·全国·专题练习）在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，由的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出的表达式，熟练掌握反比例函数的性质并能求出的坐标的表达式，再由此求出的表达式是解决此题的关键． 【详解】解：点、、、、、在反比例函数的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2， 又点的横坐标为2， ，，坐标为． 由题图象知，，， ， ， ， ，2，3，， ， ． 故选：． 5．（3分）（2024九年级上·全国·专题练习）已知P为函数的图象上一点，且点P到原点的距离为2，则符合条件的点P的个数为（   ） A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，设，再根据点P到原点的距离是2可得到关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】解：设，则根据题意，得 ， 解得． ∴符合条件的点有2个． 故选：B． 6．（3分）（24-25九年级上·四川广元·期末）定义运算“※”为：，如：，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象，根据新定义可得的函数解析式，分x大于0与x小于0两种情况化简函数解析式，作出函数图象即可． 【详解】解：当时，函数解析式为， 当时，函数解析式为， 图象大致为 故选：C． 7．（3分）（2024·河北沧州·二模）设函数 ，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，和的值正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，首先根据与的取值分析，的增减性，然后根据增减性确定最值，进而求解，关键是根据反比例函数的增减性确定最值． 【详解】解：， ∴在每个象限内，随的增大而减小， ， 当时最大， 即， ， ， ， ∴在每个象限内，随的增大而增大， ， 当时最小， 即， ， ， 解得：， ， 故选：A． 8．（3分）（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，，，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：C． 9．（3分）如图，正方形在平面直角坐标系中的点和点的坐标为、，点在双曲线上.若正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该双曲线上，则的值是(  ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】过点作轴的垂线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的垂线交于，根据全等三角形的判定和性质，可得到点坐标和点坐标，从而求得双曲线函数未知数和平移距离. 【详解】过点作轴的垂线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的垂线交于. ，，，. 又，，， 点坐标为 将点坐标为代入，可得=4. 与同理，可得到，， 点坐标为，正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点坐标为 将点坐标为代入，可得=2. 故选B. 【点睛】本题综合考查反比例函数中未知数的求解、全等三角形的性质与判定、图形平移等知识.涉及图形与坐标系结合的问题，要学会通过辅助线进行求解. 10．（3分）（23-24九年级上·陕西商洛·期末）反比例函数的图像如图所示，若二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，数形结合．根据反比例函数的图像与性质可得，从而得到抛物线的开口向下和对称轴为，进而得到的取值范围；由抛物线与轴交于点，可得，推出即可求出的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图像过第二象限， ， 当时，， ， 抛物线的开口向下，对称轴为， 抛物线的对称轴为直线， ， 依据题意得， ， ， 即， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）如图是台阶状的折线示意图，每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，若反比例函数的图象与该折线有公共点，则k的整数值有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由图可得，当反比例函数图象过点B开始与台阶有交点，直到反比例函数图象过点C为止，进而求解即可． 【详解】解：∵每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为， ∴、、、、、， 如图，当反比例函数图象过点B开始与台阶有交点，直到反比例函数图象过点C为止， ， ∴k取3，4，5，6， ∴k的整数值有4个， 故答案为：4． 12．（3分）（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义．过点作于点，根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，则可得到，由等腰三角形的性质可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点的坐标关于原点对称，即， ∵，，， ， ， ∴， ∴ ∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故答案为：． 13．（3分）（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 由点、在反比例函数的图象上，可设，，再由轴，表示出点、的坐标，再根据，得到，，再结合与的距离为5，即可求解． 【详解】解：点、在反比例函数的图象上， 设，， 又点、在反比例函数的图象上，轴， ，， 由题意得，，， ，， 与的距离为5， ， ， 解得：． 故答案为：6． 14．（3分）（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）已知点都在反比例函数（a为常数）的图象上，且，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，先判断，可知反比例函数的图象在一、三象限，再利用图象法可得答案，理解“在每个象限内，随的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键． 【详解】解：， 反比例函数是常数）的图象在一、三象限， 如图所示，当时，， 即 故答案为：． 15．（3分）（2022·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过点的直线轴，分别交反比例函数和的图象于点，，且，．    （1）的值为 ； （2）若直线与直线交于点，当点，，中其中两点关于第三点对称时，的值为 ． 【答案】 2或或 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义得到，进而求得，由求得，即可求得，然后利用反比例函数系数的几何意义即可求得的值； （2）由于点，，三点中两点关于第三点对称，可以分三种情况讨论求得的坐标，代入即可求得的值． 【详解】解：（1）过点的直线轴，分别交反比例函数和的图象于点，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 而， ． （2）当点，关于点对称，即点为线段的中点， ，， ， ， 代入得，， 解得：， 当点，关于点对称，即点为线段的中点， ， ， ， 代入得，， 解得：， 当点，关于点对称，即点为线段的中点， ， ， ， 代入得，， 解得：， 综上所述，的值为2或或． 故答案为：；2或或． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，求一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一元一次方程，分类讨论思想和数形结合思想是解题关键． 16．（3分）（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把点称为点P的“和差点”．若直线上有两个点A和B，它们的和差点和均在反比例函数上，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】设，则，，由和均在反比例函数上，可得，，从而求出或，或，即可求出结果． 【详解】解：设点A的坐标为：，点B的坐标为：，则，， ∵和均在反比例函数上， ∴，， 解得：、，、， 当时，； 当时，， ∴点A的坐标为：或，点B的坐标为：或， 设一次函数与x的轴相交于点C， 当时，，即， ∴点C的坐标为：， ∴， 如图所示：， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数图象的点的坐标特征及解一元二次方程，熟练掌握反比函数上的点的横坐标与纵坐标的积等于反比例的比例系数是解题的关键． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点，都在该反比例函数图象上； ①当，且点和点关于原点成中心对称，求点的坐标； ②当，时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据反比例函数图象与性质，利用待定系数法列方程求解即可得到答案； （2）①利用反比例函数图象与性质，结合题意求出，利用待定系数法列方程求解即可得到答案； ②利用反比例函数图象与性质，利用待定系数法求出，列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数，点，都在该反比例函数图象上， ∴，解得， ∴； ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：点，都在该反比例函数图象上，点和点关于原点中心对称， ∴， ∵，则，解得， ∴， 将代入得解得， ∴； ②∵，则， ∵， ∴，点在第三象限， ∴， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，涉及待定系数法确定k、点的对称性质、解不等式等知识，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 18．（6分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是． (1)求k的值． (2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围． (3)一次函数与函数的图象在第一象限的交点为点A，且与x轴交于点B，点C在函数位于第一象限的图象上，若，直接写出点C的横坐标． 【答案】(1) (2)和 (3)3或 【分析】（1）根据在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小求解即可； （2）根据题意可得或，代入反比例函数解析式可得n的取值范围； （3）分两种情况讨论①当点C在A点的右侧，②当点C在A点的左侧，根据面积关系列出相应的方程求出m值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小， ∴当时，最小值为， 当时，最大值为， 由①，②得：． （2）∵到y轴的距离大于3， ∴或， ∵， ∴或； （3）解，得，， ∴． 解，得， ∴， ∴ ∴ ①当点C在A点的右侧 设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ②当点C在A点的左侧， 设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N， ∵， ∴， ∴（舍），， 所以点C的横坐标为3或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数k得几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 19．（8分）（2025·云南玉溪·一模）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 【答案】(1)， (2)7.5 (3)见解析 【分析】此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，以及三角形的面积求法，灵活运用待定系数法是解本题的关键． （1）由的面积求出m的值，由m的值确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值； （2）先求出，再根据待定系数法求出直线的解析式为，进而确定，即可求解； （3）推出，，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得反比例函数解析式为, 点代入得 解得， ∴, 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴， 令得， ∴， ∴, ∴． （3）证明：∵轴， ∴， ∵, ∴ ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 20．（8分）（2025·浙江·模拟预测）如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动且托盘上放置了一个空牛奶盒．已知，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下 表中的实验数据． 实验次数 第次 第次 第次 第次 第次 总质量（牛奶盒+水） 的距离 (1)你认为表中哪次数据是明显错误的； (2)你认为与满足怎样的函数关系___________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），求出关于的函数表达式； (3)某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量． 【答案】(1)第次 (2)反比例函数； (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用， （1）根据表中数据可得：天平要达到平衡，总质量越小越大，据此进行判断即可； （2）设关于的函数表达式为，然后将，，代入求解即可； （3）设空牛奶盒的质量为，可得，然后求解即可． 根据题意确定出反比例函数并求出其表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：天平要达到平衡，总质量越小越大，与第，次相比，第次总质量小，反而小， 第次数据是明显错误的； （2）与满足的函数关系为反比例函数， 故答案为：反比例函数； 设关于的函数表达式为， 则， ∵当时，， ∴， ∴关于的函数表达式为； （3）设空牛奶盒的质量为， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：这个空牛奶盒的质量为． 21．（10分）（24-25八年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分． 问题解决： (1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围． (2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中． (3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完） 【答案】(1)； (2)学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设出对应的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）分别求出和时的函数值即可得到答案； （3）分别求出两个函数的函数值等于40时x的值结合图象即可得到答案． 【详解】（1）解：设线段的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴线段的函数表达式为． 设曲线的函数表达式为，将代入，得， ∴曲线的函数表达式为． （2）把代入，得， 把代入，得． ∵， ∴学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中． （3）解：当，解得， 当，解得， 结合图象，要求学生的注意力指标数不得低于40，则x的取值范围是， ∴安排在第5分钟至第25分钟． 22．（10分）（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过点，点的坐标为． (1)的值为 ； (2)若将菱形沿轴正方向平移个单位． ①当菱形的顶点落在反比例函数的图像上时，求的值； ②在平移过程中，若反比例函数的图像与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了反比例函数，利用待定系数法求函数解析式，菱形的性质和勾股定理，解本题的关键是判断菱形的边始终和双曲线有交点的分界点． （1）先由点的坐标确定出，从而求出点坐标，最后求出； （2）①由平移的性质确定出的纵坐标，根据解析式求出点的横坐标，即可；②由平移的性质求出点落在双曲线上的横坐标的值即可求出反比例函数图象与菱形的边始终有交点的的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示：过点D作x轴的垂线，垂足为F， ∵点D的坐标为， ∴， ∴， ∴菱形， ∴，则 ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， （2）①将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 则平移后， ∵菱形的顶点B落在反比例函数的图象上， ∴， ②如图， 将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点D落在函数的图象处， 过点作x轴的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵落在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（12分）（2025·广东珠海·一模）如图1，已知反比例函数，点A，B在x轴正半轴上（点A在点B的左侧），过点A，B分别作．轴，轴，交反比例函数图象于点D，C，连接． (1)填空：_______； (2)求证：； (3)如图2，直线交于点F，交延长线于点G．点在线段上． ①若点E是的中点．证明：四边形为平行四边形．并求出此时的值； ②如图3，连接．试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)①；②直角三角形，见解析 【分析】（1）根据k的几何意义和三角形面积公式即得； （2）根据，，即得； （3）①设点，，得，得，解得，得点，点得直线的解析式为： ，得，由，得四边形为平行四边形，②设点，则点，得，得，同理，设点，则点，设直线交x轴于点H，连接，得点，轴，得可得，得，是直角三角形． 【详解】（1）解：； 故答案为：1； （2）证明：点C，D在反比例上， ， ， ， （3）解：①设点． 是线段的中点， ． 点C在反比例上， ． ． 解得． 点A在点B的左侧， ． 点，点． 设直线的解析式为， ． 解得：． 直线的解析式为． ， ． 轴，轴， ． 四边形为平行四边形． 由（2）得：，点，点， ． ②是直角三角形，理由如下： 设点， 则点． ． ， ． ． ． 同理，设点， 则点． ，． ． ． 设直线交x轴于点H，连接． 令，则． 点． 点， 轴． ． ． ， ． ， ． ． ， ． 是直角三角形． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数k的几何意义，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，是解此题的关键． 24．（12分）（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，点B的横坐标为5，一次函数与x轴交于点C． (1)求a，b，k的值； (2)如图1，点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接．当时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点E，F均为x轴上的动点，且点E在点F的左侧，．求的最小值； (4)如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，以及一次函数解析式，即可得到a，b，k的值； （2）根据（1）中一次函数解析式求出点C的坐标，进而得到，再设点D的坐标为，根据建立等式求解，即可解题； （3）将点D向右平移一个单位，得到，连接，，证得四边形为平行四边形，，进而得到，根据为定长，要的值最小，即的值最小，又当三点共线时，的值最小，再结合勾股定理求解，即可解题； （4）根据以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，分情况①当为边时；②当为边，为对角线时；连接交于点，③当为边，为对角线时；结合菱形的性质和判定，以及勾股定理进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为， ，即， 点B的横坐标为5， ，即点B的坐标为， ， 解得， 综上，，，； （2）解：由（1）知，一次函数为， 当时，，解得， 点C的坐标为，即， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， 点D是第二象限内反比例函数上一动点， 设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； （3）解：将点D向右平移一个单位，得到 ，连接，， ， ，且， 四边形为平行四边形， ， ， 为定长，要的值最小，即的值最小， 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为； （4）解：存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， 点D的坐标为，点C的坐标为， ， ①当为边时； 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ，， 或， ②当为边，为对角线时；连接交于点， 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ， ； ③当为边，为对角线时； 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ， 设， ，， ，解得， ， ； 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及一次函数解析式，一次函数与反比例函数几何综合，线段和最值，平行四边形性质和判定，菱形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于利用分类讨论的思想方法解决问题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$